第5章 一阶动态电路分析
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电路分析基础第四、第五章测验测试题
第四章测试一、填空题（共6 题,75.0分）1.只要求出__________、__________和__________这三个量,就能立即写出换路后的电压或电流________________的表达式。
2.具有一个独立初始条件的动态电路叫( )电路。
3.换路后的一瞬间,电容的端_________和电感中的___________都保持换路前一瞬间的数值,这叫做___________。
4.R、C串联电路过渡过程的时间常数τ=( ),而R、L串联电路过渡过程的时间常数τ=( )5.线性动态电路的全响应,根据叠加定理可表示为( )响应与( )响应之和。
6.换路后的一瞬间,电容的端________和电感的_________都保持前一瞬间的数值,这叫_________。
二.判断题（共2 题,25.0分）1.一阶动态电路三要素法的通式为f(t)=f(∞)+[f(0+)－f(∞)]·e-t/τ答案：对2.RC一阶电路中,电容电压UC的零输入响应是按指数规律增长。
答案：对第五章测试一、单选题（共8 题,20.0分）1.标有额定值220V 60W的灯泡，将它接在电源上，它消耗的功率（）。
A.小于60WB.等于60WC.大于60WD.无法确定答案：B2.在电阻和电容串联电路中,阻抗1Z1=( )A.A+XCB.sqrt(R*R±Xc*Xc)C.uc/icD.Ucm/Ic答案：B3.启辉器中装有一只电容器,其作用是( )A.启辉器中装有一只电容器,其作用是B.保护启辉器的动静触片C.通交流隔直流答案：A4.在纯电容电路中,电压有效值不变,频率增大时,电路中的电流将( )A.增大B.减小C.不变D.无法确定答案：A5.若频率为f时电路的感抗等于容抗,当频率为2f时,该感抗为容抗的( )。
A.2倍B.0.25倍C.相等D.4倍答案：D6.两个同频率正弦交流电流i1、i2的有效值各为40A和30A, 当i1+i2的有效值为70A时,i1与i2的相位差是( )。
电路分析第5章
《电路分析简明教程》
1、线性性质
§ 5-1
例 若f (t )= sinωt 的定义域在[0，∞），求其象函数。
解 根据欧拉公式
f (t) sin t e jt e jt
2j 根据拉氏变换的线性性质，得
《电路分析简明教程》
2、延迟性质 若
§5-1
则 例 试求延迟的阶跃函数f(t)=ε( t - t 0) 的象函数。 解 根据延迟性质和单位阶跃函数的象函数,得
（
s
K2 - p2
）
式中
《电路分析简明教程》
§5-2 复频域中的电路定律与电路模型
分析电阻电路的两类约束、定理乃至技巧都适用
于动态电路的复频域分析法（运算法）。
一、KVL、KCL的复频域形式
1、对任一节点 ΣI（s）=0
2、对任一回路 ΣU（s）=0
二、元件伏安关系（VAR)的复频域形式及电路模型
(2) 绘出电路的复频域模型。注意不要遗漏附加电 源，且要特别注意附加电源的方向。
(3) 根据电路两类约束的复频域形式，对复频域模型 列写电路方程，求出响应的象函数。这里可以采用第一、 第二章中分析电阻电路的各种方法。
(4) 用部分分式展开法和查阅拉氏变换表，将以求的 的象函数进行拉氏逆变换，求出待求的时域响应。
（s
K11 - p1）2
（ K2 s - p2
）
对于单根，待定系数仍采用
公式计算。
而待定系数K11和K12，可以用下面方法求得。 将式两边都乘以(s-p1)2，则K11被单独分离出来，即
K11 （ [ s - p1）2F(s)] S=P1
《电路分析简明教程》
又因为
d ds
[（s
电路分析基础教案(第5章) 2
§5-2 电容的VCR 例题：电路如图所示，电压源电压为三角波形， 求电容电流i（t）。
0 0.5 1 1.5 -100 解：在关联参考方向时，i=C（du/dt）， 在0≤t≤0.25ms期间， i=1×10-6×[(100-0)/(0.25×10-3-0)=0.4A；
35
i(t) + C= u(t) 1 μ F -
100
u/V t/ms
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§5-2 电容的VCR u/V
100 0 -100
t/ms 0.5 1 1.5
在0.25≤t≤0.75ms期间， i=1×10-6×[(-100-100)/(0.75×10-30.25×10-3)] =-0.4A；
36
§5-2 电容的VCR
100 0 -100
0.4
u/V
§5-1 电容元件
3、电容元件特点 线性电容有如下特点： （1）双向性 库伏特性是以原点对称，如图所示，因此与 端钮接法无关。 斜率为C q/C C u/V
0
18
§5-1 电容元件 （2）动态性 若电容两端的电压是直流电压U，则极板上的 电荷是稳定的，没有电流，即：I=0。
电容相当于断 路（开路），所 以电容有隔断直 流作用。
8
第五章 电容元件与电感元件 电阻电路在任意时刻t的响应只与同一时刻的 激励有关，与过去的激励无关。 因此，电阻电路是“无记忆”，或是说“即 时的”。 与电阻电路不同，动态电路在任意时刻t的响 应与激励的全部过去历史有关。 因此，动态电路是“有记忆”的。
9
第五章 电容元件与电感元件
本章主要内容： 动态元件的定义； 动态元件的VCR； 动态电路的等效电路； 动态电路的记忆、状态等概念。
(电工与电子技术)第5章线性动态电路的分析
相量法
相量法是一种分析交流电路的 方法，通过引入复数和相量来 简化计算过程。
交流电路分析
交流电路的分析主要包括阻抗 、导纳、功率、功率因数等参
数的计算和测量。
数字电路的分析
数字电路
数字电路是处理数字信号 的电路，其基本元件是逻 辑门电路。
逻辑门电路
逻辑门电路是实现逻辑运 算的电路，常见的有与门、 或门、非门等。
线性动态电路的重要性
工程实际应用
线性动态电路在工程实际中有着 广泛的应用，如电力系统的稳态 分析、电子设备的信号处理等。
理论价值
线性动态电路是电工与电子技术 学科中的重要组成部分，对于理 解电路理论和掌握电路分析方法 具有重要意义。
培养解决问题能力
通过学习线性动态电路，可以培 养分析和解决实际问题的能力， 提高综合素质。
02
一阶常微分方程是描述一阶线 性动态电路的基本方程，其解 法包括分离变量法、常数变易 法等。
03
二阶常微分方程是描述二阶线 性动态电路的基本方程，其解 法包括复数法、部分分式法等 。
初始条件与边的状态。对于一阶线性动态电路，初始条件 通常由换路定律确定。
数字电路分析
数字电路的分析主要包括 逻辑功能、时序逻辑、触 发器等内容的分析。
控制系统中的应用
控制系统
控制系统是指通过反馈控制原理，使系统的 输出量能够自动地跟踪输入量，减小跟踪误 差的装置或系统。
控制系统的组成
控制系统通常由控制器、受控对象和反馈通路组成 。
线性动态电路在控制系统 中的应用
线性动态电路在控制系统中主要用于信号处 理、传递和控制，例如用于调节温度、压力 、速度等参数。
(电工与电子技术)第5 章线性动态电路的分 析
秋电路理论第五讲第5章动态电路的时域分析
uC (t0 ) 0
“十一五”国家级规划教材—电路基础
电容电压的连续性：
u
u
(t0
)
1 C
t
i( )d
t0
当t0=0时，在t时刻有
u(t) u(0) 1
t
i( )d
C0
在t+△t时刻有
u(t t) u(0) 1
t t
i( )d
C0
u u(t t) u(t) 1
t t
i( )d
或用符号表示为 ψ Li
“十一五”国家级规划教材—电路基础
ψ Li
称为磁通向量，i称为电流向量，L为一方阵，称为 电感矩阵。位于矩阵主对角线上的元素Ljj为各个电感元
件的自感， Lij其他元素则为元件之间的互感。
1. 线性耦合电感元件端口电压电流关系
端口电压、电流取一致参考方向时，有
d1
电流i1和i2同时流进或流出这两个端钮时，它们产生 的磁通是互相增助。同名端一般用符号“·”或“*”
作为标记。 i1 M i2
i1 M
i2
u1 L1
L2 u2 u1 L1
L2 u2
M>0
M<0
“十一五”国家级规划教材—电路基础
全耦合(perfectly coupled):当两个相耦合电感元件 的磁通全部相互交链。
i1
u1 1
i2
2 u2
电感元件1的磁通1及电感元件2的磁通2分别由两
个电感元件中的电流i1和i2共同产生。 它们之间的关系可表示为
1 f1(i1, i2 )
2 f2 (i1, i2 )
一、线性耦合电感元件
“十一五”国家级规划教材—电路基础
第五章电工学动态分析
例5-8
i i(0 )e
t
损坏电 185.2e 12560 t A 压表
t RC
uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()] e
•从初始值变化到稳态值，可能充电也可能放电。
5.2 一阶RC电路的暂态分析
例5-5
求 u C (t )
解：由换路前的稳态电路和换路定律得
uC (0 ) uC (0 ) 40V
10 40 / 20 120 V 1 / 20 1 / 20
3Байду номын сангаас
5103 t
)V
t 0
5.2 一阶RC电路的暂态分析
3. 一阶RC电路的全响应
duC RC uC U dt
uC U Ae uC (t ) uC
uC (t ) U (U 0 U )e
t
t
uC (0 -) = U0
由初始条件 uC (0+)=U0 定积分常数 A
uC (0 ) U
t =0时 S 1 t≥0+时， 换路
1 2 WC (0 ) CU 0 2
无激励，但uC(0+)=U
放电过程
5.2 一阶RC电路的暂态分析
1. 一阶RC电路的零输入响应
1）电容电压 uC 的变化规律 (1) 列 KVL方程
duC u R RiC iC C dt duC 代入上式得 RC uC 0 dt
5.1 换路定律与电路的初始值
初始值求解：
(1) uC( 0+)、iL ( 0+) 的求法 1) 先由t =0-的电路求出 uC ( 0– ) 、iL ( 0– )；
一阶电路
C
t = 0+时刻
1 t uC (0 ) i ( )d C 0 0 1 0 uC (0 ) uC (0 ) i ( )d C 0
1 C
1 i( )d C
t 0
i ( )d
当i()为有限值时
uC (0+) = uC (0－) q (0+) = q (0－)
例
电阻电路
i （t=0）
i U S / R2
+
i
R1 R2 0
i U S ( R1 R2 )
us
-
t
过渡期为零
电容电路
(t = 0) Us
K
K未动作前，电路处于稳定状态
i
R
+
i = 0 , uC = 0
C K接通电源后很长时间，电容充电 完毕，电路达到新的稳定状态
uC
–
(t →) R + Us
例3
求 iC(0+) , uL(0+) L i
L
解
iC +
由0－电路得：
+u – IS
LLeabharlann RK(t=0)C
uC
–
IS
R
0－电路
0+电路 I S +u –
L
iL(0+) = iL(0－) = IS
iC + R IS –
uC(0+) = uC(0－) = RIS
由0＋电路得：
R
RI S iC (0 ) I s 0 R
100 K
100
200V
200 i L (0 ) i L (0 ) 1A 200 100 uC (0 ) uC (0 ) 100V
第5章 动态电路的过渡过程
解： 选定各电压、电流参考方向如图所示。 S打在1位时，电路处于稳态，电容相当于开路，此时 uC（0 -）= US =100 V t = 0时，S由1位打向2位，根据换路定律，有 uC（0+）= uC（0 -）=100 V 此时电容相当于100 V的电压源，作t = 0+ 时的等效电路如图5.1（b）所 示。由KVL得 uC（0+）- uR3（0+）+ uR2（0+）= 0 uC（0+）- [-R3 i（0+）] + R2 i（0+）= 0
R3 6 20 12 V uC（0 -）= U S R1 R3 46
t = 0时，S打开，输入为零。S打开瞬间有 uC（0+）= uC（0 -）= 12 V
1. 电压电流变化规律 电压、电流参考方向如图5.3（b）所示。换路后，根据KVL可得 uR - uC = 0 根据图5.3（b）中电压、电流参考方向，可写出电阻、电容VCR， 分别为 uR = R i R
iC C
d uC dt
将以上三式联立，可求出换路后（即t≥0时）电容电压uC变化规律的 微分方程 d uC RC + uC = 0 （t≥0） （5-2）
（4）一阶电路的全响应及三要素法；
（5）时间常数的计算及其物理意义。
难点：
（1）动态电路的经典分析法——解微分方程法； （2）过渡过程初始值的计算； （3）储能元件充放电规律。
5.1 过渡过程及换路定律
5.1.1 过渡过程
当电源电压（激励）为恒定值或作周期性变化时，电路中各部分电压 或电流（响应）也是恒定的或按周期性规律变化，即电路中响应与激励的 变化规律完全相同，称电路的这种工作状态为稳定状态，简称稳态。但是， 在实际电路中，经常遇到电路由一个稳定状态向另一个稳定状态的变化， 尤其当电路中含有电感、电容等储能元件时，这种状态的变化要经历一个 时间过程，称为过渡过程。 含有储能元件（也叫动态元件）L或C的电路称为动态电路。 电路产生过渡过程的原因无外乎有外因和内因，电路的接通或断开， 电路参数或电源的变化，电路的改接等都是外因。这些能引起电路过渡过 程的电路变化统称为“换路”。除了外因，电路中还必须含有储能元件电 感或电容，这是产生过渡过程的内因。动态电路的过渡过程，实质是储能 元件的充、放电过程。 电路的过渡过程一般比较短暂，但它的作用和影响都十分重要。有的 电路专门利用其过渡特性实现延时、波形产生等功能；而在电力系统中， 过渡过程的出现可能产生比稳定状态大得多的过电压或过电流，若不采取 一定的保护措施，就会损坏电气设备，引起不良后果。因此研究电路的过 渡过程，掌握有关规律，是非常重要的。
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IS
R1
C
+ uC
－
R2
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（3）求时间常数τ。将电容支路断开，恒流源开路，得：
R1R2 20 5 R 4k R1 R2 20 5
时间常数为：
RC 4 103 100 106 0.4s
（4）求uC。利用三要素公式，得：
uC 40 200 40e
第5章 一阶动态电路分析 学习要点
一阶电路的三要素分析法
暂态和稳态以及时间常数的意义
一阶电路的经典分析法
零输入响应、零状态响应和全响应
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第5章 一阶动态电路分析
5.1 换路定理
5.2 一阶动态电路分析方法 5.3 零输入响应和零状态响应 5.4 微分电路和积分电路
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Us 12 iL (0 ) 1.2A R1 R3 4 6 uC (0 ) i1 (0 ) R3 iL (0 ) R3 1.2 6 7.2V
在开关S闭合后瞬间，根据换路定理有：
L + + u uL iL － R3 6Ω i1 C iC + uC
iL (0 ) iL (0 ) 1.2A u C ( 0 ) u C ( 0 ) 7 .2 V
R1
+
uC －
iC t=0 C R2
i2
i1 (0+)
+
US －
R1
i2 (0 )
uC (0 ) 10 2A R2 5
+
uC(0+) －
iC(0+) R2
i2 (0+)
iC (0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) 0 2 2A
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例：图示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，求初始值 uC(0+)、iC(0+)和u(0+)。 解：由于在直流稳态电路中，电感L相当于短路、电容C相当 于开路，因此t=0-时电感支路电流和电容两端电压分别为：
积分常数为：
－
－
A 12 8 4 所以，电容电压为：
uC 8 4e 0.5t V
通过3Ω电阻的电流为：
12 uC 12 8 4e 0.5t 4 4 i e 0.5t A 3 3 3 3
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5.2.2 三要素分析法
求解一阶电路任一支路电流或电压的三要素公式为：
iC US R
t
U Se
－
+ uC
－
uR US
0
t
0
t
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2．RL电路分析
图示电路，t=0时开关S闭合。根据KVL，得回路电压方程为：
diL 因为： u L L dt uR RiL
uR uL U S
+ US
S
iL R + uR
－ －
－ 从而得微分方程： US L diL iL R dt R t US US 解之得： iL (I 0 )e R R
uC (0 ) U S 10V
在开关S闭合后瞬间，根据换路定理有： uC (0 ) uC (0 ) 10V 由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等 效电路，如图所示。由图得：
i1 (0 ) U S uC (0 ) 10 10 0A R1 10
+
US －
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5.1.2 换路定律
换路：电路工作条件发生变化，如电源的接通 或切断，电路连接方法或参数值的突然变化等 称为换路。 换路定律：电容上的电压uC及电感中的电流iL 在换路前后瞬间的值是相等的，即：
u C (0 ) u C (0 ) iL (0 ) iL (0 )
必须注意：只有uC 、 iL受换路定率的约束而保持 不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。
Us
－
－
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5.2 一阶动态电路的分析方法
任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴微南定理或诺顿定理 将其等效为一个简单的RC电路或RL电路。
R3 R1 R2 + U C iC + uC
R0 + US C iC + uC
－
－
－
－
IS
R0
C
iC + uC
－
因此，对一阶电路的分析， 实际上可归结为对简单的RC 电路和RL电路的求解。一阶 动态电路的分析方法有经典 法和三要素法两种。
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5.2.1 经典分析法
1．RC电路分析
图示电路，t=0时开关S闭合。根据KVL，得回路电压方程为：
u R uC U S
du C 而: iC C dt du C u R RiC RC dt
从而得微分方程： duC RC uC U s dt
+ US
S
iC R + uR
－
C
－
+ uC
－
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解微分方程，得：
uC US (U 0 U S )e
(U 0 U S )e uC
t
t
US (U 0 U S )e
t RC
t RC
其中uC'=US为t→∞时uC的值，称为稳态分量。
(U 0 U S )e
只存在于暂态过程中， t→∞时uC''→0，称为暂态分量。 τ=RC称为时间常数，决定过渡过程的快慢。
－
iL
+ US 2
－
－
u2 () R2iL () 3 2 6V
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（3）求时间常数τ。将电感支路断开，恒压源短路，得：
时间常数为：
R R2 3
L 1 s R 3
（4）求iL和u2。利用三要素公式，得：
iL 2 1 2e 3t 2 e 3t A
5.1 换路定理
5.1.1 电路产生过渡过程的原因
含有动态元件电容C和电感L的电路称为动态电路。动态电路的 伏安关系是用微分或积分方程表示的。通常用微分形式。
一阶电路：用一阶微分方程来描述的电路。一阶电路中只含有 一个 动态元件。本章着重于无源和直流一阶电路。 瞬变过程：电路从一个稳定状态过渡到另一个稳定状态，电 压、电流等物理量经历一个随时间变化的过程。 产生瞬变过程的条件：电路结构或参数的突然改变。 产生瞬变过程的原因：能量不能跃变，电感及电容能量的存 储和释放需要时间，从而引起过渡过程。
f (t ) f () f [ f (0 ) f ()]e
t
式中，f(0+)为待求电流或电压的初始值，f(∞)为待求电流 或电压的稳态值，τ为电路的时间常数。 对于RC电路，时间常数为：
RC
L R
对于RL电路，时间常数为：
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例：图示电路， IS=10mA，R1=20kΩ，R2=5kΩ，C=100μF。 开关 S 闭合之前电路已处于稳态，在 t=0时开关 S闭合。试用 三要素法求开关闭合后的uC。 解：（1）求初始值。因为开关S闭合之前电路已处于稳态， 故在瞬间电容C可看作开路，因此：
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例：图(a)所示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，求开关闭 合后的电容电压uC和通过3Ω电阻的电流i。 解：用戴微南定理将图(a)所示开关 闭合后的电路等效为图(b)，图中：
6 US 12 8V 63
3Ω i S 1F 6Ω (a) iC + uC
+ 12V
－
－
63 R 2 63
U S1 9 iL (0 ) iL (0 ) 1A R1 R2 6 3
S R1 + U S1 R2 L + u2
u2 (0 ) R2iL (0 ) 3 1 3V
（2）求稳态值。当t=∞时，电 感L同样可看作短路，因此：
U S2 6 iL ( ) 2A R2 3
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1.电容器C上的电压不能突变 2.电感L中的电流i不能突变 3电阻R为非储能元件，其电流和电压都可以突变 4.换路前后电容C上的电压不能突变，绝不意味着 电容电流也不能突变，应为电场能量只与电容电 压有关。 5.换路前后电感L中的电流不能突变，绝不意味着 电感两端的电压也不能突变，因为磁场能只与电 感电流有关。
然后将电容和电感分别用电压源 u(0+) 和电流源i(0+)来表征，并根据换路后的电路， 画出换路后一瞬间(t=0+)时的等效电路。根据等效电路计 算出电路各部分电压和电流的初始值。
iL (0 ) iL (0 )
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பைடு நூலகம்
例：图示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，US=10V， R1=10Ω， R2=5Ω求初始值uC(0+) 、i1(0+) 、i2(0+)、iC(0+)。 解：由于在直流稳态电路中，电容C相当于开路，因此t=0-时 i1 电容两端电压分别为： S
Us
4Ω R1 + 12V R
2
－
2Ω
－
－
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由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等效电路，如图所示。 由图得：
uC (0 ) 7.2 i1 (0 ) 1.2A R3 6 iC (0 ) iL (0 ) i1 (0 ) 1.2 1.2 0A
u(0+)可用节点电压法由t=0+时的电路求出，为：