笛卡尔积的意义
集合论--第3讲笛卡尔积
离散数学笛卡尔积第3讲定义3.1有序对由两个元素x和y(允许x=y)按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对(也称序偶)，记作<x,y>，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。
有序对：1.当x≠y时，<x,y>≠<y,x>。
2.两个有序对相等，即<x,y>＝<u,v>⇔是x＝u且y＝v。
注意：有序对<x,y>与2元集{x,y}的区别。
定义3.2笛卡尔积设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对。
所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积，记作A×B。
符号化表示为：A×B＝{<x,y>|x∈A∧y∈B}。
若<x,y>∈A ×B ，则有x∈A ∧y∈B 。
若<x,y>∉A ×B ，则有x ∉A ∨y ∉B 。
如果A 中有m 个元素,B 中有n 个元素，则A ×B 和B ×A 中都有多少个元素?mn 个1若A,B中有一个空集,则：∅⨯B＝A×∅＝∅2当A≠B且A,B都不是空集时,有：A×B≠B×A即笛卡儿积运算不适合交换律。
3当A,B,C都不是空集时,有：(A×B)×C≠A×(B×C)即笛卡儿积运算不适合结合律。
笛卡儿积运算对∪,∩或-运算满足分配律，即4①A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)；②(B∪C)×A＝(B×A)∪(C×A)；③A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)；④(B∩C)×A＝(B×A)∩(C×A)；⑤A×(B-C)＝(A×B)-(A×C)；⑥(B-C)×A＝(B×A)-(C×A)。
n个集合笛卡尔积-概念解析以及定义
n个集合笛卡尔积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：集合是数学中重要的概念，它是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。
而笛卡尔积则是集合论中的一个重要概念，它是两个集合成对的元素组成的集合。
在本文中，我们将讨论n个集合的笛卡尔积，这是对笛卡尔积概念的推广和扩展。
本文将从集合的概念和笛卡尔积的定义开始，然后详细讨论n个集合的笛卡尔积，并探讨其应用和意义。
最后，我们将展望该概念可能的发展方向。
通过本文的阐述，读者将对n个集合的笛卡尔积有一个更加深入的理解，并且能够在实际问题中灵活运用。
1.2 文章结构文章结构部分:本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分中，将会对本文的主要内容进行概述，并介绍文章结构以及写作的目的。
在正文部分中，将深入讨论集合的概念，笛卡尔积的定义，以及n个集合的笛卡尔积。
最后，在结论部分中，将对本文的主要内容进行总结，探讨其应用和意义，并展望未来可能的研究方向。
通过这样的结构安排，读者能够清晰地了解本文的内容和逻辑发展。
1.3 目的目的部分的内容应该阐明本文的写作目的和意义，可以包括以下内容：1. 引起读者对n个集合笛卡尔积的兴趣，激发读者的求知欲和思考欲。
2. 解释为什么了解n个集合的笛卡尔积对于数学和计算机科学是重要的，以及在现实生活中的一些应用。
3. 引导读者对文章内容的主要讨论点和结论进行预期，帮助读者在阅读过程中更好地理解和吸收文章内容。
4. 可以突出本文的贡献和创新之处，强调写作本文的动机和意义。
2.正文2.1 集合的概念在数学中，集合是由一组互不相同的元素组成的。
这些元素可以是数字、字母、符号，甚至其他集合。
集合的概念是数学中非常基础的概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。
集合通常用大写字母表示，例如A、B、C等，而其中的元素用小写字母表示，例如a、b、c等。
集合可以用不同的方式描述，比如列举法、描述性定义、图示法等。
集合的特点包括互异性（集合中的元素各不相同）和无序性（集合中的元素没有顺序之分）。
笛卡尔积是什么方向进行运算
笛卡尔积是什么方向进行运算（原创实用版）目录1.笛卡尔积的定义和概念2.笛卡尔积运算的方向3.笛卡尔积运算的示例4.笛卡尔积在知识表示和推理中的应用正文笛卡尔积是什么方向进行运算笛卡尔积，又称为直积或笛卡儿积，是一种数学和计算机科学中常见的运算方法，用于处理两个或多个集合之间的关系。
笛卡尔积的定义较为简单，即将两个关系中的每个元素进行组合，形成一个新的关系，其中新关系的元素个数为原关系元素个数的乘积。
一、笛卡尔积的定义和概念笛卡尔积是一种二元运算，它的运算方向并无规定。
给定两个集合 A 和 B，它们的笛卡尔积是一个包含所有可能的有序对 (a, b) 的集合，其中 a 来自集合 A，b 来自集合 B。
例如，若集合 A={1, 2}，集合 B={a, b}，则它们的笛卡尔积为{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}。
二、笛卡尔积运算的方向笛卡尔积运算的方向是双向的，即对于两个集合 A 和 B，既可以进行 A 和 B 的笛卡尔积运算，也可以进行 B 和 A 的笛卡尔积运算，结果是相同的。
例如，若集合 A={1, 2}，集合 B={a, b}，则它们的笛卡尔积为{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}，而集合 B 和集合 A 的笛卡尔积为{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}，结果相同。
三、笛卡尔积运算的示例假设有两个关系 R 和 S，它们的属性列数分别是 r 和 s，则它们的笛卡尔积是一个 (rs) 个属性列的元组的集合。
每一个元组都由 R 中的一个元组和 S 中的一个元组组合而成。
例如，若关系 R={(1, 2, 3), (4, 5, 6)}，关系 S={(A, B, C), (D, E, F)}，则它们的笛卡尔积为：R × S = {(1, 2, 3, A, B, C), (1, 2, 3, D, E, F), (4, 5, 6, A, B, C), (4, 5, 6, D, E, F)}四、笛卡尔积在知识表示和推理中的应用笛卡尔积在知识表示和推理中具有重要作用。
笛卡尔积的几何解释 矩形-概述说明以及解释
笛卡尔积的几何解释矩形-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分将介绍笛卡尔积及其在几何解释中的重要性。
笛卡尔积是数学中一个重要的概念，它描述了集合之间所有可能的有序组合。
在几何解释中，笛卡尔积可以用来表示两个集合之间所有可能的点的组合，形成一个二维平面上的形状。
矩形是一个常见的几何形状，在笛卡尔积中也有着重要的应用。
本文将探讨笛卡尔积的几何解释和矩形与笛卡尔积的关系，以及其在实际应用中的重要性。
1.2 文章结构：本文将分为三个主要部分，分别是引言、正文和结论。
- 引言部分将首先概述本文的主题，即笛卡尔积的几何解释和矩形之间的关系。
接着介绍本文的结构和目的，帮助读者了解全文的内容和意图。
- 正文部分将分为三小节。
首先在2.1小节将介绍笛卡尔积的定义，引导读者对这一概念有基础的认识。
接着在2.2小节将探讨笛卡尔积的几何解释，通过具体的几何图形帮助读者更好地理解这一概念。
最后在2.3小节将讨论矩形与笛卡尔积之间的关系，深入探讨它们之间的联系和应用场景。
- 结论部分将总结本文对笛卡尔积的几何解释的讨论，总结其重要性和应用领域。
同时，对未来可能的研究方向和发展趋势进行展望，为读者提供一个全面的认识和思考角度。
1.3 目的本文旨在探讨笛卡尔积在数学中的重要性，并通过几何解释以及与矩形的关系，深入解释笛卡尔积的概念和应用。
通过对笛卡尔积的深入研究，读者将能够更好地理解这一概念在数学和实际问题中的应用，从而提高数学思维和解决问题的能力。
此外，我们将探讨笛卡尔积在不同领域的应用，展望未来可能的研究方向，旨在激发读者对数学和笛卡尔积的兴趣，促进学术研究和知识传播。
2.正文2.1 笛卡尔积的定义：在数学中，笛卡尔积是集合论中的一个重要概念。
给定两个集合A和B，它们的笛卡尔积记作A×B，定义为由所有可能的有序对(a, b)所构成的集合，其中a属于集合A，b属于集合B。
换句话说，如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则A ×B中有mn个有序对。
笛卡尔积和自然连接的区别
笛卡尔积和自然连接的区别
笛卡尔积和自然连接是空间数据库中最常见的连接方式，它们对Geo-Database系统有着重要的意义。
本文将从两个方面来探讨它们
的不同：结构和功能。
首先，从结构上来看，笛卡尔积连接和自然连接有着根本的区别。
笛卡尔积连接是一种空间对象连接方式，它把两个或多个空间对象的属性以线性的方式耦合起来。
另一方面，自然连接作为一种更精确的空间连接方式，利用空间属性的拓扑关系来确定空间对象的关联，其结果更加准确。
其次，笛卡尔积连接和自然连接的功能有所不同。
笛卡尔积连接是一种更简单的连接方式，可以轻松完成空间对象之间的连接。
然而，它也存在一些缺点，例如由于需要更多的空间数据，执行空间连接任务时时间较长。
而自然连接则不存在这些问题，可以更高效地实现空间连接。
最后，笛卡尔积连接和自然连接还有其他方面的不同。
自然连接不仅可以连接空间对象，还可以定位空间对象，从而更好地满足空间分析过程中的应用要求。
而笛卡尔积连接则只能连接空间对象，不能定位空间对象，无法满足空间分析过程中的应用要求。
综上所述，笛卡尔积连接和自然连接在结构上、功能上以及其他方面都存在一定的差异。
在空间数据库中，它们可以有效地利用空间数据进行空间数据的连接或定位，为空间分析过程中的应用提供便利。
- 1 -。
集合上笛卡尔积的一些性质
集合上笛卡尔积的一些性质
笛卡尔积作为数学中一种基础概念，在学前教育中有着重要的地位，他可以培养孩子们从小就接触数学思维，培养孩子们对普通现象数学化的能力。
笛卡尔积可以直观地定义为某两个集合的相乘，这种相乘表示法可以帮助做出多种判断，促进孩子的积极思维能力的提高。
在笛卡尔积的运算中，并不会改变原有的集合，也就是概念中的叠乘。
另外，笛卡尔积的交集和并集也是重要的概念可以用来开展数学思维的训练。
孩子们从小接触笛卡尔积，也让他们能比较容易地将学习到的知识运用到实际场景中，掌握一些数学思维技能。
另外，笛卡尔积也可以用来让孩子们学习到思考复杂场景的技巧，从而为他们将来学习科学问题打下坚实的基础。
综上所述，笛卡尔积在学前教育中有着重要的作用，他可以用来帮助孩子们培养数学思维能力，从而为将来深入学习科学问题打下坚实的基础。
因此，让孩子在学前就受到正确的数学知识训练是十分必要的，有利于他们进行未来学习。
【概念区分】笛卡尔积，自然连接，内连接，外连接（左，右，全）
【概念区分】笛卡尔积，⾃然连接，内连接，外连接（左，右，全）本⽂章尝试解决⼀下问题1.笛卡尔积存在的意义是什么？2.”cross join 笛卡尔积“和”full join 全连接“和"inner join内连接"的区别在哪⾥？3. 既然”连接条件“可以写在where字句⾥⾯，为什么还要⽤on关键字？4.⾃然连接和内连接有什么关系吗？1.笛卡尔积存在的意义是什么？虽然”笛卡尔积“在实际问题中很少会⽤到，但”笛卡尔积“不仅仅存在数学意义，也存在现实意义的，⽐如集合A是⼀个班的学⽣，集合B是所有的选修课，A与B的笛卡尔积，表⽰了学⽣选择课程的所有可能性mysql> select * from A;+--------------+| student_name |+--------------+| 张学友 || 刘德华 |+--------------+2 rows in set (0.00 sec)mysql> select * from B;+--------------+| subject_name |+--------------+| 语⽂ || 数学 || 法律 |+--------------+3 rows in set (0.00 sec)那么”学⽣选课“就拥有6种可能性，数学中的”排列组合“通过2*3=6得出来，MySQL⽤”corss join“来计算笛卡尔积mysql> select * from A cross join B order by student_name;+--------------+--------------+| student_name | subject_name |+--------------+--------------+| 刘德华 | 数学 || 刘德华 | 法律 || 刘德华 | 语⽂ || 张学友 | 法律 || 张学友 | 语⽂ || 张学友 | 数学 |+--------------+--------------+6 rows in set (0.00 sec)有同样效果的是select * from A , B2.”cross join 笛卡尔积“和”full join 全连接“和"inner join内连接"的区别在哪⾥？cross join 象征着返回所有的情况，默认不使⽤ where进⾏过滤的，因为筛选之后就失去了”所有可能性“这种意义了，⽽ inner join默认使⽤on进⾏”匹配“，如果不使⽤on返回的是 cross join的所有可能性，也就失去了意义了集合a(1,2,3),集合b(1,2,3)1.笛卡尔积——返回3 * 3 =9 条记录，默认不⽤where2.内连接——返回3条记录，默认使⽤on3. 既然”连接条件“可以写在where字句⾥⾯，为什么还要⽤on关键字？这是因为有两个原因a. 更加清晰的把表与表之间”做连接”的条件，与其他条件区分开来，这好⽐⼩⼯的⼈⼒资源和⾏政是⼀体的，但公司⼤了，两者就可以分开，分⼯更清晰b. 在 ”inner join 内连接“ 中，on和where虽然意义不同，但结果相同，但在 outer join 中，结果就不⼀样了,匹配条件放在where中是不会产⽣NULL值的4.⾃然连接和内连接有什么关系吗？“⾃然连接”和“内连接”的区别，在于对“重合的相同的部分”处理⽅式不同1."natrual join ⾃然连接"的处理⽅式：既然重复了，就丢掉⼀份，好⽐distinct2.“inner join 内连接”的处理⽅式：虽然重复，但两份都保留假设有A,B两个集合，其中有两个字段是重复的⾃然连接是“去重”，有点像distinctmysql> select * from A natural join B;+------+------+-----------+-----------+| b | c | a | d |+------+------+-----------+-----------+| 1111 | 2222 | 刘德华 | 投名状 || 3333 | 4444 | 梁朝伟 | 花样年 |+------+------+-----------+-----------+2 rows in set (0.00 sec)“内连接”的⽅式，是把所有重复的都保留（当然额外⽤where条件筛选是另外⼀回事了）mysql> select * from A inner join B on A.b=B.b;+-----------+------+------+------+------+-----------+| a | b | c | b | c | d |+-----------+------+------+------+------+-----------+| 刘德华 | 1111 | 2222 | 1111 | 2222 | 投名状 || 梁朝伟 | 3333 | 4444 | 3333 | 4444 | 花样年 |+-----------+------+------+------+------+-----------+2 rows in set (0.00 sec)最后附上⼀张关于连接的图。
笛卡尔乘积函数定义-概念解析以及定义
笛卡尔乘积函数定义-概述说明以及解释1.引言引言部分是文章的开端，通常包括对主题的简要介绍以及文章的结构和目的。
在这篇关于笛卡尔乘积函数定义的长文中，可以这样写1.1 概述部分的内容：概述：笛卡尔乘积函数是数学中一个重要而又复杂的概念，它在不同领域有着广泛的应用。
本文将对笛卡尔乘积函数的定义、应用和特性进行深入探讨，以期能够帮助读者更好地理解和运用这一概念。
在2.1 部分，我们将详细介绍笛卡尔乘积函数的概念和相关定义；在2.2 部分，我们将阐述笛卡尔乘积函数在实际应用中的具体场景；而在2.3 部分，我们将探讨笛卡尔乘积函数的一些特性。
通过本文的阐述，读者将能够更全面地了解笛卡尔乘积函数，并体会到它在数学和现实生活中的重要性。
1.2 文章结构:本文将分为引言、正文和结论三个部分进行论述，以便全面深入地探讨笛卡尔乘积函数的定义及其相关内容。
在引言部分中，将介绍本文的概述、文章结构以及研究目的，为读者明确本文的主要内容和目标。
在正文部分，将详细阐述笛卡尔乘积函数的概念、应用及特性，分析其在数学和实际应用中的重要性和价值。
最后，在结论部分，将对笛卡尔乘积函数的重要性进行总结，展望其未来发展方向，并得出结论，为读者提供全文的逻辑收尾。
整篇文章将按照以上思路展开，以便读者全面了解笛卡尔乘积函数的相关知识和意义。
1.3 目的目的部分的内容:本文的主要目的是介绍和探讨笛卡尔乘积函数的定义、应用和特性，并对其重要性进行总结。
通过对笛卡尔乘积函数的深入理解，可以帮助读者更好地应用这一概念解决实际问题，并展望其在未来发展中的潜力和可能性。
通过本文的阐述，读者能够更全面地了解和掌握笛卡尔乘积函数的相关知识，为其进一步研究和应用打下坚实的基础。
容2.正文2.1 笛卡尔乘积函数的概念笛卡尔乘积函数是数学中常见的一种函数形式，通常用来描述两个集合之间的关系。
在集合论中，笛卡尔乘积是指由两个集合中所有可能的有序对组成的集合。
换句话说，如果A和B是两个集合，那么它们的笛卡尔乘积就是所有形式为(a, b)的有序对的集合，其中a属于A，b属于B。
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数据库原理与应用
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候选码的属性个数
最简单的情况下，候选码只包含一个属性 最极端的情况下，关系模式的所有属性是这个
关系模式的候选码，称为全码
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码的例子
关系1：学生 学生(学号，姓名，性别，身份证号，班级) 关系2：课程 课程（课程名称，上课地点，上课时间） 关系3：选课 选课（学号，课程名称）
性，即关系中的列不分先后，没有顺序
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关系的性质
列同质 不同的列可以出自同一个域 列的顺序不影响关系 任意两个不同元组的候选码必须不同 行的顺序不影响关系 分量必须取原子值，即每个分量必须是不可再分
的数据项
பைடு நூலகம்
关系必须是规范化的！
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关系模式
数据库原理与应用
3
关系数据结构
域 笛卡尔积 元组、分量 关系 目、度 候选码、主码 主属性、非主属性、非码属性、全码
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关系
从用户角度来看，关系模型中数据的结构就是 一张扁平的规范化的二维表
整个关系模型由一组关系构成
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域
域是一组具有相同数据类型的值的集合
属性
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码 Key
码是用来对元组加以标识的属性或者属性集合 若关系中的某一属性(组)的值能唯一地标识一
个元组，则称该属性(组)为候选码 一个关系可能有多个候选码，我们可以选定一
个作为主码 候选码涉及到的属性成为主属性。不包含在任
何候选码中的属性称为非主属性，或非码属性
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实体完整性
若属性A是基本关系R的主属性，则A不能取空 值
在关系模式中，允许属性取值“空(NULL)”， 表示不知道、不确定或者不存在
数据库中的空值和编程语言的空值有相似也有 不同
空值和0、空字符串等是不同的
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参照完整性
现实中的实体往往存在某种联系 假如关系中的某个属性的取值，必须在另外一
注意
相同数据类型 值的集合
域和数据类型是不同的，数据类型的范围是指 该类型所能够表达的范围，受表达方式的限制 ；而域可以理解为数据类型范围的一个子集
域的定义与需求有关
域的限定是数据库设计时选择数据类型的依据
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笛卡尔积
给定一组域D1, D2, …, Dn，这些域中可以是相同 的域，D1, D2, …, Dn的笛卡尔积为
并不代表实际上有这么多可行的组合
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关系 Relation
D1×D2×…×Dn的子集叫做域D1,D2,…,Dn上的关系 表示为R（D1,D2,…,Dn） 这里R表示关系名 n是关系的目或者度（Degree） 关系中的每个元素都是关系中的元组，通常表示为t
单元（一元）关系、二元关系 由于域可能同名，关系中的每个列必须取名字，称为
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关系的类型
基本表（基本关系），实际存在的表，实际存 储数据的逻辑表示
查询表，是查询结果对应的表 视图表，基本表或者其他视图表到处的表，虚
表，不对应实际存储的数据
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关系对笛卡尔积的限定和扩充
关系数据模型中的关系必须是有限集合 关系的每个列附加有一个属性名，消除其有序
关系模式往往简化记为R(U)或R(A1, A2, …, An)
数据库原理与应用
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关系模式与关系
关系是关系模式在某一时刻的状态或内容
关系模式是静态的、稳定的 关系是动态的，变化的
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关系的完整性
实体完整性 参照完整性 用户定义的完整性
实体完整性和参照完整性是关系的两个不变性
个关系的主码中体现出来，这就是参照完整性
例子：前面的课程、学生、选课等三个关系， 就是这样的一个参照案例
选课关系中的学号和课程名称，必须来自学生 关系和课程关系
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参照完整性
(欧阳锋,蛤蟆功,欧阳克), (欧阳锋,蛤蟆功,郭靖), (欧阳锋,打狗棍法,欧阳克), (欧阳锋,打狗棍法,郭靖), (洪七公,蛤蟆功,欧阳克), (洪七公,蛤蟆功,郭靖), (洪七公,打狗棍法,欧阳克), (洪七公,打狗棍法,郭靖)
}
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笛卡尔积的意义
注意：笛卡尔积的全集在应用中是没有意义的 在实际应用中，只有部分元组符合实际的情况 这里列出全集只是表示全部可能的组合而已，
D1×D2×…×Dn={(d1, d2, …, dn)|di∈Di, i=1, 2, …, n}
也就是这n个域的所有可能取值的组合，其元素总 数为Π|Di|, i=1, 2, …, n
其中每个元素称为一个n元组(n-tuple)，或元组 (tuple)
元素中的每一个值di叫做一个分量(Component)
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笛卡尔积
笛卡尔积可表示为一个二维表 表中的每行对应一个元组 表中的每一列的值来自一个域
数据库原理与应用
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笛卡尔积实例
假定给出三个域：
D1=师傅集合={欧阳锋，洪七公} D2=武功集合={蛤蟆功，打狗棍法} D3=学生集合={欧阳克，郭靖}
则其笛卡尔积为D1×D2×D3={
关系模型是对关系的描述
必须指出这个元组集合的结构，由哪些属性构成， 属性来自哪些域，属性和域之间的映像关系
一个关系通常是由赋予它的元组语义来定义的
数据库原理与应用
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关系模式的表达
关系的描述成为关系模式
形式化表达为：R(U, D, DOM, F)
R：关系名 U：属性名集合 D：U中属性所来自的域 DOM：属性和域的映射集合 F：属性之间的函数依赖关系
数据库原理与应用
02 – 关系数据库 ①
郑捷
1、绪论
几个基本概念 数据库系统的产生和发展 数据库特点 数据模型 数据库系统 关系数据库 数据库标准 数据库新技术
数据库原理与应用
2
2. 关系数据库 I
关系数据结构及其形式化定义 关系的完整性 关系代数 关系演算