(整理)函数的连续性及其应用
函数的连续性(119)
利用连续性求解实际问题
总结词
在解决实际问题时，可以利用函数的连续性进行数学建模和求解。
详细描述
在物理学、工程学、经济学等许多领域中，连续函数被用来描述实际问题。通过分析这些函数的连续性，可以更 好地理解问题的本质，并找到合适的数学模型进行求解。
利用连续性研究函数的性质
总结词
连续性是研究函数性质的重要工具。
函数的连续性
目录
• 连续性的定义 • 连续性的分类 • 连续性的应用 • 连续性的证明
01 连续性的定义
函数在某点的连续性
函数在某点的连续性是指，当自变量在该点的值变化无穷小 时，函数值的变化也无穷小。即，如果函数在某点的左右极 限相等，则该函数在该点连续。
具体来说，如果lim(x->x0) f(x) = f(x0)，则函数f在点x0处连续。
性质法
利用函数的基本性质，如极限的四则运算法则和复合函数的连续性，推导出函数在某点 的连续性。
证明函数在区间上的连续性
定义法
根据函数在区间上的连续性的定义，对 任意一点$x_0$属于该区间，证明函数在 $x_0$处的极限值等于函数在该点的函数 值，从而证明函数在该区间上的连续性 。
VS
性质法
利用函数的基本性质，如闭区间上连续函 数的性质和一致连续性定理，推导出函数 在区间上的连续性。
02 连续性的分类
处处连续与只在有限点间断
处处连续
如果函数在定义域内的每一个点都连 续，则称为处处连续。
只在有限点间断
如果函数在定义域内仅在有限个点上 不连续，则称为只在有限点间断。
可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点
可去间断点
函数在该点的左右极限相等，但该点的函数值 可能与其他点的函数值不同。
(整理)第三章 函数的连续性
第三章 函数的连续性函数概念与极限相结合，运用极限概念对它加以描述和研究就得出函数连续性概念，连续函数是一类很重要的函数，这类函数在一般函数的研究中起着奠基的作用，它也是高等数学所研究的最主要的对象，它在实际应用中是最为常见的。
所以连续性是函数的重要性态之一，它不仅是函数研究的重要内容，也为计算极限开辟了新途径，并在此基础上解决更多的极限计算问题。
所谓连续，就是连绵不断没有任何间隙，反映在图形上是在相应的区间上一笔可以勾画出的曲线 基本内容：基本概念：函数的连续定义，函数的间断点概念；基本运算：求连续函数的极限，连续函数四则运算及复合运算，判别函数间断点的类别； 基本理论：闭区间上连续函数的性质；最大值最小值定理，介值定理； 具体应用：闭区间上连续函数的最值，方程根的存在性。
本章重点：函数连续性的概念，闭区间上连续函数的性质。
课标导航1．掌握函数连续的定义及间断点的概念，对于具体的函数能判明函数的连续区间，并找出间断点，会对间断点进行分类；2．利用函数的连续性，求函数的极限；3．能够用闭区间上连续函数的性质分析函数的性质。
一、知识梳理与链接 （一）基本概念1．函数在点处的连续性【定义】设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，如果在该邻域内有0lim 0=∆→∆y x ，则称函数)(x f y =在点0x 连续。
【定义】设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，如果在该邻域内有)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数)(x f y =在点0x 连续。
【定义】设函数)(x f y =在点0x 的左侧某邻域内有定义，如果在该邻域内有)()(lim 00x f x f x x =-→，则称函数)(x f y =在点0x 左连续。
设函数)(x f y =在点0x 的右侧某邻域内有定义，如果在该邻域内有)()(lim 00x f x f x x =+→，则称函数)(x f y =在点0x 右连续。
函数的连续性及极限的应用
函数的连续性1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，0lim x x →f (x )存在，且limx x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续.2．.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f (x )在点x =x 0处有定义； (2)0lim x x →f (x )存在；(3)0lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算:①若f(x)，g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续。
②若u(x)都在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。
4.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数.f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )，在b 点处左极限存在等于f (b ). 5.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有+→ax lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有-→bx lim f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数. 6. 最大值最小值定理如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值7.特别注意：函数f(x)在x=x 0处连续与函数f(x)在x=x 0处有极限的联系与区别。
函数连续性及其应用_魏天朝
河南省南乐一中 魏天朝
否为连续函数，若是，则函数在 x=x0 处的 函数值即为 x→x0 时的极限值。
2.利用函数的连续性求最值。 若函数 f(x)是［a，b］上的连续函数，那 么 f(x)必在［a，b］上有最大值和最小值，如 果 f(x)是单调函数,则最大值和最小值在 端点处取得。 3. 利用函数的连续性解方程根的存 在性。 如果函数 y=f(x)在闭区间[a，b] 上连 续，且 f(a)和 f(b)的符号相反，则至少有一 点 c∈(a，b)使得 f(c)=0
SHUXUEJIAOYU 数学教育 37
函数的连续性是新教材新增加的内 容之一，它的应用是高考考查的重点，主 要以选择或者填空题的形式出现，但也可 以和别的知识合成大题，本文重点阐述函 数的连续性及其应用。
一、函数连续性的定义 1 .函数在一点连续的定义。 如果函数 y=f(x)在点 x=x0 处及其附 近有定义，并且lx→i mx0f(x)=f(x0)，就说函数 f(x) 在点 x0 处连续。 2.函数 f(x)在(a，b)内连续的定义。 如果函数 f(x)在某一开区间(a，b)内 每一点处连续，就说函数 f(x)在开区间(a， b)内连续，或 f(x)是开区间(a，b)内的连续 函数。 3.函数 f(x)在［a，b］上连续的定义。
立数学模型，从而既能为解复杂一点的应 强化语言基本功，扫除语言障碍，提高阅
用题打下基础，又能带给学生成功解题的 读理解能力；其次是要拓宽知识面，能把
体验，增强学生学习应用题的信心。
问题中出现的新名词、新规则及各种实际
2.教学过程中及时渗透应用题的教学。 应用语言背景转化为熟悉的情境或模型。
要提高学生解应用题的能力，就一定
函数连续性及其应用
如果 f(x)在开区间(a，b)内连续，在左 端点 x=a 处有lx→i ma+f(x)=f(a)，在右端点 x=b 处有lx→i mb-f(x)=f(b)，就说函数 f(x)在闭区间 ［a，b］上连续，或 f(x)是闭区间［a，b］上的 连续函数。
函数的连续性(122)
一致连续性是指函数在定义域内的任何自变量变化都非常小，对应的函数值变化也非常小。也就是说，对 于任意给定的正数$epsilon$，存在一个正数$delta$，使得当$|x_1 - x_2| < delta$时，有$|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。
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紧致性定理
总结词
紧致性定理是函数连续性的一种重要推 论，它表明如果一个函数在一个闭区间 上连续，则该函数在该区间上必有最大 值和最小值。
断。
03 函数连续性的应用
利用连续性求极限
极限定义
极限是描述函数在某点附近的行为的数学工具。如果函数在某点 的极限存在，则函数在该点连续。
单侧极限
单侧极限是研究函数在某点左侧或右侧的行为，通过单侧极限可以 判断函数在该点是否连续。
极限的四则运算
通过函数的连续性，可以推导出极限的四则运算性质，例如加减、 乘除等运算的极限。
有限覆盖定理是指如果一个闭区间被有限个 开子区间覆盖，则这些开子区间中至少有一 个是包含在另一个开子区间中的。这个定理 在实数理论中非常重要，它表明实数轴上的 任何开覆盖都可以被有限个开子区间所覆盖。
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函数在区间上的连续性
总结词
函数在区间上的连续性是指函数在区间内的任意一点都连续 。
详细描述
如果一个函数在其定义域的每一个子区间内都连续，则称该函 数在其定义域上连续。这意味着对于定义域内的任意两点$x_0$ 和$x_1$，当$x_0<x<x_1$时，函数$f(x)$都满足连续性的定义。
连续函数的基本性质
02 函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
函数连续性定理及其物理应用
函数连续性定理及其物理应用连续性在物理学中有着重要的地位，物理学中的许多概念和物理定律都是基于函数连续性而建立的。
在本文中，我们将深入探讨函数连续性定理及其在物理学中的应用。
一、函数连续性定理函数连续性是一个重要的数学概念，它描述了函数在某一点附近的变化情况。
在数学中，函数连续性定理是指当一个函数在某一点处连续时，可以近似于在该点的函数值，如果这个函数在该点不连续，那么它与函数值有一定的距离。
简言之，函数在一点连续，意味着这个函数值在这一点的极限存在，而且该极限等于这个点的函数值。
二、函数连续性在物理中的应用1、物理学中的运动学问题涉及到函数的连续性。
例如，一个物体需要在某个时刻突然停止，因此它的速度和加速度必须在这个时刻连续。
物体运动中的任何不连续性都可能导致物理定律的不合理性。
2、热力学领域中的物理过程也涉及到函数的连续性。
例如，在一个热量交换系统中，物理定律要求热量是连续的，因为它是一个能量的传递。
3、量子力学中的波函数也需要保持连续性，否则会导致不一致性和误差。
在任何粒子的波函数，必须保持总概率为1，所以波函数要保持连续。
4、在电磁感应中，按照法拉第电磁感应定律，变化磁通与导体电动势成正比，磁通的变化率与电动势成正比。
变化磁通和电动势的连续性对电磁感应过程起着重要的作用。
三、结论函数连续性定理是数学中的一个基本概念，在物理中有着重要的应用。
例如，物理学中的许多概念和物理定律都是基于函数的连续性而定义的。
对于我们的日常生活和技术发展，函数的连续性也至关重要。
在进行实验和应用程序的设计时，必须考虑到函数连续性的要求，否则它会导致实验数据的不可靠和技术应用的失败。
因此，在数学和物理学中，函数连续性的重要性是不言而喻的，必须持续重视和深入研究。
函数一致连续性及其应用
1 函数一致连续性[1]设()x f 在定义在区间I 上的函数，若对任给0>ε，存在()0>=εδδ，使得对任意的1x 、I x ∈2，只要δ<-21x x ，就有()()ε<-21x f x f ，则称函数()x f 在区间I 上一致连续.1.1 函数一致连续的相关定理与证明定理1.1[2] 若()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续的充要条件是()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2，只要 021δ<-x x ，就有()()221ε<-x f x f ,故可得出()()221,02121εδ≤-<-∈x f x f SUP x x Ix x .因为当00δδ<<时，有()()()()εεδδ<≤-≤-<-<-∈∈221,21,021212121x f x f SUP x f x f SUP x x x x Ix x Ix x .故可得()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.②充分性由于()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ,所以0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2只要021δ<-x x ，就有()()εδ<-<-∈21,02121x f x f SUP x x Ix x .故取00δδ≤<，当1x ，I x ∈2，021δ<-x x 时，可以得到()()()()()()εδδ<-≤-≤-<-<-∈∈21,21,21021212121x f x f SUP x f x f SUP x f x f x x x x Ix x Ix x ,所以()x f 在区间I 上一致连续.定理1.2[2] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是在I 上任意两个数列n x '，n x ''，只要使0lim =''-'∞→n nn x x ，就有()()0lim =''-'∞→n n n x f x f 证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f .对于任意数列n x '，n x ''，因为0lim =''-'∞→n n n x x ，故对上述N n N N >∀>∈∃+,0,δ有δ<''-'n nx x . 故可得()()ε<''-'x f x f ，即()()0lim =''-'∞→n n n x f x f .②充分性（反证法）假设()x f 在区间I 上不一致连续，则存在某00>ε，对任意0>δ，都存在相应的两点I x x ∈''',，尽管δ<''-'x x ，但有()()0ε≥''-'x f x f .令n1=δ（n 为正整数），相应的两点记为I x x n n∈''',，尽管n x x 1<''-'，但有()()0ε≥''-'n nx f x f . 当n 取遍所有正整数时，得数列{}nx '与{}n x ''，且有0lim =''-'∞→n n n x x 但是 ()()0lim ≠''-'∞→n n n x f x f ,这与条件矛盾，所以假设不成立.因此可得()x f 在区间I 上一致连续.定理1.3[3] 设函数()x f 在区间I 上可导，其导函数()x f '在区间I 上有界，则()x f 在I 上一致连续.证明 因为()x f '在区间I 上有界，则I x M ∈∀>∃,0有()M x f ≤'.对0>∀ε,=∃δδε<''-'∈'''∀x x I x x M ，,,,就有()()()εεξ=⋅<''-''=''-'MM x x f x f x f ,所以()x f 在I 上一致连续.定理 1.4[3] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是对任意给出的0>ε，,0,,>∃∈'''∀M I x x 使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有有()()ε<''-'x f x f .证明 ①必要性（反证法）函数()x f 在区间I 上一致连续,所以0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f 即()()ε≥''-'x f x f 必有δ≥''-'x x .取δε2=M ，当()()M x x x f x f >''-'''-'时有()()ε≥''-'x f x f . 令()()x f x f ''-'=α，则存在1>K 使得()εαεK K <<-1. 令1-=K αβ，则αβε≤≤.不妨设()()()x x x f x f ''<'''<',因为()()()()x f x f x f x f ''=+''≤+'<'αβ，且由连续函数的介值性知(]x x x '''∈∃,1使得()()β+'=x f x f 1同理：(]x x x ''∈∃,12使得()()β+=12x f x f .如此可得k k x x x x <<<<-110 ，规定x x x x k ''='=,0且对每一个i ，()()εβ≥=--1i i x f x f .因为由一致连续的定义知δ≥--1i i x x ,所以()()M K K x x x f x f =≤=≤''-'''-'δεδβδβ2与条件矛盾，假设不成立.即,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有 ()()ε<''-'x f x f .②充分性,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有 ()()ε<''-'x f x f .取Mεδ=，若设()()ε≥''-'x f x f 必有()()M x x x f x f ≤''-'''-'即()()Mx f x f x x 1≥''-'''-' .故()()()()δε=≥''-'''-'''-'=''-'Mx f x f x f x f x x x x 1.故有只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f 即()x f 在I 上一致连续.1.2有限区间上的函数一致连续性定理1.5[1] 函数()x f 在[]b a ,上连续，则函数()x f 在[]b a ,上一致连续.证明（应用有限覆盖定理）由f 在[]b a ,上的连续性，任给0>ε，对[]b a x ,∈∀， 都存在0>x δ，使得当()x x U x δ;∈'时有()()2ε<-'x f x f .考虑开区间集合[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x x U H x ,2,δ，显然H 是[]b a ,的一个开覆盖。
函数的极限与连续性的证明与应用
函数的极限与连续性的证明与应用函数的极限和连续性是微积分中的基本概念，对于理解和应用微积分具有重要意义。
本文将深入探讨函数的极限和连续性的证明及其在实际应用中的作用。
一、函数的极限证明1.1 函数极限的定义在进行函数的极限证明之前，我们首先需要了解函数极限的定义。
设函数f(x)在点a的某个去心邻域内有定义。
如果对任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，恒有|f(x) - L| < ε成立，其中L是常数，则称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim┬(x→a)〖f(x) = L〗。
1.2 函数极限的证明方法函数极限的证明有多种方法，下面介绍两种常见的方法。
（1）ε-δ证明法这是一种常用的函数极限证明方法。
根据定义中的ε和δ，我们可以通过构造合适的δ值，来证明函数的极限。
（2）夹逼定理当无法直接使用ε-δ证明法时，可以尝试使用夹逼定理进行函数的极限证明。
夹逼定理的核心思想是通过比较两个函数的大小关系来确定函数的极限。
二、函数的连续性证明2.1 函数连续性的定义函数连续性是指函数在区间上不存在跳跃、断裂或间断的情况。
具体来说，如果函数f(x)在某个点a的左极限等于右极限，且等于函数在点a处的函数值，即lim┬(x→a)〖f(x) = f(a)〗，则称函数f(x)在点a 处连续。
2.2 函数连续性的证明方法函数连续性的证明可以借助于函数极限的证明方法，以下是一些常见的函数连续性证明方法。
（1）利用函数的有界性如果一个函数在[a, b]区间上有界且存在两个点c、d属于[a, b]，满足f(c) ≤ f(x) ≤ f(d)，则可以证明函数在[a, b]上连续。
（2）用函数极限的性质证明函数的连续性如果函数f(x)在点a处的函数极限存在，那么可以将函数f(x)的连续性证明归结为证明lim┬(x→a)〖f(x) = f(a)〗。
三、函数极限与连续性的应用3.1 在导数计算中的应用函数的极限和连续性是导数计算的基础。
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函数的连续性及其应用函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系.●难点磁场(★★★★)已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32x x x x x x(1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性；(2)求f (x )的连续区间.●案例探究［例1］已知函数f (x )=242+-x x , (1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象；(2)求f (x )的不连续点x 0;(3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数.命题意图：函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映.因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法.知识依托：本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象.错解分析：第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式.技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答.解：(1)当x +2≠0时，有x ≠－2因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞)当x ≠－2时，f (x )=242+-x x =x －2, 其图象如上图(2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2.(3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2,所以)2(lim )(lim 22-=-→-→x x f x x =－4.因此，将f (x )的表达式改写为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-2)( 4)2( 242x x x x则函数f (x )在R 上是连续函数.［例2］求证：方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个正根，且它不大于a +b .命题意图：要判定方程f (x )=0是否有实根.即判定对应的连续函数y =f (x )的图象是否与x 轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可.本题主要考查这种解题方法.知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正.错解分析：因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用.证明：设f (x )=a sin x +b －x ,则f (0)=b ＞0,f (a +b )=a ·sin(a +b )+b －(a +b )=a ［sin(a +b )－1］≤0,又f (x )在(0,a +b ］内是连续函数，所以存在一个x 0∈(0,a +b ］，使f (x 0)=0,即x 0是方程f (x )=0的根，也就是方程x =a ·sin x +b 的根.因此，方程x =a sin x +b 至少存在一个正根，且它不大于a +b .●锦囊妙计1.深刻理解函数f (x )在x 0处连续的概念：等式lim 0x x →f (x )=f (x 0)的涵义是：(1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在；(2)lim 0x x →f (x )存在，这里隐含着f (x )在点x =x 0附近有定义；(3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0x x →f (x )=f (x 0). 函数f (x )在x 0处连续，反映在图象上是f (x )的图象在点x =x 0处是不间断的.2.函数f (x )在点x 0不连续，就是f (x )的图象在点x =x 0处是间断的.其情形：(1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0x x →f (x )≠f (x 0);(2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在.(3) lim 0x x →f (x )不存在.3.由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就可以了，即lim 0x x →f (x )=f (x 0). ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)若f (x )=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f (0)等于( ) A.23B.32C.1D.0 2.(★★★★)设f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<21 11 2110 x x x x 则f (x )的连续区间为( ) A.(0，2)B.(0，1)C.(0，1)∪(1，2)D.(1，2) 二、填空题3.(★★★★)xx x x arctan 4)2ln(lim 21--→ =_________. 4.(★★★★)若f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--0 0 11x bx a x x x 处处连续，则a 的值为_________. 三、解答题5.(★★★★★)已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0( 121211x x x x (1)f (x )在x =0处是否连续？说明理由；(2)讨论f (x )在闭区间［－1,0］和［0,1］上的连续性.6.(★★★★)已知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--)0()0(11x bx a x x x (1)求f (－x );(2)求常数a 的值，使f (x )在区间(－∞,+∞)内处处连续.7.(★★★★)求证任何一个实系数一元三次方程a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=0(a 0,a 1,a 2,a 3∈R ,a 0≠0)至少有一个实数根.8.(★★★★)求函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤)1( )21(log )1( 2x x x x 的不连续点和连续区间. 参考答案难点磁场解：(1)lim 1--→x f (x )=3, lim 1+-→x f (x )=－1,所以lim 1-→x f (x )不存在，所以f (x )在x =－1处不连续， 但lim 1-→x f (x )=f (－1)=－1, lim 1--→x f (x )≠f (－1),所以f (x )在x =－1处右连续，左不连续 lim 1-→x f (x )=3=f (1), lim 1+→x f (x )不存在，所以lim 1→x f (x )不存在，所以f (x )在x =1不连续，但左连续，右不连续. 又lim 0→x f (x )=f (0)=0,所以f (x )在x =0处连续.(2)f (x )中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数都是初等函数，因此f (x )除不连续点x =±1外，再也无不连续点，所以f (x )的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5].歼灭难点训练一、1.解析：]11][11)1()[11(]11)1()[11)(11()(3332332-+++++++++++-+++=x x x x x x x x x f2311111)0(1111)1(323=+++=++++++=f x x x答案：A2.解析：11lim )(lim 11==++→→x x x f21)1(1)(lim ,1lim )(lim 111=≠===→→→--f x f x x f x x x即f (x )在x =1点不连续，显知f (x )在(0,1)和(1,2)连续.答案：C二、3.解析：利用函数的连续性，即)()(lim 00x f x f x x =→, π=--=--∴→11arctan 4)12sin(11arctan 4)2sin(lim 221x x x 答案：π121,0)(lim )(lim 21111lim 11lim )(lim :.400000=∴=+==-+=--=++---→→→→→a bx a x f x x xx f x x x x x 解析 答案：21三、5.解：f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0(12111x x x(1) lim 10-→x f (x )=－1, lim 0+→x f (x )=1,所以lim 0→x f (x )不存在，故f (x )在x =0处不连续. (2)f (x )在(－∞,+∞)上除x =0外，再无间断点，由(1)知f (x )在x =0处右连续，所以f (x )在［－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数.6.解：(1)f (－x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-+)0( )0( 11x bx a x x x (2)要使f (x )在(－∞,+∞)内处处连续，只要f (x )在x =0连续，lim 0-→x f (x )= lim0-→x x x --11=21111lim )11(lim 00=-+=-+--→→x x x x x xlim 0+→x f (x )=lim 0+→x (a +bx )=a ,因为要f (x )在x =0处连续，只要lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x ) = lim 0+→x f (x )=f (0),所以a =217.证明：设f (x )=a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3,函数f (x )在(－∞,+∞)连续，且x →+∞时，f (x )→+∞;x →－∞时，f (x )→－∞,所以必存在a ∈(－∞,+∞),b ∈(－∞,+∞),使f (a )·f (b )＜0,所以f (x )的图象至少在(a ,b )上穿过x轴一次，即f (x )=0至少有一实根.8.解：不连续点是x =1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞)选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(按ctrl 点击打开)选校网（）是为高三同学和家长提供高考选校信息的一个网站。
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