量子力学 6 自旋与多粒子

本征值方程:
ˆ (S ) S (S ) m (S ) S z ms z z ms z s ms z m (Sz ) 其中:
s
为本征值为 Sz 的本征态. ms 为 Sz 的本征值 , 且有当:
1 1 Sz 时 ms 2 2
1 1 S z 时 ms 2 2
这样的关系被称为：两个算符具有反对易关系。
4) 自旋角动量算符的表示:
① Sz 在自身表象中的表示:
1 ˆ 2 S z 0 0 1 ˆ z 1 2 2 1 0 ˆz 0 1
ˆx ˆx
② x 在 Sz 表表象中的表示: 设:
a ˆx d
* a b d 因其为厄米 * 算所以应有: c d c a b 这就要求 a , c 为实数和 b* = d . 即有: ˆx * b c
b c
其中: |a|2 = |(/2)|2 表示自旋 Sz = /2 的几率. |b|2 = |(-/2)|2 表示自旋 Sz = -/2 的几率. 归一化条件为 :
a b
a


*
a 2 2 b a b 1 b
*

4) Sz的本征态:
① 交换算符:
使用 p12 来表示对粒子 1 和 2 之间的交换操作.
它是指所有的 1 和 2 的有关量之间的交换.
如氦原子中的两个电子组成的体系, 其哈密顿量为:
2 2 2 2 2 ˆ ˆ p p 2 e 2 e e ˆ 1 2 H 2m 2m 40r1 40r2 40 r1 r2
ˆ y , ˆ z ] 2i ˆx [
ˆ ,S ˆ ,S ˆ 本征值为 ±/2 可知: 且由 S x y z 的本征值为±1. 且有: 2 2 2 1
x y z
ˆ x , ˆ y , ˆz
ˆ x , ˆ y , ˆ z 间满足如下的 ③ 反对易关系: 可以证明, 反对易关系: ˆ x , ˆ y ] ˆ x ˆ y ˆ y ˆx 0 [ ˆ y , ˆ z ] 0 [
显然有: 当两个电子交换表现为 , H 中的 p1 和 p2 的交换, 以及 r1 和 r2 的交换. 显然，在这种交换下 H 保持不变.
用 p12 来表示这种交换操作. 以 来表示两个电子 的波函数, 则有: ˆ
p12 (1,2) (2,1)
这里 p12被称为交换算符. ② 交换算符与哈密顿算符对易: 哈密顿算符的本征值方程为: 两边用交换算符作用后可得:
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S Sxi S y j Sz k
ˆ ,S ˆ ,S ˆ 的所有可能的测得值只有 +/2 和 -/2. S x y z
因此 , 这就是它们所有可能的本征值
②
S2的本征值:
2 S 2 S 2 3 2 S 2 Sx 3 y z s(s 1) 4 4 S 2 s(s 1) 2 1 可解出: s s 被称为自旋量子数. 2 3)泡利矩阵的引入: ① 引入: 定义
a* b*
由:
1 ˆ z ˆ x ˆ x ˆz 0
所以有:
2 1 ˆx
0 a * b 1
b a * b c
b 1 0 c
0 0 1
A) 2a = 0 即 a = 0
B) -2c = 0 即 c = 0
0 ˆx * b
b 0
又由:
b2 2 ˆx 0
0 1 2 b
b 1
所以有:
2
可取
b 1
0 1 ˆx 1 0
③ y 在 Sz 表表象中的表示: 由:
1 ˆ y [ ˆ z , ˆx] 2i
④ Sx , Sy 在 Sz 表表象中的表示:
0 i ˆy i 0
0 1 1 1 ˆ ˆ x S x 1 0 2 2
1 ˆ 1 0 ˆ S y y 2 2 i
i 0
三、考虑电子自旋后对波函数的影响:
问题:
量子力学是否存在经典力学中没有对应量的 力学量? 对由多个粒子组成的系统,量子力学中还有其 它新的基本假设吗?
§1、电子的自旋
一、实验与假设:
1) 斯特恩―盖拉赫实验:
1921年，施忒恩（O.Stern）和盖拉赫（W.Gerlach）发 现一些处于S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为 两束。
589.6nm
② 反常蔡曼效应等实验, 也可以说明电子本身具有磁矩.
4)乌伦贝克―高斯密脱假设:
① 每个电子具有自旋角动量 S ,它在空间任何方向的 投影只取两个值 Sz = ±/2.
② 每个电子具有自旋磁矩 Ms , 且有:
e Ms S m
③ 自旋磁矩在空间任意方向的投影也只取两个值:
ˆ (1,2) E (1,2) H
ˆ (1,2) p ˆ12H ˆ12E (1,2) p
右边:
又有:
ˆ12E (1,2) Ep ˆ12 (1,2) E (2,1) p ˆ (1,2) E (2,1) ˆ H p
ˆ (2,1) E (2,1) H
1) 自旋的存在使电子增加了一个新的自由度.
电子的 (r,t) 确定
电子在各处出现的几率确定
但电子的状态却还没最后确定 虽然电子在各处出现的 几率相同但它们的自旋 还可能不同. 自旋的存在使电子增加了 一个新的自由度.
2) 考虑自旋后电子的波函数:
由于电子的自旋在任何方向的投影Sz只取两个可能的值 , 所以使用二分量的波函数是方便的.即:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S (S y Sz Sz S y )i (Sz Sx Sx Sz ) j (Sx S y S y Sx )k
2) 自旋角动量算符的本征值与自旋量子数:
① 由于电子的自旋角动量它在空间任何方向的投影只取两 个值 Sz=±/2 .这就是说:
e Ms MB z 2m
MB被称为玻尔磁子.
二、电子自旋角动量算符:
1) 电子自旋角动量:
定义算符 S 满足:
ˆ ˆ ˆ S S iS
ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S x y z ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S y z x ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S z x y
① 对宏观物体, 总可以找到它们的差异, 因此不可 能“全同”. ② 经典物理的观念与全同性是互不相容的: 在经典物理的框架内, 既使考虑全同性, 也不能 有新的结论. ③ 波函数的几率解释(量子力学的统计决定论)与 全同性原理的一致性.
④ 量子化现象与全同性原理.
二、交换算符及其性质:
1) 交换算符与任意力学量算符的对易性:
ˆ z , ˆ x ] 0 [
ˆ x ˆ y ˆ y ˆ x 1 ( ˆ y ˆ z ˆ z ˆ y ) ˆy 1 ˆ y ( ˆ y ˆ z ˆ z ˆ y) 2i 2i 1 ˆ ˆ ˆ 2 2 ˆ z ˆy ˆy ˆ z ˆ y ˆ z ˆ y) 0 ( y z y 2i ˆ x , ˆ y ] ˆ x ˆ y ˆ y ˆx 0 [
2 Sx
2 Sy
2 Sz
1 2 4
ˆ 1 ˆ S 2
② 本征值:
ˆ 1 ˆ 1 , S ˆ 1 ˆ 则 S , S x 2 x y 2 y z 2 z
ˆ ˆ ˆ 2i
ˆ x , ˆ y ] 2i ˆz [ ˆ z , ˆ x ] 2i ˆy [
S
原子炉 准直屏
N
磁 铁
2) 对实验结果的分析:
实验内容: 以处于 s 态的氢原子通过非均匀磁场为例来进行 分析.
① 非均匀磁场: 若外磁场沿 z 方向, 磁矩在外磁场中的势 能为 U M B MBz cos U Bz Fz M cos 射线的偏转表明：s 态的氢 z z
§2、全同性原理 玻色子与费米子
一、全同粒子与全同性原理:
1) 全同粒子:
量子力学中把固有属性完全相同的粒子称为全同粒子. 固有属性: 是指质量, 电荷, 自旋等粒子本身所固有的性质.
2) 全同性原理:
量子力学基本假设Ⅲ: 系统内任意两个全同粒子互相交换, 不会改变系统的状态.
3) 全同性是微观粒子的特有属性:
非均匀磁场
原子具有磁矩
② s 态的氢原子:
对 s 态的氢原子 l = 0 原子没有轨道角动量，因而也就没有 轨道磁矩。所以, 实验中表现出来的磁矩只能来源于电子本身。
③ 实验中只分裂成两条谱线:
说明电子的磁矩沿外磁场方向的分量只能有两个取值。
3) 其它的有关实验现象:
① 碱金属原子光谱的双线结构：如钠 589.3 nm 589.0nm
1 2
(S z ) 0
1 2
(S z ) 1
任何一个自旋波函数 都可用它们展开为:
a b
2
1 0 b a 1 (S z ) b 1 (S z ) a 0 1 2 2
这就是自旋态的表示方法.
归一化条件:
z
2
3) 可以进行变量分离的情况:
若 H 中不含自旋变量 , 或 H 可以表示为与自旋有关的 部分和与动量 , 坐标有关的部分之和 . 这时可进行分离变量 . 写为:
(r , S z ) (r ) (S z )
为:
这里 (Sz) 为描写电子自旋状态的波函数. 它的一般形式