量子力学第五章全同粒子

常州大学量子力学名词解释

1.黑体：一个物体能全部吸收投射在他上面的辐射而无反射，就称为黑体。 2.普朗克假设（黑体辐射提出的假设）：黑体以hv为能量单位不连续的发射和吸收频率为v的辐射，而不是像经典理论所要求的那样可以连续地发射和吸收辐射能量。 3.三个实验说明了什么问题：黑体辐射，平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和能量只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状与组成的物质无关。光电效应，证明了光的波动性。康普顿效应，证明了光的粒子性。 4.玻尔假设：定态假设，频率假设，量子化条件。 5.态叠加原理：设是体系的可能状态，那么这些态的线性叠加，也是体系的一个可能状态。 6.波函数的三个条件：有限性，连续新，导致可测量的单值性。 7.算符：是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。 8.对易：有组成完全系的共同本征态。 9.表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式。 10.弹性碰撞：一个粒子与另一个粒子碰撞过程中，有动能的交换，粒子内部状态并无改变。非弹性碰撞：碰撞中粒子内部状态有所改变（原子被激发或电离）。 11.泡利不相容原理：全同费米子体系中不可能有两个或两个以上的粒子同时处于完全相同的状态。 12.玻色子：由光子（自旋为1）、处于基态的氦原子（自旋为0）、a 粒子（自旋为0）以及其他自旋为0或为h的整数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数是对称的，这类粒子服从玻色-爱因斯坦统计，被称为玻色子。费米子：由电子、质子、中子这些自旋为h/2的粒子以及其他自旋为h/2的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数 是反对称的，这类粒子服从费米-狄拉克统计，被称为费米子。 13.塞曼效应：氢原子和类氢原子在外磁场中，其光谱线发生分裂的现象。 14.全同粒子：称质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子称为全同粒子。全同性原理：全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物质状态的改变。 15.厄米算符的性质：本征值为实数；量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符；对于两任意函数和，如果算符满足，则称为厄米算符；如果为厄米算符。 16.薛定谔方程满足的条件：含时；线性的；不含有状态参量。

全同粒子体系

第六章全同粒子体系 6.1 全同粒子体系 之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。 1、全同粒子 我们称质量m，电荷q，磁矩M，自旋S等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。 全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。 2、量子力学基本假设 全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。（不可区分性与交换不变性） 量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。 3、全同粒子体系?H算符的交换不变性 粒子不可区分，单体算符形式一样。在量子力学情况下，微观粒子不存在严

格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2, i N =），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q 来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋） ，第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12 ,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋） ，但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也 还是在(1,2, )i q i N =各有一个粒子。假设有一由N 个全同粒子组成的体系，以 i q 表示第i 个粒子的坐标和自旋的(),i i i q r S =，(),i U q t 表示第i 个粒子在外场中的能量，(),i j W q q 表示第i 个粒子与第j 个粒子之间的相互作用能量，则体系的Hamilton 量算符可写为： () ()()12 2211 ??,,,1,,22i j N N N i i i j i i j H H q q q q q t U q t W q q μ=≠==??=-?++????∑∑ (6.1.1) 显然交换两个粒子，全同体系的?H 不变，即交换对称性。这里我们引入：交换算符?ij P ：它表示交换第i 个粒子与第j 个粒子的运算 ()()1 2 12 ?,,,,i j N i j N q q q q q H q q q q q ≡ (6.1.2) 全同性原理中，全同粒子的不可区分性使得体系?H 具有交换不变性，同样全同性原理要求体系具有交换不变性，即交换任意两粒子，体系物理状态不变。 而量子力学中状态用波函数来描述，所以全同性原理对多粒子体系的波函数提出了新的限制，除了满足其它条件外（单位、连续、有限），还必须具有交换对称性。 4、全同粒子体系波函数的交换对称性 考虑由N 个全同粒子组成的多体系，其状态用波函数 ()12 ,,i j N q q q q q ψ

高等量子力学复习题

上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。

第七章-自和全同粒子

第七章自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋 一电子自旋的概念 在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。 描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、自旋角动量(内禀角动量)S

它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值 s z =± 12 η； (7. 1) 2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs 它与自旋角动量S 间的关系是： μs e =- e m S , (7. 2) μμs e B z e m =± =±η 2, (7. 3) 式中(- e )：电子的电荷，m e ：电

子的质量，μB ：玻尔磁子。 3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁矩/自旋角动量） μs e s e z z s e m g e m =- =2, (7. 4) g s = – 2是相应于电子自旋的g 因数, 是对于轨道运动的g 因数的两倍。 强调两点： ● 相对论量子力学中，按照电子的 相对论性波动方程??狄拉克方程，运动的粒子必有量子数为

1/2的自旋，电子自旋本质上是 一种相对论效应。 ●自旋的存在标志着电子有了一个 新的自由度。实际上，除了静质 量和电荷外，自旋和内禀磁矩已 经成为标志各种粒子的重要的 物理量。特别是，自旋是半奇数 还是整数(包括零)，决定了粒子 是遵从费米统计还是玻色统计。二电子自旋态的描述

ψ( r, s z )：包含连续变量r和自旋投影这 两个变量，s z只能取 ±η/2这两个离散值。 电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵） ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2, (7. 5) 讨论： ●若已知电子处于s z=η/)2，波函数写为 ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2 ●若已知电子处于s z=η/)2，波函数写为 ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2

高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)

2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2

第七章-自旋和全同粒子

第七章 自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋 一 电子自旋的概念 在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。 描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、 自旋角动量(内禀角动量)S 它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值 21±=z s ；

(7. 1) 2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs 它与自旋角动量S 间的关系是： S e s m e -=μ, (7. 2) B e s 2μμ±=±=m e z , (7. 3) 式中(- e )：电子的电荷，m e ：电 子的质量，B μ：玻尔磁子。 3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁 矩/自旋角动量） e s e s 2m e g m e s z z =-=μ, (7. 4)

g s = –2是相应于电子自旋的g因数,是对于轨道运动的g因数的两倍。 强调两点： ●相对论量子力学中，按照电子的 相对论性波动方程 狄拉克 方程，运动的粒子必有量子数为 1/2的自旋，电子自旋本质上是 一种相对论效应。 ●自旋的存在标志着电子有了一个 新的自由度。实际上，除了静质 量和电荷外，自旋和内禀磁矩已 经成为标志各种粒子的重要的 物理量。特别是，自旋是半奇数 还是整数(包括零)，决定了粒子 是遵从费米统计还是玻色统计。

二 电子自旋态的描述 ψ ( r , s z )：包含连续变量r 和自旋投 影这两个变量， s z 只能取 ±2/ 这两个离散值。 电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵） ?? ? ??-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s , (7. 5) 讨论： ● 若已知电子处于/2z s = ，波函数 写为 (,/2)(,) 0z s ψψ??= ??? r r ● 若已知电子处于/2z s =- ，波函数

量子力学期末考试试卷及答案

量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。

2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、

第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε

量子力学第五章习题

第五章 微扰理论 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r ,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解: 这种分布只对0r r <的区域有影响, 对0r r ≥的区域无影响. 根据题意知 ()()0 ?H U r U r '=- 其中()0U r 是不考虑这种效应的势能分布, 即 ()2004ze U r r πε=- ()U r 为考虑这种效应后的势能分布, 在0r r ≥的区域为 ()2 04ze U r r πε=- 在0r r <的区域, ()U r 可由下式 ()r U r e Edr ∞ =-? 其中电场为 () () 3023300000201 4,443434Ze Ze r r r r r r r E Ze r r r ππεπεππε?=≤?? =? ?>? ? 则有: ()()()() 2 2 3 2 000 22222 2200 033000000 1443848r r r r r r U r e Edr e Edr Ze Ze rdr dr r r Ze Ze Ze r r r r r r r r r πεπεπεπεπε∞ ∞ =--=- - =---=--≤??? ? 因此有微扰哈密顿量为 ()()()() 222 200300 031?220s s Ze r Ze r r r r r H U r U r r r ???--+ ≤? ?'=-=????>? 其中s e =类氢原子基态的一级波函数为 ()( 32 10010000032 02exp 2Zr a R Y Z a Zr a Z e a ψ-==-?=?? 按定态微扰论公式,基态的一级能量修正值为 ()()()0 0*0011 11 100100 3 2222222000000?1 31sin 4422Zr r a s s E H H d Z e Ze Z r d d e r dr a r r r ππψψτ?θθπ -''==??????=--+?? ? ????????? ? ???

高等量子力学考试知识点

1、黑体辐射： 任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。 光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。 2、光电效应（条件）： 当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。 临界频率v0满足 （1）存在临界频率v0，当入射光的频率v

7、一维无限深势阱（P31） 8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。 一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。 从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足 即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。 9、谐振子（P35） 10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。 11、半壁无限高（P51例2） 12、玻尔磁子 13、算符 对易子 厄米共轭算符 厄米算符：若，则称算符为自厄米共轭算符，简称厄米算符 性质：（1）两厄米算符之和仍为厄米算符 （2）当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符，因为 只在时，，才有，即仍为厄米算符

量子力学所有简答题答案

简答题 1．什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：光照射到某些物质上，引起物质的电性质发生变化，也就是光能量转换成电能。这类光致电变的现象被人们统称为光电效应。或光照射到金属上，引起物质的电性质发生变化。这类光变致电的现象被人们统称为光电效应。 光电效应规律如下： 1．每一种金属在产生光电效应时都存在一极限频率（或称截止频率），即照射光的频率不能低于某一临界值。当入射光的频率低于极限频率时，无论多强的光都无法使电子逸出。 2．光电效应中产生的光电子的速度与光的频率有关，而与光强无关。 3．光电效应的瞬时性。实验发现，只要光的频率高于金属的极限频率，光的亮度无论强弱，光子的产生都几乎是瞬时的。 4.入射光的强度只影响光电流的强弱，即只影响在单位时间内由单位面积是逸出的光电子数目。 爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。逸出电子的动能、光子能量和逸出功之间的关系可以表示成： 22 1 mv A h + =ν这就是爱因斯坦光电效应方程。其中，h 是普朗克常数；f 是入射光子的频率。 2．写出德布罗意假设和德布罗意公式。 德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性。 德布罗意公式：νωh E == λ h k P = = 3．简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。几率波满足的条件。 波函数在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的几率成正比。因为它能根据现在的状态预知未来的状态。波函数满足归一化条件。 4．以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是

量子力学知识点小结(良心出品必属精品)

第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=hν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 ⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出

现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为 E= h ν 的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v 0：由上式明显看出，当h ν- W 0 ≤0时，即ν≤ν0 = W 0 / h 时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h 在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性 ⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。 ???? ? ???? ======n k h k n h P h E λππλων2 ,2

全同粒子体系

全同粒子 本讲介绍多粒子体系的量子力学基本原理。首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。 1. 全同粒子的基本概念 1.1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。例如，电子、 质子，中子等。 在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。而在 量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进 行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的 基本性质之一。 1.2 全同性原理： 由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。 1.3哈密顿算符∧ H 的交换对称性 考虑N 个全同粒子组成的体系，i q 表示第i 个粒子的空间坐标i r 与自旋变量i S ，) ,(t q u i 表示 第i 个粒子在外场中的能量，),(j i q q w 表示第i 、j 粒子的相互作用能量，则体系的哈密顿算符∧ H 写为 ∑∑<++?-=j i j i i i i N j i q q w t q u t q q q q q H ),()],(2[),,,(?2221μ （1） 任何两个粒子（如第i 个与第j 个）相互交换后，∧ H 显然是不变的，记为 ),,,(?21t q q q q q H P N j i ij ∧ ),,,(?21t q q q q q H N i j = ),,,(?2 1 t q q q q q H N j i = （2） ij P ∧ 称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又可记为 0,=?? ? ???∧∧H P ij （3）

量子力学周世勋习题解答第五章范文

第五章习题解 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 r ze r U 02 4πε- =）（ )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 02 4)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r Edr e r U )( ??? ????≥≤=??=)( 4 )( ,4344102 00300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于0r 很小，所以)(2??022)0(r U H H +?-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Z e a Z 02/130 3) 0(1)(-=πψ）

高等量子力学习题汇总

第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2

量子力学[第七章自旋与全同粒子] 山东大学期末考试知识点复习

第七章自旋与全同粒子 本章的目的是将量子力学基本理论向两个方面扩展，一是将电子自旋纳入量子力学理论体系，并讨论与其相关的问题；二是由单粒子量子力学扩展到多粒子体系，建立起完整的非相对论量子力学的理论体系． 根据光谱的精细结构和施特恩一格拉赫等实验，人们发现电子还具有的一种无经典对应的新的运动自由度．通过对实验事实的分析，人们提出了电子自旋的假设，引入了自旋角动量，并进一步扩展成包括空间运动和自旋运动在内的完整的状态描述和力学量的算符表示，并将薛定谔方程扩展到包含自旋的情况，建立起非相对论的含自旋的运动方程． 真实的物理系统是多个微观粒子共存的，与经典力学不同，量子化的全同粒子具有不可分辨性，全同粒子体系的微观状态只能是对称的(对应于玻色子)或者反对称的(对应于费米子)．因此，还需要将单粒子非相对论量子力学扩展到全同粒子系统． 本章的主要知识点有 1．电子自旋 (1)泡利算符 泡利算符是描写电子自旋运动力学量的矢量厄米算符，定义为 由此可以推出 ζ i ζ j =iε ijk ζ k +δ ij (7-3)

(2)电子自旋角动量 借助泡利算符，电子自旋角动量S可以表示为 (3)电子自旋状态 (4)有关力学量 (5)自旋状态的演化 在电磁场中，电子的波函数为ψ(r，s z ，t)：(ψ + (r，t)，ψ - (r，t))T，随 时间的演化仍然由薛定谔方程 决定，但是哈密顿算符要修正为

其中A为电磁场的矢势，φ为标势．概率流密度要修正为 2．角动量耦合 (1)角动量的一般性质 其中角量子数j为正整数或半正整数，磁量子数m=-j，…，j-1，j共2j+1个取值． (2)自旋轨道耦合

(完整word版)量子力学名词解释全集

1．波粒二象性 ： 一切微观粒子均具有波粒二象性（2分），满足νh E =（1分），λh P =（1分），其中E 为能量，ν为 频率，P 为动量，λ为波长（1分）。 2、测不准原理 ： 微观粒子的波粒二象性决定了粒子的位置与动量不能同时准确测量（2分），其可表达为：2/P x x η≥??，2 /P y y η≥??，2/P z z η≥??（2分），式中η（或h ）是决定何时使用量子力学处理问题的判据（1 分）。 3、定态波函数 ： 在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符不是时间的函数（2分），此时，波函数)t ,r (ρψ可写成r ρ函数和t 函数的乘积，称为定态波函数（3分）。 4、算符 使问题从一种状态变化为另一种状态的手段称为操作符或算符（2分），操作符可为走步、过程、规则、数学算子、运算符号或逻辑符号等（1分），简言之，算符是各种数学运算的集合（2分）。 5、隧道效应 在势垒一边平动的粒子，当动能小于势垒高度时，按经典力学，粒子是不可能穿过势垒的。对于微观粒子，量子力学却证明它仍有一定的概率穿过势垒（3分），实际也正是如此（1分），这种现象称为隧道效应（1分）。 6、宇称 宇称是描述粒子在空间反演下变换性质的相乘性量子数，它只有两个值 ＋1和－1 （1分）。如果描述某一粒子的波函数在空间反演变换(r→－r)下改变符号，该粒子具有奇宇称(P ＝－1 )（1分），如果波函数在空间反演下保持不变，该粒子具有偶宇称(P ＝＋1) （1分），简言之，波函数的奇偶性即宇称（2分）。 7、Pauli 不相容原理 自旋为半整数的粒子（费米子）所遵从的一条原理，简称泡利原理（1分）。它可表述为全同费米子体系中不可能有两个或两个以上的粒子同时处于相同的单粒子态（1分）。泡利原理又可表述为原子内不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的4个量子数n 、l 、ml 、ms ，该原理指出在原子中不能容纳运动状态完全相同的电子，即一个原子中不可能有电子层、电子亚层、电子云伸展方向和自旋方向完全相同的两个电子（3分）。 8、全同性原理： 全同粒子的不可区分性（1分）使得其组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变（4分）。 9、输运过程： 扩散（1分）、热传导（1分）、导电（1分）、粘滞现象（1分）（系统内有宏观相对运动，动量从高速区域向低速区域的传递过程）统称为输运过程，这是一个不可逆过程（1分） 10、选择定则： 偶极跃迁中角量子数与磁量子数（1分）需满足的选择定则为1±=?l （2分）， 1 ,0±=?m （2分） 11、微扰理论 在量子力学中求近似解（1分）的一种方法，核心是先求解薛定谔方程（2分），再引入微小附加项来修正

量子力学第九章习题

第九章 多粒子系的量子力学 9-1 两个质量为m 的全同粒子，在弹性势场中运动，2222112 1,21kx V kx V ==，忽略粒子间的相互作用。（1）写出体系的总能量算符及单粒子状态的基态和第一激发态（作为一维问题）。 （2）将H ?用质心坐标X 和相对坐标x 表示，讨论质心运动和相对运动的特征。（3）如一个粒子处于基态，一个粒子处于第一激发态，写出体系的对称和反对称的轨道波函数，并用质心坐标和相对坐标表示。 9-2 下列波函数中，哪些是完全对称的？哪些是完全反对称的？ （1）)2()1()()(21ααr g r f ，（2）[])2()1()2()1()()(21αββα-r f r f （3）[][])2()1()2()1()()()()(2121αββα--r f r g r g r f （4）)(21221r r e r +-α （5）)(21r r e --α 9-3 设有一体系由两个自旋量子数为3/2的全同粒子组成。问体系对称的自旋波函数有几个？反对称的自旋波函数有几个？ 9-4 设两个电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是222 1)(r m r U ω=。如果电子之间的库仑能和U （r ）相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿x 方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。 9-5 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构造？ 9-6 考虑由3个玻色子组成的全同粒子体系。限定单粒子状态只能是γβαψψψ和,，试写出体系的所有可能状态波函数。 9-7 考虑在无限深势阱（0

完整word版,量子力学试题(2008年)含答案,推荐文档

2008~2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业 光电子方向量子力学试题（A 卷） （说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分） 计分人： 复查人： 一、填空题：（每题 4 分，共 40 分） 1. 微观粒子具有 波粒 二象性。 2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为： E=h ν, p=/h λ 。 3．根据波函数的统计解释，dx t x 2 ),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。 4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。 5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i =h 。 6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量 F 所得的数值，必定是算符F ?的 本征值 。 7．定态波函数的形式为： t E i n n e x t x η -=)(),(?ψ。 8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。 9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。 10．每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2 η± 。

二、证明题：（每题10分，共20分） 1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明： z y x L i L L? ] ?, ?[η = ] ? ? , ? ? [ ] ?, ?[ z x y z y x p x p z p z p y L L- - = ] ? ? , ? [ ] ? ? , ? [ z x y z x z p x p z p z p x p z p y- - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p y+ - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x z p x p z p z p y+ = y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p y?] ? , [ ] ? , ?[ ?] ? , [ ] ? , ?[+ + + = y z x z p p x z p z p y?] ? , [ ] ? , ?[+ = y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p yz? ?] , [ ?] ?, [ ?] , ?[ ] ?, ?[+ + + = y x p i x p i y?) ( ?) (η η+ - = ] ? ? [ x y p y p x i- =η z L i?η =

量子力学习题解答-第5章

第五章 全同粒子 本章主要内容概要 1. 全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子称为全同粒子。在一个量子体系中全同粒子是不可区分的，两全同粒子相互交换不会引起物理性质的改变（全同性原理）。所有的微观粒子可以分为两类：波色子和费米子。所有自旋为 整数倍的粒子称为波色子，而所有自旋为/2 奇数倍的粒子称为费米子。由费米子组成的量子体系，不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态（泡利不相容原理），体系的波函数在交换任意两个费米子时是反对称的。对由波色子组成的量子体系，则不受泡利不相容原理的限制，两个或两个以上的波色子可以处于同一个状态，体系的波函数在交换任意两个波色子时是对称的。 如果体系的波函数可以由归一化的单粒子波函数()i q αφ的积表示，其中i 表示不同的单粒子态，q α表示第α个粒子的量子数（包括空间与自旋），则由N 个费米子组成体系的反对称波函数可以用N 阶行列式表示为 12121212() ()()()()()(,,...,,...,)()()() i i i N j j j N A N k k k N q q q q q q q q q q q q q αφφφφφφΦ= 交换任何两个粒子就是交换行列式中的两列，这使行列式改变符号，即波函数A Φ在交换两粒子时是反对称的。当任两粒子处于相同状态，即行列式中两行相同，行列式为零，表示不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态。 对由N 个波色子组成的体系，体系的对称波函数可以表示为 1212(,,...,,...,)()()...()A N i j k N P q q q q C P q q q αφφφΦ=∑ 其中P 表示N 个粒子在波函数中的某一种排列，P ∑表示对所有可能排列求和，由于波色 子可以处于相同的状态，,,...,i j k 可以相等，C 是归一化常数为求和的项数，,,...,i j k 完全相等时为1 ，全不相等时为1/ 2.交换力：以两粒子体系为例，若体系的波函数可以表示为空间部分和自旋部分之积，对称和反对称的空间波函数为 121212(,)()()()()]a b b a x x x x x x ψψψψψ±=± 这种波函数对称化的要求会使两粒子间出现一种力的作用，称为交换力。对对称空间波函数这个力是吸引力，倾向于把两粒子拉近；对反对称空间波函数，这个力是排斥力，倾向于让两粒子相互远离。固体中属于不同原子的两个电子组成的共价键可以由这种力解释，两电子体系的波函数是反对称的，当两个电子的自旋波函数为反对称的自旋单态时，空间波函数必是对称的，所以这种状态下的两个电子倾向于相互靠近，形成共价键。 3. 元素周期表：原子中一个单粒子态(),,n l m 称之为轨道，因为电子是费米子，受到泡利不相容原理的制约，一个轨道上只能有两个电子（一个自旋向上，一个自旋向下）。当原子处于基态时，电子将从最低能态开始依据洪特定则依次填充。1n =这个壳层能容纳两个电子，2n =壳层能容纳8个，3n =容纳18个，第n 个壳层可以容纳2 2n 个电子。（洪特第一定则：在其它量都相同时，总自旋（S ）取最大值的状态的能量最低。第二定则：当