量子力学第五章全同粒子
量子力学第五章
pˆ12ψ (1,2) =ψ (2,1)
∴ pˆ12ψ (1,2) = λψ (1,2)
这就是交换算符的本征值方程. 且λ就是其本征值.
又有: pˆ12 pˆ12ψ (1,2) = pˆ12λψ (1,2) = λpˆ12ψ (1,2) = λ2ψ (1,2) ∴ pˆ122ψ (1,2) = λ2ψ (1,2)
问题: 量子力学中是否存在没经典对应量的力学量?
对由多个粒子组成的系统,量子力学中还有其它 新的基本假设吗?
能够举一些使用量子力学去解决实际问题的例子 吗?
§1、电子的自旋
一、实验与假设: 1) 斯特恩―盖拉赫实验 1921年，施忒恩（O.Stern）和盖拉赫（W.Gerlach）发现 一些处于S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。
∵ pˆ122ψ (1,2) = pˆ12ψ (2,1) =ψ (1,2)
∴ λ2ψ (1,2) =ψ (1,2)
λ2 =1
λ =1
λ = −1
对λ=1有: 对λ=−1有:
pˆ12ψ (1,2) =ψ (1,2)
pˆ12ψ (1,2) = −ψ (1,2)
称为对称性波函数. 称为反对称性波函数.
可以证明: 全同粒子的波函数的这种交换对称性是不随时间 改变的.
2)自旋角动量算符的本征值与自旋量子数:
① 由于电子的自旋角动量它在空间任何方向的投影只取两个值 Sz=± /2.这就是说:
Sˆx,Sˆy,Sˆz 的所有可能的测得值只有+ /2和- /2.因此, 这就是它 们所有可能的本征值
②
S2的本征值:
S
2 x
=
S
2 y
=
S
2 z
=
量子力学中的替换对称性与全同性原理
量子力学中的替换对称性与全同性原理在物理学中，替换对称性和全同性原理是两个重要的概念。
它们都与量子力学密切相关。
本文将从量子力学中的替换对称性和全同性原理两个方面进行探讨，深入理解这些概念。
一、替换对称性替换对称性是一种数学上的对称性，也称为置换对称性。
在物理学中，替换对称性是指系统对于物体的交换不会发生变化，即在相同的物理环境下，交换两个相同的物体后，物理状态不发生任何变化。
这种对称性在经典力学中是自然而然的，但在量子力学中却带有非常重要的意义。
以氢原子为例，它只有一个电子。
在经典力学中，我们可以毫不犹豫地说，电子可以转化为任何标记相同的粒子。
这是因为它们的性质是相同的，例如质量、电荷、自旋等。
但在量子力学中，我们知道电子是一种具有特殊性质的粒子，即它们是全同粒子。
因此，当相同的两个电子交换位置时，我们需要考虑这种全同性质。
在这种情况下，我们不能确定粒子的真实位置，这个过程被称为“全同交换”。
量子力学中的替换对称性与全同性质密不可分。
因为替换对称性的出现需要具有相同性质的粒子，这种性质正是全同性质所包含的内容。
因此，我们可以得出结论：替换对称性与全同性质是量子力学中的一对密切相关的物理概念。
二、全同性原理全同性原理是量子力学的基本原理之一。
它表明，在某些物理系统中，如果两个粒子是全同的，则它们在任何情况下都不能被区分。
这意味着，如果我们有两个全同粒子，我们不能将它们标记为例如“粒子A”和“粒子B”，亦即对于粒子无论在哪个空间点上，都没有“名字”。
根据量子力学，当两个全同粒子交换位置时，该系统的波函数应该只发生相位的变化，而波函数的强度不应该改变。
这是因为全同粒子之间的比较是一种无法进行的行为，因此它们之间的交换行为不应该对系统的内在性质产生影响。
全同性原理是量子力学的基石之一，它具有非常重要的物理意义。
例如，在具有相同自旋的两个电子组成的物理系统中，如果我们使用两个不同的波函数来描述它们，那么这个物理系统就不是全同的，因为我们可以通过波函数的形状来区分这两个不同的电子。
量子力学概论第5章 全同粒子
例题5.1 假设我们有两个没有相互作用——它们相处在一起 运动……不要深究这个在现实中到底会不会发生——的粒子， 质量都为m，处在无限深方势阱中(见2.2节)。单粒子态为： ψn(x)=2asinnπax, En=n2K(方便起见令K≡π2ћ2/2ma2。)如 果粒子是可分辨的，粒子1在n1态上，粒子2在n2态上，完整 的波函数为简单乘积：
第5章 全同粒子
5.1 双粒子体系 5.2 原子 5.3 固体 5.4 量子统计力学
5.1 双粒子体系
5.1.1 玻色子和费米子 5.1.2 交换力
5.1.1 玻色子和费米子
我们可以简单地构造一个波函数，这个波函数并不给出哪个粒 子是处于哪个态。有两种不同的构造方法： ψ±(r1,r2)=A［ψa(r1)ψb(r2)±ψb(r1)ψa(r2)］.(5.10) 这样，理论上将允许两种全同粒子：玻色子(Bosons)，这时上 式取正号；费米子(Fermions)，这时上式取负号。光子和介子 是玻色子；质子和电子是费米子。恰巧的是： 所有自旋为ћ整数倍的粒子为玻色子所有自旋为ћ半整数倍的 粒子为费米子(5.11) 这种自旋与统计(我们将看到，玻色子和费米子有截然不同的 统计性质)之间的联系，可以在相对论量子力学中得到证明； 在非相对论理论中，它被作为一个公理3。
表5.1 周期表前四行元素的基态电子组态
表5.1 周期表前四行元素的基态电子组态
5.3.1 自由电子气体 5.3.2 价带结构
5.3 固体
5.3.1 自由电子气体
图5.3 自由电子气。格子中的每一个 交点代表一个定态。阴影立方体为一
个态所占据的体积
图5.4 k空间中一个球壳的八分之一
5.3.2 价带结构
5.4.4 α和β的重要物理意义
全同粒子体系解析
全同粒子本讲介绍多粒子体系的量子力学基本原理。
首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。
1. 全同粒子的基本概念1.1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。
例如，电子、质子，中子等。
在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。
而在 量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进 行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。
即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的 基本性质之一。
1.2 全同性原理：由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。
这是量子力学基本原理之一。
1.3哈密顿算符∧H 的交换对称性考虑N 个全同粒子组成的体系，i q 表示第i 个粒子的空间坐标i r ϖ与自旋变量i S ，),(t q u i 表示 第i 个粒子在外场中的能量，),(j i q q w 表示第i 、j 粒子的相互作用能量，则体系的哈密顿算符∧H 写为∑∑<++∇-=ji j i i i i N j i q q w t q u t q q q q q H ),()],(2[),,,(ˆ2221μηΛΛΛ （1） 任何两个粒子（如第i 个与第j 个）相互交换后，∧H 显然是不变的，记为),,,(ˆ21t q q q q q H P Nj i ij ΛΛΛ∧),,,(ˆ21t q q q q q H Ni j ΛΛΛ= ),,,(ˆ21t q q q q q H Nj i ΛΛΛ= （2） ij P ∧称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又可记为0,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧H P ij （3）1.4 全同粒子波函数的交换对称性 （1）ij P ∧对波函数的作用设N 个全同粒子体系用波函数),,,,,(21t q q q q q N j i ΛΛΛΦ描述，则有),,,,,(),,,,,(2121t q q q q q t q q q q q P N i j N j i ij ΛΛΛΛΛΛΦ=Φ∧（4）根据全同性原理，Φ∧ij P 与Φ所描述的是同一量子态，而量子力学中描述同一量子态的波函数之间最多只能相差一个常数因子λ，即Φ=Φ∧λij P （5） 上式用ij P ∧再作用一次，相当于Φ中的交换复原，即Φ=Φ=Φ=Φ∧∧22λλij ijP P （6）由此得12=λ，所以交换算符的本征值为 1±=λ （7） （2）波函数的交换对称性当λ＝+1时，则Φ=Φ∧ij P ，表示交换两个粒子后波函数不变，这时的波函数称为对称波函数，记为S Φ 。
第5章全同粒子及二次量子化
粒子到达D1的概率 = |f() + f()|2
因为, 此时(以粒子替代O原子), 我们无法再 区分图1a和图1b, 且粒子对于置换是对 称的, 故而应为几率幅相加.
He3 + He4 ?
复合粒子呢?
12
D1
e
e
D2
图3: 在质心系中观察电子 对电子的散射
13
电子到达D1的概率 = |f() f()|2
(r1s1 , r2 s2 ,, rN sN , t )
(1)
19
用Pij表示粒子i 与粒子j 间的置换算符, 由 于粒子全同, 交换使得系统物理状态不变, 即
Pij (r1s1 ,, ri si ,, r j s j ,, rN s N , t ) (r1s1 ,, r j s j ,, ri si ,, rN s N , t )
C C
C C C C I
43
C C C C I
(27)
44
容易验证, 所有Fock基矢皆为算符C† C 的本征矢, 更严格地, 为其本征值为 0 ( 轨道空) 、或为 1 ( 轨道被占据)的本征矢, 因此C† C的功能相当于 轨道的占有数 算符; 而总粒子数算符是:
C C 0.
2.
考虑算符C† C† + C† C†,
C C
C C
0.
C C C C 0,
(25) (26)
41
C C C C 0.
3.
考虑算符C C† + C† C :
量子力学周世勋习题解答第五章
第五章习题解5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ）⎰∞'=τψψd H E 111 ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。
∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = #5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
全同粒子
对于全同粒子多体系, 任何两个粒子交换一下, 对于全同粒子多体系 任何两个粒子交换一下 其量子态是不变的, 即要求该体系的波函数对于粒 其量子态是不变的 即要求该体系的波函数对于粒 子交换具有一定的对称性. 子交换具有一定的对称性 那么, 忽略粒子相互作用的情况下, 那么 在忽略粒子相互作用的情况下 如 何去构造 构造具有完全交换对称性或反对性的波 何去构造具有完全交换对称性或反对性的波 函数? 函数 接下来我们将对这问题做一般的讨论. 接下来我们将对这问题做一般的讨论 考虑 N个全同粒子组成的多体系的情况 个全同粒子组成的多体系的情况. 个全同粒子组成的多体系的情况
1 2 N
经过
各种可能的置换P， 各种可能的置换 ，得到 P , ψ k1 ( q1 )ψ k2 ( q2 )Lψ k N ( qN ) 一共得出N！ 一共得出 ！项，即行列式展开后得出的N! 项. 即行列式展开后得出的
4.3.4 N个全同 个全同Bose子组成的体系 个全同 子组成的体系
Bose 子不受 子不受Pauli原理限制，可以有任意数目 原理限制， 原理限制 可以有任意数目 子处于相同的单粒子态 的Bose子处于相同的单粒子态 设有 ni 个Bose子 子处于相同的单粒子态. 子 N 处于 ki 态上 ( i = 1, 2,L , N ) ， n i = N ，这些 ni 中， ∑ i =1 有些可以为0，有些可以大于1.此时 此时， 有些可以为 ，有些可以大于 此时，对称的多粒 子波函数可以表示成 P ψ k1 ( q1 )Lψ k1 qn1 ⋅ψ k2 qn1 +1 Lψ k2 qn1 + n2 L ∑ 144 2444 1444 24444 4 3 4 3 P n1个 n2个
3
§5.5 全同粒子系统
既然所有Pij都是守恒量，所以其对称性不 随时间变化,即全同粒子的统计性质(Bose 或Fermi统计)是不变的。
结论：描写全同粒子系统状态的波函数只能是 5对2 称的或反对称的，它们的对称性不随时间变化。10
④全同粒子的分类 所有的基本粒子可分为两类：
玻色子Fermion和费米子Boson
1）玻色子：
凡自旋为整数倍，波函数满足交换对称，
遵从Bose-Einstein统计的粒子。 如π介子（s=0）、光子（ s=1 ）等。
52
11
引力子(Graviton)
引力子(Graviton)，又称重力子，在物理学中是一个传 递引力的假想粒子。为了传递引力，引力子必须永远 相吸、作用范围无限远及以无限多的型态出现。在量 子力学中，引力子被定义为一个自旋为2、质量为零的 玻色子。
52
16
2、两个全同粒子组成的体系 ①简介
忽略相互作用，Hamiltonian可表为
Hˆ h(q1) h(q2 )
q1 q2 Hˆ 不变
故
[P12, Hˆ ] 0
设h(q)的单粒子本征态为
k
(q)，本征能为
，
k
则有
h(q)k (q) kk (q)
其中k为力学量（包含Hˆ）的一组完备量子数
(q1, q2,, qi ,q j ,)
来描述。其中 qi (i 1,2,N) 表示第i个
粒子的全部坐标（空间和自旋）。
若Pij表示第i个粒子与第j个粒子的全部 坐标变换，即
Pij (q1, q2,, qi ,q j ,, qN )
52
(q1, q2,, q j ,qi ,, qN ) 5
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第五章：全同粒子
杨焕雄
中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@
November 25, 2019
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双粒子体系：
单粒子量子力学体系的状态用波函数 p~r; s3; tq 描写：
p~r; s3; tq 是粒子空间位置坐标~r，自旋角动量 s3 以及
时间参数 t 的函数.
考虑 N 个全同粒子组成的多粒子体系，设其量子态用波函数
Ψpq1; ¨ ¨ ¨ ; qi; ¨ ¨ ¨ ; qj; ¨ ¨ ¨ ; qNq 描写， qi（i “ 1; 2; ¨ ¨ ¨ ; N）代表第 i 个粒子的全部坐标（例如
包括空间坐标与自旋）. 设 Pˆij 表示交换第 i 个粒子与第 j 个粒子 的全部坐标的线性算符：
PˆijΨpq1; ¨ ¨ ¨ ; qi; ¨ ¨ ¨ ; qj; ¨ ¨ ¨ ; qNq “ Ψpq1; ¨ ¨ ¨ ; qj; ¨ ¨ ¨ ; qi; ¨ ¨ ¨ ; qNq
粒子的全同性意味着 Ψ 与 PˆijΨ 描写的是同一个量子态，它们最 多可以相差一个非零的常数因子 c，
PˆijΨ “ c Ψ
8 / 23
两端再作用一次 Pˆij，得：
Ψ “ Pˆ2ijΨ “ c PˆijΨ “ c2 Ψ;
ù c2 “ 1; c “ ˘1
所以，全同粒子体系的波函数必须满足下列关系之一：或者关于 交换任意两个粒子对称：
PˆijΨ “ Ψ
或者关于交换任意两个粒子反对称：
PˆijΨ “ ´Ψ
迄今一切实验表明，全同粒子体系的波函数的交换对称性与粒子 的自旋角动量有密切的关系：
s13 ;s23
›
›
以下仅考虑有效势能不显含时间的情形. 此时，通过分离变 量可求得薛定谔方程一组完备的特解：
Ψp~r1;~r2; s13; s23; tq “ Ep~r1;~r2; s13; s23q expp´iEt{ℏq
这里，
H H „ ℏ2 ´ 2m1
2 1
´
ℏ2 2m2
ȷ
2 2
`
Vp~r1;~r2;~s1;~s2q
1 凡由自旋角动量的测量值为 ℏ 之整数倍的粒子组成的全同多 粒子体系，称之为 Bose 子体系，波函数对于两个粒子的交 换总是对称的. 在统计方法上，它们遵从 Bose-Einstein 统计.
2 凡由自旋角动量的测量值为 ℏ 之半奇数倍的粒子组成的全同 多粒子体系，称之为 Fermi 子体系，波函数对于两个粒子的 交换总是反对称的. 在统计方法上，它们遵从 Fermi-Dirac 统 计.
3 / 23
按照波函数的统计诠释，
›
›2
››Ψp~r1;~r2; s13; s23; tq›› d3x1d3x2
›
›
是在体积元 d3x1 中发现具有自旋 s13 的粒子 1 并在 d3x2 中发 现具有自旋 s23 的粒子 2 的概率. 归一化条件因此为：
ż
›
›2
ÿ d3x1d3x2 ››Ψp~r1;~r2; s13; s23; tq›› “ 1
Pˆij 是 Hilbert 空间中的线性幺正算符： Pˆ:ij “ Pˆ´ij 1 “ Pˆji
但注意到 Pˆij “ Pˆji，我们又有：Pˆ:ij “ Pˆij，即交换算符 Pˆij 既 是幺正算符，又是 Hermite 算符.
对于 N-粒子体系的波函数 Ψp1; 2; ¨; i; ¨ ¨ ¨ ; j; ¨ ¨ ¨ ; Nq 而言， PˆijΨp1; 2; ¨; i; ¨ ¨ ¨ ; j; ¨ ¨ ¨ ; Nq “ Ψp1; 2; ¨; j; ¨ ¨ ¨ ; i; ¨ ¨ ¨ ; Nq
2
Vp~r1;~r2;~s1;~s2q “ ÿ Up~ri;~siq ` Up|~r1 ´~r2|; |~s1 ´~s2|q
i“1
即有效势能项关于体系内两个粒子的交换完全是对称的2.
2从而体系完整的 Hamilton 算符也是关于两个粒子的交换具有对称性.
5 / 23
全同粒子系的交换对称性：
1 量子力学中全同粒子体系的基本特征是：任何客观测量，特 别是 Hamilton 量，对于任意两个粒子的交换是不变的. 这一 特征称为全同粒子系的交换对称性.
此处~ri 与 si3 分别是第 i 个粒子的位置矢量和自旋角动量第三分 量 (i “ 1; 2)1.
波函数 Ψ 随时间的演化仍遵从薛定谔方程：
但是，
iℏ
BΨ Bt
“
Hˆ
Ψ
H H Hˆ
“
´
ℏ2 2m1
2 1
´
ℏ2 2m2
2 2
`
Vp~r1
;~r2;~s1;~s2
;
tq
1这里的讨论可以平庸地推广到任意多个粒子构成的量子力学体系.
p~r; s3; tq 随时间的演化遵从薛定谔方程：
式中，
iℏ
B Bt
“ Hˆ
;
H Hˆ
“
´
ℏ2 2m
2 ` Vp~r;~s; tq
波函数的统计诠释要求：
ż›
›2
ÿ d3x›› p~r; s3; tq›› “ 1
sz
›
›
ห้องสมุดไป่ตู้
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若量子力学体系包含两个粒子，则体系的状态应使用如下波函数 描写：
Ψp~r1;~r2; s13; s23; tq
Example：
以氦原子中两个电子组成的体系为例，其 Hamilton 算符为：
Hˆ
“
~ˆp21
2m
`
~ˆp22
2m
´
2e2 r1
´
2e2 r2
`
|~r1
e2
´~r2|
当交换两个电子的位置坐标、动量与自旋，Hˆ 明显不变.
6 / 23
量子力学理论中，常引入所谓交换算符 Pˆij 描写全同粒子系的交 换对称性.
对于由 N 个粒子构成的全同粒子系而言，其 Hamilton 算符 对于任意两个粒子自由度交换的对称性意味着：
Pˆij Hˆ Pˆ´ij 1 “ Hˆ 亦即Pˆij 是全同粒子系的守恒量算符：
rPˆij; Hˆ s “ 0
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全同粒子体系的交换对称性，反映到描写其量子态的波函数上， 具有极深刻的物理内涵，据此归纳出了量子力学的第五条基本 原理.
E“E
E
4 / 23
全同粒子体系：
什么是全同粒子 ？
我们把具有完全相同的静止质量、电荷、自旋、磁矩和寿命 等内禀属性的同一类粒子称为全同粒子. 自然界里存在着大 量的由全同粒子组成的多粒子体系，如多电子原子和金属中 的电子气.
涉及相互作用时，还须进一步要求具有上述性质的的体系中 各个粒子受力情况完全相同. 所以，对于由两个粒子构成的 全同粒子体系：