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第二节直线的交点坐标与距离公式
第二节直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式是平面解析几何中非常基础的内容。
它们可以帮助我们确定两条直线的交点坐标以及一个点到直线的距离，是解决许多几何问题的重要工具。
在本篇文章中，我将详细介绍直线的交点坐标与距离公式。
一、直线的交点坐标公式假设有两条直线L1和L2，分别表示为:L1:y=m1x+c1L2:y=m2x+c2其中m1、m2分别是L1和L2的斜率，c1、c2分别是L1和L2的截距。
我们可以通过解以上两个方程组来求解直线L1和L2的交点的坐标(x0,y0)。
解法一：代入法将L1的方程代入L2的方程中，得到：y=m2x+c2m1x+c1=m2x+c2整理得到：x=(c1-c2)/(m2-m1)将x的值带入L1或L2的方程中，即可得到y的值。
根据这个方法，我们可以求得两条直线的交点坐标。
解法二：消元法将L1和L2的方程相减，可以消去y，得到：m1x+c1-(m2x+c2)=0整理得到：(m1-m2)x+(c1-c2)=0解方程可以得知：x=(c2-c1)/(m1-m2)将x的值带入L1或L2的方程中，即可得到y的值。
通过以上两种解法，我们可以求得直线L1和L2的交点的坐标(x0,y0)。
二、点到直线的距离公式同时，我们也可以通过公式求解一个点P(x1,y1)到直线L1: y = mx+ c的距离。
有一种基本的方法是绘制垂线。
首先，我们可以找到点P到直线L1的垂线的方程，将其表示为L2、L2的斜率是m的相反数(-1/m)，并且通过点P(x1,y1)。
垂线L2的方程为：L2:y=(-1/m)x+(y1+x1/m)我们可以通过求解L1和L2的交点坐标来确定点P到直线L1的距离。
交点的坐标为(x0,y0)。
距离点P到直线L1的距离利用勾股定理可以得到：d=√((x0-x1)²+(y0-y1)²)将交点的坐标(x0,y0)带入上式即可求得点P到直线L1的距离。
总结：直线的交点坐标与距离公式是解析几何中重要的工具。
数学直线的交点坐标与距离公式-讲义
数学课程讲义学科：数学专题：直线的交点坐标与距离公式考点梳理一、两直线的平行（一）由斜率判定设直线1l 和2l 不重合，斜率都存在, 斜率分别为1k 和2k ，那么：（二）对于直线的一般式一般地，对于直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有 方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C C B B A A l l C C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A .二、两直线的垂直（一）由斜率判定如果两条直线1l 和2l 都有斜率， 12112211l l k k k k ⊥⇔=-⇔=- 21ααy 21l lO X（二）对于直线的一般式对于直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，有0212121=+⇔⊥B B A A l l三、点到直线的距离点P(x 0,y 0)到直线l :A x +B y +C=0的距离d =2200||B A C By Ax +++.四、两条平行直线间的距离两条平行线A x +B y +C 1=0与A x +B y +C 2=0的距离公式为d =2221||B A C C +-.金题精讲题一题面：求经过点(1,2)P 的直线，且使(2,3)A ，(0,5)B -到它的距离相等的直线方程() A. 420x y --= B. 2x =C. 420x y --=，或1x =D. 420x y --=，或2x =题二题面：过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点，并垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程是.题三题面：已知点P（2，－1），求：（1）过P点与原点距离为2的直线l的方程；（2）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少?（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线?若存在，求出方程，若不存在，请说明理由.题四题面：直线l与直线x－3y＋10＝0，2x＋y－8＝0分别交于点Ｍ，Ｎ，若ＭＮ的中点是（0，1），则直线l的方程是（）Ａ．x＋4y－4＝0Ｂ．4x＋y－4＝0 Ｃ．x－4y＋4＝0Ｄ．x－4y－4＝0题五题面：若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）课后练习注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一题面：原点到直线052=-+y x 的距离为( )A. 1B. 3C. 2D. 5题二 题面：两直线330x y +-=与610x my ++=平行,则它们之间的距离为( ) A. 4B. 21313C. 51326D. 71020题三题面：已知点P(a,b)与Q(b-1,a+１)(a≠b -1)关于直线l 对称,则直线l 的方程是( )A. x ＋y ＝0B. x －y ＝0C. x ＋y －１＝0D. x －y ＋１＝0题四题面：已知直线l 与直线x ＋y －１＝0关于x 轴对称,那么直线l 的方程是_______.讲义参考答案金题精讲题一答案：C题二答案：4x-3y+9＝0题三答案：（1）x =2或3x －4y －10=0.（2）直线2x －y －5=0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为5.（3）由（2）可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线.题四答案：A题五答案：①⑤课后练习题一答案：D 详解：52152=+-=d .题二答案：D详解：把330x y +-=变化为6260x y +-=,则20d == 题三答案：D详解：因为直线PQ 的斜率为a b b a ---+11＝－１,故直线l 的斜率为１,线段PQ 的中点坐标为(21,21++-+a b b a ),由直线的点斜式方程得直线l 的方程为x －y ＋1＝0. 题四答案：x －y ＝１详解：直线x ＋y －１＝0关于x 轴的交点为(1, 0),其上一点(0,1)关于x 轴的对称点是(0,-1),由截距式得的直线l 的方程为x －y ＝１.。
两条直线的交点坐标与距离公式
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【评析】 这类题一般有三种情况：被两已知平行直 线截得的线段的定长为a的直线，当a小于两平行线间距 离时无解.当a=d时有唯一解 ； 当a＞d时有且只有两解. 本题解法一采用通法通解.解法二采用设而不求，先设交 点坐标，利用整体思想求解.
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＊对应演练＊
求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离 相等的直线l的方程. 解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离
|P1P2|=
(x 2 - x1 )2 + (y 2 - y 1 )2 .
2.点到直线的距离 平面上一点P(x1,y1)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离 | Ax + By + C |
0 0
d=
A2 + B2
. 返回目录
3.两平行线的距离 若l1,l2是平行线，求l1,l2距离的方法：
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-3）+1，
分别与直线l1，l2的方程联立, 由 由
{ {
y=k(x-3)+1 x+y+1=0, y=k(x-3)+1
解得
3k - 2 1 - 4k , A( ). k +1 k +1 3k - 7 1 - 9k , B( ) k +1 k +1
解得
【分析】转化为点关于直线的对称,利用方程组求解.
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【解析】解法一:由
{
y=2x+3 y=x+1
得直线l1与l2的交点坐标为
(-2,-1),在l1上任取一点A(0,3),则A关于直线l的对称点 B(x1,y1)一定在l2上,由 即B(2,1).
两直线交点的坐标与距离公式
两直线交点的坐标与距离公式 知识点：知识点：1. 两相交直线的交点的坐标两相交直线的交点的坐标2. 如果已知平面上两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2), 3. 点P(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0(A 、B 不同时为0)的距离为距离为 4．已知两条平行线l 1:Ax+By+C 1=0, l 2:Ax+By+C 2=0 (C 1=C 2).则l 1与l 2之间的距离为：之间的距离为：对称问题：1． 点关于点的对称点点关于点的对称点2． 点关于直线的对称点点关于直线的对称点若两点P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上,而且连结P 1,P 2的直线垂直于对称轴l,由方程组: îïíì=++++=--0)2()2(21212121C y y B x x AAB x x y y 其中A ≠0,x 1≠x 2A(x,y) 关于x 轴的对称点A ’ . B(x,y) 关于y 轴的对称点B ’ . 练习:求点A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点的坐标. 3. 直线关于点对称的直线直线关于点对称的直线练习:求直线l:y=3x-4关于点M(1,1)对称的直线方程. 4. 关于直线对称的两条直线关于直线对称的两条直线若已知直线l 1与对称轴l 相交,则交点必在与l 1对称的直线l 2上,然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称点P 2,那么经过交点及点P 2的直线就是l 2; 若已知直线l 1与对称轴l 平行,则与l 1对称的直线和l 1到直线l 的距离相等,由平行直线系和两条平行线间的距离,即可求出l 1的对称直线. 练习.求直线l 1:x-y-2=0关于直线l 2:3x-y+3=0的对称直线l ’的方程. 练习. 已知三条直线l 1:2x-y+a=0(a>0),l 2:-4x+2y+1=0, l 3:x+y-1=0,且l 1与l 2的距离是1057. (1) 求a 的值; (2) 求l 1与l 3的交点A 关于l 2的对称点的坐标; (3) 求l 2关于l 3的对称直线方程. 直线过定点问题及应用1由“y-y 0=k(x-x 0)”求定点”求定点把含有参数的直线方程改写成y-y 0=k(x-x 0)的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（x 0,y 0）2由“l 1+λl 2=0”求定点”求定点在平面上如果已知两条相交直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,则过l 1、l 2交点的直线系方程是：直线系方程是：A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0 其中λ为参数，并简写为l 1+λl 2=0. 根据这一道理，可知如果能把含有参数的直线方程改写成l 1+λl 2=0的形式，这就证明了它表示的直线必过定点，其定点的求法可由îíì=++=++0222111C y B x A C y B x A 解得。
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式要求出两条直线的交点坐标，可以将两条直线的方程联立，得到如下方程组：a1x+b1=a2x+b2(1)y=a1x+b1通过对方程组进行求解，可以得到两条直线的交点坐标。
首先，我们可以将方程(1)两边关于x进行整理，得到：(a1-a2)x=b2-b1再将这个结果代入方程y=a1x+b1中，可以求解出y的值。
现在，我们来看一个具体的实例来说明如何通过方程组来计算两条直线的交点坐标。
假设有两条直线分别为y=2x+1和y=-3x+4我们可以将这两条直线的方程联立，得到方程组如下：2x+1=-3x+4(2)y=2x+1将方程(2)两边关于x进行整理，得到：5x=3解方程5x=3，可以得到x=3/5再将这个结果代入方程y=2x+1中，可以求解出y的值。
代入x=3/5，可以得到y=2*(3/5)+1=6/5+1=11/5因此，两条直线的交点坐标为(3/5,11/5)。
接下来，我们来介绍一下两点间的距离公式。
两点间的距离公式可以通过勾股定理推导得到。
假设有平面上的两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则点A和点B之间的距离可以表示为：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式可以通过勾股定理的推导得到。
假设有直角三角形ABC，其中角C为直角，AB为斜边，AC为边长为a，BC为边长为b，AB为边长为c。
根据勾股定理可以得到a²=b²+c²。
将直角三角形ABC的顶点A(x1,y1)和B(x2,y2)的坐标代入，可以得到：c²=(x2-x1)²+(y2-y1)²开方后可以得到两点间的距离d，即：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这就是两点间的距离公式。
通过这个公式，我们可以计算出平面上两个点之间的距离，进而可以用来计算两条直线的距离。
总结起来，要确定两条直线的交点坐标，可以通过解直线方程组来计算。
《直线的交点坐标与距离公式》知识拓展
《直线的交点坐标与距离公式》知识拓展知识要点1.两条直线的交点坐标已知两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=相交,设这两条直线的交点为P ,则点P 既在直线1l 上,也在直线2l 上.所以点P 的坐标既满足直线1l 的方程1A x +110B y C +=,也满足直线2l 的方程2220A x B y C ++=,即点P 的坐标是方程组1112220,0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解.解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 2.两点间的距离公式()()111222,,,P x y P x y 两点间的距离公式12PP =.特别地,原点(0,0)O 与任一点(,)P x y 间的距离||OP =3.点到直线的距离公式平面上任意一点()00,P x y 到直线:0(,l Ax By C A B ++=不同时为0)的距离d =.4.两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.一般地,两条平行直线(1122:0,:0,l Ax By C l Ax By C A B ++=++=不同时为0,且1C ≠)2C 的距离d =.问题探究问题1,如何求两直线的交点坐标?求过两直线交点的直线方程的方法?提示(1)求两条直线的交点坐标,一般思路是解由这两条直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.(2)求过两直线交点的直线方程,一般思路是先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这样能简化解题过程.问题2两直线方程构成的方程组的解的个数与两直线的位置关系怎样对应?提示方程组有唯一解⇔两直线相交;方程组无解⇔两直线平行;方程组有无数组解⇔两直线重合.这样可以把两直线的位置关系问题转化为方程组解的个数问题,从而用代数的方法解决几何问题.问题3如果已知直线的斜率为k ,那么直线上的两点()()111222,,,P x y P x y 之间的距离可以怎么表示?提示1212PP x ==-,或1212(0)PP y y k =-≠,这也是以后经常会用到的弦长公式. 问题4利用距离公式应注意的问题有哪些?提示(1)点()00,P x y 到直线x a =的距离0d x a =-,,到直线y b =的距离0d y b '=-;(2)已知点到直线的距离求直线方程时,一般考虑用待定系数法,此时必须讨论直线斜率是否存在;(3)利用两平行线间的距离公式时,两条直线方程中,x y 的系数要相等.。
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式在平面几何中，直线是直角坐标系中的基本图形之一、直线的交点坐标和距离公式在解决直线的相关问题时非常有用。
接下来，我将详细介绍直线的交点坐标和距离公式。
1.直线的交点坐标公式：设直线L1的方程为y=k1x+b1，直线L2的方程为y=k2x+b2、若L1和L2有交点，则交点的坐标(x0,y0)满足以下等式：k1x0+b1=k2x0+b2解上述等式可以得到交点的横坐标x0。
将x0带入其中一个直线的方程，可以求得交点的纵坐标y0。
如果两条直线平行，则它们没有交点。
2.直线的距离公式：设点P到直线L的距离为d。
L的一般方程为Ax+By+C=0。
点P的坐标为(x0,y0)。
则点P到直线L的距离d可以由以下公式计算：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)以上就是直线的交点坐标和距离公式的基本内容。
下面我们将通过具体的例子来进一步理解和应用这些公式。
例1：求直线y=2x+3和y=-x+4的交点坐标。
解：将两个方程相等，得到：2x+3=-x+43x=1x=1/3将x=1/3带入其中一个方程，可以求得y的值：y=2*(1/3)+3=7/3因此，这两条直线的交点坐标为(1/3,7/3)。
例2：求点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离。
解：由于A=3，B=-4，C=5，将这些值代入距离公式中，可以得到：d=，3*1-4*(-2)+5，/√(3^2+(-4)^2)=，3+8+5，/√(9+16)=16/√25=16/5因此，点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离为16/5通过以上两个例子，我们可以看到直线的交点坐标和距离公式在解决直线相关问题时的重要性。
它们能够帮助我们简单、快速地求解直线的交点和距离，为我们的几何计算提供便利。
除了直线的交点坐标和距离公式，还有其他的直线相关的公式和定理，如直线的斜率公式、两直线垂直的判定等等。
通过深入学习和理解这些公式和定理，我们将能够更好地应用它们解决各种几何问题，提高我们的数学能力。
【数学课件】直线的交点坐标与距离公式
【例1】直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0 和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为 P(－1,2)，求直线l的方程．
解 答 ： 解 法 一 ： 设 直 线 l 与 l1 的 交 点 为 A(x0，y0)，由已知条件，则直线l与l2的交 点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足
解法二：设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)， 即kx－y＋k＋2＝0.
则d的取值范围是( )
解析：本题考查数形结合思想，以及分
将直线l的方程变为：x＋y－2＋λ(3x＋2y －5)＝0，它表示过直线l1：x＋y－2＝0，l2： 3x＋2y－5＝0的交点且不包含第二条直线 的所有直线．显然当直线过点P时距离最小
【方法规律】
1．求两直线交点坐标就是解方程组．即把 几何问题转化为代数问题．
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值 范围．
(2)由(a＋1)x＋y＋2－a＝0得a(x－1)＋(x＋y ＋2)＝0.
无论a取何值，直线l过A(1，－3)点， 则直线l的斜率k≥0，即－(a＋1)≥0.解得a≤－
变式3.点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1 ＋2λ)y＝2＋5λ的距离为d，
2．点到直线距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
为： 3．两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：
1．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y ＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6
B.
D．不能确定
C．2
答案：B
3．直线l1经过点A(3,0)，直线l2经过点B(0,4)， 且l1∥l2，用d表示l1，l2间的距离，则( )
【答题模板】
解答：(1)设折叠后A在DC边上对应的点为A′， 则折痕EF所在直线的斜率
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解:法一 (直接法)解方程组
2x 3y 3 0,
x
y
2
0,
得
x y
3 5 7
, ,
5
37
所以两直线的交点坐标为（- ,- ）.
55
又因为所求直线与直线 3x+y-1=0 平行,
所以所求直线的斜率 为-3,
7
3
则 y-（- ）=-3[x-（- ）],
5
5
故所求直线方程为 15x+5y+16=0.
跟踪训练 1 1:将例 1 中“与直线 3x+y-1=0 平行的直线方程”改为“与直线 3x+y-1=0 垂直的直线方程”.其他不变,如何求解.
2x 3y 3 0, 解:法一 （解方程组 x y 2 0,
得
x y
3 5 7 5
, ,
所以两直线的交点坐
标为
3 5
,
7 5
.
(1)2x+3y+5=0,3x+2y+1=0; (2)x+2y+1=0,2x+4y+7=0.
两条直线的交点坐标
1:这两组直线的位置关系怎样? 若平行说明理由;若相交你能求出交点吗?
第(1)组相交,第(2)组平行.因为斜率相
同,在 y 轴上截距不同.求第(1)组交点
2x 3x
3 2
y y
5 1
2x y 1 0, x 2,
解析:解方程组
x
3y
11
0,
得
y
3.
∴l1 与 l2 的交点坐标为(2,3), 故选 B.
两点间的距离
2:在数轴上点 3 与点-2 的距离是多少? 平面上点 A(1,3)与点 B(2,1)的距离是多少?
(
它们之间的距离为 5.
|AB|= (2 1)2 (1 3)2 = 5 )
又因为所求直线与 3x+y-1=0 垂直,
1
所以所求直线的斜率为 ,
3
所求直线方程为
y-
7 5
=
1 3x3 5 Nhomakorabea即 5x-15y-18=0,）
所以所求直线的方程为 5x-15y-18=0. 法二（设所求直线的方程为 2x-3y-3+λ (x+y+2)=0( 其中λ为常数) 即(λ+2)x+( λ-3)y+2λ-3=0, 又因为所求直线与直线 3x+y-1=0 垂直.
所以- 2 = 1 ,解得λ=- 3 ,
3 3
4
将λ=- 3 代入 2x-3y-3+λ(x+y+2)=0, 4
化简得 5x-15y-18=0,
所以所求直线方程为 5x-15y-18=0.）
两点距离公式的应用
【例 2】 已知△ABC 的顶点坐标为 A(-1,5),
B(-2,-1),C(4,7),求 BC 边上的中线 AM 的长和 AM 所在直线的方程. 名师导引:(1)如何求中线 AM 的长?(先求 M 点的 坐标,然后利用两点间的距离公式求 AM 长度) (2)如何求 AM 所在直线的方程?(利用 A 点、M 点坐标,结合两点式求 AM 直线的方程)
法二 (待定系数法)设所求直线为 l, 因为直线 l 过已知两直线的交点, 因此直线 l 的方程为 2x-3y-3+μ (x+y+2)=0(其中μ为常数), 即(μ+2)x+( μ-3)y+2μ-3=0. 又直线 l 与直线 3x+y-1=0 平行,
2 2 2 3
所以-
=-3 且
≠
,
3
已知平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),
则|P1P2|= (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
特别地,P(x,y)与原点 O 的距离为
|OP|= x2 y2 .
【质疑探究 2】 当两点所在直线与 x 轴、y 轴平行时,距离是什么情况? (当直线 P1P2 平行于 x 轴时,|P1P2|=|x2-x1|; 当直线 P1P2 平行于 y 轴时,|P1P2|=|y2-y1|)
(A1x+B1y+C1 )+λ (A2x+B2y+C2)=0 (其 中λ为 参数) ,
但此方程不包括直线 l2,这个参数形式的方程 在解题中较为常用)
1:两条直线 l1:2x-y-1=0 与
l2:x+3y-11=0 的交点坐标为( B )
(A)(3,2)
(B)(2,3)
(C)(-2,-3) (D)(-3,-2)
直线的交
点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离
栏
课前预习
目
导
航
课堂探究
【课标要求】
1.了解方程组的解的个数与两直线平行、相 交或重合的对应关系. 2.会用解方程组的方法求两条相交直线交 点的坐标. 3.掌握两点间距离公式并能灵活应用.
【实例】 观察下列各组直线,判断它们的位置 关系.
则两直线相交,交点坐标为(x0,y0).
【质疑探究 1】 (1)你能总结出方程组的解与
两直线的位置关系吗?
(方程组的解的组数 与两直线的位置关系
方程组的解 交点个数 直线的位置关系
无解
0个
有惟一解
1个
平行
)
相交
有无数组解
无数个
重合
(2)过两直线交点的直线方程如何表示? (①过两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1 不同时为 0)与 l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为 0)交点的直 线系方程为 m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其 中 m,n 为参数,且 m,n 不同时为 0). ②上面的直线系方程 可改写成
0, 0,
得
x y
7 5
,
13 5
,
得交点坐
标
7 5
,-
13 5
两条直线的交点
已知两直线 l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0. 若两直线方程组成的方程组
A1x A2 x
B1 y C1 0, B2 y C2 0
有惟一解
x y
x0 , y0
,
2:已知点 P1(5,1),P2(3,-1),则
|P1P2|=
.
解析:由平面内两点 间的距离公式得,
|P1P2|= (3 5)2 (11)2 = 8 =2 2 .
答案:2 2
直线的交点问题
【例 1】 求过两直线 2x-3y-3=0 和 x+y+2=0 的交
点且与直线 3x+y-1=0 平行的直线方程. 名师导引:求解本题 的思路是什么?(先联立方程组 求得两直线的交点, 然后利用点斜式求得直线方程)
3
1
解得μ= 11 . 2
将μ= 11 代入上式,并整理, 2
得 15x+5y+16=0,即为所求.
解本题有两种方法: 一是采用 常规方法,先通过解 方程组求出两直线交点, 再根据平行关系求出 斜率,由点斜式写出直 线方程;二是采用过两直线 A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程: A1x+B1y+C1+ λ(A2x+B2y+C2)=0,直接设出过 两 直线交点的方程,再 根据平行条件待定系数 求解.