拉普拉斯变换的数学方法
第2章—拉普拉斯变换的数学方法
f t f t se st dt
27
若f(t)的二阶、三阶、……，各阶导函数存在，则：
L f n t s n F s s n 1 f 0 s n 2 f 0 f n 1 0
2.1 复数和复变函数
2. 复数的表示方法 （1） 点表示法
复平面
10
2. 复数的表示方法
（2） 向量表示法 模
s r 2 2
辐角 arctan
（3） 三角函数表示法和指数表示法
r cos
三角函数表示法
r sin
cos j sin
0
14
L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
0
s为复数，s = σ + jω，称f(t)为原函数，F(s)为象函数。 拉氏变换F(s)存在条件：
(1) 在任一有限区间上， f(t)分段连续， (2)被积函数 f(t)e-st 绝对值收敛， 只有有限个间断点 即f(t)e-σt绝对可积
23
3. 周期函数的拉氏变换
设函数f(t)是以T为周期的周期函数，即f(t+nT)=f(t) ，n为整数。 则f(t)的拉氏变换为： L f t f t e st dt
0
f t e dt
T st 0
2T
T
f t e dt
st
L f at f e
0
s a
1 1 1 s a d f e d F a a 0 a a
s
26
6. 微分定理
若时间函数f(t)的拉氏变换为F(s)，且其一阶导函数f’(t)存在，则
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换是一种常用的函数转换，本质上是把一个函数的时域分析映射到
频域进行分析的一种数学技术，它可以将复杂的时域信号转换成简单容易分析的频域信号，并把频域信号返回到时域中，更加进行精确分析。
拉普拉斯变换是线性变换，用数学表达式可以表示为：ltf（f）=∫f（t）dt。
拉普拉斯变换可把非线性时间变成线性频域，可简化信号分析和处理。
拉普拉斯变换可广泛用于信号检测、数字滤波器、信号识别、语音信号处理和图像处理等，可以应用到无人机、信号处理、智能安防系统等多个领域。
拉普拉斯变换的定义式可以进一步拆解，它可以使用傅里叶变换的性质拆分成
两步来计算，即对原始函数的幅值和相位各自进行傅里叶变换计算，最后取出拉普拉斯变换各自的幅值和相位，从而确定其结果。
拉普拉斯变换是一项伟大的数学发明，是理解时间系统和频率系统之间的相互
关系的必要工具。
由于其准确性和无偏性的特性，它已经成为解决非线性信号处理问题的重要工具，在数学、物理、信号处理等众多领域有着重要意义。
第五章 拉普拉斯变换-数学物理方法
d2 L[t 2 f ( t )] ( 1)2 2 F ( p) dp
……
dn n pt n F ( p) ( t ) f ( t )e dt ( 1) [t n f ( t )]e pt dt n 0 0 dp
dn L[t n f ( t )] ( 1)n n F ( p) dp
这个性质很容易从Laplace变换的定义得到，因为它只不 过是积分运算的线性性质的反映.
77
性质2 ：原函数的导数的拉氏变换
L 设f (t)及 f ' (t ) 都满足拉氏变换存在的充分条件， [ f ( t )] F ( p),
则： 0 f ( t )e dt f ( t ) e
' pt
n n
【证明
】 F ( p) f ( t )e pt dt
0
d pt F ( p) t f ( t )e dt [t f ( t )]e pt dt 0 0 dp d L[t f ( t )] F ( p) dp 2 d 2 pt 2 F ( p) ( t ) f ( t )e dt ( 1) [t 2 f ( t )]e pt dt 2 0 0 dp
L[ f ( t )] f ( t )e
'' '' 0 pt
dt e
0
pt
df ( t ) f ( t ) e
' '
pt 0
p f ' ( t )e pt dt
0
f ' (0) p[ pF ( p) f (0)] p2 F ( p) pf (0) f ' (0)
傅里叶变换和拉普拉斯变换公式总结
傅里叶变换和拉普拉斯变换公式总结
傅里叶变换和拉普拉斯变换是信号处理和控制系统中常用的数学工具，它们可以将时域信号转换为频域信号，从而方便分析和处理。
傅里叶变换：
时域信号：f(t)
傅里叶变换：F(ω) = ∫[from -∞ to +∞] f(t) e^(-jωt) dt 逆变换：f(t) = 1/2π ∫[from -∞ to +∞] F(ω) e^(jωt)
dω
傅里叶变换可以将时域信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而方便分析信号的频谱特性。
拉普拉斯变换：
时域信号：f(t)
拉普拉斯变换：F(s) = ∫[from 0 to +∞] f(t) e^(-st) dt
逆变换：f(t) = 1/2πj ∫[from α-j∞ to α+j∞] F(s)
e^(st) ds
拉普拉斯变换是傅里叶变换在复平面上的推广，可以处理包括指数衰减和增长的信号，并且在控制系统和信号处理中有着更广泛的应用。
在工程中，傅里叶变换和拉普拉斯变换常用于分析信号的频谱特性、系统的稳定性和动态响应等问题。
同时，它们也是许多数字信号处理和控制系统设计的基础。
因此，掌握傅里叶变换和拉普拉斯变换的原理和公式，对于工程领域的专业人士来说是非常重要的。
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
1 s
三、单位斜坡函数
0 t<0 r (t ) t t≥0 r (t ) 的拉氏变换
L[r (t )] t e dt
st 0
r (t )
f (t )
o
图2-2-3 单位斜坡函数
t
1 st 1 st (te ) e dt s s 0 0
（令t a 则） f ( )
0 s ( a )
a
e
as
0
d 0 f ( )e e d as f ( )e s d
sa s
e F (s)
eas 。 这个性质表明， f (t a)的象函数F (s)等于f (t )的象函数乘以指数因子
2 L[ f (t )] s F (s)
L[ f ( n) (t )] s n F (s)
7 积分性质
若 则
L[ f (t )] F (s)
L[
0
F ( s) f ( 1) (0) f (t )dt] s s
其中 f
推论：
(-1)
(0) f (t )dt
d n f (t ) n n 1 n2 L[ ] s F ( s ) s f ( 0 ) s f (0) f n dt
( n 1)
2
(0)
当 f (0) f (0) f (0) f ( n1) (0) 0
L[ f (t )] sF (s)
第一节 拉氏变换的定义
一、拉氏变换定义 对时间函数f(t)，t≥0，f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)]（简称拉氏变换） 或F(s)定义为 （2-1-1） 式中，s为复数，s=σ+ ј ω， f(t)称为原函数， F（s）为象函数。习惯 上以小写字母表示原函数，以其对应的大写字母表示象函数。 二、函数进行拉氏变换的条件 一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： 在t<0时， f (t ) 0 ； 在t≥0的任一有限区间内，f(t)是分段连续的；
8种常见的拉普拉斯变换，想搞不懂都难！
8种常见的拉普拉斯变换，想搞不懂都难！拉普拉斯变换（拉⽒变换）是⼀种解线性微分⽅程的简便运算⽅法，是分析研究线性动态系统的有⼒数学⼯具。
简单点说，我们可以使⽤它去解线性微分⽅程，⽽控制⼯程中的⼤多数动态系统可由线性微分⽅程去描述，因此拉⽒变换是控制⼯程领域必不可少的基础。
什么是拉⽒变换呢？⾸先，我们来看⼀下拉⽒变换的定义——设时间函数为f(t),t>0,则f(t)的拉普拉斯变换定义为:其中，f(t)称为原函数，F(s)称为象函数。
⼀个函数可以进⾏拉⽒变换的充要条件为：(1)在t<0时，f(t)=0;(2)在t≥0的任⼀有限区间内,f(t)是分段连续的；(3)当t→﹢∞时,f(t)的增长速度不超过某⼀指数函数，即：接下来为⼤家介绍⼏种常见的时间常数拉⽒变换，⼤家在看下⾯⼏种时间常数拉⽒变换的时候可将⼏个时间常数与这三个条件⼀⼀对应，有助于理解记忆。
1、单位脉冲函数单位脉冲函数数学表达式为：其对应的图像为：我们来看⼀个脉冲信号:从图中可看出，脉冲函数就像脉冲信号⼀样，在时间的⼀个微段dt内，信号强度快速增长，可达到⽆穷⼤，⽽单位脉冲函数指的是其微段dt与增长的⾼度的乘积为1，即h(dt)=1。
其拉⽒变换为:该函数有⼀个重要性质：f(t)为任意连续函数，当f(t)=e^(-st)时，该性质即可看为单位脉冲函数的拉⽒变换。
2、单位阶跃函数单位阶跃函数的数学表达式为：其函数图像为：其拉⽒变换为：3、单位斜坡函数单位斜坡函数的数学表达式为：函数图像为：其拉⽒变换为：其被积函数为幂函数与指数函数乘积，使⽤分部积分法求解（反对幂三指），这只是推到过程，我们使⽤的时候只需记住t的拉⽒变换为1/s^2即可。
4、单位加速度函数单位加速度函数的数学表达式为：其函数图像为：其拉⽒变换为：求解过程与单位斜坡函数的拉⽒变换求解过程相同，这⾥只需记住1/2T^2的拉⽒变换为1/s^3。
5、指数函数指数函数的数学表达式为：其函数图像为：其拉⽒变换为：求解过程为凑微分法。
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种在信号处理和控制系统中常用的数学工具，广泛应用于电路分析、线性系统分析、图像处理等领域。
拉普拉斯变换将一个时间域函数转换为一个复频域函数，从而方便对信号进行分析和处理。
在数学上，拉普拉斯变换可以理解为傅里叶变换的一种推广形式。
设函数f(t)在t≥0上有定义且满足一些条件，拉普拉斯变换定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt,其中，s为复频域变量，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的主要特点是将常微分方程和时间域中的卷积运算变换为代数运算和复频域中的乘法运算，从而简化了分析和求解的过程。
1. 线性性质：对于任意常数a和b，有L{af(t) + bg(t)} = aF(s)+ bG(s)；2. 平移性质：若F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，则e^(-at) f(t)的拉普拉斯变换为F(s+a)；3. 倍增性质：若F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，则f(at)的拉普拉斯变换为F(s/a)；4. 初值定理：若f(t)在t=0时有界且存在有限初值f(0)，则F(s)= lim(s→∞) sF(s) + f(0)；5. 终值定理：若f(t)在t→∞时有界，则lim(t→∞) f(t) =lim(s→0) sF(s)。
1.线性系统分析：通过拉普拉斯变换可以将微分方程转换成代数方程，从而便于对系统的稳定性、传递函数等进行分析；2.电路分析：拉普拉斯变换可以方便地求解电路的电压、电流等时间域特性，进一步可用于电路的设计和优化；3.信号处理：通过拉普拉斯变换，可以对信号的频域特性进行分析和滤波处理，如频率响应、系统传递函数等；4.控制系统设计：拉普拉斯变换可用于控制系统的传递函数分析、稳定性判断和控制器设计等方面；5.通信系统分析：拉普拉斯变换在调制、解调和信道等方面有广泛应用。
f(t) = L^(-1){F(s)} = (1/2πj) ∫[γ-j∞, γ+j∞] e^(st) F(s) ds,其中，γ为收敛路径，j为虚数单位。
常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换在数学和工程领域中，拉普拉斯变换是一种非常有用的工具，它能够将时域中的函数转换到复频域中，从而使许多问题的分析和求解变得更加简单。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的拉普拉斯变换及反变换。
拉普拉斯变换的定义是对于一个实变量 t 的函数 f(t)，其拉普拉斯变换 F(s) 定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt\其中，s 是一个复变量，通常表示为 s ＝σ ＋jω，σ 是实部，ω 是虚部，j 是虚数单位。
常用的函数拉普拉斯变换有很多，下面列举一些常见的例子。
单位阶跃函数 u(t)，其定义为 t ＜ 0 时，u(t) ＝ 0；t ≥ 0 时，u(t) ＝1。
它的拉普拉斯变换为 1 ／ s 。
指数函数 e^at （a 为常数），其拉普拉斯变换为 1 ／（s a) 。
正弦函数sin(ωt) 的拉普拉斯变换为ω ／（s^2 ＋ω^2) 。
余弦函数cos(ωt) 的拉普拉斯变换为 s ／（s^2 ＋ω^2) 。
单位脉冲函数δ(t)，其拉普拉斯变换为 1 。
这些常见函数的拉普拉斯变换在解决各种问题时经常会用到。
那么，为什么要进行拉普拉斯变换呢？这是因为在时域中分析一些问题可能会比较复杂，而通过拉普拉斯变换将其转换到复频域后，可以利用复频域中的一些特性和方法来简化问题的处理。
例如，在求解线性常系数微分方程时，通过对方程两边进行拉普拉斯变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而更容易求解。
接下来，我们再看看拉普拉斯反变换。
拉普拉斯反变换是将复频域中的函数 F(s) 转换回时域中的函数 f(t) 。
拉普拉斯反变换的计算方法通常有部分分式展开法和留数法等。
部分分式展开法是将 F(s) 分解为几个简单分式的和，然后根据已知的常见函数的拉普拉斯变换，直接写出对应的时域函数。
例如，如果 F(s) ＝（s ＋ 1) ／（（s ＋ 2)（s ＋ 3) ），可以通过部分分式展开为 A ／（s ＋ 2) ＋ B ／（s ＋ 3) 的形式，然后求出 A 和 B 的值，再根据常见函数的拉普拉斯变换反求出时域函数。
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s4
s1 s2
3 6
j4 j8
| s1 |
32
42
5，1
arctan
4 3
果的模等于这两个 复数的模相除；结
| s2 |
62
82
10，2
arctan
4 3
果的幅角等于这两 | 个复数的幅角相减。
s3
||
s1
||
s2
|
50，3
1
2
2 arctan
4 3
|
s4
|
| |
s1 s2
| |
5 10
➢一个复数s由实部σ和虚 j 1 称为虚数单位。
部ω构成，其代数式为 ➢两个复数相等的条件：实
s = σ + jω
部和虚部分别相等。
real part
imaginary part
s1 1 j1 s2 2 j2
其中σ、ω均为实数，表 示成
若 s1=s2 ， 则 必 有 σ1=σ2 ， ω1=ω2。 ➢一个复数等于0的条件：
e st
0
1 s2
16:11:05
3
本章主要内容
➢拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换的定义； ➢典型时间函数的拉氏变换； ➢拉氏变换的性质； ➢部分分式法求拉氏反变换。
➢其中“典型时间函数的拉氏变换”和“拉氏变换 的性质” 以自学为主，课堂上只提示性讲解。自 学过程中如果有问题采用答疑方式解决。
16:11:05
2
sin 1 (e j e j )
j2
16:11:05
10
2-1 复数和复变函数
➢复数的运算规律
➢例2-1
两个复数相乘，结
s1 3 j4，s2 6 j8
果的模等于这两个
s3 s1s2 =(3 j4)(6 j8)
复数的模的相乘； 结果的幅角等于这 两个复数幅角相加。
两个复数相除，结
1
Control Foundation in Mechanical Engineering
山东理工大学
机械工程学院
16:11:05
2
L[ f (t)] testdt 1 tdest
0
s0
1 test 1 estdt
s
0
s0
工程数学基础
0 1 s
estdt
0
1 s2
G(s) 10(s 1)(s 2) s(s 3)(s 4 j5)
当s＝1，-2时，G(s)＝0，所以1、-2为G(s)的零点。 当s＝0，-3，-4+j5时，G(s)＝∞，所以0、-3、-4+j5 为G(s)的极点。
16:11:05
14
1. 拉氏变换 2. 拉氏反变换
16:11:05
15
2-2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
➢简介
拉普拉斯变换是以法国著名的数
学家和天文学家拉普拉斯名字命名
的积分变换，最早是用于解决电力
工程计算中遇到的一些基本问题，
后来逐渐地在电学、力学、控制工
程等系统分析中得到了广泛的应用，
16:11:05
5
本章作业
➢P26～P27
2-2 2-4
➢本章作业第13周星期三 交。不要交作业本。
2-6（2）、（5）、（6）（（2）题结果应整理成正 、余弦函数形式）
2-7（2）、（4）（利用拉氏变换的卷积定理）
➢作业要求：
考核方式：闭卷考试（80%）
要独立完成作业。
+平时成绩（作业、考勤等 20%）
因此 s = rcosθ + jrsinθ = r(cosθ + jsinθ)
三角表示法
【 注 】e±jθ 的 模 为 1 ， 辐 角为±θ。
欧拉公式： e＋ jθ = cosθ ＋ jsinθ
e－jθ = cosθ － jsinθ
因此 s = re jθ
复指数表示法
cos 1 (e j e j )
作业要有解题过程。
按时完成和交作业。
写上自己的姓名、班号、序号（非学号）。
16:11:05
6
s j r(cos j sin ) 1. 复数的概念
2. 复数的表示法 3. 复变函数、极点与零点的概念
re j
16:11:05
7
2-1 复数和复变函数
1. 复数(complex number)的概念
σ = Re(s)，ω = Im(s) 其实部和虚部均为零。
【注】虚部不包括虚数单 ➢ s1 j 与 s2 j
位，但包含正负号。
互为共轭复数。
16:11:05
8
2-1 复数和复变函数
2. 复数的表示法
jω
点（坐标）表示法模/绝对值
r1=|s1|
向量表示法 三角表示法
r2=|s2|
θ1
0
f(s) = u + j v
实部
虚部
实部：u = f1(σ，ω) 虚部：v = f2(σ，ω)
模： f (s) u2 v2
幅角： arctan v
u
同样可以采用点（坐标） 表示法、向量表示法、三 角函数表示法和复指数表 示法。
16:11:05
13
2-1 复数和复变函数
➢复变函数的零点：使复变函数值等于0的点。 ➢复变函数的极点：使复变函数值等于∞的点。 例如，有下列复变函数：
σ
θ2
辐角
虚轴 jω
jω1 σ2
0
复平面
s1 1 j1
σ1
σ
jω2
s2 2 j2
实轴
图2-2 向量表示法
r s 2 2
arctan
虚部 实部
arctan
图2-1 点表示法
辐角的主值：[-π，π]
16:11:05
9
2-1 复数和复变函数
三角表示法
复指数表示法
由图2-2可知 σ = rcosθ ，ω = rsinθ
4
本章学习要求、重点、难点
➢学习要求
掌握拉普拉斯变换和 反变换的定义。
掌握典型时间函数的 拉氏变换。
掌握拉氏变换的主要 性质。
掌握拉氏反变换的部 分分式法。
了解用拉氏变换解常 微分方程的方法。
➢本章重点
典型时间函数的拉氏 变换
拉氏变换的主要性质
拉氏反变换的部分分 式法。
➢本章难点
拉氏变换和反变换的 计算
=
1 2
，4
1
2
0
16:11:05
11
2-1 复数和复变函数
例2-2 有复变函数
Gω时，求其实部u、虚部v、模及幅角。
解：G(s) s2 1 ( j)2 1
u 2 2 1
2 j2 2 1
v 2
模
( 2 2 1) j2
幅角
16:11:05
G(s) u2 v2 ( 2 2 1)2 (2)2
G(s)
arctan
v u
arctan
2
2 2
1
12
2-1 复数和复变函数
3. 复变函数(Complex Function)、极点与零点的概念
以复数s = σ + jω为自 变量，按某一确定规律构 成的函数f(s)称为复变函数 （复变量复值函数的简 称）。复变函数的函数值 一般也为复数(实数是复数 的特例），可写成