高中数学竞赛历年真题三角函数部分及答案

解：原不等式变形为 cos2 x 1 acos x a2 0 对任意的 x R 恒成立。运用换元法，令t=cosx,则
g1 0
可得到
gt t2 1 at a2
0
对任意的
t 1,1 恒成立。只需要
g1 0
即可，又因为a为负数，
所以 a 2
6,(2003年)若
x
5 12
,
3
，则
C y ctgx D y lg sin x
4,(2001年)如果满足ABC 60, AC 12, BC k 的 ABC恰有一个，那么k的取值范围
是（ D ）
A k 8 3 B 0 k 12
C2
D 0 k 12或 k 8 3
解：ABC
中，由正弦定理知：
AC sin B
BC ,sin A sin A
C
）
A 焦点在x轴上的椭圆
B 焦点在x轴上的双曲线
C 焦点在y轴上的椭圆
D 焦点在y轴上的双曲线
12,(2005年)设, , 满足0 2 ，若对于任意的 x R
4
cosx cosx cosx 0，则 = 3 。
提示：令 f x cosx cosx cosx 0 ，则f f f 0 ，可解得：
2
所以
AA1 cos
A 2
2sin B
A cos 2
A 2
sin
B
sinA
B
sin
B
sin C
同理 BB1 sin A sin C,CC1 sin A sin B ，所以原式=2
11,(2005年 )方程 sin
x2 2 sin
3 cos
y2 2 cos
3 1 表示的曲线是（
则
AA1
c
os
A 2
BB2
c
os
B 2
CC1
c
os
C 2
的值为（
A）
A
sin A sin B sin C
A2
B4
C6
D8
C
解：由AA1 是角A的平分线和同弧所对的圆周角相等可知
B
A1
CBA1 CAA1
A 2
,ABA1
B
A 2
,所以
ABC中应用正弦定理得：
AA1 2R 2 sin B A
1,(2000年)设 sin A 2k
6
0, cos
,2k , k
3
0 ，且
Z
sin
3
B
c
os 3
，则
3
2k , 2k 3 6 3
的取值范围是（
, k Z 3
D
）
C 2k 5 ,2k , k Z
6
D 2k ,2k 2k 5 ,2k , k Z
间上的图像与函数 gx a2 1 的图像所围成的封闭图形的面积是
。
解：f x a2 1sinax 由对称性可知， 所求封闭图形的面积为矩形ABCD面积
的一半。
AB 2
a2 1, BC T 2
a
S AB • BC 2 a2 1
2
a
10,(2005年)ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于 A1, B1,C1
A
解：做 OD 2OB,OF 3OC,做平行四边形ODEF ，则 ADF中
OA OD OF 0 ，所以点O为ADF的重心，所以
SAOD
SAOF
SDOF
S , 又SAOB
1 2
SAOD
S 2
,
SAOC
1 3
SAOF
S 3
, SBOC
1 2
SODC
1 6
SODF
S 6
OC
F
B
D
E
9,(2004年 )在平面直角坐标系xoy中，函数 f x asin ax cosaxa 0 在一个最小正周期长的区
cost,t
ห้องสมุดไป่ตู้
cos
sin
4
,
6
x
6
x 6
,令 g t
，令 t x , 6
2 cost,
sin 2t
x y
5 12
,
3
,t
4
,
2 与y cost 在 t sin 2t
6
，所以
4
,
6
是单调递增的，所以函数
gx
单调递增，所以
gmax
g 11 3 6 6
BC sin B k sin 60
AC
12
3k 24
，因为满足条件的
ABC
只有一个，所以 0 A B或A ，即 0 sin A sin 60或sin A 1 ，解得 0 k 12或k 8 3
2
5,(2002年)使不等式 sin2 x acosx a2 1 cosx 对于一切 x R 恒成立的负数a的取值范围 是 a 2。
4
3
6
解：满足 sin 0,cos 0 的
的范围是
2k
2
,2k
,
k
Z
，于是
3
的取值范围是
2k 3
, 2k , k Z 6 3 3
，满足
sin 3
cos 3
的
3
的取值范围是
2k
4
,2k
5 4
, k
Z
故所求范围是两个区间的交集，为
2k
4
,2k
3
2k
5 6
,2k
cos cos cos 1
2
，所以
,
,
2
3
,
4 3
，所以
4 3
13,(2006年)已知 ABC，若对任意的实数t，BA t BC AC ，则 ABC一定为（ C ）
A 锐角三角形 B 钝角三角形
C 直角三角形 D 答案不确定
解：设 BE t BC 则 BA t BC BA BE EA AC ，即线段AE的长度大于等于线段AC的长度， 即直线BC外一点A与直线BC上任一点的连线长度大于等于线段AC的长度，所以线段AC的 长度为A点到直线BC的距离，即 AC BC ，所以 ABC为直角三角形。
y
tan
x
2 3
tan x cos x 6 6
的最大值是（
C
）
A 12 2
5
B
11 2 6
C 11 3
6
D 12 3
5
解：
y
tan x 2 tan x 3
cost sin t cost sin t cost
6
2
2 sin 2t
cot x 6
,
k
Z
，选D
2,(2000年) arcsin sin 2000
=
20或
-
9。
3,(2001年)在四个函数 y sin x , y cosx , y ctgx, y lg sin x 中以 为周期，在 0, 上
单调递增的偶函数是（ D ）
2
A y sin x B y cosx
7,(2004年)设锐角 使关于x 的方程x2 4x cos cot 0 有重根，则 的弧度数是（B ）
A6
B 或 5
12 12
C 或 5
6 12
D
12
8,(2004年)设点O在ABC 内部，且有OA
2OB
3OC
0
，则
ABC的面积与 AOC
的面积比为（ C A2
） B
3 2
C3
D
5 3