新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何双曲线教案理解析版

基础知识整合

１．双曲线的概念

平面内与两个定点F１，F２（|F１F２|＝２c>0）的距离的差的绝对值为常数（小于|F１F２|且不等于零）的点的轨迹叫做错误!双曲线．这两个定点叫做双曲线的错误!焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的错误!焦距．

集合P＝{M|||MF１|—|MF２||＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a，c为常数且a>0，c>0：

（１）当错误!a

（２）当错误!a＝c时，M点的轨迹是两条错误!射线；

（３）当错误!a>c时，M点不存在．

２．双曲线的标准方程和几何性质

续表

a，b，c的关系,错误!c２＝a２＋b２（c>a>0，c>b>0）

双曲线中的几个常用结论

（１）焦点到渐近线的距离为Ｂ．

（２）实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．

（３）双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝错误!⇔双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）．（４）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为错误!.

（５）双曲线的离心率公式可表示为e＝错误!.

１．（２0１8·浙江高考）双曲线错误!—y２＝１的焦点坐标是（）

Ａ．（—错误!，0），（错误!，0）Ｂ．（—２,0），（２,0）

Ｃ．（0，—错误!），（0，错误!）Ｄ．（0，—２），（0,２）

答案B

解析因为双曲线方程为错误!—y２＝１，所以焦点坐标可设为（±c,0），因为c２＝a２＋b２＝３＋１＝４，c＝２，所以焦点坐标为（±２,0），选Ｂ．

２．（２0１9·宁夏模拟）设P是双曲线错误!—错误!＝１上一点，F１，F２分别是双曲线的左、右焦点，若|PF１|＝9，则|PF２|等于（）

Ａ．１Ｂ．１7

Ｃ．１或１7 Ｄ．以上均不对

答案B

解析根据双曲线的定义得||PF１|—|PF２||＝8⇒|PF２|＝１或１7．又|PF２|≥c—a＝２，故|PF２|＝１7，故选Ｂ．

３．（２0１9·湖北模拟）若双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一条渐近线经过点（３，—４），则此双曲线的离心率为（）

Ａ．错误!Ｂ．错误!

Ｃ．错误!Ｄ．错误!

答案D

解析由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，点（３，—４）在渐近线上，∴错误!＝错误!，又a２＋b２＝c２，∴c２＝a２＋错误!a２＝错误!a２，∴e＝错误!＝错误!.故选Ｄ．

４．已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的焦距为１0，点P（２,１）在C的渐近线上，则C 的方程为（）

Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１

Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１

答案A

解析∵点P（２,１）在曲线C的渐近线y＝错误!x上，∴１＝错误!，∴a＝２Ｂ．又∵错误!＝错误!＝５，即４b２＋b２＝２５，∴b２＝５，a２＝２0，故选Ａ．

５．（２0１8·北京高考）若双曲线错误!—错误!＝１（a>0）的离心率为错误!，则a＝________.

答案４

解析在双曲线中，c＝错误!＝错误!，且e＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，错误!＝错误!，a２＝１6，∵a>0，∴a＝４．

6．已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一条渐近线为２x＋y＝0，一个焦点为（错误!，0），则a＝________；b＝________.

答案１２

解析由题可知双曲线焦点在x轴上，故渐近线方程为y＝±错误!x，又一条渐近线为２x＋y＝0，即y＝—２x，∴错误!＝２，即b＝２a.又∵该双曲线的一个焦点为（错误!，0），∴c＝错误!.由a２＋b２＝c２可得a２＋（２a）２＝５，解得a＝１，b＝２．

核心考向突破

考向一双曲线的定义

例１（１）（２0１9·山西模拟）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0）的一条渐近线方程为２x＋３y＝0，F１，F２分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF１|＝２，则|PF２|＝（）Ａ．４Ｂ．6

Ｃ．8 Ｄ．１0

答案C

解析由题意得错误!＝错误!，解得a＝３．因为|PF１|＝２，所以点P在双曲线的左支上．所以|PF２|—|PF １|＝２a，解得|PF２|＝8．故选Ｃ．

（２）（２0１9·河南濮阳模拟）已知双曲线x２—y２＝４，F１是左焦点，P１，P２是右支上的两个动点，则|F１P１|＋|F１P２|—|P１P２|的最小值是（）

Ａ．４Ｂ．6

Ｃ．8 Ｄ．１6

答案C

解析设双曲线的右焦点为F２，∵|F１P１|＝２a＋|F２P１|，|F１P２|＝２a＋|F２P２|，∴|F１P１|＋|F １P２|—|P１P２|＝２a＋|F２P１|＋２a＋|F２P２|—|P１P２|＝8＋（|F２P１|＋|F２P２|—|P１P２|）≥8（当且仅当P１，P２，F２三点共线时，取等号），∴|F１P１|＋|F１P２|—|P１P２|的最小值是8．故选Ｃ．触类旁通

双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF１|—|PF２||＝２a，运用平方的方法，建立与|PF１|·|PF２|的联系.

即时训练１．虚轴长为２，离心率e＝３的双曲线的两焦点为F１，F２，过F１作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF２的周长为（）

Ａ．３Ｂ．１6＋错误!

Ｃ．１２＋错误!Ｄ．２４

答案B

解析由于２b＝２，e＝错误!＝３，∴b＝１，c＝３a，

∴9a２＝a２＋１，∴a＝错误!.

由双曲线的定义知，|AF２|—|AF１|＝２a＝错误!，１

|BF２|—|BF１|＝错误!，２

１＋２得|AF２|＋|BF２|—（|AF１|＋|BF１|）＝错误!，

又|AF１|＋|BF１|＝|AB|＝8，