matab实现牛顿法最速下降法罚函数法

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matab实现牛顿法最速下降法罚函数法

优化算法及应用报告（一）用Newton 法求函数最优解1.1课本P117页例4.3.2t0min （t ） = arctan xdx ϕ⎰1.2方法步骤Step1：给定初始点 1t ，k ε>0,=1Step2：对函数求一次导数得到df1，若|1|df <ε ，则迭代停止，输出k t 否则，二次求导dff2=0时，停止，解题失败。

当dff2不等于0时，转下一步。

Step3:计算1(1/2)k k t t df dff +=- ，如果1||k k t t +-<ε ，停止迭代，输出1k t +，否则，k=k+1，转step21.3计算结果：Df1= atan(x)（matlab 中arctan （x ）用atan （x ）表示） Dff2= 1/(x^2 + 1) （1）t1=1时接近最优解*t =0. （2）t1=2时1.4程序，见附件test1，newtonTest1 函数带入clcclear allsyms x tf1=int(atan(x),x,0,t);beex=newton(f1,t,1,0.5);newton 牛顿方法的函数function[besx]=newton(f1,t,t1,c) %step1syms tdf1=diff(f1,t);%函数一次求导dff2=diff(f1,t,2);%函数二次求导while(true)if(abs(subs(df1,t1))<c)%step2，满足条件，迭代停止.disp(t1);break%dff2等于0失败，否则转step3elsetk=t1-(subs(df1,t1))/(subs(dff2,t1))%step3if(abs(tk-t1)<c)besx=tk;%满足绝对值内tk-t1小于c，停止迭代，输出tk disp(besx);breakelset1=tk%条件不成立，k=k+1，转step2，t1=tk，构造循环endendendend1.5程序结果截图（二）用最速下降法求解（UMP ）2.1课本P124页例4.4.2221212min (,)25f x x x x =+ 取初始点0(2,2)T x = ，终止误差610-ε= 2.2方法步骤Step1：给定初始点0x ，终止误差ε >0,令k=0；Step2：用ccc1作为函数对x1的偏导，ccc2作为函数对x2的偏导，ccc3作为()kf x ∇ ，计算可得ccc3，若||3||ccc <ε，则停止迭代，输出k x 否则，转step3Step3:取pk=-ccc3Step4：利用第一问的牛顿法求最优解tk。

matlab牛顿拉夫逊法与快速分解法的实现

一、概述MATLAB是一种强大的数学软件工具，它提供了许多优秀的数值计算和数据分析功能。

其中，牛顿拉夫逊法和快速分解法是两种常用的数值计算方法，它们在解决非线性方程组和矩阵分解等问题中具有重要的应用价值。

本文将介绍如何在MATLAB中实现这两种方法，并对它们的优缺点进行详细分析。

二、牛顿拉夫逊法的实现1. 算法原理牛顿拉夫逊法是一种用于求解非线性方程组的迭代算法。

它利用函数的一阶和二阶导数信息来不断逼近方程组的解，直到满足精度要求为止。

算法原理可以用以下公式表示:公式1其中，x表示解向量，F(x)表示方程组的函数向量，J(x)表示方程组的雅可比矩阵，δx表示解的更新量。

通过不断迭代更新x，最终得到方程组的解。

2. MATLAB代码实现在MATLAB中，可以通过编写函数来实现牛顿拉夫逊法。

以下是一个简单的示例代码：在这段代码中，首先定义了方程组的函数向量和雅可比矩阵，然后利用牛顿拉夫逊法进行迭代更新，直到满足精度要求为止。

通过这种方式，就可以在MATLAB中实现牛顿拉夫逊法，并应用于各种实际问题。

三、快速分解法的实现1. 算法原理快速分解法是一种用于矩阵分解的高效算法。

它利用矩阵的特定性质，通过分解为更小的子问题来加速计算过程。

算法原理可以用以下公式表示:公式2其中，A表示要分解的矩阵，L和U分别表示矩阵的下三角和上三角分解。

通过这种分解方式，可以将原始矩阵的计算量大大减小，提高求解效率。

2. MATLAB代码实现在MATLAB中，可以利用内置函数来实现快速分解法。

以下是一个简单的示例代码：在这段代码中，利用MATLAB内置的lu函数进行LU分解，得到矩阵的下三角和上三角分解。

通过这种方式，就可以在MATLAB中实现快速分解法，并应用于各种矩阵计算问题。

四、方法比较与分析1. 算法复杂度牛顿拉夫逊法和快速分解法在计算复杂度上有所不同。

牛顿拉夫逊法的迭代次数取决于所求解问题的非线性程度，通常需要较多的迭代次数。

最优化方法实验报告(2)

最优化方法实验报告Numerical Linear Algebra And ItsApplications学生所在学院：理学院学生所在班级：计算数学10-1学生姓名：甘纯指导教师：单锐教务处2013年5月实验三实验名称：无约束最优化方法的MATLAB实现实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩：一、实验目的：通过本次实验的学习，进一步熟悉掌握使用MATLAB软件，并能利用该软件进行无约束最优化方法的计算。

二、实验背景：（一）最速下降法1、算法原理最速下降法的搜索方向是目标函数的负梯度方向，最速下降法从目标函数的负梯度方向一直前进，直到到达目标函数的最低点。

2、算法步骤用最速下降法求无约束问题n R()min的算法步骤如下：xxf，a ）给定初始点)0(x ，精度0>ε，并令k=0；b ）计算搜索方向)()()(k k x f v -∇=，其中)()(k x f ∇表示函数)(x f 在点)(k x 处的梯度；c ）若ε≤)(k v ，则停止计算；否则，从)(k x 出发，沿)(k v 进行一维搜索，即求k λ，使得)(min )()()(0)()(k k k k v x f v x f λλλ+=+≥； d ）令1,)()()1(+=+=+k k v x x k k k k λ，转b ）。

（二）牛顿法1、算法原理牛顿法是基于多元函数的泰勒展开而来的，它将)()]([-)(1)(2k k x f x f ∇∇-作为搜索方向，因此它的迭代公式可直接写出来：)()]([)(1)(2)()(k k k k x f x f x x ∇∇-=-2、算法步骤用牛顿法求无约束问题n R x x f ∈),(min 的算法步骤如下：a ）给定初始点)0(x ,精度0>ε，并令k=0；b ）若ε≤∇)()(k x f ，停止，极小点为)(k x ，否则转c ）；c ）计算)()]([,)]([)(1)(2)(1)(2k k k k x f x f p x f ∇∇-=∇--令；d ）令1,)()()1(+=+=+k k p x x k k k ，转b ）。

matlab编程实现二分法牛顿法黄金分割法最速下降matlab程序代码

matlab编程实现二分法牛顿法黄金分割法最速下降matlab程序代码二分法（Bisection Method）是一种寻找函数零点的数值计算方法。

该方法的基本思想是：首先确定一个区间[a, b]，使得函数在这个区间的两个端点处的函数值异号，然后将区间逐步缩小，直到找到一个区间[a', b']，使得函数在这个区间的中点处的函数值接近于零。

以下是使用MATLAB实现二分法的示例代码：```matlabfunction [x, iter] = bisection(f, a, b, tol)fa = f(a);fb = f(b);if sign(fa) == sign(fb)error('The function has the same sign at the endpoints of the interval');enditer = 0;while (b - a) / 2 > tolc=(a+b)/2;fc = f(c);if fc == 0break;endif sign(fc) == sign(fa)a=c;fa = fc;elseb=c;fb = fc;enditer = iter + 1;endx=(a+b)/2;end```牛顿法（Newton's Method）是一种用于寻找函数零点的数值计算方法。

该方法的基本思想是：通过迭代来逼近函数的零点，每次迭代通过函数的切线来确定下一个近似值，直到满足收敛条件。

以下是使用MATLAB实现牛顿法的示例代码：```matlabfunction [x, iter] = newton(f, df, x0, tol)iter = 0;while abs(f(x0)) > tolx0 = x0 - f(x0) / df(x0);iter = iter + 1;endx=x0;end```黄金分割法（Golden Section Method）是一种用于寻找函数极值点的数值计算方法。

matlab最速下降法

matlab最速下降法最速下降法是一种求解非线性函数的最优化方法。

在数学上，最速下降法是一种迭代算法，用于寻找多元函数的最小值。

最速下降法常常被用在优化和数值分析领域。

最速下降法基于负梯度方向更新搜索点的方法寻找函数最小值。

方法使用梯度下降的技术，因为负梯度方向是函数值下降最快的方向。

梯度是指函数在指定点的变化率。

对于给定的函数f(x)，我们定义梯度为∇f(x)=[∂f/∂x1, ∂f/∂x2, … , ∂f/∂xn]^T因此，最速下降法是根据梯度的方向（也就是负梯度的方向）来改变搜索方向和步长的。

最速下降法的流程如下：(1)确定起始点x0和收敛精度ε；(2)计算f(x)在x0处对各个方向上的导数；(3)按照负梯度方向进行搜索；(4)最终收敛到函数的最小值。

最速下降法的算法可以表示为算法1 最速下降法%输入：f(x)，∇f(x)表示函数f(x)的梯度，x0表示搜索起点，ε表示收敛精度，α表示步长%输出：x表示函数f(x)的最小值点function x = steepest_descent_method(f, grad_f, x0, epsilon, alpha)k = 0;x = x0;while norm(grad_f(x)) > epsilondk = -grad_f(x);x = x + alpha*dk;k = k + 1;endend其中，norm是向量的范数，grad_f表示函数f的梯度，alpha是步长因子，可以通过试验或线搜索确定。

在上述算法中，基于梯度的每一步都保证了函数值下降。

算法的停止条件通常是达到预定的精度或规定的最大迭代次数。

最速下降法的优缺点优点：(1)相对简单，易于理解和实现；(2)算法的执行速度相对较快。

(1)可能会在迭代过程中陷入局部最小值；(2)需要对步长因子α进行调整；(3)在非线性函数的优化中，最速下降法可能需要许多迭代才能收敛，导致计算量大。

最速下降法是一种通用的非线性优化算法，广泛应用于各种数学和工程问题中。

matlab牛顿法代码举例

matlab牛顿法代码举例使用 MATLAB 实现牛顿法的示例代码。

牛顿法（也称为牛顿-拉弗森方法）是一种在实数和复数域上求解方程的数值方法。

该方法使用函数和其导数的值来寻找函数零点的近似值。

function [root, iter] = newtonMethod(func, dfunc, x0, tol, maxIter) "%"newtonMethod 使用牛顿法求解方程"%"输入:"%"func - 目标函数"%"dfunc - 目标函数的导数"%"x0 - 初始猜测值"%"tol - 容差，求解精度"%"maxIter - 最大迭代次数"%"输出:"%"root - 方程的根"%"iter - 迭代次数x = x0;for iter = 1:maxIterfx = func(x);dfx = dfunc(x);if abs(dfx) < epserror('导数太小，无法继续迭代');endxnew = x - fx/dfx;if abs(xnew - x) < tolroot = xnew;return;endx = xnew;enderror('超过最大迭代次数');end"%"示例: 求解 x^3 - x - 2 = 0func = @(x) x^3 - x - 2;dfunc = @(x) 3*x^2 - 1;x0 = 1; "%"初始猜测值tol = 1e-6; "%"容差maxIter = 1000; "%"最大迭代次数[root, iter] = newtonMethod(func, dfunc, x0, tol, maxIter);fprintf('根是: "%"f, 在 "%"d 次迭代后找到\n', root, iter);在这个代码中，newtonMethod 函数接收一个函数 func 及其导数 dfunc，一个初始猜测值，容差和最大迭代次数 maxIter。

MATLAB实现最速下降法(梯度)程序

matlab最速下降法2010-08-18 17:13function x=fsxsteep(f,e,a,b)% fsxsteep函数最速下降法% x=fsxsteep(f,e,a,b)为输入函数 f为函数 e为允许误差 (a,b)为初始点;% fsx TJPU 2008.6.15x1=a;x2=b;Q=fsxhesse(f,x1,x2);x0=[x1 x2]';fx1=diff(f,'x1'); %对x1求偏导数fx2=diff(f,'x2'); %对x2求偏导数g=[fx1 fx2]'; %梯度g1=subs(g); %把符号变量转为数值d=-g1;while (abs(norm(g1))>=e)t=(-d)'*d/((-d)'*Q*d);t=(-d)'*d/((-d)'*Q*d); %求搜索方向x0=x0-t*g1; %搜索到的点v=x0;a=[1 0]*x0;b=[0 1]*x0;x1=a;x2=b;g1=subs(g);d=-g1;end;x=v;function x=fsxhesse(f,a,b)% fsxhesse函数求函数的hesse矩阵；% 本程序仅是简单的求二次函数的hesse矩阵！；% x=fsxhesse(f)为输入函数 f为二次函数 x1,x2为自变量；% fsx TJPU 2008.6.15x1=a;x2=b;fx=diff(f,'x1'); %求f对x1偏导数fy=diff(f,'x2'); %求f对x2偏导数fxx=diff(fx,'x1'); %求二阶偏导数对x1再对x1fxy=diff(fx,'x2'); %求二阶偏导数对x1再对x2fyx=diff(fy,'x1'); %求二阶偏导数对x2再对x1fyy=diff(fy,'x2'); %求二阶偏导数对x2再对x2fxx=subs(fxx); %将符号变量转化为数值fxy=subs(fxy);fyx=subs(fyx);fyy=subs(fyy);x=[fxx,fxy;fyx,fyy]; %求hesse矩阵syms x1 x2;X=[x1,x2];fx=X(1)^2+2*X(2)^2;z=fsxsteep(fx,0.001,1,1)。

matlab 最速下降迭代路径

一、Matlab最速下降迭代路径介绍Matlab是一款强大的数学软件工具，其中包含了各种数学工具箱，用于解决不同领域的数学问题。

最速下降迭代路径是其中的一个重要工具，用于求解非线性方程组或最优化问题。

二、最速下降迭代路径原理1.首先介绍最速下降法的思想：即在迭代过程中，每次选取下降方向时选择负梯度方向，使得目标函数值下降最快。

2.最速下降法的迭代公式：x^(k+1) = x^k - α * ∇f(x^k)，其中x^k 为迭代的当前点，α为步长，∇f(x^k)为目标函数在x^k点的梯度。

三、Matlab中最速下降迭代路径的函数及使用方法1.在Matlab中，可以使用fminunc函数来实现最速下降迭代路径。

其用法为[fval, x] = fminunc(fun, x0, options)，其中fun为目标函数的句柄，x0为迭代的初始点，options为优化选项。

2.在使用fminunc函数时，需注意定义目标函数的句柄，并设定合适的初始点和优化选项，以确保得到准确的最速下降迭代路径。

四、最速下降迭代路径的应用实例以一个简单的非线性方程组为例：f(x) = x^2 + 2y^2，其中目标是求解该方程组的最小值。

通过Matlab最速下降迭代路径，可以求解该方程组的最小值点。

五、总结与展望最速下降迭代路径是一种常用的非线性方程组求解方法，Matlab中的fminunc函数提供了便捷的实现途径。

今后，我们可以进一步深入研究不同类型问题下的最速下降迭代路径，并探索更多有效的数值计算方法。

以上是关于Matlab最速下降迭代路径的简要介绍，希望能为您提供一些帮助。

感谢阅读！最速下降迭代路径是一种常用的优化方法，广泛应用于解决非线性方程组和优化问题。

在Matlab中，最速下降迭代路径的实现通过fminunc函数来完成。

在本文中，我们将进一步探讨最速下降迭代路径的原理、Matlab中的具体使用方法以及其应用实例。

让我们更深入地了解最速下降迭代路径的原理。

最速下降法matlab代码

最速下降法matlab代码最速下降法（Steepest Descent Method）是一种用于数值优化问题的迭代算法。

下面是一个简单的最速下降法的MATLAB 代码示例：1.定义目标函数function f = objective(x)f = x(1)^2 + 4*x(2)^2 - 4*x(1) - 8*x(2); % 示例目标函数，可根据实际问题进行修改end2.定义目标函数的梯度function g = gradient(x)g = [2*x(1) - 4; 8*x(2) - 8]; % 示例目标函数的梯度，可根据实际问题进行修改end3.最速下降法function steepestDescent()x = [0; 0]; % 初始点epsilon = 1e-6; % 收敛准则，可根据实际问题调整maxIterations = 1000; % 最大迭代次数，可根据实际问题调整for k = 1:maxIterationsg = gradient(x); % 计算梯度if norm(g) < epsilon % 判断梯度范数是否小于收敛准则break;endalpha = 0.01; % 步长，可根据实际问题调整x = x - alpha * g; % 更新参数enddisp('Optimization Results:');disp('---------------------');disp(['Iterations: ', num2str(k)]);disp(['Minimum point: (', num2str(x(1)), ', ', num2str(x(2)), ')']);disp(['Objective function value: ', num2str(objective(x))]);end4.调用最速下降法函数steepestDescent();上述代码包含了以下几个关键部分：objective 函数：定义了目标函数，根据实际问题进行修改。

matlab牛顿法

matlab牛顿法牛顿法是一种经典的数值计算算法，其目的是在数值计算中寻找函数零点。

这个算法在工程、物理、计算机等各个领域都有广泛的应用。

在matlab中，牛顿法也是常用的算法之一。

1、牛顿法的概念及其原理牛顿法是一种迭代方法，用于解决方程f(x)=0的根。

该算法的基本思想是利用泰勒级数在函数零点处的展开式来逐步逼近函数零点。

具体地，看以下公式：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+...+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n这个公式表明了在x=x0附近的函数f(x)可以通过f(x0)以及一堆导数来近似表示。

如果我们只保留前两项，则有：0=f(x0)+f'(x0)(x-x0)然后可以解出以下的式子来得到下一个近似解：x1=x0-f(x0)/f'(x0)在牛顿法中只保留一阶泰勒级数，实际上是认为函数在零点附近，近似为线性函数，接下来的迭代是在这个线性函数上迭代得到零点。

2、应用牛顿法解决实际问题在实际问题中，当我们遇到求方程零点的问题时，我们可以使用牛顿法。

例如，我们想要计算sin(x)=1的解的话，可以将函数f(x)=sin(x)-1作为牛顿法的输入函数。

具体来说，可以这样写：% 定义初始值x0 = 1;% 定义牛顿法需要用到的函数f(x)fx = @(x) sin(x) - 1;% 迭代for i = 1:50x1 = x0 - fx(x0) / cos(x0);x0 = x1;enddisp(x1);通过这样的代码实现，我们可以得到方程sin(x)=1的解为1.5708。

事实上，matlab中有一个现成的函数，叫做fzero，可以直接用来求方程的解，这个函数内部实现也是用的牛顿法。

3、牛顿法的优缺点及适用条件牛顿法有其优点和缺点，其优点在于它的收敛速度非常快，因为它利用了导数来对函数刻画，逐步逼近了函数零点。

另外，牛顿法的收敛率是二次的，因此在计算精度方面也有比较大的保证。

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当dff2不等于0时，转下一步。

同时，令x0：x0=x0+tk*pk;k=k+1，转step22.3计算结果：用牛顿法解得t0约为0.0200（结果见2.5附图）而10001.919878 0.003070x x t p ⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭2.4程序，见附件test2，newton2，，funump Test2 题目函数带入clcclear allsyms x1x2tdfdx1=diff((x1)^2+25*(x2)^2,x1);dfdx2=diff((x1)^2+25*(x2)^2,x2);funump([2;2],10^(-6),0,dfdx1,dfdx2,10)newton 牛顿方法的函数（作为引用）%同第一问，不再注释function[beex]=newton2(f1,t,t1,c)syms tdf1=diff(f1,t);ddf1=diff(f1,t,2);t1=0;while(true)if(abs(subs(df1,t1))<c)beex=t1;disp(beex);breakelsetk=t1-(subs(df1,t1))/(subs(ddf1,t1));if(abs(tk-t1)<c)beex=tkdisp(beex);breakelset1=tk;endendendendfunump 最速下降法的函数（ump）function[bex]=funump(x0,c,k,dfdx1,dfdx2,m)syms x1x2tdf=[dfdx1;dfdx2];while(k>=0)x10=x0(1,1);%step1：给定初始点x20=x0(2,1);ccc1=subs(dfdx1,'x1',x10);%step2：用ccc1作为函数对x1的偏导ccc1=subs(ccc1,'x2',x20);ccc2=subs(dfdx2,'x2',x20);%ccc2作为函数对x2的偏导ccc2=subs(ccc2,'x1',x10);ccc3=[ccc1;ccc2];%计算可求得ccc3if(norm(ccc3)<c)%若ccc3的绝对值小于cbex=x0;breakelsepk=-ccc3;%Step3:取pk=-ccc3x1=x10+t*pk(1,1);x2=x20+t*pk(2,1);f1=(x10+t*pk(1,1))^2+25*(x20+t*pk(2,1))^2;beex=newton2(f1,t,0,c); %step4：引用第一问的牛顿算法方程 x0=x0+beex*pk;%x0=x0+tk*pk;k=k+1;%k=k+1，进行循环转入step2if(k>m)bex=x0;breakendendend2.5程序结果截图牛顿法解出t0X1（三）惩罚函数法——罚函数法3.1课本P146页例4.5.32min x 且s.t 10x -<= ，取,1,2k c k k == ……3.2 定义&定理罚函数法定义：它将有约束最优化问题转化为求解无约束最优化问题，其中M 为足够大的正数，起"惩罚"作用，称之为罚因子，F(x, M )称为罚函数。

定理：对于某个确定的正数M, 若罚函数F(x, M )的最优解x* 满足有约束最优化问题的约束条件，则x* 是该问题的最优解。

序列无约束最小化方法罚函数法在理论上是可行的，在实际计算中的缺点是罚因子M 的取值难于把握，太小起不到惩罚作用；太大则由于误差的影响会导致错误。

3.3方法步骤Step1：给定初始点0x ，罚参函数的数列{k c }（k=1,2……）给出检验终止条件的误差ε >0,令k=1；Step2：按（4.5.30）算出罚函数pck ，按（4.5.29）构造MP 的增光目标函数，即满足()()()ck ck F x f x p x =+Step3:选用某种无约束最优化方法（这里用第二问的最速下降法），以1k x- 为初始点，求解min ()ck F x设得到了最优解kx ，若得到了kx 已满足某种终止条件，则停止迭代，输出kx ，否则k=k+1，转入step23.4计算结果：目标函数最终为22(1),1时xk x x +-< 或 2,1时x x >，求得/(1)k x k k =+ ，k=1,2，…… K 无限增大时，其结果趋向13.5程序，见附件test3，funump3，chengfa Test3题目函数带入clc clear all syms x f=x^2; g1=1-x;bba = chengfa(0,1,f,g1)funump3 最速下降法的函数（作为引用）%同第二问，不再注释，与第二问区别，此处为一元function[bex]=funump3(x0,c,k,dfdx1,m)syms x1tdf=dfdx1;while(k>=0)x10=x0;ccc1=subs(dfdx1,x10);ccc3=ccc1;if(abs(ccc3)<c)bex=x0;breakelsepk=-ccc3;x1=x10+t*pk;f1=subs(dfdx1,x10+t*pk);beex=newton2(f1,t,0,c);%引用第一问的牛顿算法方程 x0=x0+beex*pk;k=k+1;if(k>m)bex=x0;breakendendendendchengfa惩罚函数法——罚函数法function[bba]=chengfa(x0,k,f,g1)syms x%step1，设置初始点，在函数中输入ck=k;%罚函数的数列while(true)ck=k;if(subs(g1,x0(1,1))>0)%step2，构造罚函数和目标函数 pck=ck*(1-x);%x<1时Fck=f+pck;elsepck=0;%x>1时Fck=f+pck;endx0=funump3(x0,10^(-2),k,Fck,20);%调运最速下降法的函数（见问题二） k=k+1;%k=k+1，进入循环，转入step2if(k>50)x0;break%设置终止条件，假设满足此条件终止endend2.5程序结果截图随终止条件改变而改变，部分截图：。