【专题复习】专题3.1 函数与方程-高一数学人教版(必修1)
一、函数的零点 1．函数零点的概念对于函数()y f x =，我们把使_______的实数x 叫做函数()y f x =的零点．易错提醒1．函数的零点是实数，而不是点． 2．并不是所有的函数都有零点．3．若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．2．函数零点与方程根的联系函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的________．所以方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．二、函数零点的判断如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是_______一条曲线，并且有_______，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根． 注意：由零点存在性定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数． 三、二分法的定义对于在区间[,]a b 上连续不断且______的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．注意：用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点（曲线通过零点时函数值的符号变号）适用，对函数的不变号零点（曲线通过零点时函数值的符号不变号）不适用． 四、用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤如下： 1．确定区间[,]a b ，验证_______，给定精确度ε． 2．求区间(,)a b 的中点c ． 3．计算()f c ，（1）若()0f c =，则c 就是函数的零点；（2）若()()0f a f c ⋅<，则令b c =（此时零点0(,)x a c ∈）； （3）若()()0f c f b ⋅<，则令a c =（此时零点0(,)x c b ∈）．4．判断是否达到精确度ε：即若________，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复2~4．名师提醒1．应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应注意在第一步中要使： （1）区间[,]a b 的长度尽量小；（2）()f a ，()f b 的值比较容易计算，且()()0f a f b ⋅<．2．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．易错辨析精确度与精确到不是一回事，精确度是近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设x 为准确值，x '为x 的一个近似值，若x x ε'-<，则x '是精确度为ε的x 的一个近似值．而按四舍五入的原则得到准确值x 的前几位近似值x '，x '的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位．K 知识参考答案：一、1．()0f x =2．横坐标二、连续不断的 ()()0f a f b ⋅< 三、()()0f a f b ⋅< 一分为二四、1．()()0f a f b ⋅<4．a b ε-<K —重点1．函数零点的概念，零点的存在性定理；2．二分法，用二分法求解函数()f x 的零点近似值． K —难点 1．零点的存在性定理；2．恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．K —易错1．函数的零点是一个实数，是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标；2．零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线；二是()()0f a f b ⋅<；3．利用二分法求方程近似解时，要随时检验区间[,]a b 的长度与精确度ε的关系，一旦有a b ε-<，应立即停止计算，该区间中的任一值都是方程的近似解．1．函数零点的求法求函数的零点一般有两种方法．（1）代数法：根据零点的定义，解方程()0f x =，它的实数解就是函数()y f x =的零点． （2）几何法：若方程()0f x =无法求解，可以根据函数()y f x =的性质及图象求出零点．【例1】已知函数221,1()1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，则函数()f x 的零点为________．【答案】0【解析】当1x ≤时，由()210xf x =-=，解得0x =； 当1x >时，由2()1log 0f x x =+=，解得12x =，又因为1x >，所以此时方程无解． 综上，函数()f x 的零点为0．【名师点睛】求函数的零点就是求使这个函数的函数值为零时的自变量的值，即解相应的方程．若遇到解高次方程，可用因式分解法．【例2】若函数()2f x x ax b =-+的两个零点是2和3，则函数()21g x bx ax =--的零点是A ．1-和16B ．1和16- C ．12和13D ．12-和3 【答案】B2．函数零点个数的判断方法（1）解方程法：令f （x ）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f （a ）·f （b ）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【例3】已知01a <<，则函数log xa y a x =-的零点的个数为______． 【答案】2【解析】函数log xa y a x =-的零点的个数即为方程log xa a x =的解的个数，也就是函数()(01)xf x a a =<<与()log (01)a g x x a =<<的图象的交点的个数．画出函数图象如图所示，观察可得函数()(01)xf x a a =<<与()log (01)a g x x a =<<的图象的交点的个数为2，从而函数log xa y a x =-的零点的个数为2．【技巧点拨】判断函数()()()f x h x g x =-的零点个数问题，可采用数形结合的方法． 3．判断函数零点、方程的根所在的区间确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与x 轴的交点来确定． 【例4】已知实数,a b 满足23,32ab==，则函数()xf x a x b =+-的零点所在的区间是 A ．(2,1)-- B ．(1,0)- C ．(0,1)D ．(1,2)【答案】B【名师点睛】在判断区间端点对应的函数值的符号时，要注意运用指数函数、对数函数及幂函数的相关知识来解决．4．求与零点（或方程的根）有关的参数的取值范围 （1）已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用． （2）已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题． 【例5】函数()22x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是 A ．()1,3 B ．()1,2 C ．()0,3D ．()0,2【答案】C【例6】已知函数()()21,1,1a x x f x x a x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩， 函数()()2g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(2,3]【解析】由题意函数()()()2[1]y f x g x f x =-=-恰有4个零点，则方程()1f x =有4个解．作出函数()()21,1,1a x x f x x a x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩的图象，如图所示，当1x ≤时，函数()f x 的最大值为a ；在[1,1]-上，()1f x a x =-+的最小值为(1)2f a =-； 当1a >时，在(1,]a 上，2(1)(1)f a =-．要使方程()1f x =有4个解，则()212111a a a ⎧>⎪⎪-≤⎨⎪->⎪⎩，解得23a <≤．故实数a 的取值范围是(2,3]．5．二次函数的零点与一元二次方程根的分布问题 （1）二次函数2)( 0y ax bx c a =++>的零点：0∆> 0∆= 0∆<二次函数2)( 0y ax bx c a =++>的图象与x 轴的交点 （x 1，0），（x 2，0）（x 1，0）无交点 零点个数21（2）一元二次方程20ax bx c ++=在区间内的根的问题一般转化为相应的二次函数的零点问题，转化时需要从三个方面考虑： ①判别式；②区间端点函数值的正负； ③对称轴2bx a=-与区间端点的关系． 【例7】若方程()()21210x k x k +--+=的一个根在区间()2,3内，则实数k 的取值范围是 A ．()3,4 B ．()2,3 C ．()1,3D ．()1,2【答案】D【解析】设()()()2121f x x k x k =+--+，对于方程()()21210x k x k +--+=，判别式为()()()221412130k k k ∆=--⨯⨯-+=+≥⎡⎤⎣⎦， 当3k =-时，函数()f x 的唯一零点为()22,3x =-∉，故要使方程()()21210x k x k +--+=的一个根在区间()2,3内，只需()()230f f ⋅<，即()()441050k k -⋅-<，解得12k <<，故选D ． 【例8】（1）m 为何值时，2()234f x x mx m =+++． ①有且仅有一个零点； ②有两个零点且均比1-大．（2）若函数2()4f x x x a =-+有4个零点，求实数a 的取值范围．（2）令()0f x =，得240x x a -+=，即24x x a -=-． 令2()4g x x x =-，()h x a =-． 作出(),()g x h x 的图象如图所示：由图象可知，当04a <-<，即40a -<<时，()g x 与()h x 的图象有4个交点，即()f x 有4个零点，故a 的取值范围为(4,0)-．【名师点睛】第（1）问利用方程的根与相应函数的零点的联系，把问题转化为含参数的一元二次方程根的分布问题，可根据一元二次方程实数根的分布与二次函数的图象列出等式或不等式组，从而获得参数的值或取值范围． 6．二分法的适用条件当方程()0f x =同时满足下列三个条件时：（1）函数()f x 在闭区间[,]a b 上的图象是一条连续曲线； （2）函数()f x 在区间(,)a b 上有唯一的零点； （3）()()0f a f b ⋅<．用二分法一定能够求出方程()0f x =的近似解．【例9】下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是【答案】C【名师点睛】若D 选项中的图象在包含零点的一定区间内，函数是连续的，则仍可以使用二分法求零点． 7．二分法的简单应用二分就是平均分成两部分，二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．【例10】用二分法求函数()f x 的一个正实数零点时，经计算：()()0.640,0.720f f <>，()0.680f <，()0.740f >，则函数()f x 的一个精确度为0．1的正实数零点的近似值为A ．0.64B ．0.8C ．0.7D ．0.6【答案】C【名师点睛】“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点． 8．用二分法求函数的零点或方程的近似解（1）用二分法求函数的零点按照二分法求函数零点近似值的步骤求解即可，在求解过程中，我们可以借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小的零点所在的区间，在区间长度小于精确度ε时终止运算． （2）根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程()0f x =的近似解，即按照用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤求解．对于求形如()()f x g x =的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如()()()0F x f x g x =-=的方程的近似解，然后按照用二分法求函数()F x 零点近似值的步骤求解．有些较复杂的探求方程近似解的问题需要大致作出函数图象或列表，以此确定方程近似解所在的区间，即初始区间．【例11】用二分法求函数2()5f x x =-的一个正零点（误差不超过0.02）． 【解析】由于(0)50(3)40f f =-<=>，，故可取区间(03)，作为计算的初始区间． 用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数值（或近似值）(03)， 1.5 2.75-(1.53)， 2.25 0.0625(1.52.25)，1.8751.484-(1.8752.25)， 2.0625 0.746- (2.06252.25)，2.15625 0.351- (2.156252.25)，2.2031250.146-由上表计算可知，区间(2.22656252.23828125)，的长度小于0.02，所以此区间的中点2.232421875可作为所求函数的一个正零点的近似值．【名师点睛】用二分法求函数的零点的近似值，首先要选好初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小；其次要依据给定的精确度及时检验区间长度是否满足精确度，以决定是否继续计算． 【例12】借助计算器或计算机，用二分法求方程lg 210xx --+=的近似解（精确到0.1）．【解析】令()lg 21xf x x -=-+，函数()f x 的定义域为(0,)+∞．因为函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以()f x 至多有一个零点．又因为(1)0.50f =>，(0.1)0.9330329910f ≈-<，所以方程在(0.1,1)内有唯一一个实数解． 用二分法逐次计算，列表如下：由于区间(0.493750.521875)，内的所有值，若精确到0.1，都是0.5，所以0.5是方程精确到0.1的近似解．【名师点睛】本题中利用函数的单调性确定了初始区间，也可以在平面直角坐标系中画出函数lg 1y x =+与函数1()2x y =的图象，根据图象确定初始区间．9．二分法思想的实际应用二分法的思想方法除了可以用来处理生活中、数学中的对称问题外，还可以通过其思想方法处理一些现实中的不对称问题，在生活中、数学中也经常见到．要注意二分法的思想方法与实际问题之间的联系及其应用．【例13】有9个外表看上去一样的小球，其中8个重10克，1个重9克，现有一架天平，问至少称_______次可以确保把轻球挑出来． 【答案】210．忽略零点存在性定理成立的条件 【例14】函数1()f x x x=+的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【错解】因为(1)20f -=-<，(1)20f =>，所以函数()f x 有一个零点，故选B ．【错因分析】函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域．通过作图（图略），可知函数1()f x x x=+的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间上使用．【正解】函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，当0x >时，()0f x >；当0x <时，()0f x <． 所以函数()f x 没有零点，故选A ．【名师点睛】零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理．1．函数f（x）=x2–3x–4的零点是A．（1，–4）B．（4，–1）C．1，–4 D．4，–1 2．函数y=ax–2的零点有A．0个B．1个C．2个D．3个3．对于用二分法求函数的零点的说法，下列正确的是A．函数只要有零点，就能用二分法求B．零点是整数的函数不能用二分法求C．多个零点的函数，不能用二分法求零点的近似解D．以上说法都错误4．方程1xx-=的一个实数解的存在区间为A．（0，1）B．（0.5，1.5）C．（–2，1）D．（2，3）5．方程2x+x=0在下列哪个区间内有实数根A．（–2，–1）B．（0，1）C．（1，2）D．（–1，0）6．根据表格中的数据，可以断定函数f（x）=e x–x–2的一个零点所在的区间是x+2 1 2 3 4 5x–1 0 1 2 3e x0.37 1 2.72 7.39 20.09A．（–1，0）B．（1，2）C．（0，1）D．（2，3）7．已知函数f（x）=（14）x–15x，那么函数f（x）零点所在的区间可以是A．（–1，0）B．（0，15）C．（15，14）D．（14，1）8．已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）对应值：x 1 2 3 4 5 6f（x）12 10 –2 4 –5 –10函数f（x）在区间[1，6]上的零点至少有__________个．9．函数f（x）=ax2+2ax+c（a≠0）的一个零点为1，则它的另一个零点是__________．10．已知函数f（x）在定义域R上的图象如图所示，则函数f（x）在区间R上有__________个零点．11．若f（x）在区间[a，b]内单调，且f（a）•f（b）<0，则f（x）在区间[a，b]内A．至多有一个根B．至少有一个根C．恰好有一个根D．不确定12．方程x3–x–1=0在[1，2]的一个近似解（精确到0.1）是A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.513．已知函数f（x）=3x+x–5的零点x0∈[a，b]，且b–a=1，a，b∈N*，则a+b=A．–2 B．1 C．2 D．314．已知二次函数f（x）=ax2–（a+2）x+1，若a为整数，且函数f（x）在（–2，–1）上恰有一个零点，则a的值是A．–1 B．1 C．–2 D．215．方程x3+x–1=0的解x∈[n，n+1]（n∈N），则n=__________．16．方程x5–x–1=0的一个零点存在的区间可能是__________．（端点值为整数）17．已知函数f（x）对一切实数x都有f（2–x）=f（2+x），若函数f（x）恰有4个零点，则这些零点之间的和为__________．18．已知函数f（x）=x+2，判断函数g（x）=[f（x）]2+f（x2）有无零点？并说明理由．19．利用二分法求方程x 2–2=0的一个正根的近似值（精确到0.1）．20．（2018•浙江）已知λ∈R ，函数f （x ）=2443x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，，，当λ=2时，不等式f （x ）<0的解集是__________．若函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是__________．21．（天津）已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0且a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<=>≠⎨++≥⎩在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是__________．1 2 3 4 5 6 7 11 12 13 14 DBDBDBCCBDA1．【答案】D【解析】由x2–3x–4=0，可得x=4或–1，∴函数f（x）=x2–3x–4的零点是4，–1．故选D．2．【答案】B【解析】∵函数y=ax–2，∴a≠0时，函数y=ax–2，单调函数，∴ax–2=0．x=2a，故选B．3．【答案】D4．【答案】B【解析】解方程1xx-=得，x=1或x=–1，故选B．5．【答案】D【解析】设函数f（x）=2x+x，其对应的函数值如下表：x–2 –1 0 1 2f（x）–74–121 3 6由于f（–1）•f（0）<0，所以方程2x+x=0在（–1，0）内有实数根，故选D．6．【答案】B【解析】根据表格中的数据，我们可以判断f（–1）<0，f（0）<0，（1）<0，f（2）>0，f（3）>0，根据零点存在定理得：在区间（1，2）上函数存在一个零点，故选B．7．【答案】C【解析】计算可得f（–1）=（14）–1–（–115)=4+1=5>0，f（0）=（14）0–150=1>0，f（1）=14–1<0，f（14）=115411()()44-<0，f（15）=115511()()45->0，∴f（14）•f（15）<0，∴函数f（x）在区间（15，14）有零点，故选C．8．【答案】3【解析】由函数的零点判定定理可知，函数的零点在（2，3），（3，4），（4，5）各一个零点，共有3个．故答案为：3．9．【答案】–3【解析】由题意可知方程ax2+2ax+c=0的一个根为1，设方程的另一个根为x1，根据根与系数的关系，则x1+1=–2，∴x1=–3．故答案为：–3．10．【答案】3【解析】由函数f（x）在定义域R上的图象可知，在区间R上，图象与x轴有三个交点，∴函数f（x）在区间R上有3个零点．故答案为：3．11．【答案】C12．【答案】B【解析】由已知令f（x）=x3–x–1，所以f（1）=–1，f（2）=4，由二分法知计算f（1.5）=78>0，由二分法知计算f（1.25）=–0.2969<0．所以方程的根位于区间（1.25，1.5）内．由f（1.375）=0.225>0．所以方程的根位于区间（1.25，1.375）内．故符合要求的选项只有1.3．故选B．13．【答案】D【解析】∵函数f（x）=3x+x–5，∴f（1）=31+1–5=–1<0，f（2）=32+2–5=4=6>0，∴f（1）f（2）<0，∴f（x）的零点x0在区间（1，2）内．∴a=1，b=2，∴a+b=3，故选D．14．【答案】A【解析】①当a=0时，–2x+1=0，故x=12；②当a<0时，函数f（x）=ax2–（a+2）x+1的零点一正一负，故f（–2）•f（–1）=（6a+5）（2a+3）<0，故–32<a<–56；③当a>0时，ax2–（a+2）x+1=0的两根为正值，故函数f（x）=ax2–（a+2）x+1在区间（–2，–1）上没有零点，综上所述，–32<a<–56．∵a为整数，∴a=–1．故选A．15．【答案】0【解析】方程x3+x–1=0的解即函数y=x3+x–1=0的零点，也就是函数y=x3与函数y=1–x交点的横坐标，在同一坐标系中作出函数y=x3与函数y=1–x的图象如下图所示：由图可知函数图象交点的横坐标位于区间[0，1]上，故n=0，故答案为：0．16．【答案】（1，2）【解析】令f（x）=x5–x–1，把x=0，1，2，3，4代入，若f（a）•f（b）<0，则零点在（a，b），所以f（1）<0，f（2）>0满足，所以在（1，2），故答案为：（1，2）．17．【答案】818．【答案】函数g（x）无零点，理由详见解析．【解析】∵f（x）=x+2，∴函数g（x）=[f（x）]2+f（x2）=（x+2）2+x2+2=2x2+4x+6=2（x+1）2+4>0，∴函数g（x）与x轴无交点，因此函数g（x）无零点．19．【答案】1.4【解析】本题即求函数f（x）=x2–2的一个为正数的零点，因为f（1）=–1<0，f（2）=2>0，所以方程x2–2=0在区间（1，2）上有实数解．再根据f（1.5）=0.25，f（1.5）•f（1）<0，再根据用二分法求方程的近似解的方法和步骤，所以方程x2–2=0在区间（1，1.5）上有实数解．…，如此不断进行下去，得到方程x2–2=0的近似解为1.4．20．【答案】{x|1<x<4}；（1，3]∪（4，+∞）函数f （x ）恰有2个零点，则1<λ≤3或λ>4．故答案为：{x |1<x <4}；（1，3]∪（4，+∞）． 21．【答案】12[,)33【解析】由函数()f x 在R 上单调递减得43130,01,31234a a a a --≥<<≥⇒≤≤，又方程|()|23x f x =-恰有两个不相等的实数解，所以232,3解得a a <<，因此a 的取值范围是12[,)33．。
(新课标人教版A)数学必修一：3-1-1函数与方程
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第三章 函数的应用
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3．1 函数与方程 3．1.1 方程的根与函数的零点
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【课标要求】 1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数． 2．理解函数零点的概念，掌握函数零点的存在性定理． 3．通过函数零点的学习，体会函数与方程思想和数形结合思想 的应用． 【核心扫描】 1．求函数的零点．(重点) 2．零点存在性及零点个数的判定．(难点) 3．函数的零点与方程根的关系．(易混点)
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解析 因为 f(9)＝lg 9－1＜0， f(10)＝lg 10－190＝1－190＞0， 所以 f(9)·f(10)＜0， 所以 f(x)＝lg x－9x在区间(9,10)上有零点． 答案 D 规律方法 在区间(a，b)上判断是否有 f(a)·f(b)＜0，这是判断在 区间(a，b)上有无零点的基本方法，同时要注意如果 f(a)·f(b)＞0， 并不说明该函数没有零点．
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如 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的两个零点为
x1，x2(x1≤x2)且 k1＜x1≤x2＜k2.
Δ≥0， 则k1＜－2ba＜k2，
ffkk12＞＞00，，
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题型一 求函数的零点 【例 1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝xx＋；3 (2)f(x)＝x2＋2x＋4； (3)f(x)＝2x－3； (4)f(x)＝1－log3x； [思路探索] 利用解方程的方法求相应方程的根即可．
高一必修一数学函数与方程知识点归纳
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方程知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。
1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 高考对本节内容的考查主要体现在以下几个方面：(1)结合
函数与方程的关系，求函数的零点;
(2)结合根的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零
点及零点个数(方程是否存在实数根及方程根的个数)进行
判断，如2019年北京T5，湖北T3，湖南T9等.
(3)利用零点(方程实根)的存在性求相关参数的值或范围. 1.函数的零点
(1)定义：
对于函数y=f(x)(xD)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数
y=f(x)(xD)的零点.
(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间
的关系：
方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数
y=f(x)有零点.。
人教A版高中数学必修一课件：3.1函数与方程 (共17张PPT)
(1) y 2
x 3
8
(2) y log3 ( x 2)
解：令y=0，解得 x=3
解：令y=0，解得 x=6
例2.下列各图象表示的函数中没有零点的是 ( D )
问题探究2：
问题1： 1.如图，函数f(x)=x2-2x-3的零点是什么？
零点： -1, 3 .
-2 -1
f(x)=x2-2x-3
类型二：判断函数零点个数
例3.求函数f ( x) ln x 2 x 6的零点的个数.
解法二：
①令f(x)=0, 得方程lnx+2x-6=0 ②方程变形，lnx=-2x+6 , 拆成两个函数 g(x)=lnx, h(x)=6-2x ③画出两个函数图象 ④两个函数图象的交点个数
数形结合思想 y
6
y=－2x +6 y= lnx
1
0
1 2 3 4
x
类型三：确定函数零点所在的大致区间
9 例4.函数f(x)=lgx的零点所在的大致区间是( x
A.(6,7) B.(7,8) C.(8,9) D.(9,10)
D
)
课堂小结
1、函数零点的定义： 2、方程的根，函数图像与x轴交点的横坐标 与函数零点的等价关系：
第三章 函数的应用 3.1 函数与方程
—————洪维维
问题探究1:
一元二次方程
对应的二次函数
y
x1=－1,x2=3
y
－1
.
2 1
－1 －2
0
1
2
.
3
x
－3 －4
问：一元二次方 程的根与对应的 二次函数图像的 交点的横坐标有 什么关系？
x1=x2=1
高中数学 人教A版必修一 3.1函数与方程 课件 新
答案
知识点二 零点存在定理 思考 函数零点有时是不易求或求不出来的.如 f(x)＝lg x＋x.但函数值易求， 如我们可以求出 f(110)＝lg 110＋110＝－1＋110＝－190，f(1)＝lg 1＋1＝1. 那么能判断 f(x)＝lg x＋x 在区间110，1内有零点吗？ 答案 能.因为 f(x)＝lg x＋x 是连续的，函数值从－190变化到 1，势必在110，1 内某点处的函数值为 0.
答案
4.下列各图象表示的函数中没有零点的是( D )
1 23 45
答案
第三章 3.1 函数与方程
学习目标
1.理解二分法的原理及其适用条件； 2.掌握二分法的实施步骤； 3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 二分法的原理
思考 上节课，我们已经知道f(x)＝ln x＋2x－6的零点在区间(2,3)内， 如何缩小零点所在区间(2,3)的范围？ 答案 ①取区间(2,3)的中点2.5. ②计算f(2.5)的值，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)·f(3)<0，所 以零点在区间(2.5,3)内.
解析答案
类型二 判断函数的零点所在的区间 例2 根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个
根所在的区间是( C )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x＋2
1
2
A.(－1,0)
B.(0,1)
解析 令f(x)＝ex－(x＋2)，
高中数学人教版必修一：31 《函数与方程(练习)》
3.1 《函数与方程（练习）》导学案【学习目标】 1． 体会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件；2． 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；3． 初步形成用图象处理函数问题的意识．【知识链接】（预习教材P 86~ P 94，找出疑惑之处）复习1：函数零点存在性定理．如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点．复习2：二分法基本步骤．①确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b <，给定精度ε；②求区间(,)a b 的中点1x ；③计算1()f x ： 若1()0f x =，则1x 就是函数的零点； 若1()()0f a f x <，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）； 若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）； ④判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤②~④．【学习过程】※ 典型例题例1、已知3()2log (19)f x x x =+≤≤，判断函数22()()()g x f x f x =+有无零点?并说明理由．小结：利用函数图象解决问题，注意|()|f x 的图象．例3、试求()f x ＝381x x -+在区间[2,3]内的零点的近似值，精确到0．1．小结：利用二分法求方程的近似解． 注意理解二分法的基本思想，掌握二分法的求解步骤． ※ 动手试试练1．已知函数()()14,4x f x e g x x -=-=，两函数图象是否有公共点?若有，有多少个?并求出其公共点的横坐标．若没有，请说明理由．练2．选择正确的答案．（1）用二分法求方程在精确度ε下的近似解时，通过逐步取中点法，若取到区间(),a b 且()()0f a f b <，此时不满足a b ε-<，通过再次取中点2a b c +=，有()()0f a f c <，此时a c ε-<，而,,a b c 在精确度ε下的近似值分别为123,,x x x (互不相等)．则()f x 在精确度ε下的近似值为（ ）． A ．1x ； B ．2x ； C ．3x ； D ．ε．（2）已知12,x x 是二次方程()f x 的两个不同实根，34,x x 是二次方程()0g x =的两个不同实根，若12()()0g x g x <，则（ ）． A ．1x ，2x 介于3x 和4x 之间； B ．3x ，4x 介于1x 和2x 之间；C ．1x 与2x 相邻，3x 与4x 相邻；D ．1x ，2x 与3x ，4x 相间相列．【学习反思】※ 学习小结1．零点存在性定理；2．二分法思想及步骤；※ 知识拓展若函数()f x 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点；若函数()f x 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．二分法的条件()()f a f b 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．【基础达标】※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）．A ． 很好B ． 较好C ． 一般D ． 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．若()y f x =的最小值为1，则()1y f x =-的零点个数为（ ）．A ．0；B ．1；C ．0或l ；D ．不确定．2．若函数()f x 在[],a b 上连续，且同时满足()()0f a f b <，()()02a b f a f +>．则（ ）． A ．()f x 在[,]2a b a +上有零点；B ．()f x 在[,]2a b b +上有零点； C ．()f x 在[,]2a b a +上无零点；D ．()f x 在[,]2a b b +上无零点． 3．方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是（ ）． A ．1； B ．2； C ．3； D ．无数个．4．方程24x x +=的一个近似解大致所在区间为 ．5．函数1211lg ,2,,,x y x y y y y x x x=====的零点个数分别为 ． 【拓展提升】1．已知2()22f x x x =+-，（1）如果2()(2)g x f x =-，求()g x 的解析式；（2）求函数()g x 的零点大致所在区间．2． 探究函数0.3x y =与函数0.3log y x =的图象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与交点距离不超过0.1的点．。
2019-2020年新人教a版高中数学(必修1)3.1《函数与方程》教案2篇
2019-2020年新人教a版高中数学（必修1）3.1《函数与方程》教案2篇一、内容和内容解析本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备．从教材编写的顺序来看，《方程的根与函数的零点》是必修1第三章《函数的应用》一章的开始，其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系．利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的．方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”，是本章渗透的主要数学思想．从知识的应用价值来看，通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会符号化、模型化的思想，体验从系统的角度去思考局部问题的思想．基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．二、目标和目标解析1．通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，2．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。
而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。
3．通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系．掌握函数零点存在性的判断．4．在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．三、教学问题诊断分析1.零点概念的认识．零点的概念是在分析了众多图象的基础上，由图象与轴的位置关系得到的一个形象的概念，学生可能会设法画出图象找到所有任意函数的可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图象都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍．2.零点存在性的判断．正因为f（a）·f（b）＜0且图象在区间[a，b]上连续不断，是函数f（x）在区间[a，b]上有零点的充分而非必要条件，容易引起思维的混乱就是很自然的事了．3.零点（或零点个数）的确定．学生会作二次函数的图象，但是要作出一般的函数图象（或图象的交点）就比较困难，而在这一节课最重要的恰恰就是利用函数图象来研究函数的零点问题．这样就在零点（或零点个数）的确定上给学生带来一定的困难．基于上述分析，确定本节课的教学难点是：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．四、教学支持条件分析考虑到学生的知识水平和理解能力，教师可借助计算机工具和构建现实生活中的模型，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性．通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．五、教学过程设计（一）引入课题问题引入：求方程3x2＋6 x－1=0的实数根。
人教新课标版数学高一A版必修1素材 知识导学 3.1函数与方程
知识导学函数的零点不是点，而是函数y=f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一实数，当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零.函数f(x)的零点实际上就是方程f(x)=0的实根，方程f(x)=0有几个实根，函数f(x)就有几个零点；方程f(x)=0有两个相等的实根，则称函数有一个二重零点或者说有一个二阶零点.一般地，函数f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(a i∈R,i=0,1,2,3,…,n)至多有n个零点.解方程是我们在数学学习过程中经常遇到的问题.但平时我们所解的方程都是代数方程，即整式方程、分式方程和无理方程，而对于含有指数和对数的方程，我们也只解一些极为特殊的.对于大部分含有指数和对数的方程是很难用代数方法来解的，例如，对于方程lgx=3-x，我们要求出它的解比较困难，但我们可以用二分法求出它的近似解.用二分法求出的零点一般是零点的近似值.并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须满足在区间［a,b］上连续不断，且f(a)·f(b)<0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值.用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包含零点)，又要使其长度尽量小；二是随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.记忆口诀：函数连续值两端，相乘为负有零点，区间之内有一数，方程成立很显然.要求方程近似解，先看零点的区间，每次区间分为二，分后两端近零点.疑难导析一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值为0时自变量x的值.从函数的图象上看，就是抛物线与x轴交点的横坐标.因此，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.利用函数的知识可以得到方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象之间的关系.二次函数与一元二次方程的这种关系，又给我们提供了另外一种解方程的方法：利用函数的图象解方程或研究方程解的情况.问题导思函数思想与方程思想是密切相关的.对于函数y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式y=f(x)看作二元方程y-f(x)=0.函数问题(如求反函数、求函数的值域等)可以转化为方程问题来解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点.函数思想、方程思想体现了一种解决问题的理念，即建“模”意识.所谓“模”就是一个问题载体，是联系已知、未知的桥梁，建“模”后的第二步就是解析“模”，从而真正将实际问题转化为数学问题，数学也因此成为解析大自然奥秘的工具.典题导考绿色通道如果在计算机上应用某些软件，比如《几何画板》直接绘出函数的图象(这个软件不用进行步长的设置)，也可较快地判断函数的零点的大致区间.如图3-1-3所示.图3-1-3典题变式 函数f(x)=lnx-x2的零点所在的大致区间是( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(e1,1)和(3,4) D.(e,+∞) 答案：B绿色通道判断二次函数f(x)的零点的个数，就是判断一元二次方程ax 2+bx+c=0的实根的个数，一般地由判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0完成.对于二次函数在某个定义区间上的零点个数以及不能用“Δ”判断的二次函数零点，则要结合二次函数的图象进行.典题变式 求函数f(x)=2x 3-3x+1零点的个数.答案：有3个零点.绿色通道本题表中数据同学们可自己计算验证，这里只给出符号，更清楚地看到区间的取法. 典题变式1.借助计算器或计算机，用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x 在区间(1，2)内的近似解(精确到0.1). 思路解析：用二分法解这个方程可以先构造函数f(x)=ln(2x+6)-3x +2，然后寻找这个函数的零点即可.答案：精确到0.1的近似值为1.3.2.求方程x 3-3x ＋1＝0的近似解(精确到0.1).答案：近似解分别为x 1≈-1.8，x 2≈0.4，x 3≈1.5.3.已知二次函数f(x)＝ax 2＋4x ＋b(a ＜0)，设关于x 的方程f(x)＝0的两根为x 1、x 2，f(x)＝x 的两实根为α、β.(1)若|α-β|＝1，求a 、b 的关系式；(2)若a 、b 均为负整数，且|α-β|＝1，求f(x)的解析式.答案：(1)a 2＋4ab ＝9.(2)f(x)=-x 2+4x-2.绿色通道本题是一道有关降低税率的应用题，涉及到农产品价格、征税标准、降低税率、预计收购量等多个量.通过审题，建立了税收f(x)(万元)和降低税率x 的二次函数关系式，再运用二次函数的有关知识使问题得以解决.在题后又给出设问，目的是要用本节知识来解决问题.典题变式 某电器公司生产A 种型号的家庭电器.1996年平均每台电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.1997年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低.2000年平均每台A 种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率.求(1)2000年每台电脑的生产成本；(2)以1996年的生产成本为基数，用二分法求1996年～2000年生产成本平均每年降低的百分数(精确到0.01).答案：(1)2000年每台电脑的生产成本为3 200元；(2)1996年～2000年生产成本平均每年降低的百分数为11%.∴所求二次函数为y=-(x+1)2+4，即为y=-x 2-2x+3.绿色通道从以上解法可以总结出二次函数解析式常用的三种形式：(1)一般式：y=ax 2+bx+c(a,b,c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k 为常数，a ≠0)；(3)两根式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a,x 1,x 2为常数，a ≠0).典题变式1.已知函数y=2x 2+bx+c 在(-∞,-23)上是减函数，在(-23,+∞)上是增函数，且两个零点是x 1、x 2，满足|x 1-x 2|=2，求这个二次函数的解析式.答案：y=2x 2+6x+25. 2.已知二次函数y=x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3,m ∈R 的图象与x 轴的两交点为A(x 1,0)、B(x 2,0)，且x 1、x 2的倒数和为32，求这个二次函数的解析式. 答案：y=x 2+2x-3或y=x 2-8x+12.。
人教版高中数学必修一第三章函数的应用3.1函数与方程(教师版)【个性化辅导含答案】
函数与方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、三、四步。
人教新课标版数学高一A版必修1素材 课堂探究 3.1函数与方程 第1课时
课堂探究探究一求函数的零点因为函数f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，所以，求函数的零点通常有两种方法：其一是令f (x )＝0，通过解方程f (x )＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y ＝f (x )的图象，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．【典型例题1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点．(1)f (x )＝－8x 2＋7x ＋1；(2)f (x )＝1＋log 3x ；(3)f (x )＝4x －16；(4)f (x )＝24122x x x +--. 思路分析：可通过解方程f (x )＝0求得函数的零点．解：(1)令－8x 2＋7x ＋1＝0，解得x ＝－18或x ＝1. 所以函数的零点为x ＝－18和x ＝1. (2)令1＋log 3x ＝0，则log 3x ＝－1，解得x ＝13. 所以函数的零点为x ＝13. (3)令4x －16＝0，则4x ＝42，解得x ＝2.所以函数的零点为x ＝2.(4)因为f (x )＝24122x x x +--＝(6)(2)2x x x +--， 令(6)(2)2x x x +--＝0， 解得x ＝－6.所以函数的零点为x ＝－6.探究二 判断函数零点的个数判断函数y＝f(x)零点的个数的方法主要有：(1)解方程f(x)＝0，方程实根的个数就是函数零点个数；(2)当方程f(x)＝0不能解时，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(3)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，则两图象交点的个数就是函数y＝f(x)零点的个数．【典型例题2】求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．解：方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3＞0，∴f(x)在(0,2)上必定存在实根，又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．方法二：在同一平面直角坐标系下作出图象如下：h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的叠合图．由图象知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．方法总结用零点存在定理判断函数y＝f(x)在(a，b)内零点唯一，可按以下步骤进行：(1)判断f(a)f(b)＜0；(2)判断函数y＝f(x)在(a，b)上单调．探究三判断函数的零点所在的大致区间如果函数通过零点时函数值的符号发生改变，称这样的零点为变号零点；否则，若函数通过零点时不变号，称之为不变号零点．如函数y＝x2的零点就是不变号零点．函数零点存在定理可判断变号零点所在区间．【典型例题3】方程log3x＋x＝3的解所在的区间为()A．(0,2) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)解析：构造函数，转化为确定函数的零点所在的区间．令f(x)＝log3x＋x－3，则f(1)＝log31＋1－3＝－2＜0，f(2)＝log32＋2－3＝log323＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，f(4)＝log34＋4－3＝log312＞0，那么方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．答案：C探究四易错辨析易错点忽视零点存在性定理的使用条件致误【典型例题4】函数f(x)＝x＋1x的零点个数为()A．0 B．1 C．2 D．3错解：因为f(－1)＝－2＜0，f(1)＝2＞0，所以函数f(x)有1个零点，故选B.错因分析：函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域．通过作图(图略)，可知函数f(x)＝x＋1x的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间内使用．正解：函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．当x＞0时，f(x)＞0，∴f(x)＝0无实根．当x＜0时，f(x)＜0，∴f(x)＝0无实根．综上，函数f(x)没有零点．答案：A。
高中数学人教版必修1函数与方程 课件PPT
思考5:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上 的图象是间断的，上述原理适应吗？
思考6:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上 的图象是连续不断的一条曲线，那么当 f(a)·f(b)>0时，函数y=f(x)在区间 （a，b）内一定没有零点吗？
理论迁移
例1 求函数f(x)=lnx+2x -6零点的个数.
3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点 第一课时 方程的根与函数的零点
问题提出
t
p
1 2
5730
1.对于数学关系式：2x-1=0与y=2x-1 它们的含义分别如何？
2.方程 2x-1=0的根与函数y=2x-1的图 象有什么关系？
3.我们如何对方程f(x)=0的根与函数 y=f(x)的图象的关系作进一步阐述？
思考2:上述三个函数分别是什么类型的函数？ 其单调性如何？
思考3:这三个方案前11天所得的回报如下表, 分析这些数据，你如何根据投资天数选择投 资方案？
天次
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
方案一 当天回 报 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 …
累计回 报 40 80 120 160 200 240 280 320 360 4x 4(x 1)
x
2
4x
3(x
和 1)
g(x) log2x 设h(x) f (x) g(x),试确定
函数h(x)的零点个数 .
例3 已知函数 f (x) 2ax2 x 1 在区间[0， 1]内有且只有一个零点，求实数a的取值 范围.
问题提出
1. 函数来源于实际又服务于实际，客观 世界的变化规律，常需要不同的数学模 型来描述，这涉及到函数的应用问题.