1.2.1.2等差数列的性质 课件(北师大版必修五)
中项法
【例2】已知a、b、c成等差数列，那么a2(b+c)、b2(c+a)、
c2(a+b)是否构成等差数列？
【审题指导】本题考查等差数列定义、等差中项等.由a、b、c
成等差数列可知2b=a+c,再证是否有2b2（c+a）=a2（b+c）+
c2（a+b）即可.
【规范解答】∵a、b、c成等差数列，∴a+c=2b. 又∵a2（b+c）+c2（a+b）-2b2（c+a）=a2c+c2a+ab（a-2b）
依题意，3a=6且a(a-d)(a+d)=-24,
所以a=2,代入a(a-d)(a+d)=-24,
化简得d2=16,于是d=〒4，
故三个数为-2，2，6或6，2，-2.
方法二：设首项为a,公差为d，这三个数分别为 a,a+d,a+2d，
依题意，3a+3d=6且a(a+d)(a+2d)=-24,
所以a=2-d，代入a(a+d)(a+2d)=-24,
项的下标，这将有助于快速解题，发现规律.
【例1】数列{an}为等差数列，已知a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,
求数列{an}的通项公式.
【审题指导】已知数列中某些项与项之间的关系，求其通项， 可利用a1,d建立方程组来求解.但是，注意到a2,a5,a8及 a3,a5,a7的各项下标之间的关系，也可考虑利用等差数列的 性质来求解，此法运算量较小.
对等差中项的进一步认识.
（1）任何两个数都有等差中项，a与b的等差中项是这两个数
的算术平均数；
（2）在等差数列中，从第二项起，每一项都是它的前一项和
a n a n2 后一项的等差中项，即 a n 1 n N . 2 （3）结论：a,b,c成等差数列⇔a+c=2b.
等差数列的性质及应用 等差数列性质的应用技巧 已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，
对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等
差数列的性质，尤其要注意利用“若m、n、p、k∈N+，且
m+n=p+k,则有am+an=ap+ak,其中am、an、ap、ak是数列中的项.
特别地，当m+n=2p时，有am+an=2ap”这条性质，从而将问 题解决.
在利用等差数列性质时，需要特别注意数列
a1 11 d 2
可以得到数列{an}的通项公式为
an=2n-7或an=-2n+13.
等差数列的判断（等差中项法）
判断数列为等差数列的方法
定义法 通项法 即证明an+1－an=d(常数) 即证通项公式为an=kn+b,再证得an+1-an=k即可. 有限项为三项者，即证前后两项和等于中间项 的2倍；无限项者，则证明am+2+am＝2am+1即可.
+bc#43;c-2b）=0,∴a2（b+c）
+c2（a+b）=2b2（c+a）,∴a2（b+c）、b2（c+a）、c2（a+b）
可以构成等差数列.
等差数列性质的综合应用
等差数列的设项方法与技巧
（1）当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接
设首项为a1,公差为d,利用已知条件建立方程求出a1和d,即可 确定数列. （2）当已知数列有2n项时，可设为a-(2n-1)d,„,a-3d,ad,a+d,a+3d,„,a+(2n-1)d,此时公差为2d. （3）当已知数列有2n+1项时，可设为a-nd,a-(n-1)d,„,ad,a,a+d,„,a+(n-1)d,a+nd,此时公差为d.
1.掌握等差中项的概念及其应用.（重点）
2.掌握等差数列的性质及其应用.（重点、难点）
等差数列与一次函数有什么关系？
提示：把等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d化为
an=nd+（a1-d），并与y=kx+b对照，知等差数列是
特殊的一次函数.
等差数列 解析式 an=kn+b（n∈N+） 定义域为N+，图像是一系列 孤立的点（在直线上）
得2(2-d)(2+d)=-24,4-d2=-12,
即d2=16,于是d=〒4，三个数为-2,2,6或6,2,-2.
（2）方法一：设这四个数为a-3d，a-d,a+d,a+3d(公差为
2d),依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,
即a=1,a2-9d2=-8,
∴d2=1,∴d=1或d=-1.
(2)若{an}、{bn}分别是公差为d、d′的等差数列，则有 数 列 结 论
{c+an}
公差为d的等差数列（c为任一常数）
{c· a n}
{an+an+k}
公差为cd的等差数列（c为任一常数）
公差为2d的等差数列（k为常数，k∈N+)
{pan+qbn}
公差为pd+qd′的等差数列(p,q为常数）
【规范解答】由题及等差数列性质可知
a2+a8=2a5,所以3a5=9
得a5=3,
又由a3a5a7=3a3·a7=-21. 可得a3·a7=-7 又a2+a8=a3+a7=6 由①②得
a 3 1 a 3 7 或 a 7 1 a 7 7
① ②
得
a 1 5 或 d 2
【例3】（1）三个数成等差数列，和为6，积为-24，求这
三个数； （2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两 项的积为-8，求这四个数. 【审题指导】解决本题的关键是用最少的参数，表示出已 知条件，列出方程组进行求解，注意设参数的技巧 .
【规范解答】（1）方法一：设这三个数分别为a-d,a,a+d，
又四个数成递增等差数列，所以d>0, ∴d=1，故所求的四个数为-2,0,2,4.
方法二：若设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d)， 依题意，2a+3d=2,且a(a+3d)=-8, 把 a 1 3 d 代入a(a+3d)=-8, 得(1 3 d)(1 3 d) =-8,即 1 9 d 2 8,
一次函数 f（x）=kx+b
（k≠0）
定义域为R，图像 是一条直线
不同点
其通项公式与函数的解析式都是关于自变量的
相同点 一次整式，都是最简单的，也是最基本的（数 列和函数）
等差数列的性质
（1）在等差数列{an}中，m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N+).
则am+an=ap+aq=2ak.
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高中数学北师大版必修五课件：1.2.2.1.1-等差数列的概念及通项公式ppt讲练课件
源自(1)求等差数列通项公式的步骤
(2)等差数列公式中的四个参数及其关系 等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 四个参数 a1，d，n，an 知 a1，d，n 求 an “知三求一” 知 a1，d，an 求 n 知 a1，n，an 求 d 知 d，n，an 求 a1
等差数列的判断与证明 判断下列数列是否为等差数列． (1)在数列{an}中，an＝3n＋2； (2)在数列{an}中，an＝n2＋n.
【解】
(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N＋)．由 n
的任意性知，这个数列为等差数列． (2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所 以这个数列不是等差数列．
等差中项法．
1.(1) 在数列 {an} 中， a1 ＝ 2 ， 2an ＋ 1 ＝ 2an ＋ 1(n∈N＋)，则数列{an}是( A．公差为 1 的等差数列 1 B．公差为 的等差数列 2 C．公差为 2 的等差数列 D．不是等差数列 (2)设各项均为正数的无穷数列{an}和{bn}满足：对任意 n∈N＋ 都有 2bn＝an＋an＋1， 且 a2 bn＋1.求证： { bn}是等差数列． n＋1＝bn· )
y＝px＋q 上的
常数列
，此时数列的图像是
平行于 x 轴的直线(或 x 轴)上的均匀排开的一群孤立的点．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列 1，1，1，1，1 是等差数列．(
√ )
(2)若一个数列从第 2 项起每一项与前一项的差都是常数，则这 个数列是等差数列．( × ) (3)任意两个实数都有等差中项．( √ ) (4)等差数列的公差是相邻两项的差．( × ) (5)数列{an}满足 an＋1－an＝n， 则数列{an}是等差数列． ( × )
(2)等差数列公式中的四个参数及其关系 等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 四个参数 a1，d，n，an 知 a1，d，n 求 an “知三求一” 知 a1，d，an 求 n 知 a1，n，an 求 d 知 d，n，an 求 a1
等差数列的判断与证明 判断下列数列是否为等差数列． (1)在数列{an}中，an＝3n＋2； (2)在数列{an}中，an＝n2＋n.
【解】
(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N＋)．由 n
的任意性知，这个数列为等差数列． (2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所 以这个数列不是等差数列．
等差中项法．
1.(1) 在数列 {an} 中， a1 ＝ 2 ， 2an ＋ 1 ＝ 2an ＋ 1(n∈N＋)，则数列{an}是( A．公差为 1 的等差数列 1 B．公差为 的等差数列 2 C．公差为 2 的等差数列 D．不是等差数列 (2)设各项均为正数的无穷数列{an}和{bn}满足：对任意 n∈N＋ 都有 2bn＝an＋an＋1， 且 a2 bn＋1.求证： { bn}是等差数列． n＋1＝bn· )
y＝px＋q 上的
常数列
，此时数列的图像是
平行于 x 轴的直线(或 x 轴)上的均匀排开的一群孤立的点．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列 1，1，1，1，1 是等差数列．(
√ )
(2)若一个数列从第 2 项起每一项与前一项的差都是常数，则这 个数列是等差数列．( × ) (3)任意两个实数都有等差中项．( √ ) (4)等差数列的公差是相邻两项的差．( × ) (5)数列{an}满足 an＋1－an＝n， 则数列{an}是等差数列． ( × )
高中数学北师大版必修5第1章2《等差数列》(第2课时 等差数列的性质)ppt同步课件
第的性质
1
课前自主预习
2
课堂典例讲练
4
本节思维导图
3
易混易错点睛
5
课时作业
课前自主预习
2010 年 5 月 1 日至 10 月 31 日， 第 41 届世界博览会在中国上海举 办．展会期间，人流如织，总参观 人数超过 7000 万．根据有关部门统 计，某展馆 7 月上旬每天平均参观 人数为 20 万人，在后面 70 天内，前 40 天每天增加 0.5 万人， 后 30 天每天减少 1 万人，问在这段时间内，有多少天参观人数 能达到 30 万人？这是一个与等差数列有关的问题，让我们进一 步来认识等差数列吧.
• 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， • ∴a＝1，a2－9d2＝－8， • ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. • 又四个数成递增等差数列，∴d>0，∴d＝1，
• 故所求的四个数为－2,0,2,4.
• [方法总结] 利用等差数列的定义巧设未知量，从而
简 项化 数计n为算奇．数一时般，的可有设如中下间规一律项：为当a等，差再数用列公{差a为n}的d向 两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋ 2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d， a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d， a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
本节思维导图
等 差 数若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq 列 的 性a{若λk，a{na＋ank}＋b，m}，成{ba等nk}＋成差2m等，数差…列数成列等，差则数{列an±bn}成等差数列 质
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
1
课前自主预习
2
课堂典例讲练
4
本节思维导图
3
易混易错点睛
5
课时作业
课前自主预习
2010 年 5 月 1 日至 10 月 31 日， 第 41 届世界博览会在中国上海举 办．展会期间，人流如织，总参观 人数超过 7000 万．根据有关部门统 计，某展馆 7 月上旬每天平均参观 人数为 20 万人，在后面 70 天内，前 40 天每天增加 0.5 万人， 后 30 天每天减少 1 万人，问在这段时间内，有多少天参观人数 能达到 30 万人？这是一个与等差数列有关的问题，让我们进一 步来认识等差数列吧.
• 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， • ∴a＝1，a2－9d2＝－8， • ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. • 又四个数成递增等差数列，∴d>0，∴d＝1，
• 故所求的四个数为－2,0,2,4.
• [方法总结] 利用等差数列的定义巧设未知量，从而
简 项化 数计n为算奇．数一时般，的可有设如中下间规一律项：为当a等，差再数用列公{差a为n}的d向 两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋ 2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d， a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d， a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
本节思维导图
等 差 数若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq 列 的 性a{若λk，a{na＋ank}＋b，m}，成{ba等nk}＋成差2m等，数差…列数成列等，差则数{列an±bn}成等差数列 质
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
高中数学北师大版必修五 2.1 等差数列 课件(37张)
问题：由数列的前几项
（有限项）按定义作差都 为同一常数，能否说明此 数列为等差数列？
等差数列 的应用
例 1. 1 ） 等 差 数 列 8 ， 5 ， 2,······ 的第20项是几？ 2 ） -401 是不是等差数列 -5,-9,13······ 的项？如果是，是第几项？ 解： 1）由题意得，a1=8,d=-3
∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49 2）由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401 an=a1+(n-1)d
-401=-5+(n-1)×(-4) ∴n=100 ∴-401是这个数列的第100项。
课堂练 习（二）
1）求等差数列3，7，11······ 的第 4项与第10项。 答案：a4=15 a10=39 2)100 是 不 是 等 差 数 列 2 ， 9 ， 16· · · · · · 的项？如果是，是第几项？ 如果不是，说明理由。 答案：是第15项。 3)-20 是 不 是 等 差 数 列 0,-3.5,7· · · 的项？如果是，是第几项？如果 不是，说明理由。 解：a1=0,d=-3.5 -20=0+(n-1)×(-3.5) n=47/7 ∴-20不是这个数列中的项。
北师大版高中数学必修 5第一章《数列》
等差数列（一）
教学目标及重点难点
教学目标 1. 理解等差数列的概念，理解并掌握 等差数列的通项公式，能运用公式解 决简单的问题。 2. 培养学生的观察能力，进一步提高 学生的推理归纳能力。 重点难点 1.等差数列概念的理解与掌握 2.等差数列通项公式的推导及应用 3. 等差数列“等差”特点的理解、把 握及应用
课堂练习 （一）
在等差数列｛an｝中， 1）已知a1=2,d=3,n=10,求an 解：a10=a1+9d=2+9×3=29 2）已知a1=3,an=21,d=2,求n 解：21=3+(n-1)×2 3）已知a1=12,a6=27,求d 解：a6=a1+5d,即27=12+5d d=3 4）已知d=-1/3,a7=8,求a1 解：a7=a1+6d 8=a1+6×(-1/3) ∴a1=10 n=10
高中数学北师大版必修五《第一章数列2等差数列》课件
1.在等差数列 an 中， 若 a5 a，a10 b 求 a15
2.在等差数列an
中，若
a3
a8
(2b-a)
m
求 a5 a6
3.在等差数列 an 中若
a6 a7 a10 80
a1 a2 a5 3，0 求 a11 a12 a15
思考与交流：
思考2：在数列中抽出等距离的项构成一个新数列， 这个数列是什么数列？如果是等差数列，公差是 多少？
问题探究：
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b 成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
A a b a,b,成等差数列 2
定义：若a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b 的等差中项
思考与交流：在一个等差数列中，那些项是 那些项的等差中项？并举例说明。
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中
an1 an d an 等差数列；
an1 an an an1 n 2 an 等差数列；
从函数的角度研究等差数
1、由 an dn a1 d
当d>0时，{a n}为递增数列
当d<0时，{a n}为递减数列 当d=0时，{a n}为常数列
an
a1-d 0
1 234
例题探究： 例5 已知(1，1)，(3，5)是等差数列图像上的两点 (1) 求这个数列的通项公式 (2) 画出这个数列的图像 (3) 判断这个数列的单调性。
例7 等差数列{ an}中， a1 + a3 + a5 =－12, 且 a·1 a3·a5=80. 求通项 an
练习：等差数列{an }中，bn
1 2
an
，
21
1
已知：b1 b2
求数列的通项
最新审定北师大版数学必修五：1.2《等差数列(第1课时)》ppt(优秀课件)
[解析] (1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2， 是 常数， ∴数列{an}是等差数列． (2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常 数， ∴数列{an}不是等差数列．
♥ [方法总结] (1)判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：an＋1 －an＝d(d为常数)，也可以用an＋1－an＝an－an－1(n≥2)进行判断． ♥ (2)要证明一个数列不是等差数列，只需举一个反例进行否定，也可证明 an＋1－an或an－an－1(n>1)不是一个常数，而是一个与n有关的变数．
最新审定北师大版数学必修五优秀课件
第一章
§2
第1课时
等差数列
等差数列的概念及通项公式
1
课前自主预习
2
课堂典例讲练
4
本节思维导图
3
易混易错点睛
5
课 时 作 业
课前自主预习
♥ 奥运会是举世瞩目、振奋人心的体育盛会．第一届现代奥运会于1896年 在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数 照算．学了本节知识后，你将知道举行奥运会的年份 1896,1900,1904，…，构成一个等差数列，你运用等差数列的知识，能 判断2008年的北京奥运会是第几届吗？你能写出举行前30届奥运会的所 有年份吗？2050应该举行奥运会吗？
1.等差数列 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与前一项的
差 是___________ 同一个常数 ，我们称这样的数列为等差数列． ________
2．等差中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 A，使 a，A，b 成等差数
a与b的等差中项 ． 列，那么 A 叫做________________
高中数学北师大版必修5《第1章 2 2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式》课件
25
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)常数列是等差数列．( ) (2)－1，－2，－3，－4，－5 不是等差数列．( ) (3)若数列{an}是等差数列，则其公差 d＝a7－a8.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× [提示] (1)正确，(2)不正确，数列－1，－2，－3，－4，－5 是 公差为－1 的等差数列；(3)不正确，公差 d＝a8－a7.
2．等差数列的判定关键是看 an＋1－an(或 an－an－1(n≥2))是否为一 个与 n 无关的常数．
3．对于通项公式的理解． an＝a1＋(n－1)d⇒an＝nd＋(a1－d)，所以，当 d≠0 时，an 是关于 n 的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，当 d＝0 时，等差数 列{an}为常数列：a1，a1，a1，…，a1，…
29
谢谢大家
3
思考：(1)数列{an}的各项为：n,2n,3n,4n，…，数列{an}是等差数 列吗？
[提示] 不是，该数每一项与其前一项的差都是 n，不是常数， 所以不是等差数列．
(2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数，这个 数列一定是等差数列吗？
[提示] 不一定，当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差 都是同一个常数时，这个数列才是等差数列．
10
4．已知等差数列{an}中，d＝－13，a7＝8，则 a1＝________. 10 [由 a7＝a1＋6d＝8 且 d＝－13代入解得 a1＝8－6d＝8＋2＝ 10.]
11
【例 1】 判断下列数列是否为等差数列： (1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n. [解] (1)因为 an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数， 所以数列{an}是等差数列． (2)因为 an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数，所 以数列{an}不是等差数列．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)常数列是等差数列．( ) (2)－1，－2，－3，－4，－5 不是等差数列．( ) (3)若数列{an}是等差数列，则其公差 d＝a7－a8.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× [提示] (1)正确，(2)不正确，数列－1，－2，－3，－4，－5 是 公差为－1 的等差数列；(3)不正确，公差 d＝a8－a7.
2．等差数列的判定关键是看 an＋1－an(或 an－an－1(n≥2))是否为一 个与 n 无关的常数．
3．对于通项公式的理解． an＝a1＋(n－1)d⇒an＝nd＋(a1－d)，所以，当 d≠0 时，an 是关于 n 的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，当 d＝0 时，等差数 列{an}为常数列：a1，a1，a1，…，a1，…
29
谢谢大家
3
思考：(1)数列{an}的各项为：n,2n,3n,4n，…，数列{an}是等差数 列吗？
[提示] 不是，该数每一项与其前一项的差都是 n，不是常数， 所以不是等差数列．
(2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数，这个 数列一定是等差数列吗？
[提示] 不一定，当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差 都是同一个常数时，这个数列才是等差数列．
10
4．已知等差数列{an}中，d＝－13，a7＝8，则 a1＝________. 10 [由 a7＝a1＋6d＝8 且 d＝－13代入解得 a1＝8－6d＝8＋2＝ 10.]
11
【例 1】 判断下列数列是否为等差数列： (1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n. [解] (1)因为 an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数， 所以数列{an}是等差数列． (2)因为 an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数，所 以数列{an}不是等差数列．
高中数学北师大版必修5课件：1.2.1.2等差数列的性质及应用
第2课时 等差数 列的性质及应用
1.等差中项 如果三个数a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项. 等差中项的性质: (1)A是a与b的等差中项,则
A=
������+������ 或 2������ 2
= ������ + ������ , 即等差中项仅有一个.
(2)当2A=a+b时,A是a与b的等差中项. (3)如果三个数成等差数列,那么通常设这三个数为a-d,a,a+d,这 样可以在解题过程中减少运算量. (4)如果数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N+),那么数列{an}是 等差数列.
分析: 解答本题的关键是如何转化为恒等式的证明. 若 , , 成等差数列,则 + = ,要证明结论成立,只要证明
题型一
题型二
题型三
证明: 证法一:因为 , , 成等差数列,
2 1 1 ������ ������ ������ ������+������ ������+������ ������(������+������)+������(������+������) 因为 + = ������ ������ ������������ ������2 +������2 +������(������+������) ������2 +������2 +2������������ = = ������������ ������������ 2 2(������+������) 2(������+������) = = , ������(������+������) ������ ������+������ ������+������ ������+������ 所以 , , 成等差数列. ������ ������ ������ 1 1 1 证法二:因为 , , 成等差数列, ������ ������ ������ ������+������+������ ������+������+������ ������+������+������ 所以 , , 成等差数列, ������ ������ ������ ������+������ ������+������ ������+������ 即 +1, +1, +1 成等差数列. ������ ������ ������ ������+������ ������+������ ������+������ 所以 , , 成等差数列. ������ ������ ������
1.等差中项 如果三个数a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项. 等差中项的性质: (1)A是a与b的等差中项,则
A=
������+������ 或 2������ 2
= ������ + ������ , 即等差中项仅有一个.
(2)当2A=a+b时,A是a与b的等差中项. (3)如果三个数成等差数列,那么通常设这三个数为a-d,a,a+d,这 样可以在解题过程中减少运算量. (4)如果数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N+),那么数列{an}是 等差数列.
分析: 解答本题的关键是如何转化为恒等式的证明. 若 , , 成等差数列,则 + = ,要证明结论成立,只要证明
题型一
题型二
题型三
证明: 证法一:因为 , , 成等差数列,
2 1 1 ������ ������ ������ ������+������ ������+������ ������(������+������)+������(������+������) 因为 + = ������ ������ ������������ ������2 +������2 +������(������+������) ������2 +������2 +2������������ = = ������������ ������������ 2 2(������+������) 2(������+������) = = , ������(������+������) ������ ������+������ ������+������ ������+������ 所以 , , 成等差数列. ������ ������ ������ 1 1 1 证法二:因为 , , 成等差数列, ������ ������ ������ ������+������+������ ������+������+������ ������+������+������ 所以 , , 成等差数列, ������ ������ ������ ������+������ ������+������ ������+������ 即 +1, +1, +1 成等差数列. ������ ������ ������ ������+������ ������+������ ������+������ 所以 , , 成等差数列. ������ ������ ������
高中数学 1.2.1.2 等差数列的性质同步课件 北师大版必修5
可以得到数列(shùliè){an}的通项公式为
an=2n-7或an=-2n+13.
第十七页，共49页。
等差数列(děnɡ chā shù liè)的判断（等差中
项法）
定义法
法
通项法
判断数列为等差数列(děnɡ chā shù liè)的方
即证明an+1－an=d(常数)
即证通项公式为an=kn+b,再证得an+1-an=k即可.
第二十九页，共49页。
方法二：若设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d)，
依题意，2a+3d=2,且a(a+3d)=-8,
把 a 1代 入3 da(a+3d)=-8,
得
2
=-(81,即32
d)(1
3 2
d)
化简得d21=494,所d2以 d=8,2或-2.
又四个数成递增(dìzēng)等差数列，所以d>0,即d=2,a=-2.
第二十五页，共49页。
【例3】（1）三个数成等差数列，和为6，积为-24，求这三个数； （2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积 为-8，求这四个数. 【审题指导(zhǐdǎo)】解决本题的关键是用最少的参数，表示出 已知条件，列出方程组进行求解，注意设参数的技巧.
第二十六页，共49页。
第四十五页，共49页。
3．已知等差数列(děnɡ chā shù liè){an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，
则a12的值是
()
（A）15
（B）30
（C）31
（D）64
【解析】选A.依题意有a12＋a4＝a7＋a9＝16，∴a12＝16-a4＝15.
高中数学北师大版必修五1.2.1【教学课件】《等差数列 》
阅读教材 P10～P11 例 1 以上部分，完成下列问题。 等差数列的概念
从第 2 项起，每一项与它前一项的 差 等于 同一个常数 ，这 文字语 样的数列就叫做等差数列．称这个常数为等差数列的公差 ， 言 通常用字母 d 表示 符号语 若 an－an－1＝d(n≥2) ，则数列{an}为等差数列 言
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第一单元 · 数列
等差数列
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新课导入
1.复习数列的概念以及通项公式 2.观察几个数列如： 数列 1,2,3,4,5,…， 数列 0,0,0,0,0,…， 数列 0,2,4,6,8,10,…等。
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探索新知
1. 等差数列的概念
例3： 已知等差数列{a }，a ＝1，d＝ 2 ，求通项 a n n 1
根据等差数列的通项公式直接写出通项即可。 解：
an ＝1＋(n－1)× 2
＝ 2n－ 2＋1。
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方法小结：
1．总结回顾这节课都学习了哪些知识？要注意的是什么？都用 到了哪些数学思想方法？你在这节课里最大的收获是什么？ 2．本节学习的重点内容是等差数列的定义及通项公式，等差数 列的基本性质是“等差”。这是我们研究有关等差数列的主要 出发点，是判断、证明一个数列是否为等差数列和解决其他问 题的一种基本方法，要注意这里的“等差”是对任意相邻两项 来说的。
当 当 当
d＞0
d＜0 d＝0
时，{an}为 递增数列 ，如图甲所示。 时，{an}为 递减数列 ，如图乙所示。 时，{an}为
解：
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变式训练2
已知数列的通项公式an＝6n－1，问这个数列是等差数列吗？若是等差数 列，其首项与公差分别是多少？ 解：
1.2.1《等差数列的性质》课件(北师大版必修5)
•
(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24， 求这三个数； • (2)四个数成递增等差数列，中间两数和为2， 首末两项的积为－8，求这四个数．
• [规范作答]
•
(1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公 差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，
• 依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，
an＝a1＋(n－1)d， ．等差数列的通项公பைடு நூலகம்_________________
(n∈N＋) ________．
或an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)．
2.等差中项 (1)如果在 a 与 b 中插入一个数 A，使 a，A，b 等差数列 成_________，那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项， a＋b A＝ 2 且_______. 或2A=a+b (2)在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项(有 前一项 穷等差数列的末项除外)都是它的________与 an－1＋an＋1 后一项 _______的等差中项，即 an＝ 或 2an 2 ＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N＋)．
• • • • •
1．等差数列增减性 对于数列an＝a1＋(n－1)d (1)当d＞0时，{an}为 递增数列 ； (2)当d＜0时，{an}为 递减数列 ； (3)当d＝0时，{an}为 常数列．
•若数列{an}的通项公式为an＝3n＋1，则 a1＋a6＝23，a2＋a5＝23，a3＋a4＝23. 你能看出有什么规律吗？
• 得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，
• 即d2＝16，于是d＝±4，这三个数为－2,2,6 或6,2，－2.
(2)四个数成递增等差数列，中间两数和为2，首
末两项的积为－8，求这四个数．