圆柱和圆锥等积变形
体积等积变形法计算公式
体积等积变形法计算公式体积等积变形法是一种用于计算物体体积的方法，它基于物体在变形过程中体积不变的原理。
这种方法在工程学、物理学和数学中都有广泛的应用，可以帮助人们更准确地计算物体的体积，从而在设计和制造过程中提高效率和质量。
体积等积变形法的基本原理是，当一个物体经历形状的变化时，其体积保持不变。
这意味着无论物体变成什么形状，其体积都是相同的。
利用这一原理，我们可以通过计算物体在不同形状下的体积来得到最终的体积。
下面我们将介绍一些常见的体积等积变形法的计算公式。
1. 圆柱体的体积计算公式。
圆柱体是一个常见的几何体，其体积可以通过体积等积变形法来计算。
圆柱体的体积公式为V=πr²h，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示圆柱体的半径，h表示圆柱体的高。
2. 球体的体积计算公式。
球体是一个完全圆形的几何体，其体积也可以通过体积等积变形法来计算。
球体的体积公式为V=4/3πr³，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示球体的半径。
3. 锥体的体积计算公式。
锥体是一个圆锥形的几何体，其体积同样可以通过体积等积变形法来计算。
锥体的体积公式为V=1/3πr²h，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示锥体的底面半径，h表示锥体的高。
4. 直角三棱柱的体积计算公式。
直角三棱柱是一个底面为直角三角形的几何体，其体积也可以通过体积等积变形法来计算。
直角三棱柱的体积公式为V=1/2abH，其中V表示体积，a和b表示直角三角形的两条直角边的长度，H表示直角三棱柱的高。
5. 平行四边形棱柱的体积计算公式。
平行四边形棱柱是一个底面为平行四边形的几何体，其体积同样可以通过体积等积变形法来计算。
平行四边形棱柱的体积公式为V=Ah，其中V表示体积，A表示平行四边形的面积，h表示平行四边形棱柱的高。
以上是一些常见的几何体的体积计算公式，它们都可以通过体积等积变形法来计算。
在实际应用中，我们可以根据物体的形状和特点选择合适的计算公式，从而更准确地计算物体的体积。
等积变形的原理
等积变形的原理嘿，朋友！你有没有想过，一个东西的形状变了，可它占的地方大小却能不变呢？这就是等积变形的奇妙之处啦。
我记得小时候，我和小伙伴小明一起玩泥巴。
我们把一团泥巴捏成各种形状。
有时候捏成一个圆球，有时候又把它拍成一个扁扁的饼状。
我就好奇地问小明：“你说这泥巴一会儿圆一会儿扁的，它占的地儿是不是不一样啦？”小明挠挠头说：“我觉得好像不一样呢，圆的看起来小，扁的看起来大。
”其实啊，我们那时候不知道，这团泥巴不管变成啥形状，它的体积是不变的。
这就像是水在不同的容器里，不管是装在高高的瓶子里，还是矮矮的碗里，水的量，也就是体积，是不会变的。
那等积变形到底是咋回事呢？从数学的角度来讲，等积变形是基于一些基本的几何原理的。
比如说，对于一个长方体，它的体积公式是长×宽×高。
如果我们把这个长方体压一压，让它变矮了，但是同时它可能就会变长或者变宽，这样一调整，长×宽×高的结果，也就是体积，还是原来那个数。
这就好比是一群小动物住在房子里，房子的空间大小是固定的，要是把房间的高度降低一点，那房间的长度或者宽度就得变一变，好让小动物们住的地方还是那么大。
再看看圆柱和圆锥。
圆柱的体积是底面积×高，圆锥的体积是1/3×底面积×高。
要是我们把一个圆柱的材料用来做圆锥，你会发现这个圆锥肯定要比圆柱高很多，而且底面积也会有变化。
这就像把一堆沙子，原本堆成一个像圆柱那样的小沙堆，现在要把它重新堆成一个圆锥形状的沙堆，那这个圆锥沙堆肯定要比原来的圆柱沙堆高很多，而且底面的大小也不一样了，但是沙子的总体积是不变的呀。
我还有个朋友小红，她在做手工的时候也碰到了等积变形的事儿。
她用一些彩色的卡纸做立体图形。
她先做了一个正方体的小盒子，然后又想把这个正方体盒子改造成一个三棱柱的盒子。
她就很担心，这纸就这么多，能做成三棱柱吗？我就跟她说：“你放心吧，只要你在做的过程中没有多剪纸也没有少剪纸，那这个三棱柱的体积就和正方体的体积是一样的。
圆柱和圆锥中出现的问题
圆柱和圆锥》教学中存在的问题《圆柱和圆锥》这一单元的内容就快要教完了，可班上学生的学习状况却令我非常担忧。
这一单元知识内容表面上看好象没有多少难度，课堂上模型出示，实验演示，学生动手操作，亲自感知，知识内容距离学生生活也不是太远，课堂上也不是死气沉沉，书本上知识结论（各种公式）也简明易记，可学生实际的学习效果却恰恰相反，我总结存在的问题主要有三点：1、公式记不牢，一用就出错。
如果单纯叫学生背圆的周长和面积计算公式，可能不费什么事。
但是遇到几个基本公式综合在一起或者基本公式又会产生变形的情况，如S圆柱侧面积=πdh或2πrh，S圆柱表面积=πdh+2πr²或Ch+2πr²，V圆柱=Sh或πr²h，V圆锥=1/3Sh 或1/3πr²h，学生却容易产生遗忘和混淆，在实际做题时，往往随便拉来一个公式，把题中的数字往上一填，就开始计算了，结果往往是错误连连。
经课堂提问表明，许多学生在学了复杂的表面积和体积计算公式后，反而前面的简单公式却记不得了。
2、计算心不细，中途频出错。
在圆柱侧面积、表面积、体积，圆锥的体积计算题中，往往要涉及到多位小数在一起相乘，有时还牵涉到取近似值的问题，计算步骤一多，学生就会心烦意乱，只要中途一个环节稍有疏忽，就会“全军覆没”。
就连一些数学思维能力出众，计算基本功较好的学生也频频栽跟头，学困生就干脆“缴械投降”了。
于是一看到那么多的数字在一起相乘或相加，学生心里就直发毛。
3、分析能力弱，应用题“卡壳”。
学了《圆柱和圆锥》这一单元后，一些诸如“圆柱与圆锥之间体积、底面积和高三者之间变与不变”而产生的新问题把学生绕得头脑虚昏，无所适从。
对于一些实际应用的题目中故意设置的小“陷阱”如：单位名称不统一，标准公式中的一个条件必须通过题中的条件转换以后才能得到，还有一些将立体图形展开以后再需要在头脑中还原等第题目学生感到十分头疼。
我觉得学生的空间想象能力和抽象思维能力还没有发展到如此高的程度4：审题不清，思路判断失误如求无盖水桶的铁皮面积时用底面积乘2如用铁皮的面积去成每升水重1千克如把压路机压过的路面面积算成表面积2、记忆公式和运用公式的差别圆锥的体积公式是“底面积×高÷3”，如果我要问圆锥的体积公式是什么，我相信全班的学生都会回答，并且准确无误，但是在具体算圆锥的体积时候，就有相当一部分学生忘记“除以3”。
人教版数学六年级下册体积的等积变形
人教版数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》“等积变形”教学预案永川区望城路小学何开莲教材分析数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》是整个小学阶段最后一个“几何与图形”的内容。
包括圆柱圆锥的认识、圆柱的表面积、圆柱的体积和圆锥体积。
圆柱、圆锥是人们在生产、生活中经常遇到的几何形体。
教学这一部分内容，有利于发展学生的空间观念，为进一步应用几何知识解决实际问题打下基础。
几何知识一向是小学生学习的难点。
特别是圆柱的表面积、圆柱圆锥体积的应用问题更是让学生忘而却步。
造成这种现象的原因除了计算复杂繁琐外，就是学生对立体图形的空间思维能力差。
不能根据文字叙述想象立体图形的样子，找不到解题的关键。
我的思考本次教研主题是“提高立体图形空间思维能力”。
围绕这个主题，我确定从“等积变形”思想方法来落实。
“等积变形”是小学阶段要渗透落实的重要思想方法之一。
生活中大量存在其身影。
在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过熔铸、锻造、重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的“等积变形”。
围绕“等积变形”，我设计“面积变形”和“体积变形（重点）”两个内容。
“面积变形”是为了使计算简便。
“体积变形”设计为稍复杂的体积变形：不规则物体体积计算（看图计算）和未完全浸没（解决问题）。
利用“化曲为直”、“动画重现”“割补剪拼”、“移花接木”“数形结合”等方式，让学生体会转化思想在数学中的广泛应用，提高学生的立体图形空间观念。
教学目标1.优化圆柱体表面积计算公式，能够解决稍复杂的体积的“等积变形”问题。
2.在不同情境中，找准“形变”与“体积不变”的关系，在变化中找不变的量，抓住解决问题的关键，从而正确解决实际问题。
3.发展空间观念，提高学生立体图形空间思维能力。
体会转化的思想价值。
教学重、难点重点：运用多种方法通过“等积变形”解决实际问题。
难点：在不同题目情境中，找准不变的量，抓住“等积”这一解题关键。
圆柱与圆锥的等积变形(课件)北师大版六年级下册数学
度。
S底=3.14×52=78.5(cm2)
V圆锥=13×3.14×62h×=130 76.8÷78.5
= 37.68×10 =4.8(cm)
=376.8(cm3)
答:圆柱内水面的高度为4.8厘米。
变式1： 在一个底面直径是8厘米，高10厘米的圆柱 形量杯内放入一些水，水面高是8厘米。把 一个小球浸没在量杯里，水满后还溢出 12.56克。求小球的体积。（每立方厘米水 重1克）
分析:放入小球前水的高度是8cm，还没达到量 杯的高度，放入小球后，水满溢出，水不仅升高 了10-8=2（cm）,还有水溢出，
溢出水的体积：12.56÷1=12.56（cm³）
3.14×（8÷2）²×（10-8）+12.56
=100.48+12.56 =113.04（cm³）
答：小球的体积是113.04cm³。
1250 20 100（0 毫升)
5 厘米
20 5
答：瓶内有饮料1000毫升。
20
厘 米
8、把一个正方体木块削成一个最大的圆 锥。正方体木块的棱长是6 dm，被削 去部分的体积是多少立方分米？
63－
1 3
×3.14×(6÷2)2×6＝159.48(dm3)
答：被削去部分的体积是159.48 dm3。
半径:15.7÷3.14÷2=2.5（dm） 体积：3.14×2.5²×2=39.25（dm³） 高：39.25×3÷10=11.775（dm）
答：圆锥的高是11.775 分米。
3、把一个体积是282.6立方厘米的铁块熔
铸成一个底面半径是6厘米的圆锥形机器零
件，求圆锥零件的高。
282.6÷（3.14×62× 1 ）
3-2.4= 0.6（分米）
圆柱与圆锥的等积变形问题
圆柱与圆锥的等积变形问题1.一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加1/3，现在的高和原来的高度比是多少？2.把三角形ABC沿着边AB或BC分别旋转一周，得到两个圆锥（如图1、图2），（单位：厘米）谁的体积大？大多少立方厘米？3.一个圆锥形钢锭，底面直径6分米，高5分米，体积多少？如果每立方分米重3千克，这个钢锭重几千克？4.两个盛满水的底面半径为10厘米、高30厘米的圆锥形容器，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱形容器中，求水深。
5、有一个圆柱形钢材。
它的高是1.2米，它的侧面积是7.536平方米。
问：它的质量是多少吨？（每立方厘米钢重7.8克，得数保留整数吨）6、有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，以知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的长度为多少厘米？7 、有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30立方分米。
现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见右图）。
问：瓶内现有饮料多少立方分米？8、皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。
皮球的直径为15厘米，水桶底面直径厘米。
皮球又4/5的体积浸在水里，问：皮球吊进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？（半径为r的球的体积是4/3∏r³。
）9、有一个下面是圆柱体，上面是圆锥体的容器，圆柱体的高度是10厘米，圆锥体的高度是6厘米，容器内的液面高度是7厘米。
当将这个容器倒过来放时，从圆锥的见到液面的高是多少厘米？10有一种酒瓶，容积为495立方厘米，当酒瓶瓶口向上时，瓶内酒的高度是15厘米，瓶口向下时，余下部分的高是5厘米，求瓶内酒有多少立方厘米？11、一个封闭的圆柱体容器横放时长12厘米，侧面圆直径4厘米，现里面水位高2厘米，若竖放水位多高？12.一个圆锥与一个圆柱的底面积比是3:2，体积比是2:5，如果圆柱的高与圆锥之和是36厘米，求圆锥的高是多少厘米？。
圆锥与圆柱的体积与表面积变化
圆锥与圆柱的体积与表面积变化圆锥和圆柱是几何学中的基本形状，它们的体积和表面积在不同的变化条件下会发生改变。
本文将探讨圆锥和圆柱的体积和表面积随着形状和尺寸的变化而变化的规律。
一、圆锥的体积与表面积变化圆锥的体积和表面积是根据底面半径和高度进行计算的。
1. 圆锥的体积圆锥的体积公式为V = (1/3)πr²h，其中V代表体积，π代表圆周率，r代表底面半径，h代表高度。
由于圆锥的体积与底面半径的平方和高度成正比，当底面半径或高度增加时，圆锥的体积也会增加。
相反地，当底面半径或高度减小时，圆锥的体积也会减小。
2. 圆锥的表面积圆锥的表面积公式为S = πr² + πrl，其中S代表表面积，l代表母线的长度。
圆锥的表面积包括底面积和侧面积两部分。
底面积等于圆的面积，侧面积由与底面相切的每一条母线的曲面构成。
与体积类似，圆锥的表面积也和底面半径以及母线的长度成正比。
增加底面半径或母线的长度会导致圆锥的表面积增加，减小底面半径或母线的长度会导致圆锥的表面积减小。
二、圆柱的体积与表面积变化圆柱的体积和表面积同样是根据底面半径和高度进行计算的。
1. 圆柱的体积圆柱的体积公式为V = πr²h，其中V代表体积，π代表圆周率，r代表底面半径，h代表高度。
不同于圆锥，圆柱的体积只和底面半径的平方和高度成正比。
当底面半径或高度增加时，圆柱的体积会增加；反之，当底面半径或高度减小时，圆柱的体积会减小。
2. 圆柱的表面积圆柱的表面积公式为S = 2πr² + 2πrh，其中S代表表面积。
圆柱的表面积由底面积和侧面积两部分构成。
底面积等于圆的面积乘以2，侧面积等于矩形的周长乘以高度。
圆柱的表面积和底面半径以及高度成正比。
增加底面半径或高度会导致圆柱的表面积增加，减小底面半径或高度会导致圆柱的表面积减小。
综上所述，圆锥和圆柱的体积与表面积随着形状和尺寸的变化而变化。
了解这种变化规律有助于我们在实际问题中进行计算和应用。
圆柱和圆锥体积中的典型题等积变形
圆柱和圆锥中的典型题
讲解：
【例1】把一块高为9cm的圆锥形钢坯浸在一个底面 积为28.26cm2的圆柱形水桶内，水面上升了2cm，这 个圆柱形钢坯的底面积是多少平方厘米？
解：上升的水的体积： 26.26×2=50.24（cm3）
圆锥的底面积： 50.24 ×3÷9=18.84（ cm2）
答：这个圆锥形钢坯的底面积是18.84 圆锥形零件有多 高？（单位：cm，结果保留整数）
·10
正方体零件熔铸成圆柱形零件
10 10
10 4
长方体零件熔铸成圆锥形零件
10 20
14
10
【例2】如图，圆柱形零件有多高？圆锥形零件有多 高？（单位：cm，结果保留整数）
5
正方体零件熔铸成圆柱形零件
10 10
解：正方体的体积： 10×10×10=1000（cm3）
圆柱的底面积： 3.14×52 =78.5（cm3）
圆柱的高： 1000 ÷78.5 ≈13（cm） 答：圆柱形零件的高是13厘米。
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一、 填空。
1、 一个圆柱和一个圆锥等底等高。
已知圆柱的体积是9立方米，圆锥的体积是（ ）立方米。
2、 一个圆锥的体积是1.2立方分米，和它底面直径相等，高也相等的圆柱的体积是（ ）立方分米。
二、 选择。
1、 把一个圆柱形状的木块切削成一个和它等底等高的圆锥形状的木块。
削掉的部分是这个圆柱体积的（ ）
A ．31 B. 3
2 C.3倍 2、一个圆柱好一个圆锥体积相等，底面积也相等。
如果圆柱的高是2.4厘米，那么圆锥的高是（ ）厘米。
A.7.2
B.2.4
C.0.8
3、把一个棱长为4厘米的正方体铸件切削成尽可能大的圆柱形状的机器零件。
这个零件的体积是（ ）立方厘米。
A.5.024
B.50.24
C.200.96
一、填空。
3、 一个圆柱和一个圆锥等底等高。
已知圆柱的体积是9立方米，圆锥的体积是（ ）立方米。
4、 一个圆锥的体积是1.2立方分米，和它底面直径相等，高也相等的圆柱的体积是（ ）立方分米。
二、选择。
2、 把一个圆柱形状的木块切削成一个和它等底等高的圆锥形状的木块。
削掉的部分是这个圆柱体积的（ ）
A ．31 B. 3
2 C.3倍 2、一个圆柱好一个圆锥体积相等，底面积也相等。
如果圆柱的高是2.4厘米，那么圆锥的高是（ ）厘米。
A.7.2
B.2.4
C.0.8
3、把一个棱长为4厘米的正方体铸件切削成尽可能大的圆柱形状的机器零件。
这个零件的体积是（ ）立方厘米。
A.5.024
B.50.24
C.200.96
三、 填空。
5、 一个圆柱和一个圆锥等底等高。
已知圆柱的体积是9立方米，圆锥的体积是（ ）立方米。
6、 一个圆锥的体积是1.2立方分米，和它底面直径相等，高也相等的圆柱的体积是（ ）立方分米。
四、 选择。
3、 把一个圆柱形状的木块切削成一个和它等底等高的圆锥形状的木块。
削掉的部分是这个圆柱体积的（ ）
A ．31 B. 3
2 C.3倍 2、一个圆柱好一个圆锥体积相等，底面积也相等。
如果圆柱的高是2.4厘米，那么圆锥的高是（ ）厘米。
A.7.2
B.2.4
C.0.8
3、把一个棱长为4厘米的正方体铸件切削成尽可能大的圆柱形状的机器零件。
这个零件的体积是（ ）立方厘米。
A.5.024
B.50.24
C.200.96
一、填空。
7、 一个圆柱和一个圆锥等底等高。
已知圆柱的体积是9立方米，圆锥的体积是（ ）立方米。
8、 一个圆锥的体积是1.2立方分米，和它底面直径相等，高也相等的圆柱的体积是（ ）立方分米。
二、选择。
4、 把一个圆柱形状的木块切削成一个和它等底等高的圆锥形状的木块。
削掉的部分是这个圆柱体积的（ ）
A ．31 B. 3
2 C.3倍 2、一个圆柱好一个圆锥体积相等，底面积也相等。
如果圆柱的高是2.4厘米，那么圆锥的高是（ ）厘米。
A.7.2
B.2.4
C.0.8
3、把一个棱长为4厘米的正方体铸件切削成尽可能大的圆柱形状的机器零件。
这个零件的体积是（ ）立方厘米。
A.5.024
B.50.24
C.200.96
三、解决问题。
1、一个圆锥形麦堆，底面周长是25.12米，高3米。
把这些小麦装入一个底面直径是4米的圆柱形粮囤内，正好装满。
这个粮囤的高是多少米？
2、一个底面直径为20厘米的圆柱形的玻璃杯装有一些水，水中放着一个底面直径为6厘米、高20厘米您的圆锥形铅锤。
当取出铅锤后，杯里的水下降几厘米？
3、把50个底面直径都是30厘米，高20厘米的圆锥形钢坯，熔铸成一根底面直径是60厘米的圆柱形钢材。
求钢材长多少厘米？
4、一个圆锥形的沙堆的沙堆，底面积是12.56平方米，高是1.2米。
用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？
三、解决问题。
1、一个圆锥形麦堆，底面周长是25.12米，高3米。
把这些小麦装入一个底面直径是4米的圆柱形粮囤内，正好装满。
这个粮囤的高是多少米？
2、一个底面直径为20厘米的圆柱形的玻璃杯装有一些水，水中放着一个底面直径为6厘米、高20厘米您的圆锥形铅锤。
当取出铅锤后，杯里的水下降几厘米？
3、把50个底面直径都是30厘米，高20厘米的圆锥形钢坯，熔铸成一根底面直径是60厘米的圆柱形钢材。
求钢材长多少厘米？
4、一个圆锥形的沙堆的沙堆，底面积是12.56平方米，高是1.2米。
用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？
三、解决问题。
1、一个圆锥形麦堆，底面周长是25.12米，高3米。
把这些小麦装入一个底面直径是4米的圆柱形粮囤内，正好装满。
这个粮囤的高是多少米？
2、一个底面直径为20厘米的圆柱形的玻璃杯装有一些水，水中放着一个底面直径为6厘米、高20厘米您的圆锥形铅锤。
当取出铅锤后，杯里的水下降几厘米？
3、把50个底面直径都是30厘米，高20厘米的圆锥形钢坯，熔铸成一根底面直径是60厘米的圆柱形钢材。
求钢材长多少厘米？
4、一个圆锥形的沙堆的沙堆，底面积是12.56平方米，高是1.2米。
用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？
三、解决问题。
1、一个圆锥形麦堆，底面周长是25.12米，高3米。
把这些小麦装入一个底面直径是4米的圆柱形粮囤内，正好装满。
这个粮囤的高是多少米？
2、一个底面直径为20厘米的圆柱形的玻璃杯装有一些水，水中放着一个底面直径为6厘米、高20厘米您的圆锥形铅锤。
当取出铅锤后，杯里的水下降几厘米？
3、把50个底面直径都是30厘米，高20厘米的圆锥形钢坯，熔铸成一根底面直径是60厘米的圆柱形钢材。
求钢材长多少厘米？
4、一个圆锥形的沙堆的沙堆，底面积是12.56平方米，高是1.2米。
用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？。