一元气体动力学基础讲解学习
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第7章 一元气体动力学基础
第7章一元气体动力学基础本章目录§7.1 理想气体一元恒定流动的运动方程§7.2 音速、滞止参数、马赫数§7.3 气体一元恒定流动的连续性方程§7.4 等温管路中的流动§7.5 绝热管路中的流动本章概述气体动力学研究可压缩流体运动规律及其工程应用。
气体的密度随着压强和温度变化而变化，此时必须考虑气体的可压缩性。
气体动力学不仅研究流速、压强问题，而且包含密度和温度问题，不仅需要流体力学知识，还需要热力学知识。
进行气体动力学计算时，压强和温度只能用绝对压强和热力学温度。
理想气体状态方程：定容过程：热力学中，定容过程系指气体在容积不变或比容不变条件下进行的热力过程。
定温过程：热力学中，定温过程系指气体在温度不变条件下进行的热力过程。
绝热过程：热力学中，在无能量损失且与外界无能量交换的条件下进行的热力过程称为可逆的绝热过程，又称为等熵过程。
§7.1 理想气体一元恒定流动的运动方程§7.1.1 一元理想流体欧拉运动微分方程此即欧拉运动微分方程，也称为微分形式的伯努利方程。
§ 7.1.2 气体一元定容流动该方程的物理意义：沿流各断面上单位重量理想气体的压能和动能之和守恒，二者可以互相转换。
§7.1.3 气体一元定温流动定温流动也就是气体在温度保持不变情况下的流动。
§7.1.4 气体一元绝热流动绝热条件下的流动就是绝热流动，又称为等熵流动。
在绝热条件下，气体参数变化服从等熵过程方程理想气体绝热流动（等熵流动），沿流任意断面上，单位重量的气体所具有的内能、压能和动能之和为一常量。
§7.1.5 例题§7.1.6 关于气体一元绝热流动方程使用理想气体一元绝热流动方程，不仅适用于无摩阻的绝热流动中，也适用实际气流。
由于流动系统与外界无热量交换，摩擦产生的热量保存在管路中，所消耗的机械能转化为内能，其总和将保持不变。
流体力学_龙天渝_一元气体动力学原理
第九章 一元气体动力学基础一、学习指导 1. 基本参数 （1） 状态方程气体的压强p ，密度ρ以及温度（绝对）T 满足状态方程p RT ρ=式中，R 为气体常数，对于空气，287/()R J kg K =⋅。
（2） 绝热指数k/p v k c c =式中，c p 和c v 分别是等压比热和等容比热，他们与气体参数地关系为1p k c R k =-，11p c R k =-（3） 焓和熵焓h 的定义是ph e ρ=+式中，e 是气体内能，v e c T =。
h 可一表示为 p h c T =熵的表达式为ln()kps cv c ρ=+常数（4） 音速cc =（5） 马赫数马赫数M 的定义是uM c =式中，u 是气流速度；c 是音速。
2. 一元恒定流动的运动方程 （1） 气体一元定容流动ρ=常数22pv g γ+=常数 （2） 气体一元等温流动T =常数，pRT cρ==2ln 2v c p +=常量2ln 2v RT p +=常量（3） 气体一元绝热流动k p cρ= 212k p v k ρ⋅+-=常量3. 滞止参数气流在某断面的流速，设想以无摩擦绝热过程降低至零时，断面各参数所达到的值，称为气流在该断面的滞止参数。
用p 0、ρ0、T 0、i 0、c 0表示滞止压强、滞止密度、滞止温度、滞止焓值、滞止音速。
0/T T ，0/p p ，0/ρρ，0/c c 与马赫数M 的函数关系：20112T k M T -=+11200112k kk k p T k M p T ---⎛⎫⎛⎫==+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1111200112k k T k M T ρρ---⎛⎫⎛⎫==+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1122200112c T k M c T -⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4. 气体一元恒定流动的连续性方程2(1)dA dv M A v =-（1） M<1为亚音速流动，v<c ，因此dv 与dA 正负号相反，速度随断面面积增大而减慢；随断面面积减小而加快。
流体力学(热能)第7章 一元气体动力学基础
d dv P263（b） v c2 k p
(dT 0) (dA 0)
P263(c)
dp d dv kM dl p v (1 kM ) 2 D
2 2
(9 4 17)
讨论： （1）l增加，摩阻增加 若kM2<1，v沿程增加，p、ρ减小； 若kM2>1，v沿程减小，p、ρ增加。
§9-4 实际气体管路流动
等截面管道的恒定气流 如高压蒸气管道、煤气管道 预备知识：
气体管路运动微分方程
沿程损失：
dl v 2 dhf D 2 dp 2 vdv v dl 0 2D 2dp dv 或 2 dl 0 v D v 2
讨论：式中p、ρ、v均为待求变量。A、D为常数，λ为气流的沿程阻力系数。
2、参数的计算公式，根据能量方程及有关断面参数求得。
p0 k k p v2 0 k 1 0 k 1 2 k k v2 RT0 RT k 1 k 1 2 v2 i0 i 2 (9 2 9) (9 2 10)
2 c0 c2 v2 k 1 k 1 2
缩气体，密度为ρ，压强为p，F作用
dv向右运动，产生微小的平面扰动波， 波速为c 。坐标固在波峰上。如图：
小扰动波波峰 c-dv
1 2 c
1 2
（1）连续性方程：1-2断面的控制体 d dv cA (c dv)( d ) A 略去二阶无穷小量 c （2）动量方程：
cA[(c dv) c] pA ( p dp) A（质量力为零，忽略切应力）
vD f ( Re , ) D
①D、管材一定， 一定； D
②等截面， v =常数。 ③ 随温度变化，等温管路。 =常数， λ 为常数。 ④绝热管道， λ 为变量，但在实用上，仍可作为常数考虑。
(dT 0) (dA 0)
P263(c)
dp d dv kM dl p v (1 kM ) 2 D
2 2
(9 4 17)
讨论： （1）l增加，摩阻增加 若kM2<1，v沿程增加，p、ρ减小； 若kM2>1，v沿程减小，p、ρ增加。
§9-4 实际气体管路流动
等截面管道的恒定气流 如高压蒸气管道、煤气管道 预备知识：
气体管路运动微分方程
沿程损失：
dl v 2 dhf D 2 dp 2 vdv v dl 0 2D 2dp dv 或 2 dl 0 v D v 2
讨论：式中p、ρ、v均为待求变量。A、D为常数，λ为气流的沿程阻力系数。
2、参数的计算公式，根据能量方程及有关断面参数求得。
p0 k k p v2 0 k 1 0 k 1 2 k k v2 RT0 RT k 1 k 1 2 v2 i0 i 2 (9 2 9) (9 2 10)
2 c0 c2 v2 k 1 k 1 2
缩气体，密度为ρ，压强为p，F作用
dv向右运动，产生微小的平面扰动波， 波速为c 。坐标固在波峰上。如图：
小扰动波波峰 c-dv
1 2 c
1 2
（1）连续性方程：1-2断面的控制体 d dv cA (c dv)( d ) A 略去二阶无穷小量 c （2）动量方程：
cA[(c dv) c] pA ( p dp) A（质量力为零，忽略切应力）
vD f ( Re , ) D
①D、管材一定， 一定； D
②等截面， v =常数。 ③ 随温度变化，等温管路。 =常数， λ 为常数。 ④绝热管道， λ 为变量，但在实用上，仍可作为常数考虑。
第十章 一元气体动力学基础
p2 T2 T1 p 1
状态方程
k 1 k
350 101 .3 293 420 101 .3
1.4 1 1.4
281 .2 K
p1 1 6.199 k g / m3 RT1 p2 2 5.592 kg / m3 RT2
（例９－１）求空气绝热流动时，（无摩檫损失）两断面 间流速与绝对温度的关系．已知：空气的绝热指数k=１.４ ，气体常数Ｒ＝２８７Ｊ／kg．Ｋ.
解：应用
k p v2 常数 k 1 2
v2 3.5 常数 2 p 有 RT带入上式 p
将k带入
v2 3.5 287 T 常数 2
1 p1 v p v1
代入式（☆）积分
p2 v2 dv 2 l 2 p1 pdp 2v1 v d 0 dl 0 1v1 p1
p12
2 p2
2 p1 1v1 2 ln
v 2 l v1 d
可略
p p p1 v
第十章 一元气体动力学基础
本章导读 第一节 理想气体一元恒定流动的运动方程 第二节 微弱扰动的一维传播 声速 马赫数
第三节 理想气体一元恒定流动的基本方程 第四节 等温管道中的流动 第五节 绝热管道中的流动 第六节 变截面管流
本章导读
气体动力学研究可压缩流体运动规律及其在工程实际中 的应用。 当气体流动速度较高，压差较大时，气体的密度发生了 显著变化，从而气体流动现象，运动参数亦发生显著变化。 因此必须考虑气体的可压缩性，也就是必须考虑气体密度随 压强和温度的变化而变化。这样一来，研究可压缩流体的动 力学不只是流速，压强问题，而且也包含密度和温度问题。 不仅需要流体力学的知识，还需要热力学知识。在这种情况 下，进行气体动力学计算时，压强、温度只能用绝对压强及 开尔文温度。
流体力学_09一元气体动力学基础
第九章 一元气体动力学
§9-2音速、滞止参数、马赫数 §9-3气体一元恒定流动的连续性方程
§9-2音速、滞止参数、马赫数
1.音速 流体中某处受外力作用，使其压力发生变化，称为压力 扰动，压力扰动就会产生压力波，向四周传播。微小扰动在 流体中的传播速度，就是声音在在流体中的传播速度，以符 号C表示。C是气体动力学的重要参数。 2.滞止参数 气流某断面的流速，设想以无摩擦绝热过程降低至零时， 断面各参数所达到的值，称为气流在该断面的滞止参数。滞 止参数以下标“0”表示。
§9-3气体一元恒定流动的连续性方程
一、连续性微分方程
第三章已给出了连续性方程 对管流任意两断面
A 常量
1v1 A1 2v2 A2
为了反映流速变化和断回变化的相互关系，对上式微分
d ( A) dA Ad Ad 0 d d dA 0 A
由欧拉运动微分方程：
2 消去密度 ，并将 c
dp
d 0
dp ，M 代入，则断面A与气流速度 d c
之间的关系式为：
dA d 2 ( M 1) A
二、气流反映气体可压缩大小。当气流速 度越大，则音速越小，压缩现象越显著。马赫数首先将有关影 响压缩效果的的v和c两个参数联系起来，指指定点的当地速度 v与该点当地音速c的比值为马赫数M。
v M c
M>1，v>c，即气流本身速度大于音速，则气流中参数 的变化不能向上游传播。这就是超音速流动。 M<1，v<c，即气流本身速度小于音速，则气流中参数 的变化能够向上游传播。这就是亚音速流动。 M数是气体动力学中一个重要无因次数，它反映惯性力 与弹性力的相对比值。如同雷诺数一样，是确定气体流动状 态的准则数。
§9-2音速、滞止参数、马赫数 §9-3气体一元恒定流动的连续性方程
§9-2音速、滞止参数、马赫数
1.音速 流体中某处受外力作用，使其压力发生变化，称为压力 扰动，压力扰动就会产生压力波，向四周传播。微小扰动在 流体中的传播速度，就是声音在在流体中的传播速度，以符 号C表示。C是气体动力学的重要参数。 2.滞止参数 气流某断面的流速，设想以无摩擦绝热过程降低至零时， 断面各参数所达到的值，称为气流在该断面的滞止参数。滞 止参数以下标“0”表示。
§9-3气体一元恒定流动的连续性方程
一、连续性微分方程
第三章已给出了连续性方程 对管流任意两断面
A 常量
1v1 A1 2v2 A2
为了反映流速变化和断回变化的相互关系，对上式微分
d ( A) dA Ad Ad 0 d d dA 0 A
由欧拉运动微分方程：
2 消去密度 ，并将 c
dp
d 0
dp ，M 代入，则断面A与气流速度 d c
之间的关系式为：
dA d 2 ( M 1) A
二、气流反映气体可压缩大小。当气流速 度越大，则音速越小，压缩现象越显著。马赫数首先将有关影 响压缩效果的的v和c两个参数联系起来，指指定点的当地速度 v与该点当地音速c的比值为马赫数M。
v M c
M>1，v>c，即气流本身速度大于音速，则气流中参数 的变化不能向上游传播。这就是超音速流动。 M<1，v<c，即气流本身速度小于音速，则气流中参数 的变化能够向上游传播。这就是亚音速流动。 M数是气体动力学中一个重要无因次数，它反映惯性力 与弹性力的相对比值。如同雷诺数一样，是确定气体流动状 态的准则数。
流体力学-气体的一元流动
❖ 气体的显著特点是它的易压缩性，但是当气体的流 动速度<(70~100)m/s，则气体的可压缩性很不明显， 此时可把液体流动规律直接用到气体上；当气体的 流动速度>(70~100)m/s，则气体可压缩性将明显增 加，此时还必须考虑热效应(热变态)，气体动力学 与热力学还有着密切的关系，因此气体状态参数要 比液体运动状态参数多，确定气体运动状态的参数
由于波前气体处于静止状态，u=0，其状态参数
为p、、T，而波后气体处于受扰动状态，并在活塞
推动下产生了一个随活塞一起缓慢运动的速度变化 du其状态参数亦有微小变化，分别变为p+dp，T+dT
首先分析受到扰动的这部分气体在时间前和时间后的
质量守恒表达式。
dt时间前气体的质量为cdtA，dt时间后气体<1，即气流速度小于声速 的流动。 临界流动：若Ma =1，即气流速度等于声速的流 动。 超声速流动：若Ma >1，即气流速度大于音速的流 动。
10.2 可压缩气体的一元流动方程式
一元流动：气体流动时，若过流断面上各参数均 布，其状态参数只是流程的函数，这种流动称为一 元流动。 一、可压缩气体总流的连续性方程式 如图10-2所示，可压缩性气体在流管内作定常流 动，在流管上任取两个断面A1和A2，并设过流断面 上流动参数是均匀分布的(否则取平均值)，流速分
别为u1和u2，密度分别为1和2 。由于是定常流
动，所以在通过过流断面和的质量流量相等，即有
1u1A1 2u2 A2
或
uA const
对上式取对数，得： ln(uA) ln ln u ln A C
微分得：
d du dA 0 uA
二、可压缩性气体的能量方程式
理想气体作定常流动，沿流线的积分方程为
由于波前气体处于静止状态，u=0，其状态参数
为p、、T，而波后气体处于受扰动状态，并在活塞
推动下产生了一个随活塞一起缓慢运动的速度变化 du其状态参数亦有微小变化，分别变为p+dp，T+dT
首先分析受到扰动的这部分气体在时间前和时间后的
质量守恒表达式。
dt时间前气体的质量为cdtA，dt时间后气体<1，即气流速度小于声速 的流动。 临界流动：若Ma =1，即气流速度等于声速的流 动。 超声速流动：若Ma >1，即气流速度大于音速的流 动。
10.2 可压缩气体的一元流动方程式
一元流动：气体流动时，若过流断面上各参数均 布，其状态参数只是流程的函数，这种流动称为一 元流动。 一、可压缩气体总流的连续性方程式 如图10-2所示，可压缩性气体在流管内作定常流 动，在流管上任取两个断面A1和A2，并设过流断面 上流动参数是均匀分布的(否则取平均值)，流速分
别为u1和u2，密度分别为1和2 。由于是定常流
动，所以在通过过流断面和的质量流量相等，即有
1u1A1 2u2 A2
或
uA const
对上式取对数，得： ln(uA) ln ln u ln A C
微分得：
d du dA 0 uA
二、可压缩性气体的能量方程式
理想气体作定常流动，沿流线的积分方程为
一元气体动力学基础
0 8.2%
一般取M=0.2
t=15℃时，v≤M·c=0.2×340=68m/s
第三节 气体一元恒定流动 的连续性方程
1.气流参数与变截面的关系
由连续性方程
d dv dA 0 vA
9-3-2
欧拉微分方程 dp vdv 0
9-1-1
及 c2 dp
d
M v c
p RT
p
k
常数
得 dA M 2 1 dv
A
v
dA M 2 1 dp
A
kM2 p
dA M 2 1 d
A
M2
dA
M 2 1 dT
A k 1M 2 T
9-3-3
2.讨论 一元等熵气流各参数沿程的变化趋势
M<1 流动参数
渐缩管 渐扩管
流速v 压强p 密度ρ 温度T
增大 减小 减小 减小
减小 增大 增大 增大
M>1
渐缩管 渐扩管
减小 增大 增大 增大
3000m高空的温度为 T 269K 所以驻点温度为
T
T
1
k
1 2
M
2 a
269 1
数
声音的传播是一种小扰动波
连续性方程
cAdt d c dvAdt
略去高阶微量，得
cd dv
动量方程
p dpA pA cAdv
得 dp cdv
解得 c dp
d
——音速定义式
液体： E dp c E
d
气体：视作等熵过程
p
k
c
微分： dp k p dp c k p kRT
解：空气k=1.4，R=287J/kg·K，Cp=7R/2=1004.5J/kg·K
流体力学第九章 一元气体动力学基础
声 速 传 播 物 理 过 程
波峰所到之处，液体压强变为ｐ＋ｄｐ，密度变为 d ，
波峰未到之处，流体仍处于静止，压强、密度仍为静止时 的 p，
设管道截面积为Ａ，对控制体写出连续性方程： 展开： c A （c-dv）（ +d）A （９－２０） d dv c 由流体的弹性模量与压缩系数的关系推导出：
第二节
声速、制止参数、马赫数
一、声速 流体中某处受外力作用，使其压力发生变化，称为压力扰动，压力 扰动就会产生压力波，向四周传播。传播速度的快慢，与流体内在 性质---压缩性（或弹性）和密度有关。微小扰动在流体中的传播速 度，就是声音在流体中的传播速度，以符号表示c声速。 取等断面直管，管中充满静止的可压缩气体。活塞在力的作用下，有一 微小速度向右移动，产生一个微小扰动的平面波。
(9-4)
上式为单位质量理想气体的能量方程式.
二.气体一元等温流动
热力学中等温过程系指气体在温度T不变的条件下所进
行的热力过程.等温流动则是指气体温度T保持不变的流 p (9-5) 动. T 常量， RT C
v2 RT ln p 常量 2
(9-6)
三.气体一元绝热流动
从热力学中得知，在无能量损失且与外界又无热量交换 的情况下，为可逆的绝热过程，又称等熵过程.这样理想 气体的绝热流动即为等墒流动,气体参数服从等墒过程方 p 程式: C (9-7) k
2 c c2 v2 k 1 k 1 2
（9-30）
三、马赫数Ma
马赫数Ma取指定点的当地速度v与该点当地声速c的比值；
不能向上游传播，这就是超声速流动． Ｍａ＜１，ｖ＜ｃ，气流本身速度小于声速，即气流中参数的变化能够 各向传播，这就是压声速流动． Ｍａ数是气体动力学中一个重要无因次数，它反应了惯性力与弹性力的 相对比值．如同雷诺数一样，是确定气体流动状态的准则数．
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解：喷口处 akRT 31.5m 2/s
Mv 2500.8 a 31.25
k
1 .4
p 0 p 1 k2 1 M 2 k 1 1 1 0 1 .0 4 2 1 0 .8 2 1 .4 1 1.4 5 k2 P pa
h u p ——焓
（4）多变过程
p c n
n c cp c cv
——多变指数
n p v2 c
n1 2
可压缩理想气体的能量方程
n=0
等压过程
n=1
等温过程
n=k
绝热过程
n→±∞ 等容过程
例1：文丘里流量计，进口直径d1=100mm，温度 t1=20℃，压强p1=420kPa，喉管直径d2=50mm，压强 p2=350kPa，已知当地大气压pa=101.3kPa，求通过空 气的质量流量
一元气体动力学基础
安徽建筑工业学院环境工程系 王造奇
INDEX 理想气体一元恒定流动的基本方程 可压缩气流的几个基本概念 变截面的等熵流动 可压缩气体的等温管道流动 可压缩气体的绝热管道流动
理想气体一元恒定流动的基本方程
可压缩气体 密度变化 1.连续性方程
积分形式 vAc 微分形式 ddvdA0
可压缩气流的几个基本概念
1.音速 声音的传播是一种小扰动波 连续性方程
aA d d ta dA vdt
略去高阶微量，得
addv
动量方程
pdA pp A aAdv
得 dpadv
解得 a dp d
——音速定义式
液体： E dpa E
d
气体：视作等熵过程
p k
c
微分： dpkpdpa kp kRT
p k
c
k cp cv
——绝热指数
代入积分得
k p v2 c
k 1 2
或
证明：
1 p pv2 c
k1 2
内能u
u c v T c vR p c vcp p c v
c v p1p cp c v k 1
u p v2 c
2
可压缩理想气体在绝 热过程中的能量方程
或 h v2 c 2
例：一飞机在A点上空H=2000m，以速度v=1836km/h （510m/s）飞行，空气温度t=15℃（288K），A点要 过多长时间听到飞机声？
解： a kRT34m0 /s
v
Mv 5101.5 a 340
α
arcs1in41.8
M
lvtHctg
H
lα A
tH c tg 20c0t4g 0 .8 1 4.3s8
v
510
4.滞止参数与马赫数的关系
由
k RTv2 k1 2
kk1R0T
T01k1v2 111k1M2k1 p T 2
1
1
0 T T0k11k21M2k1
1
1
a0 T02 1k1M22 a T 2
例：容器中的压缩气体经过一收缩喷嘴射出，出口绝对压 力p=100kPa，t=-30℃，v=250m/s，求容器中压强和温度
vA
2.状态方程 p RT
R——气体常数（空气：287J/kg·K）
3.能量方程 复习：平衡微分方程 S 1 dp 0
ds
S——S方向质量力
扩展：运动微分方程 SF 1d dp sd dvtd dv sd dstvd dv s
理想气体：F=0 浮力与重力平衡：S=0 1 dpvdv
ds ds
状态方程
1
p1 6.1 R1T
9k9g/m3
2
p2 5.59k2g/m3 R2T
连续性方程
v2
1v1A1 2A2
4.43v41
能量方程
kk1p11v212 kk1p22
v22 2
解得
v13.56m 6/s
Q m1 v1A 11.73 k/g 5 s
例2：理想气体在两个状态下的参数分别为T1、p1和T2、p2 （1）密度的相对变化率
（4）在有摩擦的绝热过程中，机械能转化为 内能，总能量不变——T0，a0，h0不变， p0↓，ρ0↓，但p0/ ρ0=RT0不变。如有 能量交换，吸收能量T0↑，放出能量T0↓
3.马赫数 M v a
M<1 亚音速流动 M=1 音速流动 M>1 超音速流动
微小扰动在空气中的传播
马赫锥 马赫角α： sinav1M
参数称为滞止参数
v0=0——滞止点（驻点）
k pv2 k p0
k1 2 k10
k RTv2 k1 2
kk1R0T
p0,0,T0,a0,h0
a2
v2
a02
k1 2 k1
h
v2 2
h0
性质： （1）在等熵流动中，滞止参数值不变； （2）在等熵流动中，速度增大，参数值降低；
（3）气流中最大音速是滞止音速； a0 kR0T
解：喷管——等熵过程 空气k=1.4 R=287J/kg·K T——热力学温标（K） p——绝对压强 解题思路：状态（过程）方程、 连续性方程、能量方程
绝热过程方程
k 1
1.4 1
T 2T 1 p p1 2 k
29 3 35 100 .3 1 1.4 42 100 .31
28 .2K 1
讨论：
（1）音速与本身性质有关
（2） a 1
d dp
d/dp 越大，越易压缩，a越小
音速是反映流体压缩性大小的物理参数
（3） afT fp ,V ,T 当地音速
（4）空气 a 1.428T7 T28K8 a34 m/0 s
2.滞止参数（驻点参数） 设想某断面的流速以等熵过程减小到零，此断面的
dp vdv 0
——欧拉运动微分方程
dpvdvc ——理想气体一元恒定流的能量方程
一些常见的热力过程 （1）等容过程
积分： p v 2 c
2
——机械能守恒
（2）等温过程
1 RT p
代入积分得 RTln pv2 c
2 （3）绝热过程
可压缩理想气体在等 温过程中的能量方程
理想气体的绝热过程→等熵过程
d h C h p d 2 h h 1 C v d c p T T 2 R T 1 T C v d d d R T T C v d T d p T
dQ dh dp
cp 7R 2
d S dT h dT p C p dT T R dp p （4）熵的变化
SS2S1cplnT T1 2Rlnp p1 2
p RT
密度相对变化率
21p 2T 2p 1T 1p 2 T 1 T 2p 1
1
1
p 1T 1
T 2p 1
（2）内能变化
u u 2 u 1 c v T 2 T 1
cv 5R 2 R28J/7kg K
（3d）s焓d的Q T 变化d d Q p u 1 d C v d d p T dp