一元气体动力学基础学习资料
第7章 一元气体动力学基础
第7章一元气体动力学基础本章目录§7.1 理想气体一元恒定流动的运动方程§7.2 音速、滞止参数、马赫数§7.3 气体一元恒定流动的连续性方程§7.4 等温管路中的流动§7.5 绝热管路中的流动本章概述气体动力学研究可压缩流体运动规律及其工程应用。
气体的密度随着压强和温度变化而变化，此时必须考虑气体的可压缩性。
气体动力学不仅研究流速、压强问题，而且包含密度和温度问题，不仅需要流体力学知识，还需要热力学知识。
进行气体动力学计算时，压强和温度只能用绝对压强和热力学温度。
理想气体状态方程：定容过程：热力学中，定容过程系指气体在容积不变或比容不变条件下进行的热力过程。
定温过程：热力学中，定温过程系指气体在温度不变条件下进行的热力过程。
绝热过程：热力学中，在无能量损失且与外界无能量交换的条件下进行的热力过程称为可逆的绝热过程，又称为等熵过程。
§7.1 理想气体一元恒定流动的运动方程§7.1.1 一元理想流体欧拉运动微分方程此即欧拉运动微分方程，也称为微分形式的伯努利方程。
§ 7.1.2 气体一元定容流动该方程的物理意义：沿流各断面上单位重量理想气体的压能和动能之和守恒，二者可以互相转换。
§7.1.3 气体一元定温流动定温流动也就是气体在温度保持不变情况下的流动。
§7.1.4 气体一元绝热流动绝热条件下的流动就是绝热流动，又称为等熵流动。
在绝热条件下，气体参数变化服从等熵过程方程理想气体绝热流动（等熵流动），沿流任意断面上，单位重量的气体所具有的内能、压能和动能之和为一常量。
§7.1.5 例题§7.1.6 关于气体一元绝热流动方程使用理想气体一元绝热流动方程，不仅适用于无摩阻的绝热流动中，也适用实际气流。
由于流动系统与外界无热量交换，摩擦产生的热量保存在管路中，所消耗的机械能转化为内能，其总和将保持不变。
流体力学_龙天渝_一元气体动力学原理
第九章 一元气体动力学基础一、学习指导 1. 基本参数 （1） 状态方程气体的压强p ，密度ρ以及温度（绝对）T 满足状态方程p RT ρ=式中，R 为气体常数，对于空气，287/()R J kg K =⋅。
（2） 绝热指数k/p v k c c =式中，c p 和c v 分别是等压比热和等容比热，他们与气体参数地关系为1p k c R k =-，11p c R k =-（3） 焓和熵焓h 的定义是ph e ρ=+式中，e 是气体内能，v e c T =。
h 可一表示为 p h c T =熵的表达式为ln()kps cv c ρ=+常数（4） 音速cc =（5） 马赫数马赫数M 的定义是uM c =式中，u 是气流速度；c 是音速。
2. 一元恒定流动的运动方程 （1） 气体一元定容流动ρ=常数22pv g γ+=常数 （2） 气体一元等温流动T =常数，pRT cρ==2ln 2v c p +=常量2ln 2v RT p +=常量（3） 气体一元绝热流动k p cρ= 212k p v k ρ⋅+-=常量3. 滞止参数气流在某断面的流速，设想以无摩擦绝热过程降低至零时，断面各参数所达到的值，称为气流在该断面的滞止参数。
用p 0、ρ0、T 0、i 0、c 0表示滞止压强、滞止密度、滞止温度、滞止焓值、滞止音速。
0/T T ，0/p p ，0/ρρ，0/c c 与马赫数M 的函数关系：20112T k M T -=+11200112k kk k p T k M p T ---⎛⎫⎛⎫==+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1111200112k k T k M T ρρ---⎛⎫⎛⎫==+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1122200112c T k M c T -⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4. 气体一元恒定流动的连续性方程2(1)dA dv M A v =-（1） M<1为亚音速流动，v<c ，因此dv 与dA 正负号相反，速度随断面面积增大而减慢；随断面面积减小而加快。
第九章__一元气体动力学基础
三、马赫数 M
如前述，音速大小在一定程 度上反映气体可压缩性大小。当 气流速度越大，则音速越小，压 缩现象越显著。 指定点的当地速度 v 与该 点当地音速c的比值为马赫数 M 。
将滞止参数与断面参数比表示 为马赫数 M 的函数
四、气流按不可压缩处理的极限
M=0 时,流体处于静止状态， 不存在压缩问题。 M > 0 时，在不同速度 v 下 都具有不同程度的压缩。 相对误差小于 1 % 时， M < 0.2，此时可按不可压缩气体处理。
动量方程
整理可得
d
dv c
应用气体等熵过程方程式
气体中音速公式
( 1 ）不同的气体有不同的 绝热指数 k ，及不同的气体常 数 R ，所以各种气体有各自的 音速值。 ( 2 ）同一气体中音速也不 是固定不变的，它与气体的绝对 温度平方根成正比。
二、滞止参数
气流某断面的流速，设想以无摩擦 绝热过程降低至零时，断面各参数所达 到的值，称为气流在该断面的滞止参数。 滞止参数以下标“ 0 ”表示。例如 p0、 ρ0、 T0、 i0、c0等相应地称为滞止压强、 滞止密度、滞止温度、滞止烩值、滞止 音速。 气体绕物体流动时，其驻点速度为 零，驻点处的参数就是滞止参数。
第二节 音速、滞止参数、马赫数
一、音速
微小扰动在流体中的传播速 度，就是声音在流体中的传播速 度，以符号c表示音速。
音速传播物理过程
音速推导
设管道截面积为 A ，对控制 体写出连续性方程
cA (c dv)( d ) A
展开略去二阶小量，得
d
dv c
音速推导
气体动力学研究可压缩流体运动规律 及其在工程实际中的应用。 当气体流动速度较高，压差较大时， 气体的密度发生了显著变化，从而气体流 动现象，运动参数亦发生显著变化。因此 必须考虑气体的可压缩性，也就是必须考 虑气体密度随压强和温度的变化而变化。 这样一来，研究可压缩流体的动力学不只 是流速，压强问题，而且也包含密度和温 度问题。不仅需要流体力学的知识，还需 要热力学知识。在这种情况下，进行气体 动力学计算时，压强、温度只能用绝对压 强及开尔文温度。
流体力学_09一元气体动力学基础
§9-2音速、滞止参数、马赫数 §9-3气体一元恒定流动的连续性方程
§9-2音速、滞止参数、马赫数
1.音速 流体中某处受外力作用，使其压力发生变化，称为压力 扰动，压力扰动就会产生压力波，向四周传播。微小扰动在 流体中的传播速度，就是声音在在流体中的传播速度，以符 号C表示。C是气体动力学的重要参数。 2.滞止参数 气流某断面的流速，设想以无摩擦绝热过程降低至零时， 断面各参数所达到的值，称为气流在该断面的滞止参数。滞 止参数以下标“0”表示。
§9-3气体一元恒定流动的连续性方程
一、连续性微分方程
第三章已给出了连续性方程 对管流任意两断面
A 常量
1v1 A1 2v2 A2
为了反映流速变化和断回变化的相互关系，对上式微分
d ( A) dA Ad Ad 0 d d dA 0 A
由欧拉运动微分方程：
2 消去密度 ，并将 c
dp
d 0
dp ，M 代入，则断面A与气流速度 d c
之间的关系式为：
dA d 2 ( M 1) A
二、气流反映气体可压缩大小。当气流速 度越大，则音速越小，压缩现象越显著。马赫数首先将有关影 响压缩效果的的v和c两个参数联系起来，指指定点的当地速度 v与该点当地音速c的比值为马赫数M。
v M c
M>1，v>c，即气流本身速度大于音速，则气流中参数 的变化不能向上游传播。这就是超音速流动。 M<1，v<c，即气流本身速度小于音速，则气流中参数 的变化能够向上游传播。这就是亚音速流动。 M数是气体动力学中一个重要无因次数，它反映惯性力 与弹性力的相对比值。如同雷诺数一样，是确定气体流动状 态的准则数。
一元气体动力学基础讲解学习
解：喷口处 akRT 31.5m 2/s
Mv 2500.8 a 31.25
k
1 .4
p 0 p 1 k2 1 M 2 k 1 1 1 0 1 .0 4 2 1 0 .8 2 1 .4 1 1.4 5 k2 P pa
h u p ——焓
（4）多变过程
p c n
n c cp c cv
——多变指数
n p v2 c
n1 2
可压缩理想气体的能量方程
n=0
等压过程
n=1
等温过程
n=k
绝热过程
n→±∞ 等容过程
例1：文丘里流量计，进口直径d1=100mm，温度 t1=20℃，压强p1=420kPa，喉管直径d2=50mm，压强 p2=350kPa，已知当地大气压pa=101.3kPa，求通过空 气的质量流量
一元气体动力学基础
安徽建筑工业学院环境工程系 王造奇
INDEX 理想气体一元恒定流动的基本方程 可压缩气流的几个基本概念 变截面的等熵流动 可压缩气体的等温管道流动 可压缩气体的绝热管道流动
理想气体一元恒定流动的基本方程
可压缩气体 密度变化 1.连续性方程
积分形式 vAc 微分形式 ddvdA0
可压缩气流的几个基本概念
1.音速 声音的传播是一种小扰动波 连续性方程
aA d d ta dA vdt
略去高阶微量，得
addv
动量方程
pdA pp A aAdv
得 dpadv
解得 a dp d
——音速定义式
液体： E dpa E
d
气体：视作等熵过程
p k
c
微分： dpkpdpa kp kRT
p k
c
k cp cv
第九章 一元气体动力学基础
C p Cv R
vCC
dp 第一项积分： =C
p
p
u2 C 2
p （代入运动微分方程） C
k p p dp = k -1 Cp
Cp
2、气体一元等温过程：
C
Cv Cv k p u2 u2 u2 C RT C RT C 得： Cp C p Cv 2 2 k 1 2 1 Cv Cv
§ 9－ 2 音速、滞止参数、马赫数
微弱扰动波面
§ 9－ 2 音速、滞止参数、马赫数
由（ 1）式和（ 2）式得：
a
p, , u 0
du
p dp
d
du
在相对坐标系中取图（b)中虚线所示的控制 体，设管道截面积为 A，对控制体应用连续 方程：
a2
dp d
或 a
dp d
du 1 p X dt x u u dx 1 p X t x dt x 1 dp du u 0 dx dx dp u2 d 2 0
微分形式的气体运动方程，称为欧 拉运动微分方程
§ 9－ 1 理想气体一元恒定流动的运动方程 以一元气体欧拉运动微分方程为基础，按照气体运动经历的不同的热力过程，利用 热力过程方程式，可得到几种具体的气体一元流动的运动方程积分式： 1、气体一元定容过程：
以上表达式说明： (1)等熵流动中，各断面滞止参数不变，其中 T 0 , h 0 , a 0 反映了热能在内的气流 全部能量。 (2)等熵流动中，气流速度若沿流增大，则气流温度 T 降低。 ，焓 h ，音速 a ，沿程
T
u T0 2C p
2
（ 3）由于当地气流速度 u的存在，同一气流中当地音速
流体力学(热能)第7章 一元气体动力学基础资料
二、滞止参数
1、滞止参数：气流某断面的流速，设想以无摩擦绝热过程降 低至零时，该断面的气流状态为滞止状态，相应的气流参数 称滞止参数。（等熵过程）
p0, 0,T0,i0,c0
2、参数的计算公式，根据能量方程及有关断面参数求得。
（2）判断气流压缩性影响程度的指标
气体的压缩性随M 的增大而增大。流速高，气体的压缩性影
响显著提高。实际工程中常用流速判别气流按可压缩气体或 不可压缩气体的界限。 常温下（15º），M=0.2，v≤0.2×340m/s=68m/s，按不可压 缩液体处理。 （ρ,p,T变化不显著） v>68m/s时，压缩性不可忽略。
（1） E 1 dp d
E c2
c E
（2） dp k p kRT
d
c kRT
3、音速的性质与意义 性质：
（1）c反映流体压缩性的大小; （2）c与T有关； （3）c与k、R有关（气体性质），各种气体有自己的音 速值。 空气中音速c=340m/s，氢气中c=1295m/s。
意义:
密度等的变化）都将以波的形式向四面八方传播，其传播速度就是声音在 流体中的传播速度，用符号c表示。下面结合扰动波传播的物理过程，具体 导出音速的计算公式。
2、计算公式
分析：小扰动波传播的物理过程， A dv dv c
等截面直管，管中充满静止的可压 F
缩气体，密度为ρ，压强为p，F作用 dv向右运动，产生微小的平面扰动波， 波速为c 。坐标固在波峰上。如图：
2
1、气体一元定容流动的能量方程
ρ=常数
p v2 常数
2
p1 v12 p2 v22
一元气体动力学基础
0 8.2%
一般取M=0.2
t=15℃时，v≤M·c=0.2×340=68m/s
第三节 气体一元恒定流动 的连续性方程
1.气流参数与变截面的关系
由连续性方程
d dv dA 0 vA
9-3-2
欧拉微分方程 dp vdv 0
9-1-1
及 c2 dp
d
M v c
p RT
p
k
常数
得 dA M 2 1 dv
A
v
dA M 2 1 dp
A
kM2 p
dA M 2 1 d
A
M2
dA
M 2 1 dT
A k 1M 2 T
9-3-3
2.讨论 一元等熵气流各参数沿程的变化趋势
M<1 流动参数
渐缩管 渐扩管
流速v 压强p 密度ρ 温度T
增大 减小 减小 减小
减小 增大 增大 增大
M>1
渐缩管 渐扩管
减小 增大 增大 增大
3000m高空的温度为 T 269K 所以驻点温度为
T
T
1
k
1 2
M
2 a
269 1
数
声音的传播是一种小扰动波
连续性方程
cAdt d c dvAdt
略去高阶微量，得
cd dv
动量方程
p dpA pA cAdv
得 dp cdv
解得 c dp
d
——音速定义式
液体： E dp c E
d
气体：视作等熵过程
p
k
c
微分： dp k p dp c k p kRT
解：空气k=1.4，R=287J/kg·K，Cp=7R/2=1004.5J/kg·K
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一元气体动力学基础
一元气体动力学基础
1.若要求22
v p ρ∆小于0.05时，对20℃空气限定速度是多少？ 解：根据20v P ρ∆=42M 知
42
M < 0.05⇒M<0.45，s m kRT C /3432932874.1=⨯⨯==
s m MC v /15334345.0=⨯==
即对20℃ 空气限定速度为v <153m/s ，可按不压缩处理。
2.有一收缩型喷嘴，已知p 1=140kPa （abs ），p 2=100kPa （abs ），v 1=80m/s ，T 1=293K ，求2-2断面上的速度v 2。
解：因速度较高，气流来不及与外界进行热量交换，且当忽略能量损失时，可按等熵流动处理，应用结果：2v =2121)(2010v T T +-，其中T 1=293K
1ρ=11RT p =1.66kg/m 3.
k P 1
12
12)(ρρρ==1.31kg/m 3.
T 2=R
P 22ρ=266 K 解得：2v =242m/s
3.某一绝热气流的马赫数M =0.8，并已知其滞止压力p 0=5×98100N/m 2，温度t 0=20℃，试求滞止音速c 0，当地音速c ，气流速度v 和气流绝对压强p 各为多少？
解：T 0=273+20=293K ，C 0=0KRT =343m/s
根据 20
2
11M K T T -+=知 T=260 K ，s m kRT C /323==
，s m MC v /4.258== 100-⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k T T p p
解得：2/9810028.3m N p ⨯=
4.有一台风机进口的空气速度为v 1，温度为T 1，出口空气压力为p 2，温度为T 2，出口断面面积为A 2，若输入风机的轴功率为N ，试求风机质量流量G （空气定压比热为c p ）。
解：由工程热力学知识：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22
v h G N ∆∆，其中PA GRT T c h P ==，pA GRT A G v ==ρ ∴⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=)2()(2121122222v T c A p GRT T c G N P P 由此可解得G
5.空气在直径为10.16cm 的管道中流动，其质量流量是1kg/s ，滞止温度为38℃，在管路某断面处的静压为41360N/m 2，试求该断面处的马赫数，速度及滞止压强。
解：由G =v ρA
⇒=RT p
ρv=pA GRT
⇒-+=kRT
v k T T 2
0211T =282k 又：202
11M k T T -+= ∴717.0=M
s m kRT M MC v /4.241===
⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100k k T T p p p 0=58260N/m 2
6.在管道中流动的空气，流量为0.227kg/s 。
某处绝对压强为137900N/m 2，马赫数M =0.6，断面面积为6.45cm 2。
试求气流的滞止温度。
解：c
v M =和kRT c =得 kRT M v =
G =vA ρ和RT p =ρ得
pA GRT
v =，代入：kRT M v = ∴⇒=GR
A kRT pM T T =269.6k ⇒-+=202
11M k T T T 0=289.1k 7.毕托管测得静压为35850N/m 2（r ）（表压），驻点压强与静压差为65.861kPa ，由气压计读得大气压为100.66kPa ，而空气流的滞止温度为27℃。
分别按不可压缩和可压缩情况计算空气流的速度。
解：可按压缩处理：a p p 13651010066035850=+=
Pa P p 202371658610=+=
1)211(20--+=k k
M k p p M 2.0=，解得：77.0=M
202
11300M k T T T -+== 解得：k T 2.268= kRT C M ν
ν
== 解得：s m v /8.252=
按不可压缩处理：γγp p =标标
即：γ
0066.17.12013.1= ∴3/6.12m N =γ
s m g P g v /2.2366.123585022===γ
8.空气管道某一断面上v =106m/s ，p =7×98100N/m 2（abs ），t =16℃，管径D =1.03m 。
试计算该断面上的马赫数及雷诺数。
（提示：设动力粘滞系数μ在通常压强下不变） 解：2892874.1⨯⨯==KRT c =340.8m/s
马赫数为：m =c v =0.311 7105Re ⨯====μ
μρυvd RT p vd vd 9.16℃的空气在D=20cm 的钢管中作等温流动，沿管长3600m 压降为1at ，假若初始压强为5at （abs ），设λ=0.032，求质量流量。
解：由G =)(16222152p p lRT D -λπ
其中：Pa p 4110807.95⨯⨯=，Pa p 4210807.94⨯⨯=
解得G =1.34kg ／s 校核：s m kRT C /8.340== 322/73.4m kg RT
p ==ρ s m D G v /9422
2==πρ 0265.022==C v M k M 12<，计算有效
10.已知煤气管路的直径为20cm ，长度为3000m ，气流绝对压强p 1=980kPa ，t 1=300K ，阻力系数λ=0.012，煤气的
R =490J/(k g ·K)，绝对指数k =1.3，当出口的外界压力为490kPa 时，求质量流量（煤气管路不保温）。
解：按等温条件计算G =
)(16222152p p lRT D -λπ=5.22kg s / 验算管道出口马赫数 c=
m kRT 1.437=／s RT p 22=
ρ=3.33kg ／m 3 2224D G v πρ==50m ／s
2M =11.02=c
v M 2<k 1
=0.88，计算有效
11.空气p 0=1960kPa ，温度为293K 的气罐中流出，沿流长度为20m ，直径为2cm 的管道流入p 2=392kPa 的介质中，设流动为等温流动，阻力系数λ=0.015，不计局部阻力损失，求出口质量流量。
解：由G=
)(16222152p p lRT D -λπ=0.537kg/s RT p 22=
ρ=4.66kg/m 3 2224D
G
v πρ==367m/s M =K 1
=0.845
v c =MC =290m/s
由于v 2>v c
，则 G=A v c
2ρ=0.426kg/s
12.空气在光滑水平管中输送，管长为200m ，管径5cm ，摩阻系数λ=0.016，进口处绝对压强为106N/m 2，温度为20℃，流速为30m/s ，求沿此管压降为多少？
若（1）气体作为不可压缩流体；
（2）可压缩等温流动；
（3）可压缩绝热流动；
试分别计算之。
解：（1）若气体作为不可压缩流体，查表得20=t ℃时，ρ=1.205kg ／m 3则
∆p =22
v D l ρλ=3.47×105
N/m （2）气体作可压缩等温流动
D l RT v p p λ21
121-==5.6×105N/m 2
∆p =21p p -=4.4×
105 N/m 2 校核：s m p p v v /6.53211
2== s m kRT C /343== k C v M 116.02<==，计算有效
（3）气体作可压缩绝热流动
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡-+=++k k k k k p p p k k l DA G 1211111212ρλ ，又：111A v G ρ=，111RT p =ρ 得：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=+k k p p k k l D RT v 112121)(112λ 解得：262/10597.0m N p ⨯=
∴2521/1003.4m N p p p ⨯=-=∆。