直线的倾斜角与斜率题型归纳与练习

直线的倾斜角与斜率重点一、倾斜角重点二、斜率(倾斜角为α)重点三、两条直线平行对于两条不重合．．．的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2． [归纳总结] (1)当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．(2)直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，当k 1＝k 2时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (3)对于不重合的直线l 1、l 2，其倾斜角分别为α、β，有l 1∥l 2⇔α＝β．重点四、两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；如果它们的斜率之积等于－1， 那么它们互相垂直．[归纳总结] 当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和． (1)平行：倾斜角相同，所过的点不同；(2)重合：倾斜角相同，所过的点相同； (3)相交：倾斜角不同；(4)垂直：倾斜角相差90°．【典题精练】考点1、直线的倾斜角例1．下列命题正确的是（ ）．A ．若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．若直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α，则sin 0α≥D ．若直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π【解析】倾斜角为90︒的直线，其斜率不存在，故A 错误；若直线的斜率为tan α，只有当[)0,απ∈时，其倾斜角才为α，故B 错误；直线的斜率为0，其倾斜角为0而不是π，故D 错误．故选C ． 所以本题答案为C.考点点睛： 1.求直线的倾斜角(1)根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找出倾斜角，再通过解三角形或其它方法求之； (2)先求出直线的斜率k ，再由k ＝tan α，求倾斜角α．2．倾斜角α与直线斜率值的关系：把倾斜角α分为以下四类讨论：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.对应的斜率k 的值依次为0，正值，不存在，负值．考点2、已知两点坐标求倾斜角和斜率例2．过两点(4,A B 的直线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】直线AB 的斜率k ==,故直线AB 的倾斜角30α=，故选A 考点点睛：(1)对求斜率的两个公式注意其应用的条件，必要时应分类讨论；(2)当直线绕定点由与x 轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y 轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．考点3、两直线平行关系的判断与应用例3．已知直线1:sin 0l x y θ+=与直线2:2sin 10l x y θ++=，试求θ的值，使12l l //． 【解析】12//l l ，112sin sin 0112sin 00θθθ⨯-⨯=⎧∴⎨⨯-⨯≠⎩，sin θ∴=，故θ=()4k k ππ±+∈Z考点4、两条直线垂直关系的判断与应用例4．已知()222,3A m m +-，()23,2B m m m --，()21,32C n n +-三点，若直线AB 的倾斜角为45︒，且直线AC AB ⊥，求点A ，B ，C 的坐标． 【解析】()()22232tan 45123ABm mk m m m --===+---， 解得1m =-（舍去），2m =-，∴点()6,1A ，()1,4B -．3211216AC n k n --==-+-，解得85n =，∴点2114,55C ⎛⎫⎪⎝⎭.考点点睛：两条直线垂直的判定条件：(1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直；(2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0，那么这两条直线也垂直． 课后训练：1．若直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y +-=互相垂直，则实数m 的值为（ ） A ．2-B ．12-C ．12D ．2【解析】因为直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y +-=互相垂直，所以20m -=，得2m =．故选：D ． 2．直线30x y ++=的倾斜角为（ ）A ．56π B ．34π C ．3π D ．4【答案】B【解析】由题得直线的斜率为1-,故其倾斜角为34π.故选B 。

3．经过点(2,)M m -、(,4)N m 的直线的斜率等于1，则m 的值为A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4【解析】即得选A4．若直线10ax y ++=与直线420x ay +-=平行，则实数a 的值为( ) A ．2B ．1C ．0D ．2-【解析】因为直线10ax y ++=与直线420x ay +-=平行，所以1142a a =≠-， 所以242a a ⎧=⎨≠-⎩，解得2a =，故选：A5．直线350x y +-=的倾斜角为（ ）A ．30-︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【解析】由题,因为350x y +-=,则353y x =-+, 设倾斜角为α,所以3tan α=-,所以150α=︒,故选:D 6．点、若直线过点，且与线段AB 相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】数形结合如上图所示．可得，．要使直线过点，且与线段AB 相交，由图象知，．故选A ．7．已知点(1,3)A ，(1,33)B -，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．60B ．30C ．120D ．150【解析】因为直线AB 的斜率为3333-=-，所以倾斜角为120，选C.8．已知点23A （，）在直线11210x ay +：﹣＝上，若21l l ∥，则直线2l 的斜率为（ ） A ．2B ．﹣2C ．12D ．12-【解析】∵点A （2，3）在直线11：2x +ay ﹣1＝0上，∴2×2+3a ﹣1＝0， 解得a ＝﹣1，∴直线l 1：2x ﹣y ﹣1＝0，∵l 2∥l 1，∴直线l 2的斜率k ＝2．故选：A ． 9．直线与平行，则的值等于( )A ．-1或3B ．1或3C ．-3D ．-1 选D ． 10．若三点A (3，1)，B (－2，b )，C (8，11)在同一直线上，则实数b 等于 A ．2 B ．3 C ．9 D ．－9【解析】由得，b 的值为-9，故选D ．11．如图直线123l l l ，，的倾斜角分别为123ααα，，，则有（ ）A ．123ααα＜＜B ．132ααα＜＜C ．321ααα＜＜D ．213ααα＜＜【解析】由图象可知132,,l l l 的倾斜角依次增大，故132ααα＜＜.故选B 12．图中的直线123,,l l l 的斜率分别是123,,k k k ，则有（ ）A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．231k k k <<【解析】由图可知：10k >，20k <，30k <，且直线3l 的倾斜角大于直线2l 的倾斜角，所以32k k >，综上可知：231k k k <<，故选D ．13．直线y kx =与直线21y x =+垂直，则k 等于______________. 【解析】直线y kx =与直线21y x =+垂直，21k ∴=-，解得12k =-.故答案为：12-. 14．若直线2240x my m +-+=与直线220mx y m +-+=平行，则实数m =__________．【解析】直线2240x my m +-+=与直线220mx y m +-+=平行，则有2222m m ⨯=∴=或2m =-，当2m =时，两直线重合，所以舍掉，2m =-符合题意；故答案为-2 15．直线sin 20x y α-+=的倾斜角的取值范围是______. 【解析】设直线的倾斜角为()0θθπ≤<，则tan sin θα=.1sin 1,1tan 1αθ-≤≤∴-≤≤,0,04πθπθ≤<∴≤≤或34πθπ≤<.即30,,44ππθπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故答案为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 16．已知点()2,1A --和点()2,0B ，过点()1,3P -点的直线l 与线段AB 相交，则直线l 斜率的取值范围是______. 【解析】由题,()()31412PAk --==---,30112PB k -==---,如图所示,所以4k ≥或1k ≤-,故答案为:(][),14,-∞-+∞17．当m 为何值时，过两点()3,1A m --，(),2B m m -的直线：（1）与过两点()3,2，()0,7-的直线垂直（2）与过两点()2,3-，()4,9-的直线平行.【解析】（1）72303--=-，13AB k ∴=-，即()2111333m m m m -+-==---，解得：0m =.（2）93242+=---，2AB k ∴=-，即()211233m m m m -+-==---，解得：5m =-. 18．已知直线l 平行于直线4370x y +-=，直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长是15，求直线l 的方程． 【解析】解法一：∵直线l 与直线4370x y +-=平行，∴43l k =-．设直线l 的方程为47()33y x b b =-+≠，则直线l 与x 轴的交点为3,04A b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，与y 轴的交点为(0,)B b ∴2235||||44AB b b b ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．∵直线l 与两坐标轴围成的三角形周长是15，∴35||1544b b b ++=．∴||5b =，∴5b =±． ∴直线l 的方程是453y x =-±，即43150x y +±=． 解法二：∵直线l 与直线4370x y +-=平行，∴设直线l 的方程为430(7)x y C C ++=≠-， 令0x =得3C y =-，令0y =得4C y =-， ∴直线l 与x 轴的交点为,04C A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与y 轴的交点为0,3C B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴225||4312C C AB C ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∵直线l 与两坐标轴围成的三角形周长是15，∴5153412C C C -+-+-=． ∴||15C =，∴15C =±．∴直线l 的方程是43150x y +±=． 19．已知两条直线l 1：ax ＋2y －1＝0，l 2：3x ＋(a ＋1)y ＋1＝0.(1)若l 1∥l 2，求实数a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求实数a 的值．【解析】(1)由题可知，直线l 1：ax ＋2y －1＝0，l 2：3x ＋(a ＋1)y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则解得a=2或a=-3(舍去)综上，则a=2；（2）由题意，若l 1⊥l 2，则,解得.20．已知两直线1l ：80mx y n ++=和2l ：210x my +-=. （1）若1l 与2l 交于点(),1P m -，求m ，n 的值； （2）若12l l //，试确定m ，n 需要满足的条件； （3）若12l l ⊥，试确定m ，n 需要满足的条件.【答案】（1）1m =，7n =；（2）4m =，2n ≠-或4m =-，2n ≠-；（3）0m =，n R ∈.【解析】（1）将点(),1P m -代入两直线方程得：280m n -+=和210m m --=，解得1m =，7n =. （2）由12l l //得：821m nm =≠-，∴42m n =⎧⎨≠-⎩或42m n =-⎧⎨≠-⎩， 所以当4m =，2n ≠-或4m =-，2n ≠-时，12l l //. （3）当0m =时，直线1l ：8ny =-和2l ：12x =，此时12l l ⊥， 当0m ≠时此时两直线的斜率之积等于14，显然1l 与2l 不垂直，所以当0m =，n R ∈时，直线1l 与2l 垂直.21．已知两直线1:260l ax y ++=和22:(1)10l x a y a +-+-=（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）试判断1l 与2l 是否平行. 【解析】（1）由已知条件得212(1)03a a a ⋅+⋅-=⇒=，故所求实数a 的值为23. （2）由12210A B A B -=，得(1)120a a --⨯=，即220a a --=，解得1a =-或2a =. 当1a =-时，1l 的方程为260x y --=，2l 的方程为20x y -=，显然两直线平行. 当2a =时，1l 的方程为30x y ++=，2l 的方程为30x y ++=，显然两直线重合.所以，当1a =-时，12l l //；当()(),11,a ∈-∞--+∞时两直线不平行.22．已知直线1:260l ax y ++=和直线22:(1)10l x a y a +-+-=．（Ⅰ）1l 与2l 能否平行？为什么？（Ⅱ）12l l ⊥时，求a 的值． 【解析】（Ⅰ）若1l 与2l 平行，则()12a a -=，解得2a = 或1a =-. 当2a =时，直线1:30l x y ++=和直线2:30l x y ++=．重合，当1a =-时，直线1:260l x y --=和直线2:20l x y -=．平行，所以当1a =-时1l 与2l 平行. （Ⅱ）若12l l ⊥则()210a a +-=，解得23a =.。