《直线的倾斜角与斜率》教(学)案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明教案说明：本教案旨在帮助学生理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握计算方法，并能应用于解决实际问题。
通过本教案的学习，学生应能理解直线的倾斜角与斜率之间的关系，并能运用斜率计算直线的倾斜角，反之亦然。
教学目标：1. 理解直线的倾斜角的概念。
2. 掌握计算直线的斜率的方法。
3. 理解直线的斜率与倾斜角之间的关系。
4. 能运用直线的斜率和倾斜角解决实际问题。
教学内容：一、直线的倾斜角1. 直线的倾斜角的定义。
2. 直线的倾斜角的计算方法。
二、直线的斜率1. 直线的斜率的定义。
2. 直线的斜率的计算方法。
三、直线的斜率与倾斜角之间的关系1. 斜率与倾斜角的定义及关系。
2. 斜率与倾斜角的计算方法。
四、运用直线的斜率和倾斜角解决实际问题1. 运用斜率和倾斜角计算直线的长度。
2. 运用斜率和倾斜角计算直线的交点。
五、巩固练习1. 计算给定直线的斜率和倾斜角。
2. 解决实际问题，运用直线的斜率和倾斜角。
教学方法：1. 采用直观演示法，通过图形和实例引导学生理解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角和斜率的计算方法。
3. 采用实践法，让学生通过实际问题解决来运用直线的斜率和倾斜角。
教学评估：1. 课堂练习：学生在课堂上完成给定的练习题，检验对直线的倾斜角和斜率的理解和应用能力。
2. 课后作业：布置相关的作业题，巩固学生对直线的倾斜角和斜率的掌握。
3. 考试：设置有关直线的倾斜角和斜率的考试题目，全面评估学生的掌握情况。
教学资源：1. 教学PPT：提供直观的图形和实例，帮助学生理解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 练习题库：提供丰富的练习题，供学生课堂练习和课后作业。
3. 实际问题案例：提供实际问题，供学生解决，运用直线的斜率和倾斜角。
教学步骤：一、直线的倾斜角1. 引入直线的倾斜角的概念，引导学生理解直线的倾斜角的意义。
2. 讲解直线的倾斜角的计算方法，引导学生掌握计算直线的倾斜角的方法。
直线的倾斜角与斜率(教学案)
直线的倾斜角与斜率教学目标：1、了解确定直线位置的几何要素(两个定点、一个定点和斜率) .2、对直线的倾斜角、斜率的概念要理解，能牢记过两点的斜率公式并掌握斜率公式的推导，了解直线的倾斜角的范围．3、理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．1. 直线经过原点和点(－1，－1)，则它的倾斜角是________．答案：45°解析：tan α＝k ＝1，∴α＝45°.2. (必修2P 115习题2改编)已知过两点A(－a,3)，B(5，－a)的直线的斜率为1，则实数a ＝________.答案：－4解析：由k ＝－a －35＋a＝1，得a ＝－4. 3. 已知过两点A(m 2＋2，m 2－3)，B(3－m 2－m,2m)的直线l 的倾斜角为45°，则实数m ＝________.答案：－2解析： ∵m 2－3－2m m 2＋2－(3－m 2－m )＝tan45°＝1，∴m 2＋3m ＋2＝0，解得 m ＝－1或－2. 但当m ＝－1时，A 、B 重合，舍去. ∴m ＝－2.4. 在直角坐标系中，直线y ＝－33x ＋1的倾斜角为________． 答案：5π6解析：∵tanα＝k ＝－33，又α∈[0，π)，∴α＝5π6.1. 直线倾斜角的定义在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时，所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0；直线的倾斜角α的取值范围为[0，π)．2. 直线斜率的定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k 表示，即k ＝tanα.由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线其斜率也不同．3. 过两点的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线，当x 1≠x 2时，斜率公式k ＝tanα＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点的顺序无关；当x 1＝x 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.题型1 求直线的倾斜角和斜率例1 在△ABC 中，A(1，－1)，B(1,1)，C(3，－1)，求三边所在直线的倾斜角和斜率．解：因为A 、B 两点的横坐标相同，所以边AB 垂直于x 轴，倾斜角为π2，斜率不存在；因为A 、C 两点纵坐标相同，所以边AC 平行于x 轴，即垂直于y 轴，倾斜角和斜率均为0；B 、C 两点横坐标不相同，纵坐标也不相同，由tanα＝－1－13－1＝－1，所以BC 边所在直线的倾斜角为3π4，斜率为－1. 变式：已知点A(－3，1)，点B 在y 轴上，直线AB 的倾斜角为2π3，求点B 的坐标． 解：B 点的坐标设为(0，y)，再利用k ＝tanθ以及两点求斜率公式tan120°＝y －10＋3，得y ＝－2，所以B 的坐标为(0，－2)．题型2 直线的倾斜角和斜率之间的关系例2 如果三条直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，其中l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋2y ＝0，l 3：x ＋3y ＝0，则α1，α2，α3从小到大的排列顺序为____________．答案：α1＜α2＜α3解析：由tanα1＝k 1＝1>0，所以α1∈⎝⎛⎭⎫0，π2. tanα2＝k 2＝－12<0， 所以α2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α2>α1.tanα3＝k 3＝－13<0， 所以α3∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α3>α1，而－12<－13，正切函数在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，所以α3>α2. 综上，α1<α2<α3.变式1： 设直线l 的倾斜角为α，且π4≤α≤5π6，则直线l 的斜率k 的取值范围是________． 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－33∪[1，＋∞) 解析：由k ＝tanα关系图(如下)知k ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－33∪[1，＋∞)．变式2：直线l 的倾斜角是直线2x ＋y ＋2＝0倾斜角的一半，则直线l 的斜率是多少？反馈练习1、直线xtan π7＋y ＝0的倾斜角是________． 答案：6π7解析：k ＝－tan π7＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π7＝tan 6π7，且6π7∈[0，π)． 2、直线l 经过A(2,1)、B(1，m 2)(m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是________．答案： ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 解析：k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.又k ＝tanα，0≤α＜π，所以l 的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π.3、直线l 的倾斜角是直线2x —y ＋2＝0倾斜角的两倍，则直线l 的斜率是 ．4、若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：由条件知直线的斜率存在，由公式得k ＝a －1a ＋2，因为倾斜角为锐角，所以k>0，解得a>1或a<－2.所以a 的取值范围是{a|a>1或a<－2}．（思考题）5、如图所示，直线l 过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(4,0)为端点的线段恒相交，求直线l 的斜率范围．解：设直线l ，PA ，PB 的倾斜角分别为θ，α1，α2，因为直线l 与线段AB 恒相交，所以α1≤θ≤α2，其中，tanα1＝5，tanα2＝－25，α1∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α2∈π2，π，所以，tanθ≥tanα1或tanθ≥tanα2，即k ≥5或k ≤－25.。
《直线的倾斜角和斜率》教案(公开课)
《直线的倾斜角和斜率》教案(公开课)直线的倾斜角和斜率直线的斜率和倾斜角是数学中的重要概念，它们帮助我们理解和描述直线的特性。
本文将介绍直线的倾斜角和斜率的概念，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。
1. 斜率的定义和计算方法斜率是直线上的两个点之间纵坐标变化量与横坐标变化量的比值。
用数学符号表示，斜率可以表示为：m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)其中，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是直线上的两个点。
例如，有一条直线上的两个点分别为A(1, 2)和B(4, 5)，我们可以计算这条直线的斜率：m = (5 - 2)/(4 - 1)= 3/3= 1所以，这条直线的斜率为1。
2. 斜率的特性斜率可以帮助我们判断直线的特性，如下所示：- 当斜率为正数时，直线是向上倾斜的。
斜率越大，直线的倾斜程度越大。
- 当斜率为负数时，直线是向下倾斜的。
斜率越小，直线的倾斜程度越大。
- 当斜率为0时，直线是水平的。
- 当斜率不存在（除数为0）时，直线是垂直的。
通过计算直线的斜率，我们可以快速了解直线的倾斜情况，并对其特性进行分析。
3. 倾斜角的定义和计算方法倾斜角是直线与水平线之间的夹角，用数学符号表示为θ。
对于任意一条直线，可以通过其斜率来计算倾斜角。
倾斜角的计算方法如下：- 当直线向上倾斜时，倾斜角为θ = arctan(m)。
- 当直线向下倾斜时，倾斜角为θ = arctan(m) + π。
- 当直线是水平的时，倾斜角为θ = 0。
- 当直线是垂直的时，倾斜角不存在。
4. 实例分析让我们通过几个实例来进一步理解直线的倾斜角和斜率。
实例一：有一条直线通过点A(-2, 1)和B(4, 9)。
计算直线的斜率和倾斜角。
通过斜率的计算公式，我们可以得到直线的斜率：m = (9 - 1)/(4 - (-2))= 8/6= 4/3接下来，我们可以计算直线的倾斜角：θ = arctan(4/3)实例二：有一条直线通过点C(3, 2)和D(3, 8)。
直线的倾斜角和斜率教案
直线的倾斜角和斜率教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角；（2）掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率；（3）能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察实际情境，让学生感受直线的倾斜角和斜率的概念，培养学生的观察能力和思维能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）直线的倾斜角的概念；（2）直线的斜率与倾斜角的关系；（3）运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
2. 教学难点：直线的斜率与倾斜角的计算。
三、教学过程1. 导入新课：通过展示实际情境，如倾斜的梯子、斜坡等，引导学生思考直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 讲解直线的倾斜角：（1）介绍直线的倾斜角的概念，即直线与水平线之间的夹角；（2）引导学生通过观察和思考，理解直线的倾斜角的大小与直线的斜率之间的关系。
3. 讲解直线的斜率：（1）介绍直线的斜率的概念，即直线的倾斜角的正切值；（2）引导学生通过观察和思考，掌握直线的斜率与倾斜角的关系；（3）举例说明如何计算直线的斜率。
4. 练习与巩固：布置一些有关直线的倾斜角和斜率的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
四、课后作业1. 请描述直线的倾斜角和斜率的概念，并说明它们之间的关系。
（1）直线y = 2x + 3；（2）直线x = 4。
五、教学反思通过本节课的教学，学生应该能够理解直线的倾斜角和斜率的概念，并掌握它们之间的关系。
在教学过程中，要注意引导学生通过观察和思考，培养学生的观察能力和思维能力。
布置适量的练习题，让学生巩固所学知识。
在课后，要关注学生的学习情况，及时进行教学反思，不断提高教学质量。
六、教学拓展1. 探讨直线的倾斜角与斜率在实际应用中的例子，如建筑设计中的斜屋顶、物理学中的倾斜面等。
2. 引导学生思考直线的倾斜角和斜率在几何图形中的作用，如在三角形、四边形等图形中的运用。
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明一、教学目标：1. 让学生理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 让学生掌握直线的斜率的概念，能够求出直线的斜率。
3. 让学生能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学内容：1. 直线的倾斜角的概念。
2. 直线的斜率的概念。
3. 直线的倾斜角与斜率的关系。
4. 求直线的倾斜角和斜率的方法。
5. 直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 直线的倾斜角的概念。
2. 直线的斜率的概念。
3. 直线的倾斜角与斜率的关系。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 采用案例分析法，分析直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 讲解直线的倾斜角和斜率的概念，让学生掌握直线的倾斜角和斜率的定义。
3. 通过案例分析，让学生了解直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
4. 互动环节：引导学生参与课堂讨论，探讨直线的倾斜角和斜率的关系。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线的倾斜角和斜率的重要性。
6. 作业布置：布置有关直线的倾斜角和斜率的练习题，巩固所学知识。
说明：本教案根据学生的实际情况，采用讲解法、案例分析法和互动教学法，旨在让学生掌握直线的倾斜角和斜率的概念，并能运用到实际问题中。
在教学过程中，注意启发学生的思维，培养学生的动手能力。
六、教学评估：1. 课堂讲解过程中，观察学生对直线的倾斜角和斜率概念的理解程度。
2. 案例分析环节，观察学生对实际问题中直线倾斜角和斜率的应用能力。
3. 课堂互动环节，评估学生对直线倾斜角和斜率关系的掌握情况。
七、教学反思：1. 课后对学生的作业进行批改，总结学生在直线的倾斜角和斜率方面的掌握情况。
2. 针对学生存在的问题，调整教学方法，以便更好地让学生理解和掌握直线的倾斜角和斜率。
《直线的倾斜角和斜率》说课稿(附教学设计)
《直线的倾斜角和斜率》说课稿一、教材分析1、教材分析本节课是人教版数学必修第一节直线的倾斜角和斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。
直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。
通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。
直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念。
直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示。
建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。
本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。
倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的最本质条件是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。
2、教学的目标定位在此之前，学生已经对直线有了直观的认识，如：两点确定一条直线，它具有平直性，并向两方无限延伸等。
但是这只是定性的研究，用这种方法，并不能具体刻画或描述一条直线。
在初中阶段，学生也认识了一次函数的图象是一条直线，但研究途径是先有数量关系（一次函数表达式），后建立其直观表示：直线。
在解析几何中，我们是先有图形（或曲线），然后根据图形（或曲线）的几何特征确定图形（或曲线）的代数表达式——方程。
因此，本节课的主要目的就是让学生在已有知识的基础上，将直线放入平面直角系，利用代数方法对它进行研究，从中体会解析几何的一些重要的数学思想。
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案在平面直角坐标系中，我们用斜率来描述直线的倾斜程度，但是斜率只能描述直线相对于x轴的倾斜程度，无法描述直线相对于y轴的倾斜程度。
因此，引入直线的倾斜角来描述直线的倾斜程度，可以更加全面地描述直线的特征。
2．举例说明：如图，直线L1与x轴的夹角为30度，直线L2与x轴的夹角为60度，直线L3与x轴的夹角为120度。
我们可以发现，直线L1相对于x轴的倾斜程度最小，直线L3相对于x轴的倾斜程度最大。
同时，我们也可以根据倾斜角的大小来判断直线相对于x轴的倾斜方向。
二)直线的斜率1．定义：直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的连线所成的角，叫做直线L的斜率，记作k，即k=tan.2．斜率公式：设直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线L的斜率为k=(y2-y1)/(x2-x1).3．举例说明：如图，直线L1过点A(1,2)和点B(3,4)，直线L2过点C(2,3)和点D(2,5)，直线L3过点E(-1,2)和点F(1,-2)。
我们可以通过斜率公式计算出直线L1的斜率为1，直线L2的斜率为无穷大，直线L3的斜率为-2.三)倾斜角和斜率的关系1．推导过程：设直线L与x轴的夹角为，则tan=k，即=arctan(k)。
2．结论：直线的倾斜角和斜率是互相确定的，知道其中一个就可以求出另一个。
同时，当直线的斜率存在时，直线的倾斜角是唯一确定的。
三、知识拓展一)斜率的性质1．斜率相等的直线平行，斜率相反的直线垂直。
2．斜率为0的直线与x轴平行，斜率不存在的直线与y轴平行。
3．斜率为正数的直线向上倾斜，斜率为负数的直线向下倾斜。
4．斜率越大，直线的倾斜程度越大。
二)斜率的应用1．求两点间的距离：设两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则AB的距离为d=sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
2．判断三点共线：设三点A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)，则当AB的斜率等于BC的斜率时，三点共线。
《6.2.1 直线的倾斜角与斜率》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版2021基础
《直线的倾斜角与斜率》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 掌握用斜截式表示直线斜率的方法。
3. 能够根据直线的倾斜角或斜率画出直线。
4. 培养观察、思考、分析和解决问题的能力。
二、教学重难点1. 教学重点：倾斜角和斜率的概念以及应用。
2. 教学难点：根据直线的倾斜角或斜率画出直线，理解并掌握用斜截式表示直线斜率的方法。
三、教学准备1. 准备教学PPT和相关教学图片。
2. 准备黑板和粉笔，以便在黑板上进行绘图和讲解。
3. 准备练习题和试卷，以便学生进行练习和测试。
4. 提醒学生带好笔记本和笔，以便记录课堂内容和思考。
四、教学过程：（一）导入新课1. 复习提问：上节课我们学习了哪些知识？请举例说明直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 引出课题：直线的倾斜角与斜率（二）讲授新课1. 倾斜角的概念(1) 提问：什么是直线的倾斜度？(2) 引导学生回忆生活中有关倾斜的实例，如：旗杆的倾斜程度等。
(3) 结合实例讲解倾斜角的定义，强调定义中的三个要素。
(4) 讲解倾斜角的取值范围，通过课件或图形讲解各种情况的倾斜角。
(5) 提问：如何描述直线的方向？引出倾斜角的正切值的概念。
2. 斜率的概念(1) 提问：如果已知一个直角的倾斜角，能否求出这条直线的斜率？(2) 引导学生思考并总结斜率的定义。
(3) 讲解斜率的计算公式，强调斜率是倾斜角的正切值。
(4) 提问：如何表示一条直线与x轴垂直？如何求这类直线的斜率？(5) 通过课件或图形讲解斜率的意义。
3. 倾斜角与斜率的关系(1) 提问：一条直线的倾斜角与斜率之间有什么关系？(2) 引导学生思考并总结两者之间的关系式。
(3) 通过课件或图形讲解特殊直线的倾斜角与斜率的关系。
（三）课堂练习1. 完成教材中的相关练习题。
2. 学生自主选择题目进行练习，教师巡视指导。
3. 挑选几名学生上台演示自己的解题过程，并讲解自己的解题思路。
4. 教师对典型错误进行点评，强调易错点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
问题 6、当 在[0 ，180 ）变化时，斜率 k 如何变化？
..
.
..
.
.
.
y l
p
o x
y
l
y
o
p x
o p x
l
y
p l
o
x
0°＜ ＜ 90° = 90° 90°＜ ＜180° = 0°
k >0
k不存在
k<0
k=0
问题 7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？ 倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值，
以 x 轴或 y 轴为基准都可以，习惯上我们用 x 轴。
问题 4、过点 P 与 x 轴形成 45 角的直线有几条？
（学生可能答一条或两条，投影 演示结果）如何区分清楚这两条直线 呢？估计学生能想到还需要确定方 向。
y
L2
p
· 45。
o
L1
135。
x
..
.
..
.
.
.
选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一
x2 x1
x2 x1
..
.
..
.
.
.
思考：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与 P1、P2 这两点坐标顺 序有关系吗？
2、当直线垂直于 x 轴或 y 轴时，上述结论适用吗？
3、斜率公式使用时应注意什么问题？
巩固练习：求经过下列两点直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝
角。
（1）A（3,2）,B（-4,1）（ kAB
个公式（斜率计算公式） 直线的倾斜角是反映直线倾斜方向的量，它也是确定直线位置的
一个重要的几何要素，它实质上能从“形”的角度刻画直线的倾斜程 度。
直线的斜率指倾斜角不是 90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这 条直线的斜率。教材是从生活中斜坡的坡度迁移到直线的斜率概念 的。直线的斜率可看作是比值，实质上是数值，所以直线的斜率从本 质上可看成是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。华罗庚先生说过： “数缺形时少直观，形少数时难入微”。显然，与倾斜角相比，用斜 率刻画倾斜程度会更细致。
条直线都有唯一的角与它对应呢？
（教师引导学生选取不同的方向来描述角，并区分 L1 与 L2）。 数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言
准确描述这个角呢？（揭示课题）
1、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以 x 轴为基准，当直线l 与 x
轴相交时， x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 ，叫做直线l 的
有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意
识到需要有一个角）
由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式
（1）已知直线上两点
（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度
问题 3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就
必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下，以哪条轴
线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答 x 轴或 y 轴）
关于过已知两点的直线斜率公式：因为过两点的直线是唯一确定 的，所以其倾斜程度也就确定（即直线的斜率也是确定的）。从而在 直角坐标系中，直线的斜率与直线上两点的坐标就有密不可分的联
..
.
..
.
.
.
系。斜率 k y2 y1 不仅反映了这种联系，并用代数方法表示了出来，
x2 x1
而且在公式的推导中蕴含了分类讨论、数形结合、化归等重要数学思
是什么？
坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线
的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。
2、斜率：倾斜角不是 90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这条
直线的斜率。即 k tan ( 90 )
问题 5、当 为钝角时，直线的斜率如何求？（转化到其补角 上）
y
o
180 (是锐角) k tan tan(180 ) tan
1 7
）
（2）A（3,2）,B（4,1）（ k 1） AB
（3）A（3,2）,B（3,-1）（不存在）
（4）A（3,2）,B（-4,2）（ kAB 0 ） （四）反思小结，概括提炼（同学们这节课有何收获？）
1、明确了确定直线位置的几何要素。
2、理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的
倾斜角。
学生练习画出过点 P 的各种倾斜角的直线。
y l
p
o x
y
l
p
o x
l
y
o
p
x
y
pl
o
x
(1)
(2)
(3)
(4)
学生容易忽略与 x 轴平行的直线，补出图（4），问倾斜角在哪儿？ 如何规定？
规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，它的倾斜角为 0 。 自然有倾斜角的围是[0 ，180 ） 这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角 与它对应。倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直 线，其倾斜角不相等。 以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系一 条直线的倾斜程度。
..
.
..
.
.
.
y P2（x2，y2）
α P1（x1，y1Q）（x2，y1）
O
x
y P2（x2，y2）
P1（x1，y1） Q （x2，y1） α
O
x
y P1（x1，y1）
Q （x1，y2）
α P2（x2，y2）
O
x
y P1（x1，y1）
Q （x1，y2）P2（xα2，y2）
O
x
解：设直线 P1 P2 倾斜角为 （ 90 ）当直线 P1 P2 方向向上时，过 点 P1 作 x 轴的平行线，过点 P2 作 y 轴的平行线，两线交于点 Q，则点
2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式； 3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的
作用。 难点：用代数方法推导斜率的过程。 三、教学方法
计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学 生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验 公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。
2、对于斜率，学生基本上能从斜坡的坡度中顺利迁移过来，当 倾斜角为 90 及 0 时可以特殊认识，当倾斜角为钝角时(与斜坡稍有 不同)斜率的求法应重点分析，突出转化思想的同时，引导学生认识 P83 页的脚注，使学生对所有直线的斜率情况有全面的认识。
另外，倾斜角和斜率分别是从“形”与“数”的不同方面刻画直 线的倾斜程度，相比较斜率更具有优越性。
想。
2、地位作用分析
本节课是高中解析几何部分的起始课，学生具备的知识基础是在
直角坐标系中会用坐标表示点，明确了坐标平面上的点与有序数对可
建立一一对应的关系。这节课的教学容，不仅能反映出数学概念离不
开生活，数学是自然有用的，而且蕴含了几何问题代数化的思想，从
知识点及研究方法上，为后继判断两条直线的位置关系以及建立直线
Q 为（x2，y1）
（1）当 为锐角时， QP1P2 ， x1 x2 ， y1 y2
在 RtP1P2Q 中， tan tan QP1P2
QP2 P1Q
y2 y1 x2 x1
（2）当 为钝角时， 180 （设 QP1P2 = ）， x1 x2 ， y1 y2
tan = tan(180 ) tan
3、斜率计算公式的得出，学生有两点不易把握。一方面，怎样 将两点坐标与 tan 相联系；另一方面，图形分析不够全面。对前者， 可提供学生探究发现的机会，对后者教师可先让学生在直角坐标系下 联想坡度，找升高量与前进量，再引导其转化为坐标表示。
公式的推导过程是多数学生能独立解决的，教学中应放手让学生 推导并体会数形结合与分类讨论的思想，有助于培养学生研究问题的 独立性、条理性、全面性。 教学重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；
..
.
..
.
.
.
（二）巩固旧知，同化新知
生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，
可以用什么量来反映？（坡角与坡度）
初中对坡度是如何定义的？
坡度（比）=
升高量 前进量
（即坡角 的正切值）
当坡角 增大时，坡度如何变化？
当坡角 =90 与 0 时，升高量、前进量分别是什么？坡度又分别
在 RtP1P2Q 中， tan
QP2 QP1
y2 y1 y2 y1
x2 x1
x2 x1
tan y2 y1 （可让学生分组推导）
x2 x1
同 理 ， 当 直 线 P2P1 方 向 向 上 时 ， 无 论 为 锐 角 或 钝 角 ， 也 有
tan y2 y1 ，即 k y2 y1
两种方法（定义法、坐标法）
y y
k tan 2 1
x2 x1
3、经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论
的数学思想
(五)板书设计
直线的倾斜角与斜率
1、倾斜角的定义 围[0 ，180 ） 2、直线的斜率
k tan （ 90 ）
为钝角时，
k tan tan(180 ) tan
轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想；
4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点
的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。
三、教学问题诊断分析
1、关于倾斜角的概念：为什么要引入倾斜角？如何描述这个角？
..
.
..
.
.
.
这些地方都是教学中易忽略的，也是学生最难理解的地方。直接给出 倾斜角的定义，会使学生误认为数学概念就是绝对抽象的，你只要接 受就可以了，这样我们就把活生生的、自然的数学演变成高不可攀的， 为聪明人准备的学科，会渐渐使许多学生变得被动学习，缺乏数学学 习兴趣及自信心。所以，在引入这节课时，应重点让学生感受引入倾 斜角的必要性，要描述清楚倾斜角必须规定“基准”与“直线方向”， 从而能自然地、准确地描述清楚定义。