专题 直线的倾斜角和斜率习题与知识点知识讲解
直线的倾斜角与斜率题型归纳与练习
直线的倾斜角与斜率重点一、倾斜角重点二、斜率(倾斜角为α)重点三、两条直线平行对于两条不重合．．．的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2． [归纳总结] (1)当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．(2)直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，当k 1＝k 2时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (3)对于不重合的直线l 1、l 2，其倾斜角分别为α、β，有l 1∥l 2⇔α＝β．重点四、两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；如果它们的斜率之积等于－1， 那么它们互相垂直．[归纳总结] 当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和． (1)平行：倾斜角相同，所过的点不同；(2)重合：倾斜角相同，所过的点相同； (3)相交：倾斜角不同；(4)垂直：倾斜角相差90°．【典题精练】考点1、直线的倾斜角例1．下列命题正确的是（ ）．A ．若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．若直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α，则sin 0α≥D ．若直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π【解析】倾斜角为90︒的直线，其斜率不存在，故A 错误；若直线的斜率为tan α，只有当[)0,απ∈时，其倾斜角才为α，故B 错误；直线的斜率为0，其倾斜角为0而不是π，故D 错误．故选C ． 所以本题答案为C.考点点睛： 1.求直线的倾斜角(1)根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找出倾斜角，再通过解三角形或其它方法求之； (2)先求出直线的斜率k ，再由k ＝tan α，求倾斜角α．2．倾斜角α与直线斜率值的关系：把倾斜角α分为以下四类讨论：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.对应的斜率k 的值依次为0，正值，不存在，负值．考点2、已知两点坐标求倾斜角和斜率例2．过两点(4,A B 的直线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】直线AB 的斜率k ==,故直线AB 的倾斜角30α=，故选A 考点点睛：(1)对求斜率的两个公式注意其应用的条件，必要时应分类讨论；(2)当直线绕定点由与x 轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y 轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．考点3、两直线平行关系的判断与应用例3．已知直线1:sin 0l x y θ+=与直线2:2sin 10l x y θ++=，试求θ的值，使12l l //． 【解析】12//l l ，112sin sin 0112sin 00θθθ⨯-⨯=⎧∴⎨⨯-⨯≠⎩，sin θ∴=，故θ=()4k k ππ±+∈Z考点4、两条直线垂直关系的判断与应用例4．已知()222,3A m m +-，()23,2B m m m --，()21,32C n n +-三点，若直线AB 的倾斜角为45︒，且直线AC AB ⊥，求点A ，B ，C 的坐标． 【解析】()()22232tan 45123ABm mk m m m --===+---， 解得1m =-（舍去），2m =-，∴点()6,1A ，()1,4B -．3211216AC n k n --==-+-，解得85n =，∴点2114,55C ⎛⎫⎪⎝⎭.考点点睛：两条直线垂直的判定条件：(1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直；(2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0，那么这两条直线也垂直． 课后训练：1．若直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y +-=互相垂直，则实数m 的值为（ ） A ．2-B ．12-C ．12D ．2【解析】因为直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y +-=互相垂直，所以20m -=，得2m =．故选：D ． 2．直线30x y ++=的倾斜角为（ ）A ．56π B ．34π C ．3π D ．4【答案】B【解析】由题得直线的斜率为1-,故其倾斜角为34π.故选B 。
2022-2023学年人教版高二数学阶段复习精练专题2-1 直线倾斜角与斜率(解析版)
专题2.1 直线倾斜角与斜率知识点1:直线的斜率直线的倾斜角:0180α︒︒≤< (1) 定义法:tan ,90k αα︒=≠; (2)坐标法:()()211112221221,,,,,y y k P x y P x y x x x x -=≠-(3)向量法:直线的方向向量为(,)u m n =,则直线的斜率为(0)nk m m=≠. 【注意】1.直线的倾斜角:0180α︒︒≤<，直线一定有倾斜角，但不一定有斜率。
2.求直线的倾斜角的取值范围, 要注意倾斜角是否包含0︒情形. 求直线的斜率的取值范围, 要注意倾斜角是否包含90︒情形.3.A , B , C 三点共线AB AC k k ⇔=⇔点A 在直线B C 上//AB AC ⇔.4. A , B , C , D 四点共圆⇔四边形ABCD 对角互补.5.单调性:tan k α=在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭和,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增. 6.若斜率为k ,则直线的一个方向向量为(1,)u k =.7.若两条直线以垂直坐标轴的直线为对称轴, 则两直线的斜率互为相反数知识点2:直线的平行与垂直方法1:设 111222:;:l y k x b l y k x b =+=+, 则 (1) 1212//l l k k ⇔=且12b b ≠; (2) 12121l l k k ⊥⇔⋅=-.(3) 1l 与 2l 重合12k k ⇔=且12b b =; (4) 1l 与 2l 相交12k k ⇔≠;方法2:设11112222:0;:0l A x B y C l A x B y C ++=++=,则 (1) 11112222//A B C l l A B C ⇔=≠; (2) 121212121210A A l l A A B B B B ⎛⎫⎛⎫⊥⇔-⋅-=-⇔+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (3) 1l 与 2l 重合111222A B C A B C ⇔==;(4) 1l 与 2l 相交11122122A B A B A B A B ⇔≠⇔≠.注：两直线平行则倾斜角相等，可能没有斜率。
2.1.1 倾斜角与斜率(解析版)..
第二章《直线和圆的方程》2.1直线的倾斜角与斜率2．1.1倾斜角与斜率知识梳理知识点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.知识点二直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k ＝0k >0不存在k <03．过两点的直线的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.题型探究题型一、直线的倾斜角1．直线的倾斜角前提条件直线l 与x 轴_________定义以_________作为基准，x 轴_________与直线l _________的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角特殊情况当直线l 与x 轴_________或_________时，规定它的倾斜角为_________取值范围__________________【答案】相交x 轴正向向上平行重合00180α≤≤2．（多选）设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（）A ．45α+B ．45α-o C ．135α-D ．135α-【答案】AC【详解】直线倾斜角α的取值范围为0180α≤<，∴当0135α≤<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45α+；当135180α<<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45180135αα+-=-.故选：AC.3．分别写出下列直线的倾斜角：(1)垂直于x 轴的直线；(2)垂直于y 轴的直线；(3)第一、三象限的角平分线；(4)第二、四象限的角平分线．【答案】(1)90；(2)0；(3)45；(4)135【详解】(1)当直线垂直于x 轴时，直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为90，所以所求直线的倾斜角为90.(2)当直线垂直于y 轴时，此时，直线与x 轴平行或重合，所以所求直线的倾斜角为0.(3)当直线为第一、三象限的角平分线时，直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为45，所以所求直线的倾斜角为45.(4)当直线为第二、四象限的角平分线时，直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为135所以所求直线的倾斜角为135.4．当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的倾斜角为______．【答案】2π【详解】当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的倾斜角为2π故答案为：2π题型二、直线的斜率1．若直线l 的倾斜角为120︒，则直线l 的斜率为________.【答案】3-【详解】因为直线l 的倾斜角为120︒，则tan1203k =︒=-.故答案为：3-.2．经过两点()()1,,1,4A m B m +的直线的倾斜角为45，则m =___________.【答案】2【详解】因为过两点()()1,,1,4A m B m +的直线的倾斜角为45，所以4tan 45111AB mk m -===+-，解得2m =，故答案为：2.3．根据下列直线的倾斜角α，判断直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率的值：(1)0α=︒；(2)60α=︒；(3)90α=︒；(4)150α=︒．【答案】(1)存在，且斜率为0(2)存在，且斜率为3(3)不存在(4)存在，且斜率为33-【详解】(1)0α=︒，斜率存在，且斜率为tan00︒=.(2)60α=︒，斜率存在，且斜率为tan 603︒=.(3)90α=︒，斜率不存在.(4)150α=︒，斜率存在，且斜率为3tan1503︒=-.4．求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角(1)()2,3A ，()3,4B (2)()2,3C ，()3,3D (3)()2,3E ，()2,4F (4)()2,3G ，(),4H a 【答案】(1)1AB k =，倾斜角为4π(2)0CD k =,倾斜角为0(3)斜率不存在，倾斜角为2π(4)见解析【详解】(1)43132AB k -==-，所以AB 的倾斜角为4π；(2)33032CD k -==-，所以CD 的倾斜角为0；(3)因为点,E F 的横坐标相等，所以直线EF 的斜率不存在，倾斜角为2π；(4)当2a =时，直线GH 的斜率不存在，倾斜角为2π，当2a ≠时，43122GH k a a -==--，若2a >，倾斜角为1arctan2a -；若2a <，倾斜角为1arctan2a π+-.题型三、倾斜角和斜率的应用1．已知直线l 经过(2,1)A 、2(1,)B m （R m ∈）两点，求直线l 的倾斜角的取值范围.【答案】ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【详解】∵直线l 过(2,1)A ，2(1,)B m (R)m ∈两点，∴直线l 的斜率为2211112m k m -==-≤-，设直线l 的倾斜角为α，则[)0,πα∈，且tan 1α≤，解得π04α≤≤或ππ2α<<∴直线l 的倾斜角α的取值范围是ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.2．过点(0,1)P -的直线l 与以(3,2)A 、(2,3)B -为端点的线段AB 有交点，求直线l 的倾斜角α的取值范围．【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【详解】如图所示，因为(0,1)P -，(3,2)A ，(2,3)B -，可得12(1)130l k --==-，13(1)120l k ---==--，要使得直线l 与以(3,2)A 、(2,3)B -为端点的线段AB 有交点，设直线l 的倾斜角为α，其中[0,)π，则满足tan 1α≤或tan 1α≥-，解得04πα≤≤或34παπ≤<，即直线l 的倾斜角α的取值范围30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故答案为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.3．已知直线1l 的斜率为12，直线2l 的倾斜角是直线1l 倾斜角的2倍，求直线2l 的斜率.【答案】43【详解】由题意，设直线1l 的倾斜角为α，则直线2l 的倾斜角为2α，由已知得11tan 2k α==，所以直线2l 的斜率为222tan 4tan 21tan 3k ααα===-.4．设点()2,3A -，()3,2B ，若直线ax +y +2=0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（）A ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．54,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【详解】∵直线20ax y ++=过定点(0,2)C -，且52AC k =-，43BC k =，由图可知直线与线段AB 有交点时，斜率a -满足43a ≤-或52a -≤-，解得45,,32a ⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣∈⎥⎭，故选：D跟踪训练1．确定一条直线的条件确定一条直线的条件是_________和一个_________．规定水平直线的方向_________，其他直线_________的方向为这条直线的方向．【答案】一点方向向右向上2．已知直线1l 的倾斜角115α=︒，直线1l 与2l 的交点为A ，直线1l 和2l 向上的方向之间所成的角为120︒，如图所示，求直线2l 的倾斜角.【答案】135︒【详解】设直线2l 的倾斜角为2α，结合图形及三角形外角与内角的关系可得2112012015135αα=︒+=︒+︒=︒，故直线2l 的倾斜角为135︒.3．直线0y =倾斜角为____________.【答案】0【详解】直线0y =即为x 轴，该直线的倾斜角为0.故答案为：0.4．如图所示，直线l 的倾斜角为()A ．60︒B ．150︒C ．0︒D ．不存在【答案】B【详解】由图可知：该直线的倾斜角为150°故选：B5．直线1l 与直线2:2l x =所成的锐角为30°，则直线1l 的倾斜角为______．【答案】60°或120°．【详解】如图，直线1l 的倾斜角为60°或120°﹒故答案为：60°或120°﹒6．函数1y =表示的直线的倾斜角大小为___________.【答案】0【详解】由题设，1y =平行于x 轴，即斜率为0，若倾斜角为[0,)θπ∈，则tan 0θ=，故0θ=.故答案为：07．判断正误（1）倾斜角为135︒的直线的斜率为1．()（2）直线斜率的取值范围是(),-∞+∞．()【答案】×√【详解】（1）倾斜角为135︒的直线的斜率为-1（2）直线斜率的取值范围是(),-∞+∞8．过点(1,2)(1,0)-、A B 的直线的倾斜角为（）A ．45︒B ．135︒C ．1D ．1-【答案】A【详解】过A 、B 的斜率为2011(1)k -==--，则该直线的倾斜角为45︒，故选：A ．9．求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角.(1)(2,0)P 、()1,3Q ；(2)(1,2)P 、(,0)Q a ，其中实数a 是常数.【详解】(1)经过(2,0)P ､()1,3Q 两点的直线的斜率30312k -==--，设直线PQ 的倾斜角为θ，则0πθ≤<，又tan 3θ=-，则2π3θ=(2)设直线PQ 的倾斜角为θ，则0πθ≤<，当1a =时，直线PQ 的斜率不存在，倾斜角π2θ=；当1a ≠时，21k a=-，则2tan 1a θ=-①若1a <，则2arctan1aθ=-；②若1a >，则2πarctan1aθ=+-.10．设直线l 的倾斜角为θ，若原点在直线l 上的射影为(2,1)-，则sin 2θ的值为______．【答案】45【详解】由原点在直线l 上的射影为(2,1)-知过原点和(2,1)-的直线和直线l 垂直，过原点和(2,1)-的直线斜率为12-，故直线l 的斜率为2，即tan 2θ=，故2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===++.故答案为：45.11．已知直线斜率为k ，且13k -≤≤，那么倾斜角α的取值范围是（）．A ．ππ3π0,,324⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．ππ3π0,,624⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】B【详解】由题意，直线l 的倾斜角为α，则[)0,πα∈，因为13k -≤≤，即1tan 3α-≤≤，结合正切函数的性质，可得π3π0,,π34α⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：B ．12．当直线l 的倾斜角2,,4223ππππθ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦时，则直线l 的斜率的取值范围为______．【答案】[)(1,,3⎤+∞⋃-∞-⎦【详解】当直线l 的倾斜角2,,4223ππππθ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦时，则直线l 的斜率的取值范围为[)(2tan ,,tan 1,,343ππ⎡⎫⎛⎤⎤+∞⋃-∞=+∞⋃-∞-⎪ ⎢⎥⎦⎣⎭⎝⎦，故答案为：[)(1,,3⎤+∞⋃-∞-⎦﹒13．求经过(,3)A m （其中m 1≥）、(1,2)B 两点的直线的倾斜角α的取值范围．【答案】090α<≤︒【详解】由题意，当1m =时，倾斜角90α=︒，当1m >时，321tan 011m m α-==>--，即倾斜角α为锐角；综上得：090α<≤︒．高分突破1．如图，设直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则1k ，2k ，3k 的大小关系为（）A ．123k k k <<B ．132k k k <<C ．213k k k <<D ．321k k k <<【答案】A【详解】由斜率的定义可知，123k k k <<.故选：A ．2．直线m 过点()()0012O A ，，，，其倾斜角为α，现将直线m 绕原点O 逆时针旋转得到直线'm y kx =：，若直线'm 的倾斜角为2α，则k 的值为（）A ．22B ．22-C ．2D ．-2【答案】B【详解】由题，tan 2OA k α==，直线'm 的倾斜角为2α，故()222tan 22tan 2221tan 12k ααα====---故选：B3．已知过点()2,m ，()4,6的直线的倾斜角为45︒，则实数m =（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【详解】由6tan 45142m-︒==-，解得4m =.故选：B ．4．设直线l 的斜率为k ，且31k -<≤，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（）A ．π2π0,,π43⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B ．π3π0,,π64⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．π2π,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π3π,34⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A【详解】因为直线l 的斜率为k ，且31k -<≤，3tan 1α∴-<≤，因为[0,π)α∈，2ππ,π0,34α⎛⎫⎡⎤∴∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：A.5．直线l 的斜率为33，则l 的倾斜角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A【详解】因为直线l 的斜率为33，所以l 的倾斜角为30°.故选：A.6．(多选)如果直线l 过原点(0，0)且不经过第三象限，那么l 的倾斜角α可能是（）A ．0°B ．120°C ．90°D ．60°【答案】ABC【详解】依题意，直线l 过原点，且不经过第三象限，则0α=︒或90180α︒≤<︒，所以ABC 选项符合，D 选项不符合.故选：ABC7．（多选）下列四个命题中，错误的有（）A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ>B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ【答案】ACD【详解】因为直线的倾斜角的取值范围是[)0,p ，即[)0,θπ∈，所以sin 0θ≥，当2πθ≠时直线的斜率tanθk =，故A 、C 均错误；B 正确；对于D ：若直线的斜率4tan33k π==，此时直线的倾斜角为3π，故D 错误；故选：ACD 8．若直线12,l l 的倾斜角分别为12,αα，且12l l ⊥，则有()A ．1290αα-=︒B ．2190αα-=︒C ．2190αα-=︒D ．12180αα+=︒【答案】C 【详解】根据两条直线垂直，可知|α2−α1|=90°，故选：C9．已知直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是()A ．2B ．1 C.12D ．0【答案】A【详解】如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0,2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2.10．下列命题中，错误的是______．（填序号）①若直线的倾斜角为α，则(0,)απ∈；②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；③若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α．【答案】①②③【详解】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为α，则[0,)απ∈，所以①错误；对于②中，当倾斜角[0,)2πα∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，且0k >；当倾斜角(,)2παπ∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，但0k <，所以②错误；对于③中，根据直线斜率的概念，可得当[0,)απ∈且2πα≠时，直线的斜率为tan k α=，所以③错误.故答案为：①②③.11．直线l 的斜率为3，将直线l 绕其与x 轴交点逆时针旋转60所得直线的斜率是______．【答案】3-【详解】设直线l 的倾斜角为α，)0,180α⎡∈⎣，因为直线l 的斜率为3，所以tan 3α=，所以60α=，所以将直线l 绕其与x 轴交点逆时针旋转60所得直线的倾斜角为6060120+=，所以所得直线的斜率是tan1203=-，故答案为：3-.12．若过两点(0,)A y 、(23,3)B -的直线的倾斜角为60°，则y ＝______．【答案】－9【详解】过两点(0,)A y 、(23,3)B -的直线的倾斜角为60°则有3tan 603230y --==-，解之得9y =-故答案为：－913．若直线l 的倾斜角α的正弦值为35，则它的斜率为___________.【答案】34±【详解】由题设，3sin 5α=，而α∈[0,)π，则4cos 5α=±，所以3tan 4α=±，即斜率为34±.故答案为：34±14．若三点A (3,1)，B (－2，k )，C (8,1)能构成三角形，则实数k 的取值范围为________．【答案】(－∞，1)∪(1，＋∞)【详解】k AB ＝k －1－2－3＝1－k 5，k AC ＝1－18－3＝05＝0.要使A ，B ，C 三点能构成三角形，需三点不共线，即k AB ≠k AC ，∴1－k 5≠0，∴k ≠1.15．已知直线l 过第一象限的点(,)m n 和(1,5)，直线l 的倾斜角为135°，求14m n +的最小值．【答案】32【详解】由题意，可得0m >，0n >，且5tan13511n m-==--︒，即6m n +=，又由()14114141435526662n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4n m m n =时，即24n m ==时，等号成立，所以14m n +的最小值为32．16．已知直线l 经过两点()22,A a a ､(0,1)B -，求直线l 的倾斜角的取值范围.【答案】3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】设直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ.当0a =时，k 不存在，2πθ=；当0a ≠时，211222a a k a a+==+：若0a >时，则12122a k a ≥⋅=，,42ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；若0a <时，则12()()122ak a ≤--⋅-=-，3,24ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；综上，3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.17．已知直线l 的斜率的绝对值为33，求这条直线的倾斜角．【答案】30°或150°【详解】由题意知直线的斜率k ＝33或k ＝－33，且倾斜角的范围为0180α︒≤<︒，所以直线的倾斜角的大小为30°或150°.18．已知直线1l 的斜率为1-，直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小30°，求直线2l 的斜率．【答案】23--【详解】因为直线1l 的斜率为1-，所以直线1l 的倾斜角为135︒，又直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小30°，所以直线2l 的倾斜角为105︒，所以()tan 45tan 6013tan105tan 4560231tan 45tan 60113°+°+°=°+°===---鞍-´，所以直线2l 的斜率为23--．19．（1）若直线l 的倾斜角,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求直线l 斜率k 的范围；（2）若直线l 的斜率[]1,1k ∈-，求直线l 倾斜角α的范围.【答案】（1）3,33k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.【详解】（1）因为tan k α=，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3tan 63π=，tan 33π=，结合正切函数在[)0,p 的单调性得3,33k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（2）直线l 的斜率[]1,1k ∈-，tan 14π=，3tan 14π=-，结合正切函数在[)0,p 的单调性得30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.20．经过点()0,1P -作直线l ，且直线l 与连接点()1,2A -，()2,1B 的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α和斜率k 的取值范围．【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭;11k -≤≤.【详解】因为2(1)110PA k ---==--，1(1)120PB k --==-，由l 与线段AB 相交，所以PA PB k k k ≤⇒≤11k -≤≤，所以0tan 1α≤≤或1tan 0α-≤<，由于tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭及,2ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦均为增函数，所以直线l 的倾斜角α的范围为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故倾斜角的范围为30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，斜率k 的范围是11k -≤≤.21．已知坐标平面内两点M(m ＋3,2m ＋5)，N(m －2,1).(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？(3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？【答案】(1)m>－2.(2)m<－2.(3)不可能为直角.【详解】(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即k ＝()25132m m m +-+--＝245m +>0，解得m>－2.(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k ＝()25132m m m +-+--＝245m +<0，解得m<－2.(3)当直线MN 垂直于x 轴时直线的倾斜角为直角，此时m ＋3＝m －2，此方程无解，故直线MN 的倾斜角不可能为直角.22．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围．【详解】y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53.∴y ＋1x ＋1的取值范围为－16，53.。
直线的斜率与倾斜角(精讲) 讲义
直线的斜率与倾斜角1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)．2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l 上，且x1≠x2，则l 的斜率k ＝y2－y1x2－x1.3．两条直线的位置关系①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. (ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2. 【题型精讲】考点一 倾斜角【例1】（1）（2020·四川高一期末）直线l x+y ﹣3＝0的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．90° （2）（2020·全国高二课时练习）l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A ．0°≤α<90° B ．90°≤α<180° C ．90°<α<180° D ．0°<α<180° 【玩转跟踪】1．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）直线310x -=的倾斜角α为（ ）． A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．（2020·广东高一期末）直线y 2-的倾斜角是（ ）A ．3πB ．4πC ．6πD ．56π 考点二 斜率【例2】（2020·全国高二课时练习）过点(A )与点(B )的直线的倾斜角为（ ）A ．45︒B ．135︒C ．45︒或135︒D ．60︒2 / 4【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）如果过P （-2，m ）,Q （m ，4）两点的直线的斜率为1，那么m 的值是（） A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4 2．（2020·湖南天心.长郡中学高一月考）直线l 经过()2,1A ，()2(,)1B m m R ∈两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围为（ ）A ．0,B ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 3．（2020·浙江下城.杭州高级中学高二期中）若直线l 的倾斜角α满足203πα<<，且2πα≠，则其斜率k 满足（ ）A ．0k <<B ．k >C ．0k >或k <D ．0k >或k <考点三 倾斜角与斜率综合运用【例3】（2020·江苏省海头高级中学高一月考）已知点(2,1),(3,)A B m -，若13m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则直线AB 的倾斜角的取值范围为（ ）A ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．50,,36πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C ．5,,3226ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ D ．5,,326ππππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ 【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）直线l 过点()1,0P ，且与以()2,1A ，(B 为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围.tan θ.2．（2020·全国高二课时练习）已知直线l 过点()1,1M m m +-，()2,1N m .（1）当m 为何值时，直线l 的斜率是1？ （2）当m 为何值时，直线l 的倾斜角为90︒？3．（2020·哈尔滨市第一中学校高一期末）已知直线l 过点(1,0)P 且与以(2,1)A ，(4,3)B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围为_______．考点四 直线平行【例4】（2020·四川达州.高三其他（文））直线12:0l ax y a ++=与直线20:2l x ay a +-=互相平行，则实数a =（ ） A ．4- B ．4 C ．2- D ．2【玩转跟踪】 1．（2020·黑龙江高一期末）若直线2x+（a+2）y+4＝0与直线（a ﹣1）x+2y+2＝0平行，则实数a 的值为（ ）A ．﹣3B ．2C ．2或﹣3D ．23-2．（2020·江苏淮安。
《直线的倾斜角与斜率》专题练习
《直线的倾斜角与斜率》导学案一、知识梳理知识点一：直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义①当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．②当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；当直线l 与x 轴垂直时，规定它的倾斜角为90°；(2)直线的倾斜角α的取值范围为)180,0[(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 知识点二：直线的斜率(1)斜率的定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即αtan =k )90(≠a .知识点三：直线的倾斜角与斜率的对应关系直线过两点),(111y x P ,),(222y x P ，则其斜率k ＝1212x x y y --)(21x x ≠二、题型讲解类型一：直线的倾斜角1、下列图中α能表示直线l 的倾斜角的是 ①2、已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°，则直线l 的倾斜角为60°或120°3、给出下列命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴； ④所有的直线都有斜率； ⑤若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)； ⑥若α是直线l 的倾斜角，且sin α＝22，则α＝45°. 其中正确的命题是 ① 4、有下列命题：①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； ②若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； ③坐标平面上所有的直线都有倾斜角； ④坐标平面上所有的直线都有斜率.其中错误的是②④5、已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为60°，则直线l 2的倾斜角为150° 类型二：直线的斜率（含两点确定的斜率公式） 1、没有斜率的直线一定是 ( B )A.过原点的直线B.垂直于x 轴的直线C.垂直于y 轴的直线D.垂直于坐标轴的直线 2、已知直线l 的倾斜角为α，若cosα=－54，则直线l 的斜率为43- 3、直线x =的倾斜角33为 904、过原点且斜率为33的直线l 绕原点逆时针方向旋转30°到达l ′位置，则直线l ′5、若直线经过点(1,2)、(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是30°6、若直线的倾斜角为60°7、若过两点A (4，y )、B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y 等于－18、经过点P (2，m )和Q (2m,5)的直线的斜率等于12，则m 的值是39、直线l 的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则l 10、若经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于211、已知点A (a,2)，B (3，b ＋1)，且直线AB 的倾斜角为90°，则a ，b 的值为( D ) A ．a ＝3，b ＝1 B ．a ＝2，b ＝2 C ．a ＝2，b ＝3 D ．a ＝3，b ∈R 且b ≠1 12、已知点A 的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B ，若k AB ＝2，则B 点的坐标为__(1,0)或(0，－2)_13、设P 为x 轴上的一点，A (－3,8)、B (2,14)，若P A 的斜率是PB 的斜率的两倍，则点P的坐标为__(－5,0)__14、(1)当且仅当m 为何值时，经过两点A (－m,6)、B (1,3m )的直线的斜率为12 ？(2)当且仅当m 为何值时，经过两点A (m,2)、B (－m,2m －1)的直线的倾斜角是45° ？ 答案： (1) m ＝－2. （2）m ＝34.类型三：直线的倾斜角与斜率的范围关系问题1、如下图，已知直线l 1、l2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则 ( D )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 22、如图所示，直线l 1、l 2、l3、l 4的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，从小到大的关系是k 1<k 3<k 4<k 23、根据以下斜率范围求倾斜角范围（1）1≥k 答案：)2,4[ππ； （2）3-≤k 答案：]32,2ππ（ （3）1-≥k 答案：）2,0[),43[πππ⋃ ； （4）3<k 答案：）（3,0[),2πππ⋃ （5）13<≤-k 答案：）4,0[),32[πππ⋃ （6）1≥k 或3-≤k 答案： ]32,2)2,4[ππππ（⋃4、根据以下倾斜角范围求斜率范围 （1）30<θ 答案：)33,0[ ； （2） 135>θ 答案：)0,1(- （3） 60>θ 答案： ),3()0,(+∞⋃-∞； （4） 120<θ 答案： ),0[)3,(+∞⋃--∞（5）12045≤≤θ 答案： ),1[]3,(+∞⋃--∞5、经过两点A (2,1)、B (1，m 2)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是－1＜m ＜16、若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是__(－2,1)__. 类型四：三点共线1、 若三点A (2,3)，B (3,2)，C (12，m )共线，则实数m 的值为 292、如果三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，则m 的值为－63、若A (－2,3)、B (3，－2)、C (12，m )三点共线，则m 的值为124、三点(2，－3)、(4,3)及(5，k2)在同一条直线上，则k 的值等于__12__5、斜率为2的直线过(3,5)、(a,7)、(－1，b )三点，则a ＋b 等于1 类型五：数形结合求倾斜角或斜率取值范围1、已知点A (1,3)、B (－2，－1)．若过点P (2,1)的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是－2≤k ≤122、已知点A (2，－3)、B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－4]∪[34，＋∞)3、已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)．若D 为△ABC 的边AB 上一动点，则直线CD 的斜率k 的取值范围为[3，3] 4、直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围．答案： k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)；45°≤α≤120°.5、已知点A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围．答案：直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.升级训练1、设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为 ( D )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°2、已知直线l 的倾斜角为α，并且0°≤α≤120°，直线l 的斜率k 的取值范围是3、已知直线的倾斜角α满足παπ433<≤，则直线的斜率k 的取值范围是 4、当直线的倾斜角α满足1200<≤α，且90≠α时，它的斜率k 满足 5、直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是],43[]4,0[πππ⋃ 6、下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( C ) A ．(1,3)、(5,7)、(10,12) B ．(－1,4)、(2,1)、(－2,5) C ．(0,2)、(2,5)、(3,7)D ．(1，－1)、(3,3)、(5,7)7、已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点. (1)求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．答案： (1) k 的取值范围是k ≤－1，或k ≥1；(2)α的取值范围是45°≤α≤135°. 8、已知实数x 、y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx的最大值和最小值.答案：所求的y x 的最大值为2，最小值为23.9（难）．已知点A (1,3)，B (－2，－1)，若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是[－2，12]。
直线的倾斜角与斜率经典例题(有答案精品)
直线的倾斜角与斜率经典例题(有答案精品)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March直线的倾斜角与斜率（）讲义类型一：倾斜角与斜率的关系1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；【变式】直线的倾斜角的范围是( )A． B． C．D．类型二：斜率定义2．已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率.【变式1】如图，直线的斜率分别为，则( )A．B．C．D．类型三：斜率公式的应用3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．【变式1】过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【变式2】为何值时，经过两点(-，6)，(1，)的直线的斜率是12．4．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．【变式1】已知，，三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？【变式2】已知直线的斜率，，，是这条直线上的三个点，求和的值．类型四：两直线平行与垂直5．四边形的顶点为，，，，试判断四边形的形状．【变式1】已知四边形的顶点为，，，，求证：四边形为矩形．【变式2】已知，，三点，求点，使直线，且．【变式3】若直线与直线互相垂直，则实数=__________．直线的倾斜角与斜率()作业姓名成绩题组一直线的倾斜角1.已知直线l过点(m,1)，(m＋1，tanα＋1)，则 ()A．α一定是直线l的倾斜角 B．α一定不是直线l的倾斜角C．α不一定是直线l的倾斜角 D．180°－α一定是直线l的倾斜角2．如图，直线l经过二、三、四象限，l的倾斜角为α，斜率为k，则 ()A．k sinα>0B．k cosα>0 C．k sinα≤0D．k cosα≤0题组二直线的斜率及应用3.1231<k2<k3，则下列说法中一定正确的是()A．k1k2＝－1 B．k2k3＝－1 C．k1<0 D．k2≥04．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.5．已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是________．题组三两条直线的平行与垂直6已知两条直线l1：ax＋by2bm是直线l1∥l2的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为 ( )A ．5B ．4C ．2D ．18．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b 为( )B ．－23 D ．－139．设直线l 1的方程为x ＋2y －2＝0，将直线l 1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l 2，则l 2的方程是________________．10.若关于x 的方程|x ________．11．已知点A (2,3)，B (－5,2)，若直线l 过点P (－1,6)，且与线段AB 相交，则该直线倾斜角的取值范围是________．12．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标．(1)∠MOP ＝∠OPN (O 是坐标原点)．(2)∠MPN 是直角．直线的倾斜角与斜率（）讲义答案类型一：倾斜角与斜率的关系1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析：∵，∴．总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.举一反三：【变式】（2010山东潍坊，模拟）直线的倾斜角的范围是A．B．C．D．【答案】B解析：由直线，所以直线的斜率为．设直线的倾斜角为，则．又因为，即，所以．类型二：斜率定义2．已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x 轴上，求边AB与AC所在直线的斜率.思路点拨：本题关键点是求出边AB与AC所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°∴直线AB的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC的倾斜角为30°，∴k AB=tan150°= k AC=tan30°=总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.举一反三：【变式1】如图，直线的斜率分别为，则( )A．B．C．D．【答案】由题意，，则本题选题意图：对倾斜角变化时，如何变化的定性分析理解.∴选B.类型三：斜率公式的应用3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．思路点拨：已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可.解析：且，经过两点的直线的斜率，即．即当时，为锐角，当时，为钝角．总结升华：本题求出，但的符号不能确定，我们通过确定的符号来确定的符号.当时，，为锐角；当时，，为钝角.举一反三：【变式1】过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【答案】由题意得：直线的斜率故由斜率公式，解得或．经检验不适合，舍去.故．【变式2】为何值时，经过两点(-，6)，(1，)的直线的斜率是12．【答案】，．即当时，，两点的直线的斜率是12．4．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．思路点拨：如果过点AB，BC的斜率相等，那么A，B，C三点共线.解析：∵A、B、C三点在一条直线上，∴k AB=k AC．总结升华：斜率公式可以证明三点共线，前提是他们有一个公共点且斜率相等.举一反三：【变式1】已知，，三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？【答案】经过，两点直线的斜率．经过，两点的直线的斜率．所以，，三点在同一条直线上．【变式2】已知直线的斜率，，，是这条直线上的三个点，求和的值．【答案】由已知，得；．因为，，三点都在斜率为2的直线上，所以，．解得，．类型四：两直线平行与垂直5．四边形的顶点为，，，，试判断四边形的形状．思路点拨：证明一个四边形为矩形，我们往往先证明这个四边形为平行四边形，然后再证明平行四边形的一个角为直角.解析：边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率．，，，，即四边形为平行四边形．又，，即四边形为矩形．总结升华：证明不重和的的两直线平行，只需要他们的斜率相等，证明垂直，只需要他们斜率的乘积为-1.举一反三：【变式1】已知四边形的顶点为，，，，求证：四边形为矩形．【答案】由题意得边所在直线的斜率．边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，则；．所以四边形为平行四边形，又因为，，即平行四边形为矩形．【变式2】已知，，三点，求点，使直线，且．【答案】设点的坐标为，由已知得直线的斜率；直线的斜率；直线的斜率；直线的斜率．由，且得解得，．所以，点的坐标是．【变式3】（2011浙江12）若直线与直线互相垂直，则实数=__________．【答案】因为直线与直线互相垂直，所以，所以．直线的倾斜角与斜率()作业答案姓名 成绩题组一 直线的倾斜角1.已知直线l 过点(m,1)，(m ＋1， )A ．α一定是直线l 的倾斜角B ．α一定不是直线l 的倾斜角C ．α不一定是直线l 的倾斜角D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角解析：设θ为直线l 的倾斜角，则tan θ＝tan α＋1－1m ＋1－m ＝tan α，∴α＝kπ＋θ，k ∈Z ，当k ≠0时，θ≠α.答案：C2．如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则 ( )A ．k sin α>0B ．k cos α>0C ．k sin α≤0D ．k cos α≤0解析：显然k <0，π2<α<π，∴cos α<0，∴k cos α>0.答案：B3.1231<k 2<k 3，则下列说法中一定正确的是( )A ．k 1k 2＝－1B ．k 2k 3＝－1C ．k 1<0D ．k 2≥0解析：结合图形知，k 1<0.答案：C4．(2008·浙江高考)已知a >0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝________. 解析：∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即a 2＋a 2－1＝a 3－a 23－2，又a >0，∴a ＝1＋ 2. 答案：1＋25．已知两点A (－1，－5)，B (3，－2)，若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是________．解析：设直线AB 的倾斜角为2α，则直线l 的倾斜角为α，由于0°≤2α＜180°，∴0° ≤α＜90°，由tan2α＝－2－(－5)3－(－1)＝34，得tan α＝13，即直线l 的斜率为13. 答案：136.(2009·陕西八校模拟)12＋ny ＋p ＝0，则an ＝bm 是直线l 1∥l 2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵l 1∥l 2⇒an －bm ＝0，且an －bm ＝0⇒/ l 1∥l 2，故an ＝bm 是直线l 1∥l 2的必要不充分条件．答案：B7．(2009·福建质检)已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为( ) A ．5 B ．4 C ．2 D ．1解析：由题意知，a 2b －(a 2＋1)＝0且a ≠0，∴a2b＝a2＋1，∴ab＝a2＋1a＝a＋1 a，∴|ab|＝|a＋1a|＝|a|＋1|a|≥2.(当且仅当a＝±1时取“＝”)．答案：C8．(2010·合肥模拟)已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b 为( ) B ．－23 D ．－13解析：曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率为3，所以a b ＝－13.答案：D9．(2009·泰兴模拟)设直线l 1的方程为x ＋2y －2＝0，将直线l 1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l 2，则l 2的方程是________________．解析：∵l 1⊥l 2，k 1＝－12，∴k 2＝2，又点(0,1)在直线l 1上，故点(－1,0)在直线l 2上，∴直线l 2的方程为y ＝2(x ＋1)，即2x －y ＋2＝0.答案：2x －y ＋2＝0题组四 直线的倾斜角和斜率的综合问题10.若关于x 的方程|x －1|－kx ＝0有且只有一个正实数根，则实数k 的取值范围是________．解析：数形结合．在同一坐标系内画出函数y ＝kx ，y ＝|x －1|的图象如图所示，显然k ≥1或k ＝0时满足题意.答案：k ≥1或k ＝011．(2009·青岛模拟)已知点A (2,3)，B (－5,2)，若直线l 过点P (－1,6)，且与线段AB 相交，则该直线倾斜角的取值范围是________．解析：如图所示，k PA ＝6－3－1－2＝－1， ∴直线PA 的倾斜角为3π4，k PB ＝6－2－1－(－5)＝1，∴直线PB 的倾斜角为π4，从而直线l 的倾斜角的范围是[π4，3π4]．答案：[π4，3π4]12．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标．(1)∠MOP ＝∠OPN (O 是坐标原点)．(2)∠MPN 是直角．解：设P (x,0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴OM ∥NP .∴k OM ＝k NP .又k OM ＝2－02－0＝1，k NP ＝0－(－2)x －5＝2x －5(x ≠5)， ∴1＝2x －5，∴x ＝7， 即P 点坐标为(7,0)．(2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ，∴k MP ·k NP ＝－1.又k MP ＝22－x (x ≠2)，k NP ＝2x －5(x ≠5)， ∴22－x ×2x －5＝－1，解得x ＝1或x ＝6， 即P 点坐标为(1,0)或(6,0)．。
高二数学复习考点知识与题型专题讲解7---直线的倾斜角与斜率
高二数学复习考点知识与题型专题讲解第二章直线和圆的方程2.1.1直线的倾斜角与斜率【考点梳理】考点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.考点二：直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k ＝tan α.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°考点三：过两点的直线的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.【题型归纳】题型一：直线的倾斜角1．（2022·全国·高二专题练习）对于下列选项中错误的是（ ） A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α︒≤<︒ B ．若k 是直线的斜率，则R k ∈C ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角2．（2022·全国·高二专题练习）下列四个命题中，正确的有（ ） A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ> B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ3．（2022·江苏·高二单元测试）已知直线10l y +=与直线2:10l kx y -+=，若直线1l 与直线2l 的夹角是60°，则k 的值为（ ）A0B ．0C．题型二：直线的斜率4．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）将直线30x =绕着原点逆时针旋转90︒，得到新直线的斜率是（ ）A．．5．（2022·福建宁德·高二期末）若直线经过两点)(,2A m ，)(1,1B 且倾斜角为45°，则m 的值为（ ） A ．2B ．32C ．1D ．32-6．20my ++=的倾斜角为23π，则m =（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-题型三：倾斜角和斜率的变化关系7．（2022·全国·高二专题练习）直线sin 10x y α-+=的倾斜角的取值范围为（ ） A ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πB ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．0,,42πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭8．（2022·全国·高二专题练习）设直线l 的斜率为k ，且1k ≤，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（ ） A ．π2π0,,π43⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B ．π3π0,,π64⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．π2π,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π3π,34⎛⎤ ⎥⎝⎦9．（2022·江苏·高二）已知直线l 的方程为sin 10,x R αα-=∈，则直线l 的倾斜角范围是（ ）A ．20,,33πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．50,,66πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭题型四：与斜率公式有关的问题10．（2022·江苏·高二专题练习）已知点()2,3A ，()3,2B --，若直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ） A ．34k ≤或2k ≥B ．1k <C ．12k <<D ．324k <<11．（2022·吉林·四平市第一高级中学高二期末）已知直线l ()1220m y +--=的倾斜角为23π，则m =（ ）A ．13B ．1C ．32D ．－112．（2022·江苏·南师大二附中高二期末）过两点()222,3A m m +-、()23,2B m m m --的直线l 的倾斜角为45，则m 的值为（ ） A ．2-或1-B ．1-C ．12D ．2-题型五：斜率公式的应用13．（2022·全国·高二）已知正ABC 的顶点()1,1A ，()1,3B ，顶点C 在第一象限，若点(),P x y 是ABC 内部及其边界上一点，则1yx +的最大值为（ ）A ．12B ．32C ．23D14．（2022·江苏·高二专题练习）已知点()2,1A -，()3,B m ，若1m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则直线AB 的倾斜角α的取值范围为（ ） A ．{}60150αα︒≤≤︒B ．{060αα︒≤≤︒或}150180α︒≤<︒C ．{6090αα︒≤<︒或90150}α︒<≤︒D ．{6090αα︒≤<︒或150180}α︒≤<︒15．（2020·湖北·宜城市第三高级中学高二期中）已知点()23A -，，()32B --，，直线l 方程为10kx y k +--=，且与线段AB 相交，求k 的取值范围为（ ） A ．34k ≤-或4k ≥B ．4k ≤或34k ≥C ．344k -≤≤D ．344k -≤≤-题型六：直线和线段相交问题求斜率范围16．（2022·全国·高二课时练习）已知()3,1A ，()1,2B ，若直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,2)(1,)-∞-+∞D ．(2,1)-17．（2022·全国·高二专题练习）设点3(2,)A -､(3,2)B --，若直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≥或4k ≤-B ．34k ≥或14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k -≤≤18．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知点()()2,3,2,1A B --，若直线:12l yk x 与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()5,+∞D ．()1,5,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【双基达标】一、单选题19．（2022·全国·高二课时练习）将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l 的斜率是（ ） A ．32-B ．4C ．1D ．1220．（2022·全国·高二课时练习）设直线l 的斜率为k ，且1k -≤<l 的倾斜角α的取值范围为（ ）A ．30,,34πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．30,,64πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．3,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,,34πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭21．（2022·全国·高二课时练习）设P 为x 轴上的一点，(2,1),(7,5)A B -，若直线PA 的斜率是直线PB 的斜率的2倍，则点P 的坐标为（ ）A ．(10)-，B ．()3,0-C ．(20)，D ．(4,0) 22．（2022·全国·高二课时练习）已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ）A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦23．（2022·江苏·高二阶段练习）已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．(,1]-∞-C ．()1,1-D ．[1,)+∞24．（2022·江苏·高二）已知两点()2,3A -，()3,2-B ，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．144k -≤≤-B ．4k ≤-或14k ≥-C ．344k -≤≤D ．344k -≤≤25．（2022·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（ ）． A ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α B ．若直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C ．平行于x 轴的直线的倾斜角为180D ．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为9026．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 过点(2,3)A a 和点(2,1)B -，分别求出满足下列条件的a 的取值或取值范围. (1)直线l 的倾斜角为直角； (2)直线l 的倾斜角为锐角； (3)直线l 的倾斜角为钝角.【高分突破】一：单选题27．（2022·全国·高二专题练习）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(0,1)C -， 过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．(2,3)-B ．(2,0)(0,3)-⋃C ．(,2)(3,)-∞-⋃+∞D ．以上都不对28．（2022·江苏·高二课时练习）已知点Q (－2，0)，A (1，B (1，P为动点．当点P 在线段AB 上运动时，求直线PQ 的倾斜角的取值范围．29．（2022·江西抚州·高二期末（理））已知动直线:20l x my +-=的倾斜角的取值范围是,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1-B ．1,⎛- ⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．( 30．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）已知直线1l 的斜率为1，直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小15°，则直线2l 的斜率为（ ）A ．－1B ．．131．（2022·全国·高二课时练习）直线m 过点()(00O A ，，，其倾斜角为α，现将直线m 绕原点O 逆时针旋转得到直线'm y kx =：，若直线'm 的倾斜角为2α，则k 的值为（ ）A ．．-C ．2D ．-232．（2022·全国·高二专题练习）已知直线:l y kx =的方向向量为(，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30°B．60°C．120°D．150°33．（2022·辽宁大连·高二期末）若直线l 经过()0,0O ，(A 两点，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π34．（2022·青海海东·高二期末（理））已知直线l 经过(A -，(3,B -两点，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．30°B．60°C．120°D．150°35．（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校高二期中）设点()2,3A -，()3,2B ，若直线ax +y +2=0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（ ） A ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．54,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭36．（2021·吉林·长岭县第三中学高二阶段练习）直线l 过点()0,1P -且斜率为k ，若l 与连接两点()1,2A -，()2,1B 的线段有公共点，则k 的取值范围为（ ） A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．(][),11,-∞-⋃+∞ C ．()1,1-D ．[]1,1-二、多选题37．（2022·全国·高二）下列四个命题中，错误的有（ ） A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ> B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ38．（2022·全国·高二课时练习）下列结论中正确的有（ ） A ．两条相交直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦B ．若两条相交直线所成的角为α，其法向量的夹角为θ，则αθ=或απθ=-C ．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为1-D ．若直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的夹角为α，则2112tan 1k k k k α-=+ 39．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中，表述正确的是( )A ．向量(m =-在直线l 上，则直线l 的倾斜角为56πB ．若直线l 与x 轴交于点A ，其倾斜角为θ，直线l 绕点A 顺时针旋转4π后得直线1l ，则直线1l 的倾斜角为4πθ-C ．若实数x 、y 满足3y x =-+，11x -≤≤，则代数式32y x ++的取值范围为5,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．若直线1l 、2l 的倾斜角分别为1θ、2θ，则()12sin 1θθ-=是12l l ⊥的充要条件40．（2022·江苏·高二）设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（ ） A ．45α+B ．45α-C ．135α-D ．135α-41．（2021·广东·江门市第二中学高二阶段练习）已知()1,2A -，()2,1B ，若直线l 恒过点()0,1-且与线段AB 相交，则直线l 的斜率取值可能是（ ） A ．12-B ．2-C ．0D ．242．（2021·广东·深圳实验学校高二阶段练习）下列命题中，是假命题的是（ ）A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．若直线倾斜角，则斜率k 的取值范围是([),1,-∞⋃+∞D ．若直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α43．（2021·福建·厦门市湖滨中学高二期中）已知两点()23M -，，()32N --，，直线l 过点()11P ，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．4k ≤-B ．34k ≥C ．344k ≤≤D ．344k -≤≤44．（2021·江苏·高二专题练习）已知点()()2,3,3,2P Q -，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，则实数a 可能取值是（ ） A ．1-B ．1C ．14D ．4-三、填空题45．（2022·全国·高二课时练习）若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的一条边所在直线的斜率为______．（写出任意一条边所在直线的斜率即可） 46．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若45135α<<，则k 的取值范围为______.47．（2022·全国·高二专题练习）()P x y ，在线段AB 上运动，已知()()2452A B -，，，，则11y x ++的取值范围是_______. 48．（2022·全国·高二专题练习）已知直线过(3,1),(4,21)++A m B m 两点且倾斜角为5π6，则m 的值为_____.49．（2022·江苏·高二专题练习）若点(,)M x y 在一次函数28y x =-+的图像上，当[]2,5x ∈时，则211y x ++的取值范围是______． 50．（2022·江苏·高二）下列命题中，错误的是______．（填序号） ①若直线的倾斜角为α，则(0,)απ∈；②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大； ③若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α．51．（2022·江苏·高二专题练习）已知三个不同的点()2,A a ､()1,21B a a ++､()4,1C a --在同一条直线上，则实数a 的值为___________.四、解答题52．（2022·全国·高二课时练习）已知坐标平面内三点()1,1A -，()1,1B ，()1C ． (1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为ABC 的AB 边上一动点，求直线CD 的倾斜角的取值范围．53．（2022·江苏·高二）已知直线l ：()120kx y k k -++=∈R ，()3,1P -，()3,3Q -，若直线l 与线段PQ 恒有公共点，求k 的取值范围.54．（2022·江苏·高二课时练习）（1）当m 为何值时，经过两点,6A m ，1,3B m 的直线的斜率是12？（2）当m 为何值时，经过两点(),2A m ，(),21B m m ---的直线的倾斜角是60°？ （3）当m 为何值时，经过两点()1,A m ，()1,3B m -的直线的倾斜角是钝角？55．（2022·江苏·高二单元测试）已知两点()()1,2,,3A B m -，求： (1)直线AB 的斜率k ；(2)已知实数1m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求直线AB 的倾斜角α的范围【答案详解】1．D 【分析】由直线的倾斜角的范围和斜率公式，结合正切函数的值域，可得结论． 【详解】解：对于A ：α是直线l 的倾斜角，则0180α︒≤<︒，故A 正确； 对于B ：由正切函数的值域可得斜率可为一切实数，故B 正确；对于C 、D ：任意一条直线都有倾斜角，而斜率不一定存在，比如倾斜角为直角，则该直线的斜率不存在，故C 正确；D 错误． 故选：D2．B 【分析】根据直线的倾斜角概念及范围，以及倾斜角和斜率的关系，逐项判定，即可求解.【详解】因为直线的倾斜角的取值范围是0,，即[)0,θπ∈，所以sin 0θ≥，当2πθ≠时直线的斜率tan θk ，所以A 、C 均错误；B 正确；若直线的斜率4tan 3k π=3π，所以D 错误；故选：B3．A 【分析】先求出1l 的倾斜角为120°，再求出直线2l 的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k .【详解】直线10l y +=的斜率为1k =120°. 要使直线1l 与直线2l 的夹角是60°， 只需直线2l 的倾斜角为0°或60°， 所以k 的值为0故选：A4．Bα，将直线绕着原点逆时针旋转90︒，得到新直线的斜率为tan(90)α+，化简求值即可得到答案.【详解】由30x =α，则tan α=将直线30x =绕着原点逆时针旋转90︒，则sin(90)cos 1tan(90)cos(90)sin tan αααααα++===-=+-故新直线的斜率是故选：B.5．A 【分析】求出直线的斜率，再借助斜率坐标公式计算作答. 【详解】因直线的倾斜角为45，则此直线的斜率tan 451k ==， 而直线过点(,2),(1,1)A m B ，因此，2111k m -==-，解得2m =， 所以m 的值为2. 故选：A6．A 【分析】根据直线方程的特征和斜率的定义即可求解.20my ++=的斜率为2tan 13m π=⇒=. 故选：A.7．D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可【详解】设直线sin 10x y α-+=的倾斜角为θ，可得[]tan sin 1,1θα=∈-，所以θ的取值范围为30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭故选：D8．A 【分析】根据斜率的定义，由斜率的范围可得倾斜角的范围.【详解】因为直线l 的斜率为k ，且1k <≤，tan 1α≤，因为[0,π)α∈， 2ππ,π0,34α⎛⎫⎡⎤∴∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A.9．B 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由直线l 的方程为sin 10x α+-=， 所以y x =+ 即直线的斜率k =，由1sin 1α-≤≤.所以k ≤≤，又直线的倾斜角的取值范围为0,，由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：B10．A 【分析】首先求出直线PA 、PB 的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】解：直线PA 的斜率31221PA k -==-，直线PB 的斜率213314PB k --==--， 因为直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，结合图象可得直线l 的斜率k 的取值范围是34k ≤或2k ≥． 故选：A ．11．A 【分析】由倾斜角求出斜率，列方程即可求出m . 【详解】因为直线l 的倾斜角为23π，所以斜率2tan33k π==-33m=-13m =.故选：A12．D 【解析】利用斜率公式可得出关于实数m 的等式与不等式，由此可解得实数m 的值.【详解】由斜率公式可得22223121210AB m m k m m m m ⎧--==⎪+-⎨⎪+-≠⎩，即22320210m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-.故选：D.13．B 【分析】确定C 的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案. 【详解】正ABC 的顶点()1,1A ，()1,3B 且顶点C 在第一象限，故顶点C 的坐标为(132)，1yx +可看作ABC 内部及其边界上一点与点()1,0-的连线斜率， 当P 运动到点()1,3B 时，直线的斜率最大，故1y x +的最大值为33112=+故选：B.14．B 【分析】根据斜率的公式结合m 的范围求解出倾斜角的正切值取值范围，由此确定出倾斜角的取值范围.【详解】根据题意，直线AB 的斜率1132m k m +==+-， 由331m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得k 的取值范围为33⎡⎢⎣，即tan α的取值范围为33⎡⎢⎣． 又0180α︒≤<︒，则060α︒≤≤︒或150180α︒≤<︒． 故选：B ．15．A 【解析】直线l 过定点(1,1)P ，且与线段AB 相交，利用数形结合法，求出,PA PB 的斜率，从而得出直线l 的斜率的取值范围【详解】解：因为直线l 方程为10kx y k +--=，可化为(1)10k x y -+-=， 所以直线l 过定点(1,1)P ，且与线段AB 相交，如图所示， 则直线PA 的斜率为31421PA k --==--， 直线PB 的斜率为213314PB k --==--，则直线l 与线段AB 相交时，它的斜率k 的取值范围为4k ≤-或34k ≥， 故选：A16．A 【分析】画出图象，对a 进行分类讨论，结合图象求得a 的取值范围. 【详解】直线20x ay +-=过点()2,0C ， 画出图象如下图所示，20212BC k -==--，10132AC k -==-， 由于直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，当0a =时，直线2x =与线段AB 有公共点，不符合题意， 当0a ≠时，直线20x ay +-=的斜率为1a-， 根据图象可知1a-的取值范围是()()2,00,1-⋃，所以a 的取值范围是1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.故选：A17．A 【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】如图所示：312134,21314PA PB k k ----==-==---，要想直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交， 则34k ≥或4k ≤-， 故选：A18．A 【分析】分别求出,PB PA k k ，即可得到答案. 【详解】直线:12l yk x 经过定点()1,2P -.因为()()2,3,2,1A B --，所以()()()321215,21213PA PB k k -----====----, 所以要使直线:12l yk x 与线段AB 没有公共点，只需：PB PA k k k <<，即153k -<<.所以k 的取值范围是1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A19．A 【分析】设直线l 上任意一点()00,P x y ，再根据题意可得()2002,3P x y +-也在直线上，进而根据两点间的斜率公式与直线的斜率相等列式求解即可.【详解】设直线l 上任意一点()00,P x y ，将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，则P 点移动后为()1002,P x y +，再沿y 轴负方向平移3个单位，则1P 点移动后为()2002,3Px y +-． ∵2,P P 都在直线l 上，∴直线l 的斜率00003322k y y x x --=-+-=．故选：A ．20．D 【分析】根据tan k α=，利用斜率的范围，求角的范围.【详解】直线l 的倾斜角为α，则[)0,a π∈，由13k -≤<1tan 3α-≤<∴30,,34a πππ⎡⎫⎡⎫∈⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭．故选：D ．21．B 【分析】设(,0)P x ，根据直线PA 的斜率是直线PB 的斜率的2倍，列出方程，即可求得答案.【详解】设(,0)P x ，而(2,1),(7,5)A B -，则12PA k x =--，57PB k x=-， ∵直线PA 的斜率是直线PB 的斜率的2倍， ∴15227x x=⨯---，解得3x =-，即点P 的坐标为()3,0-， 故选：B ．22．C 【分析】作出图形，求出,PA PB 的斜率，数形结合可求得直线l 的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线PA 的斜率21110PA k -+==--，直线PB 的斜率11120PB k +==-． 由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-，因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：C23．A 【分析】根据斜率的公式，数形结合分析临界条件求解即可.【详解】如图所示，直线PA的斜率为21110PAk-+==--，直线PB的斜率为11120PBk+==-．由图可知，当直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率[1,1]k∈-．故选：A．24．B【分析】数形结合法，讨论直线l过A、B时对应的斜率，进而判断率k的范围. 【详解】如下图示，当直线l过A时，31421k--==--，当直线l过B时，211314k-==---，由图知：4k≤-或14k≥-.故选：B25．D 【分析】根据倾斜角和斜率的概念进行分析可得答案. 【详解】对于A ，当π2α=时，直线的斜率不存在，故A 不正确；对于B ，当π4α=-时，斜率为1-，倾斜角为3π4α≠，故B 不正确； 对于C ，平行于x 轴的直线的倾斜角为0，故C 不正确； 对于D ，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为90是正确的. 故选：D 26．(1)a ＝1； (2)()1,+∞； (3)(),1-∞.【分析】（1）解方程2a ＝2即得解； （2）解不等式201a >-即得解； （3）解不等式201a <-即得解. （1）解：当直线l 的倾斜角为直角时，2a ＝2，解得a ＝1. （2）解：当1a ≠时，直线l 的斜率()312221k a a --==--. 令201a >-，则1a >，所以直线l 的倾斜角为锐角时，a 的取值范围为()1,+∞. （3）解：当1a ≠时，令201a <-，则1a <，所以直线l 的倾斜角为钝角时，a 的取值范围为(),1-∞. 27．C 【分析】过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，利用数形结合，得到直线l 的斜率k ≥kBC 或AC k k ≤，进而求解即可【详解】如图所示：∵过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，∴直线l 的斜率k ≥kBC 或AC k k ≤，∴直线l 的斜率3k ≥ 或2k ≤-，∴直线l 斜率k 的取值范围：(,2][3,)-∞-⋃+∞， 故选：C ．28．[0°， 30°]∪[150°， 180°)．【分析】设直线PQ 的倾斜角为α，线段AB 与x 轴的交点为M ，然后结合图象和倾斜角的定义可得答案.【详解】设直线PQ 的倾斜角为α，线段AB 与x 轴的交点为M .当点P 在线段AM (含端点)上时，因为30AQM ∠=︒，所以0°≤α≤30°；当点P 在线段BM (含端点B 但不含端点M )上时，因为30BQM ∠=︒，所以150°≤α＜180°.所以α的取值范围为[0°， 30°]∪[150°， 180°)． 29．B 【分析】根据倾斜角与斜率的关系可得113m<-<m 的范围. 【详解】由题设知：直线斜率范围为3)，即113m <-<31m -<<故选：B.30．C 【分析】根据直线1l 的斜率求出其倾斜角可求得答案. 【详解】设直线1l 的倾斜角为α，所以tan 1α=， 因为0180α≤<，所以45α=，因为直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小15°， 所以直线2l 的倾斜角为30， 则直线2l 的斜率为3tan 303=31．B 【分析】由倾斜角和斜率的定义得tan OA k α=，tan 2k α=，再结合倍角公式即可求得结果【详解】由题，tan OA k α='m 的倾斜角为2α，故22tan tan 21tan1k ααα====---故选：B32．B 【分析】利用直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角作答.【详解】因直线:l y kx =的方向向量为(，则直线l 的斜率k =l 的倾斜角90α≠，于是得[)tan 0,ααπ∈，解得60α=， 所以直线l 的倾斜角为60. 故选：B33．B 【分析】根据直线上两点求出斜率，从而可得倾斜角.【详解】解：由直线l 经过()0,0O ，(A 两点，得直线的斜率k = 所以直线l 的倾斜角为3π. 故选：B.34．C 【详解】设直线l 的倾斜角为α，由题意可得直线l 的斜率k ==tan α=∵)0,180α⎡∈⎣，∴直线l 的倾斜角为120︒，35．D 【分析】求出直线20ax y ++=经过的定点，作出图象，利用图象求得斜率满足的条件，由此解出答案．【详解】∵直线20ax y ++=过定点(0,2)C -，且52AC k =-，43BC k =，由图可知直线与线段AB 有交点时，斜率a -满足43a ≤-或52a -≤-，解得45,,32a ⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣∈⎥⎭，故选：D36．D 【分析】作出图形，数形结合求解即可.【详解】解：如图，若l 与连接两点()1,2A -，()2,1B 的线段有公共点， 则直线l 的斜率满足PA PB k k k ≤≤， 因为1,1PA PB k k =-=， 所以k 的取值范围为[]1,1-. 故选：D37．ACD 【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可. 【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是0,，即[)0,θπ∈，所以sin 0θ≥，当2πθ≠时直线的斜率tan θk ，故A 、C 均错误；B 正确；对于D ：若直线的斜率4tan 33k π==3π，故D 错误；故选：ACD38．ABD 【分析】根据两直线相交时其夹角，其斜率间的关系，逐一判断可得选项. 【详解】解：对于A ：两条相交直线时，其所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，故A 正确； 对于B ：若两条相交直线所成的角为α，其法向量的夹角为θ，则αθ=或απθ=-，故B 正确；对于C ：若两条直线相互垂直，则这两直线中可能其中一条直线的斜率不存在，故C 不正确；对于D ：设直线11y k x b =+的倾斜角为1θ，直线22y k x b =+的倾斜角为2θ， 则1122tan ,tan k k θθ==，所以()1221121212tan tan tan tan 1+tan tan 1k kk k θθαθθθθ--=-==+，故D 正确，故答案为：ABD.39．AC 【分析】A ：根据向量求出直线斜率，根据直线斜率即可求其倾斜角；B ：当θ＜4π时，4πθ-＜0，但直线倾斜角为非负，据此即可判断；C ：3(3)2(2)y y x x +--=+--可看作(x ，y )与(－2，－3)连线斜率，数形结合即可判断；D ：两直线垂直，则122πθθ-=，据此即可判断．【详解】①向量()3,3m =-在直线l 上，则直线l 的斜率为33-，故直线倾斜角为56π，故A 正确；②若直线l 与x 轴交于点A ，其倾斜角为θ，直线l 绕点A 顺时针旋转4π后得直线1l ，则4π≤θ＜π时，直线1l 的倾斜角为4πθ-；当0≤θ＜4π时，直线1l 的倾斜角为π＋(4πθ-)＝34πθ+；故B 错误； ③若实数x 、y 满足3y x =-+，11x -≤≤，设A (－1，4)，B (1，2)， 则代数式3(3)2(2)y y x x +--=+--表示线段AB 上任意一点(x ，y )和点C (－2，－3)连线的斜率，由图可知，[]3(3),2(2)BC AC y y k k x x +--=∈=+--5,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 正确； ④若直线1l 、2l 的倾斜角分别为1θ、2θ，则10θπ≤<，20θπ≤<，20πθ-<-≤， ∴12πθθπ-<-<，则()1212sin 12πθθθθ-=⇒-=12l l ⇒⊥；当12l l ⊥时，121222ππθθθθ-=⇒-=±；故()12sin 1θθ-=是12l l ⊥充分不必要条件，故D 错误﹒ 故选：AC ﹒40．AC 【分析】分别在0135α≤<和135180α<<求得旋转后倾斜角即可. 【详解】直线倾斜角α的取值范围为0180α≤<，∴当0135α≤<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45α+；当135180α<<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45180135αα+-=-. 故选：AC.41．AC 【分析】设(0,1)P -，求出,AP BP k k ，由数形结合求解即可. 【详解】设(0,1)P -, 则121(1)1,10120AP BP k k -+--==-==--， 如图，由图可知，当11k -≤≤时，直线l 与线段AB 相交， 故选：AC42．ABD 【分析】利用正切函数的图象判断选项AC 的真假； B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误； 举反例说明选项D 错误.【详解】A. 若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零，所以该选项错误；B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；C. 若直线倾斜角243，，则斜率k 的取值范围是([),31,-∞⋃+∞，所以该选项正确； D. 若直线的斜率为7tan 3π，则但是直线的倾斜角为不是73π，而是3π，所以该选项错误. 故选：ABD43．AB 【分析】由题可得PM k k ≤或PN k k ≥，即可求出. 【详解】解：31421PM k --==--，213314PN k --==--， 直线l 过点()11P ，且与线段MN 相交，则PM k k ≤或PN k k ≥，则直线l 的斜率k 的取值范围是：4k ≤-或34k ≥． 故选：AB ．44．AC 【分析】直线20ax y ++=过定点()0,2A -，利用斜率计算公式可得AP k 和AQ k ，由直线20ax y ++=与线段PQ 相交，利用斜率关系即可求出a 的范围，进而结合选项即可求出结果.【详解】直线20ax y ++=过定点()0,2A -，斜率为a -，321202AP k -+==--，22433AQ k +==，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，由图象可知，1423a--， 则4132a-，符合条件的为选项AC ．故选：AC ．45．－2(答案不唯一)【分析】根据图形结合斜率与倾斜角的关系，结合两角差的正切公式，求出正方形某边的斜率即可.【详解】由题意，在如图所示的平面直角坐标系中画出正方形OABC ，其中对角线OB 所在直线的斜率为3．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan 3θ=，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为45θ-︒，直线OC 的倾斜角为45θ+︒，故()tan tan 451tan 451tan tan 452OA k θθθ-︒=-︒==+︒，()tan tan 45tan 4521tan tan 45OC k θθθ+︒=+︒==--︒，故答案为：－2（答案不唯一）．46．()(),11,-∞-⋃+∞【分析】分4590α<<、90α=、90135α<<三种情况讨论，结合正切函数的基本性质可求得k 的取值范围.【详解】由正切函数的性质知，当4590α<<时，()tan 1,k α=∈+∞； 当90α=时，k 不存在；当90135α<<时，()tan ,1k α=∈-∞-. 综上，k 的取值范围是()(),11,-∞-⋃+∞. 故答案为：()(),11,-∞-⋃+∞.47．15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】11y x ++表示线段AB 上的点与()11C －，－连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可 【详解】11y x ++表示线段AB 上的点与()11C －，－连线的斜率， 因为4(1)52(1)1,2(1)35(1)6AC BC k k -----====----- 所以由图可知11y x ++的取值范围是15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故答案为：15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦48．3,A B 两点求得得斜率与倾斜角的正切值5tan π6相等可求得m .【详解】因直线AB 的倾斜角为5π6，则其斜率53tan π6==k又由(3,1)+A m ，42()1B m +,， 则AB 的斜率(21)(1)43+-+==-m m k m ，则有3m = 故答案为：349．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由题意画出图形，再由211y x ++的几何意义，即线段AB 上的动点M 与定点11,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线的斜率的2倍求解；【详解】解：如图，函数28y x =-+，[]2,5x ∈表示线段AB 其中(5,2)A -，(2,4)B ，1221211y y x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=++的几何意义为线段AB 上的动点(),M x y 与定点11,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线的斜率的2倍，1212514PAk -+==-+，1432212PB k +==+，∴1342PM k -≤≤∴211y x ++的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦50．①②③【分析】根据直线的倾斜角和斜率的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为α，则[0,)απ∈，所以①错误；对于②中，当倾斜角[0,)2πα∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，且0k >；当倾斜角(,)2παπ∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，但0k <，所以②错误； 对于③中，根据直线斜率的概念，可得当[0,)απ∈且2πα≠时，直线的斜率为tan k α=，所以③错误. 故答案为：①②③.51．12-或5【分析】根据斜率相等可求出结果.【详解】因为142AC a a k --=--216a -=，所以该直线斜率存在， 又211121AB a a a k a a +-+==+--，根据题意得21161a a a -+=-，解得12a =-或5a =. 故答案为：12-或5.52．(1)0AB k =，BC k AC k =，直线AB 的倾斜角为0，直线BC 的倾斜角为3π，直线AC 的倾斜角为6π．(2),63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可； （2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可. （1）由斜率公式，得1101(1)AB k -==--，311321BC k +-==-，31132(1)3AC k +-==--，因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是0, ，所以直线AB 的倾斜角为0，直线BC的倾斜角为3π，直线AC 的倾斜角为6π． （2）如图，当直线CD 绕点C 由CA 逆时针转到CB 时，直线CD 与线段AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时CD k 由AC k 增大到BC k ，所以CD k 的取值范围为3,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即直线CD 的倾斜角的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．53．(]2,2,5⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先判断直线l 所过定点，再数形结合求k 的取值范围【详解】()12012kx y k y k x -++=⇒-=+故直线过定点()2,1T - 如下图所示：()112235TPk --==---，()13223TQk -==---- 若直线l 与线段恒有公共点，则TQ k k ≤或TP k k ≥即(]2,2,5k ∞∞⎡⎫∈--⋃-+⎪⎢⎣⎭54．（1）2-；（23(31)+（3）2m <或3m >．【分析】（1）由斜率公式计算斜率后可得；（2）由斜率公式计算斜率，由斜率等于tan 60︒可得； （3）由斜率公式计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系可得． 【详解】（1）由题意36121m m-=+，2m =-； （2）由题意221tan 60m m m ++=︒+，解得3(31)m +=； （3）由题意3011AB m k m -=<-+，解得2m <或3m >．55．(1)答案见解析(2)2,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）分斜率存在和不存在两种情况求解即可，（2）利用不等式的性质求出斜率的范围，再由正切函数的单调性求出倾斜角α的范围 (1)当1m =-时，直线AB 的斜率不存在， 当1m ≠-时，直线AB 的斜率321(1)1k m m -==--+，(2)当1m =-时，2πα=，当1m ≠-时，11k m =+，因为1m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且1m ≠-，所以1m ≤+≤10m +≠，所以11m ≤+11m ≥+tan α≤tan α， 所以2,,6223ππππα⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦， 综上，直线AB 的倾斜角2,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。
直线的倾斜角与斜率 知识点总结及典例
直线的倾斜角与斜率基础知识梳理1.倾斜角定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角. 范围：)180,0[0.2.斜率（1）斜率计算：倾斜角为α，)90(tan 0≠=ααk ；经过两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠的直线的斜率为1212x x y y k --=. α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180°k ＝0 k ＞0 斜率不存在 k ＜0 一、选择题1．关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的( )A ．任一条直线都有倾斜角，也都有斜率B ．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大C ．平行于x 轴的直线的倾斜角是0°D ．两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等2．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为( )A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－α3．直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的范围是( )A ．0°≤α＜90°B ．90°≤α＜180°C ．90°＜α＜180°D ．0°≤α＜180°4．已知直线l 的倾斜角为150°，则直线l 的斜率为( )A ．33B ． 3C ．－33D ．－3 5．如图，直线l 的倾斜角为( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．150°6．已知直线的斜率为－3，则它的倾斜角为( )A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．150°7．若直线l 经过点M (2,3)，N (4,3)，则直线l 的倾斜角为( )A ．0°B ．30°C ．60°D ．90°8．斜率为2的直线经过点(3,5)，(a,7)，(－1，b )三点，则a ，b 的值是( )A ．a ＝4，b ＝0B ．a ＝－4，b ＝－3C ．a ＝4，b ＝－3D ．a ＝－4，b ＝39．经过两点A (2,1)，B (1，m )的直线的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( )A ．m ＜1B ．m ＞－1C ．－1＜m ＜1D ．m ＞1或m ＜－110、直线x=1的倾斜角和斜率分别是( )A.45°,1B.135°,-1C.90°,不存在D.180°,不存在11．在平面直角坐标系中，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为()A．-B．0 C D．二、填空题12．如果直线l1与l2关于x轴对称，且与x轴相交，它们的倾斜角分别为α1，α2，则α1与α2的关系是________．13．过点(0,1)与(2,3)的直线的斜率为_________，倾斜角为__________．14．若过点(a，－2)和(4，a)的直线斜率不存在，则a＝__________．15．已知点A(－m,5)，B(1,3m)，且直线AB的倾斜角为135°，则实数m＝__________．16．已知点A(1,2)，点P在x轴上，且直线P A的倾斜角为135°，则点P的坐标为__________．17．已知点A(3,4)，点B在坐标轴上，且直线BA的斜率为2，则点B的坐标为__________．18.若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则11a b+的值等于________．三、解答题19.已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)．求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角.20.(1)已知：A(2,2)，B(4,0)，C(0,4)，求证：A，B，C三点共线；(2)若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，m)在同一条直线上，求m的值．21.(1)经过两点A(－m,6)，B(m＋1,3m)的直线倾斜角的正切值为2，求m的值；(2)一束光线从点A(－2,3)射入，经过x轴上点P反射后，通过点B(5,7)，求点P的坐标．。
3.1直线的倾斜角与斜率解析
x
一、直线的倾斜角:
1、定义:
y
当直线l与x轴相交时，
我们取x轴作为基准，x轴
正向与直线l向上方向之间 o
所成的角 叫做直线的
倾斜角。
l
x
规定:1.当直线与x轴平行或重合时， 00 2.当直线与x轴垂直时， 900
按倾斜角分类，直线可分几类？
y
p
l
o
x
y
l
p
o x
y
ly
p
o
x
p
o
x
l
2、范围: 0 a 180
y
y2
P2 (x2, y2 )
k y2 y1
y1
P1(x1, y1)
x2 x1
o
x 答：斜率不存在，
因为分母为0。
三、直线的斜率公式:
经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )
的直线的斜率公式：
k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
（4）斜率公式：k
y2 x2
y1 x1
(或k
y1 y2 ) x1 x2
2、思想方法：类比；几何问题代数化
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
复习回顾
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交 时，取x轴作为基准,x轴正方向与直线l向上 的方向所成的角叫做直线l的倾斜角.
倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率，常用k来表示.
P2 P1
P1 P2
经过两点P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )的直线的斜率公式:
k
y2 x2
y1 x1
专题04 直线的倾斜角与斜率、直线方程问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题04直线的倾斜角与斜率、直线方程问题【知识梳理】1、倾斜角和斜率（1）直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．特别地，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定0a =°．（2）倾斜角α的取值范围： 0180a 埃＜．当直线l 与x 轴垂直时， 90a =°．（3）直线的斜率：一条直线的倾斜角9(0)a a 拱的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，也就是k tan a=①当直线l 与x 轴平行或重合时，0a =°，00k tan =°=；②当直线l 与x 轴垂直时， 90a =°，k 不存在．由此可知，一条直线l 的倾斜角α一定存在，但是斜率k 不一定存在．（4）直线的斜率公式：给定两点()()11122212,,,,P x y P x y x x ¹，用两点的坐标来表示直线12P P 的斜率：21122112=y y y y k x x x x --=--2、两条直线的平行与垂直（1）两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即1212//l l k k Û=注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果12k k =，那么一定有12//l l （2）两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即1212=1l l k k Û×^-3、直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式()11y y k x x -=-11(,)x y 是直线上一定点，k 是斜率不垂直于x 轴斜截式y kx b =+k 是斜率，b 是直线在y 轴上的截距不垂直于x 轴两点112121y y x x y y x x --=--11(,)x y ，22(,)x y 是直线上两定不垂直于x 轴和y考点2：直线与线段的相交问题考点3：两直线平行问题考点4：两直线垂直问题考点5：五种直线方程考点6：直线与坐标轴围成三角形问题考点7：直线过定点问题【典型例题】考点1：倾斜角与斜率1．（2021·福建宁德·高二期中）已知点()20A ，，(3B ，则直线AB 的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】B【解析】由题得直线AB 的斜率k =设直线的倾斜角为tan [0,180)ααα∴=∈，，所以=60α.故选：B2．（2020·北京十五中高二期中）如图，直线1234,,,l l l l 的斜率分别为1234,,,k k k k ，则（）A ．4321k k k k <<<B ．3421k k k k <<<C ．4312k k k k <<<D ．3412k k k k <<<【解析】由斜率的定义知，21430k k k k >>>>.故选：D.3．（2022·全国·高二期中）已知直线斜率为k，且1k -≤≤α的取值范围是（）．A ．ππ3π0,,324⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．ππ3π0,,624⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】B【解析】由题意，直线l 的倾斜角为α，则[)0,πα∈，因为1k -≤≤，即1tan α-≤≤结合正切函数的性质，可得π3π0,,π34α⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：B ．4．（2021·湖北宜昌·高二期中）若倾斜角为3π的直线过(A ，()2,B a 两点，则实数=a （）A 32BC．D．【答案】C【解析】因为直线的倾斜角为3π，所以直线的斜率为tan3π=12a=-a =；故选：C5．（2021·广东·兴宁市叶塘中学高二期中）若(2,3)A -，(3,2)B -，1(,)2C m 三点共线，则m =（）A ．12B ．12-C ．2-D ．2【答案】A【解析】由于()2,3A -、()3,2B -、1(,)2C m 三点共线，则ABAC k k =，即32312322m +-=--+，解得12m =.6．（多选题）（2021·湖南·怀化五中高二期中）在下列四个命题中，错误的有（）A ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B ．直线的倾斜角的取值范围是[0，π]C ．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45度D ．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα【答案】ABD 【解析】对于A ，倾斜角为90的直线斜率不存在所以A 错误对于B直线的倾斜角的取值范围为[)0,p 所以B 错误对于C因为tan 1α=且[)0,απ∈，所以4πα=所以C 正确对于D倾斜角为90的直线斜率不存在所以D 错误故选：ABD7．（多选题）（2021·江苏南通·高二期中）若经过()1,1A a a -+和()3,B a 的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的值不可能为（）A ．2-B ．0C ．1D ．2【答案】BCD【解析】据题意可知110132AB a a k a a+-==<----，即20a +>，所以2a >-．故选：BCD ．8．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）已知直线l 0y -=，则直线l 的倾斜角为_________．【答案】60°0y -=60°．故答案为：60°．9．（2022·上海市大同中学高二期中）已知直线l 经过原点，且与直线y ＝x ＋1的夹角为45°，则直线l 的方程为______．【答案】0x =或0y =【解析】直线1y x =+的斜率为1，倾斜角为45︒，直线l 与直线1y x =+的夹角为45︒，所以直线l 的倾斜角为0︒或90︒，所以直线l 的方程为0x =或0y =.故答案为：0x =或0y =10．（2022·上海市控江中学高二期中）设a ∈R ，若直线l 经过点(,2)A a ､(1,3)B a +，则直线l 的斜率是___________.【答案】1【解析】因为直线l 经过点(,2)A a ､(1,3)B a +，所以直线l 的斜率是3211k a a-==+-，故答案为：111．（2021·新疆·八一中学高二期中）已知点A （2，-1），B （3，m ），若13m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则直线AB 的倾斜角的取值范围为__________．【答案】50,,36πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】设直线AB 的倾斜角为α，∵点A （2，-1），B （3，m ），∴直线AB 的斜率1132m k m +==+-，又∵13m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，∴13m ⎡+∈-⎢⎣，即k 的取值范围为⎡⎢⎣，即t an α⎡∈⎢⎣，又∵α∈[0，π），∴50,,36ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故答案为：50,,36πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．考点2：直线与线段的相交问题12．（2021·福建三明·高二期中）已知A (3，－1)，B (1，2)，P (x ，y )是线段AB 上的动点，则yx的取值范围是_______.【答案】[13-，2]【解析】因为A (3，－1)，B (1，2)，P (x ，y )是线段AB 上的动点，所以yx表示直线OP 的斜率.如下图.因为直线OA 的斜率为101303--=--，直线OB 的斜率为20210-=-.所以y x 的取值范围是1[,2]3-.故答案为：1[,2]3-13．（2021·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（）A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】C【解析】如图所示，直线PA 的斜率21110PA k -+==--，直线PB 的斜率11120PB k +==-．由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-，因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：C14．（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校高二期中）设点()2,3A -，()3,2B ，若直线ax +y +2=0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（）A ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．54,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【解析】∵直线20ax y ++=过定点(0,2)C -，且52AC k =-，43BC k =，由图可知直线与线段AB 有交点时，斜率a -满足43a ≤-或52a -≤-，解得45,,32a ⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣∈⎭，故选：D15．（2021·山东济宁·高二期中）设点()4,3A -，()2,2B --，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（）A ．1k ³或4k ≤-B ．1k ³或43k ≤-C ．41k -≤≤D ．413k -≤≤-【答案】B【解析】如图所示：因为1(3)41(2),11431(2)PA PB k k ----==-==---，所以当直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交时，l 的斜率k 的取值范围是1k ³或43k ≤-，故选：B16．（2021·天津市嘉诚中学高二期中）已知两点(2,3)M -，(3,2)N --，直线l 过点(1,1)P 且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．34k ≥或4k ≤-B ．344k -≤≤C ．344k ≤≤D ．344k -≤≤【答案】A【解析】如图，要使直线l 与线段MN 相交，则应满足PM k k ≤或PN k k ≥，因为13412PM k +==--，123134PN k +==+，所以4k ≤-或34k ≥.故选：A.17．（2021·广西·防城港市防城中学高二期中）经过点()0,1P -作直线l ，若直线l 与连接()1,2A -，()2,1B 的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围为（）A ．[]1,1-B ．(][),11,-∞-⋃+∞C ．[)1,1-D ．()[),11,∞∞--⋃+【答案】A【解析】根据题意画图如下：2(1)1(1)1,11020PA PB k k -----==-==--,在射线PA 逆时针旋转至射线PB 时斜率逐渐变大,直线l 与线段AB 总有公共点，所以11k -≤≤.故选:A.18．（2021·北京·景山学校高二期中）已知直线l ：20ax y --=和点(2,1)P ，(3,2)Q -，若l 与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是（）A ．3243a -≤≤B ．34a ≤-或23a ≥C ．4332a -≤≤D ．43a ≤-或32a ≥【答案】D【解析】由直线l ：20ax y --=可知直线l 必过定点A (0,2)-，且直线l 的斜率为a ，如下图所示：由斜率公式可知，直线AP 的斜率为213022AP k --==-，直线AQ 的斜率为2240(3)3AQ k --==---，若l 与线段PQ 相交，只需要32AP a k ≥=或43AQ a k ≤=-，故实数a 的取值范围是43a ≤-或32a ≥.故选：D.19．（2021·陕西安康·高二期中（理））已知点2)A ，(4,3)B -，直线l 过点(0,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A ．π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．π3π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π5π0,,π36⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．π5π,36⎡⎤⎢⎣⎦【答案】A【解析】如图，斜率33PA k ==，1(3)104PB k --==--，结合图象可知当直线l 与线段AB 相交时，其倾斜角的取值范围是π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭.故选：A20．（2021·广东·广州六中高二期中）已知点(1,1)A -，(3,1)B ，直线l 过点(1,3)C ，且,A B 两点在直线l 的同侧，则直线l 斜率的取值范围是（）A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(,1)(0,1)-∞-D ．(1,0)(1,)-È+¥【答案】A【解析】由题意，点(1,1)A -，(3,1)B ，(1,3)C ，根据斜率公式，可得1AC k =，1EC k =-，如图所示，要使得直线l 过点(1,3)C ，且,A B 两点在直线l 的同侧，则直线l 斜率的取值范围是(1,1)-.故选：A.考点3：两直线平行问题21．（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知直线1:210l x my ++=与2:310l x y --=平行，则 m 的值为__________.【答案】23-【解析】因为直线1:210l x my ++=与2:310l x y --=平行，所以当0m =时，两条直线不平行，不符合题意；当0m ≠时，23m -=，解得23m =-.故答案为：23-.22．（2020·四川巴中·高二期中（文））若直线1:10l x ay +-=与直线()2:2330l a x y -++=平行，则实数a 的值为______.【答案】3【解析】因为1:10l x ay +-=与直线()2:2330l a x y -++=平行，所以()13201330a a a ⎧⨯--=⎨-⨯-≠⎩，解得3a =，故答案为：3.23．（2022·上海市宝山中学高二期中）“直线1l 与2l 平行”是“直线1l 与2l 的斜率相等”的（）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要【答案】D【解析】充分性：直线1l 与2l 平行，但是1l 和2l 都没有斜率，即当1l 和2l 都垂直于x 轴时，1l 与2l 仍然平行，但是，此时不满足直线1l 与2l 的斜率相等，故充分性不成立；必要性：直线1l 与2l 的斜率相等，则直线1l 与2l 平行或重合，故必要性不成立；综上，“直线1l 与2l 平行”是“直线1l 与2l 的斜率相等”的既非充分又非必要条件.故选：D24．（2021·浙江台州·高二期中）直线()1:110l a x y -++=，()2:4210l x a y ++-=，则“2a =”是“12l l //”的（）条件A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】①充分性：当2a =时，1:10l x y ++=，2:4410l x y +-=，所以1l 与2l 斜率相等，且截距不相等，故12l l //，所以充分；②必要性：()1:110l a x y -++=，()2:4210l x a y ++-=，当12l l //时，则()()1240a a -+-=，解得：2a =或3a =-，当3a =-时，两直线重合，所以3a =-舍去，当2a =时，两直线斜率相等且截距不相等，符合题意，所以必要.所以“2a =”是“12l l //”的充要条件故选：C.25．（2021·河北·石家庄市第二十二中学高二期中）下列说法正确的是（）A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等C ．垂直的两条直线的斜率之积为1-D ．只有斜率相等的两条直线才一定平行【答案】B【解析】因为两条直线倾斜角为90︒时，两条直线平行，但是没有斜率，故A 不正确；平行的两条直线的倾斜角一定相等，故B 正确；垂直的两条直线的斜率存在时，斜率之积为1-；当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时两直线也垂直，故C 不正确；斜率不存在的两条直线也能够平行，故D 不正确；故选：B ．26．（2021·福建·浦城县教师进修学校高二期中）已知A (－1，2)，B (1，3)，C (0，－2)，点D 使AD ⊥BC ，AB ∥CD ，则点D 的坐标为（）A ．94(,)77-B ．5413(,)77C ．3813(,)33D ．385(,)77【答案】D【解析】设D (x ，y )，∵AD ⊥BC ，∴21y x -+·3(2)10---＝－1，∴x ＋5y －9＝0，∵AB ∥CD ，∴2y x +＝321(1)---，∴x －2y －4＝0，由得590240x y x y +-=⎧⎨--=⎩，38757x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故选：D.考点4：两直线垂直问题27．（2021·吉林油田高级中学高二期中）下列方程所表示的直线中，一定相互垂直的一对是()A ．210ax y +-=与220x ay ++=B ．6430x y --=与10150x y c ++=C ．2370x y +-=与4650x y -+=D ．340x y b -+=与340x y +=【答案】B【解析】A ：a ＝0时，两直线分别为：1,12y x ==-，此时它们垂直；当a ≠0时，它们斜率之积为212a a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭，则它们不垂直；故两条直线不一定垂直；B ：两直线斜率之积为：6101415⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，故两直线垂直；C ：两直线斜率之积为：2441369-⨯=-≠-，故两直线不垂直；D ：两直线斜率之积为：33914416⎛⎫⨯-=-≠- ⎪⎝⎭，故两条直线不垂直；故选：B.28．（2021·贵州·黔西南州金成实验学校高二期中（理））已知直线1l ：10mx y -+=，2l ：()210mx m y ++-=，若12l l ⊥，则m =_________．【答案】2或1-【解析】由题意2(2)0m m -+=，解得1m =-或2m =．故答案为：2或1-．29．（2022·上海市行知中学高二期中）若直线1:210l ax y -+=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直，则=a ______.【答案】2-【解析】因为直线1:210l ax y -+=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直，所以()()1210a a ⨯+-⨯+=，解得2a =-，故答案为：2-.30．（2022·全国·高二期中）已知直线1:20l ax y +=，直线()2:10l a x y --=，若12l l ⊥，则实数a 的值为______．【答案】2a =或1a =-【解析】因为12l l ⊥，所以(1)2(1)0a a -+⨯-=，解得2a =或1a =-，故答案为：2a =或1a =-31．（2021·广东·珠海市第二中学高二期中）已知直线150l y --=，若直线21l l ⊥，则直线2l 的倾斜角大小为_____________．【答案】56π【解析】直线方程150l y --=1l k ∴=21l l ⊥121l l k k ∴=-233l k ∴=-∴直线2l 的倾斜角大小为56π故答案为：56π32．（多选题）（2021·河北·石家庄市第六中学高二期中）已知直线1l 的倾斜角为30°，2l 经过点M ，(2,0)N ，则1l 与2l 的位置关系为（）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．不确定【答案】BC【解析】因为直线1l 的倾斜角为30°，所以直线1l 的斜率130tan k =︒又2l 经过点M ，(2,0)N ，所以直线2l 的斜率212k ==-，故(1213k k ==-，所以1l ⊥2l 故选：BC考点5：五种直线方程33．（2018·江西·南昌市第八中学高二期中（理））直线l 过点()1,2-，且在两坐标轴上截距相等，则直线l 的一般式方程为___________.【答案】10x y +-=，20x y +=【解析】显然直线l 的斜率存在且不为0，设l ：()21y k x -=+令0x =，则2y k =+；令0y =，则2kx k+=-依题意，22kk k+-=+解之得1k =-或2k =-当1k =-时，l ：10x y +-=当2k =-时，l ：20x y +=故答案为：10x y +-=，20x y +=34．（2021·广东·新会陈经纶中学高二期中）过点(1,2)P 且与直线20x y --=平行的直线方程为___________________.【答案】10x y -+=【解析】因为过点(1,2)P 的直线与直线20x y --=平行，所以设直线方程为：0x y m -+=，因为直线过点(1,2)P ，120m ∴-+=所以1m =，故直线方程为：10x y -+=，故答案为：10x y -+=35．（2021·浙江省杭州学军中学高二期中）经过点(3,2)A -，且在x 轴上的截距等于y 轴上截距的2倍的直线方程为___________.【答案】230x y +=或210x y +-=.【解析】若直线在x 轴上的截距为0，设直线方程为y kx =，因为直线经过点(3,2)A -，所以23k =-，即23k =-，所以直线方程为23y x =-，即230x y +=；若直线在x 轴上的截距不为0，设直线方程为12x yb b+=，因为直线经过点(3,2)A -，所以3212b b -+=，解得12b =，所以直线方程为210x y +-=.所以所求直线方程方程为230x y +=或210x y +-=.故答案为：230x y +=或210x y +-=.36．（2021·湖南·怀化五中高二期中）求符合下列条件的直线l 的方程：(1)过点A (﹣1，﹣3)，且斜率为14-；(2)A (1，3)，B (2，1))求直线AB 的方程；(3)经过点P (3，2)且在两坐标轴上的截距相等.【解析】(1)所求直线过点()1,3A --，且斜率为14-，()1314y x ∴+=-+，即4130x y ++=.(2)所求直线过()()1,32,1A B ，，31212AB k -∴==--，()321y x ∴-=--，即250x y +-=.(3)当直线过原点时，设直线方程为y kx =，直线过P 点()3,2，23k ∴=，直线方程为23y x =，即2x －3y ＝0；当直线不过原点时，设直线方程为1x ya a+=，将点()3,2P 代入上式得，321a a+=，解得5a =，故直线的方程为50x y +-=，综上，直线方程为230x y -=或50x y +-=.37．（2021·福建·福州三中高二期中）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在的直线方程为2x -y -5=0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x -2y -5=0(1)求直线AC 的方程，(2)求直线BC 的方程【解析】(1)由AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=，知2AC k =-，又()5,1A ，AC ∴边所在直线方程为()125,y x -=--即2110x y +-=(2)设点B 的坐标为()00,x y ，则线段AB 的中点为0051(,22x y M ++在直线250x y --=上，.即001(5)50,2y x ++--=整理得00210,x y --=又点B 在直线BH 上，00250,x y ∴--=两者联立可解得0013x y =-⎧⎨=-⎩，即()1,3B --3(3)64(1)5BC k --==--∴∴直线BC 的方程63(4),5y x -=-即6590x y --=38．（2021·河北·唐山市第十一中学高二期中）求满足下列条件的直线方程：(1)过点()4,2P -，倾斜角为45°；(2)过两点()()1,3,2,5A B ．【解析】(1)所求直线方程为()2tan 454y x +=︒⨯-，即6y x =-.(2)所求直线方程为315321y x --=--，即21y x =+.39．（2021·北京·北师大二附中未来科技城学校高二期中）经过点()1,2，且倾斜角为45°的直线方程是（）A ．3y x =-B ．21y x -=-C ．(3)y x =--D ．(3)y x =-+【答案】B【解析】因为所求直线的倾斜角为45°，所以所求直线的斜率tan 451k =︒=，所以直线方程为21y x -=-．故A ，C ，D 错误.故选：B.40．（2022·全国·高二期中）已知直线l 过()2,1A -，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线l 的方程是（）．A ．10x y --=或30x y +-=B ．10x y --=或30x y -+=C ．10x y ++=或30x y -+=D ．10x y ++=或30x y +-=【答案】C【解析】由题意可知，所求直线的倾斜角为45︒或135︒，即直线的斜率为1或-1，故直线方程为12y x -=+或1(2)y x -=-+，即30x y -+=或10x y ++=.故选：C.41．（2022·江苏南通·高二期中）已知直线l 经过点()2,3-，且与直线250x y --=垂直，则直线l 的方程为（）A ．240x y ++=B ．240x y +-=C ．280x y --=D ．280x y -+=【答案】A【解析】直线250x y --=的斜率为2，直线l 与之垂直，则12l k =-，又l 过点(2,3)P -，所以直线方程为13(2)2y x +=--，即240x y ++=．故选：A ．42．（2021·江苏苏州·高二期中）已知三角形的顶点()4,1A ，()6,3B -，()3,0C .(1)求AC 边上的高BH 所在的直线方程；(2)求AB 边上的中线CD 所在的直线方程.【解析】(1)由于()4,1A ，()3,0C ，所以01134AC k -==-，因为BH 为AC 边上的高，有1AC BH k k ⋅=-，所以1BH k =-，又BH 过点()6,3B -，所以有()316y x ⎡⎤-=-⨯--⎣⎦，所以BH 所在直线的方程为30x y ++=.(2)由于()4,1A ，()6,3B -，所以AB 的中点()4613,22⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，即()1,2-，又()3,0C ，所以201132CD k -==---，又因为过点()3,0C ，所以有()1032y x -=-⨯-，所以CD 所在直线的方程为230x y +-=.考点6：直线与坐标轴围成三角形问题43．（2020·上海·格致中学高二期中）过点()3,1的直线分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则AOB （O 为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________.【答案】360x y +-=【解析】易知直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的方程为()13y k x -=-，即13y kx k =+-.在直线AB 的方程中，令0x =，可得13=-y k ；令0y =，可得31k x k-=.所以，点31,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,13B k -.由已知条件可得310130k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <.OAB 的面积为()1311111369626222k S k k k k⎡-⎛⎫=⨯-⨯=--≥⨯+=⎢ ⎝⎭⎢⎣.当且仅当()190k k k-=-<时，即当13k =-时，等号成立，所以，直线AB 的方程为123y x =-+，即360x y +-=.故答案为：360x y +-=.44．（2021·江苏扬州·高二期中）已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为___________.【答案】660x y -+=或660x y --=【解析】设直线l 的方程为1x y a b +=，则132ab =，且16b a -=，解得61a b =⎧⎨=-⎩或者61a b =-⎧⎨=⎩，∴直线l 的方程为161x y+=-或161x y +=-，即660x y -+=或660x y --=.故答案为：660x y -+=或660x y --=.45．（2021·湖北荆州·高二期中）（1）求过点()4,3-且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程；（2）设直线l 的方程为()()120a x y a a ++--=∈R ，若1a >-，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．【解析】（1）当直线不过原点时，设l 的方程为xa ＋y a＝1，∵点()4,3-在直线上，∴4a＋3a-＝1，解得1a =，所以直线方程为x ＋y －1＝0；当直线过原点时，直线斜率34k =-，∴直线的方程为34y x =-，即3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.（2）∵1a >-，∴M 2(,0)1a a ++，()0,2N a +，∴()12221OMNa Sa a +=⋅⋅++＝()211121a a ++⎡⎤⎣⎦⨯+＝121121a a ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭≥2，当且仅当a ＋1＝11a +，即a ＝0时等号成立．故所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0.46．（2021·福建福州·高二期中）已知直线l 过点()3,2M ．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若l 与x 轴正半轴的交点为A ，与y 轴正半轴的交点为B ，求AOB （O 为坐标原点）面积的最小值．【解析】(1)当直线经过原点时，直线的斜率为23k =，所以直线的方程为23y x=，即230x y -=；当直线不过原点时，设直线的方程为x y a +=，代入点()3,2M 可得5a =，所以所求直线方程为5x y +=，即50x y +-=．综上可得，所求直线方程为：230x y -=或50x y +-=．(2)依题意，设点(),0A a ，()0,B b （0a >，0b >），直线AB 的方程为1x ya b+=，又点()3,2M 在直线AB 上，于是有321a b+=，利用基本不等式321a b =+≥24ab ≥，当且仅当6a =，4b =时等号成立，1122AOB S ab ∴=≥V ，即AOB 的面积的最小值为12．47．（2021·河北省盐山中学高二期中）已知直线l 过点()1,2P -.（1）若直线l 在两坐标轴上截距和为零，求l 方程；（2）设直线l 的斜率0k >，直线l 与两坐标轴交点别为A B 、，求AOB 面积最小值.【解析】（1）因为直线l 在两坐标轴上截距和为零，所以直线l 斜率存在且不为0，故不妨设斜率为k ，则直线l 方程为()21y k x -=+，所以直线在,x y 坐标轴上截距分别为21k--，2k +，所以2120k k--++=，整理得220k k +-=，解得2k =-或1k =所以直线l 方程为20x y +=或30x y -+=.（2）由（1）知()21,0,0,2A B k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，因为0k >，所以AOB 面积为()1214112444222S k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=⨯++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4k k=，即2k =时等号成立，所以AOB 面积最小值448．（2020·安徽·合肥市庐阳高级中学高二期中（文））直线l 经过点()1,2A ，（1）直线l 与两个坐标轴围成的三角形的面积是4的直线方程.（2）直线l 与两个坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时的直线方程.【解析】设直线方程为1x y a b +=，由直线l 经过点()1,2A 可得121a b+=，（1）由题可得121142a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩，24a b ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩24a b ⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩则直线方程为1,124x y +=；（2）()10,02S ab a b =>>，121+=≥a b 8ab ≥，4S ≥当且仅当2a =，4b =时面积取最小值，则直线方程为124x y +=.考点7：直线过定点问题49．（2021·广东·揭阳华侨高中高二期中）直线10mx y m +--=恒过定点__________．【答案】(1,1)【解析】将直线方程10mx y m +--=等价于()()110m x y -+-=，令1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线10mx y m +--=恒过定点(1,1).故答案为：(1,1).50．（2021·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））直线(1)y k x =-过定点_________________.【答案】()1,0【解析】直线(1)y k x =-，令10x -=，得1,0x y ==，所以直线(1)y k x =-过定点()1,0，故答案为：()1,0.51．（2021·福建泉州·高二期中）已知点()10P -，在直线l ()20ax y a a R +-+=∈：上的射影为M ，点N （0，3），则线段MN 长度的最小值为______________【答案】4【解析】直线l ()20ax y a a R +-+=∈：，即(1)20x a y -++=，令10x -=，且20y +=，得出x 1,y 2==-，所以直线l 恒过定点(1,2)Q -，由于点()10P -，在直线l 上的射影为M ，即90PMQ ∠=，所以点M 在以PQ 为直径的圆上，该圆的圆心为PQ 的中点()0,1C -，且半径N 到圆心C 的距离为4NC ==，所以线段MN 的最小值为4NC r -=故答案为：452．（2021·湖南·益阳平高学校高二期中）设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（）A ．B ．C ．3D ．6【答案】D【解析】由题意，动直线10x my ++=过定点(1,0)A -，直线230mx y m --+=可化为(2)30x m y -+-=，令2030x y -=⎧⎨-=⎩，可得()2,3B ，又1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以两动直线互相垂直，且交点为P ，所以()()22222||||||120318PA PB AB +==--+-=，因为222||||||||22PA PB PA PB ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以6P A PB +=，当且仅当||||3PA PB ==时取等号.故选：D.53．（2021·四川·遂宁中学高二期中（理））过定点M 的直线20ax y +-=与过定点N 的直线420x ay a -+-=交于点P ，则·PM PN 的最大值为()A ．1B ．3C ．4D ．2【答案】C 【解析】由题意可知，动直线20ax y +-=经过定点()0,2M ，动直线420x ay a -+-=即()240x y a -+-+=，经过定点()2,4N ，∵过定点M 的直线20ax y +-=与过定点N 的直线420x ay a -+-=始终垂直，P 又是两条直线的交点，∴PM PN ⊥，∴2228PM PN MN +==．故2242PM PN PM PN +⋅≤=(当且仅当2PM PN ==时取“=”)．故选：C ．。
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专题直线的倾斜角和斜率习题与知识点
直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α
⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.
4、 直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式: k=y2-y1/x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 2
2、两条直线都有斜率，如果它们互
相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率
互为负倒数，那么它们互
相垂直，即
基础卷
一．选择题：
1．下列命题中，正确的命题是
（A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
（B ）直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
（C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率
（D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π
2．直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为
（A ）3 （B ）－3 （C ）
33 （D ）－3
3 3．直线y =x cos α+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是 （A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π]∪[4
3π,π) 4．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为
（A ）
4π （B ）54π （C ）4π或54
π （D ）－4π 5．已知直线l 的倾斜角为α，若cos α=－5
4，则直线l 的斜率为 （A ）43 （B ）34 （C ）－43 （D ）－3
4 6．已知直线l 1: y =x sin α和直线l 2: y =2x +c ，则直线l 1与l 2
（A ）通过平移可以重合 （B ）不可能垂直
（C ）可能与x 轴围成等腰直角三角形 （D ）通过绕l 1上某一点旋转可以重合
二．填空题：
7．经过A (a , b )和B (3a , 3b )(a ≠0)两点的直线的斜率k = ，倾斜角α= .
8．要使点A (2, cos 2θ), B (sin 2θ, －3
2), (－4, －4)共线，则θ的值为 . 9．已知点P (3 2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为 .
10．若经过点A (1－t , 1+t )和点B (3, 2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 . 提高卷
一．选择题：
2．过点P (2, 3)与Q (1, 5)的直线PQ 的倾斜角为
（A ）arctan2 （B ）arctan(－2) （C ）2
π－arctan2 （D ）π－arctan2 3．直线l 1: ax +2y －1=0与直线l 2: x +(a －1)y +a 2=0平行，则a 的值是
（A ）－1 （B ）2 （C ）－1或2 （D ）0或1
4．过点A (－2, m ), B (m , 4)的直线的倾斜角为2
π+arccot2，则实数m 的值为 （A ）2 （B ）10 （C ）－8 （D ）0
二．填空题：
6．若直线k 的斜率满足－3<k <
3
3，则该直线的倾斜角α的范围是 . 8．已知直线l 1和l 2关于直线y =x 对称，若直线l 1的斜率为3，则直线l 2的斜率为 ；倾斜角为 .
9．已知M (2, －3), N (－3,－2)，直线l 过点P (1, 1)，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 . 综合练习卷
一．选择题：
1．下列命题正确的是
（A ）若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应
（B ）若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应
（C ）直线的斜率为k ，则这条直线的倾斜角为arctan k
（D ）直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tan α
2．过点M (－2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为－2
1，则a 等于 （A ）－8 （B ）10 （C ）2 （D ）4
3．过点A (2, b )和点B (3, －2)的直线的倾斜角为43π，则b 的值是
（A ）－1 （B ）1 （C ）－5 （D ）5
4．如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则
（A ）k 1<k 2<k 3 （B ）k 3<k 1<k 2
（C ）k 3<k 2<k 1 （D ）k 1<k 3<k 2
6．若直线l 的斜率为k =－a b
(ab >0)，则直线l 的倾斜角为 （A ）arctan a b （B ）arctan(－a b
) （C ）π－arctan a b （D ）π+arctan a b
二．填空题：
7．已知三点A (2, －3), B (4, 3), C (5, 2
m )在同一直线上，则m 的值为 . 8．已知y 轴上的点B 与点A (－3, 1)连线所成直线的倾斜角为120°，则点B 的坐标为 .
9．若α为直线的倾斜角，则sin(4
π－α)的取值范围是 . 10．已知A (－2, 3), B (3, 2)，过点P (0, －2)的直线l 与线段AB 没有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 .
三．解答题：
11．求经过两点A (2, －1)和B (a , －2)的直线l 的倾斜角。
参考答案。