第一讲 简便运算与分数巧算1
六年级奥数-第一讲[1].分数的速算与巧算.学生版(最新整理)
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第一讲:分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有1a b⨯a b <1111(a b b a a b=-⨯-(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：，形式的，我们有：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+1111[(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） （2）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
五年级《速算与巧算》奥数教案
板书：
原式= + + +
=2
练习2：（5分）
计算： ＋ ＋ ＋ －
分析：
将算式中的分数先化成最简分数，然后会发现化简后每个分数都是 。
板书：
原式= + + + -
=1
三、小结：（5分）
整数的加法交换律、结合律对分数的加减计算同样适用。
第二课时（50分）
师：那么我们可不可以将式子写成这种形式。
板书：
原式=（1- ）+（ - ）+（ - ）+……+（ - ）
=1- + - + - +……+ -
=1-
=
师：从式子中我们发现中间的分数都是一加一减刚好抵消的。将数列中的每一
项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，我们
把这种解题方法叫做裂项相消法。
生： ，老师，我知道了，给式子加上一个 ，再在最后减去一个 ，
+ = ， + = ， + = ，最后式子变成1+2+3+4+5+ + - 。
师：恩恩，同学的反应能力很快，那么请你将过程板书到黑板上。
板书：
原式=1+2+3+4+5+ + + + +（ + ）-
=15+ + + +（ + ）-
=15+ + +（ + ）-
练习1：（5分）
计算： － ＋ ＋
分析：
五年级奥数基础班-第1讲计算入门之分数的速算与巧算
一、知识站点：1．分数的基本运算；2．分数四则混合运算；3．分数与小数的混合运算；4．连锁约分与整体约分；5．简单的繁分数化简。
二、知识讲解与相关例题：1．分数的基本运算：①分数的加减法：关键词：最小公倍数，通分。
②分数的乘除法：关键词：最大公约数，约分，倒数。
【例题】请计算下列各题：⑴31=72＋⑵51=83－⑶135×=2526⑷711÷=9182．分数的四则混合运算：⑴分数四则混合运算的法则与整数相同；⑵分数满足整数的基本运算律；⑶要熟练掌握带分数与假分数的互换。
【例题】(2006年香港圣公会小学生数学奥林匹克竞赛)计算：3251 12= 4362⨯÷（－）（－）3．分数与小数的混合运算：⑴熟练掌握分数与小数的互换；⑵可根据具体题目全部化为分数或小数来运算。
【例题】(1996年全国小学数学奥林匹克竞赛)计算：791.831=1510＋－计算入门之分数的速算与巧算4．连锁约分与整体约分：⑴对式子进行化简，仔细观察；⑵当发现很多分数连乘，并且相邻分数的分子与分母对应相等时，用连锁约分；当发现分数相乘时，乘数的分子和分母对应有整体重叠时，可以整体约分。
【例题】(1997年我爱数学少年数学夏令营)计算：1111 2001111234100⨯⨯⨯⨯⨯（－）（－）（－）（－）计算：()3234912a ba b⨯⨯－－5．简单的繁分数化简：繁分数：分母上含有分数的分数。
化简关键：明确主分数线，从下到上逐层化简。
【例题】计算：1=12112－＋[本讲小结]1．分数的基本运算；2．分数四则混合运算；3．分数与小数的混合运算；4．连锁约分与整体约分；5．简单的繁分数化简。
三年级第1讲：巧算(一)
板书：
〈1〉110-79-21 〈2〉962-68+18
=110-〈79+21〉 =962-〈68-18〉
=110-100 =962-50
=10 =912
〈3〉73-〈23+19〉 〈4〉96-〈30-24〉
〈3〉82-〈22+29〉 〈4〉76-〈61-24〉
师：同学们,观察第一个式子,你发现了什么？
生：13和17可以凑成30。
师：第一个式子一共减去多少？
生：30。
师：很棒!13+17刚好凑成整十数,像这样连续减去几个数的减法运算,我们可
以加括号,把减去的几个数相加用括号括起来,这样我们又可以凑整简便
学题,相信学了这节课后我们同学也能向高斯一样算得又快又对！
〈板书课题：巧算 〈一〉〉
二、探索发现授课〈40分〉
〈一〉例题一：〈10分〉
计算：〈1〉96+15 〈2〉52+69
〈3〉786+14 〈4〉132+268
师：同学们发现这两个数有什么特点吗？
生：96接近100。
师：没错,96跟100很接近,再加4就是100。为了凑成100,可以把15拆成
运算了。同学们听明白了吗？
生：听明白了。
师：既然小朋友都听明白了,那第二题呢,仔细看,你找到可以凑整的数了吗？
生：53-23=30。
师：我们小朋友真是火眼金睛,一下就发现了53-23=30,刚好凑整,所以我们
可以把后面两个数用减法先算,这样就用括号括起来,就要把加号变成减
分数运算简便方法
分数运算简便方法分数运算是数学中的一种重要运算方式，简便方法可以帮助我们更快速、准确地进行分数运算。
下面我将介绍几种常用的分数运算简便方法。
一、分数的相加与相减1.找到两个分数的公共分母，如果两个分数的分母相同，则直接将分子相加或相减即可；2.如果两个分数的分母不同，则需要通过找到最小公倍数将两个分数的分母转化为相同的数，然后将分子相加或相减；3.如果两个分数的分子相同，则直接将分母相加或相减。
二、分数的相乘与相除1.分数相乘时，将两个分数的分子相乘得到新的分子，分母也相乘得到新的分母；2.分数相除时，将除数的分子乘于被除数的分母得到新的分子，除数的分母乘于被除数的分子得到新的分母；3.注意化简分数，将结果一般化简为最简分数形式。
三、分数的比较与排序1.比较分数大小时，可以将两个分数的分子相乘得到新的分子，分母也相乘得到新的分母，然后比较两个新的分数大小。
例如，分数1/2与2/3比较时，可以计算1×3=3与2×2=4，因为3<4，所以1/2<2/3；2.排序分数时，可以将分数化为相同的分母，然后按照分子大小进行排序。
四、分数的运算规律1.分数的分子与分母乘以相同的数，分数的值不变。
例如，分数1/2乘以2/2得到2/4，其值依然为1/2；2.分数的分子与分母同时除以相同的数，分数的值不变。
例如，分数2/4除以2/2得到1/2，其值依然为1/2；3.对于分数的加减乘除运算，先将分数化为最简分数，然后按照整数的运算规律进行计算，最后化简结果。
五、分数的应用1.在日常生活中，分数可以用来表示比例关系，比如：1/4表示四分之一，1/2表示一半；2.在商业计算中，分数可以用来表示价格折扣、比例利润等；3.在科学研究中，分数可以用来表示几何比例、物质比例等。
总结：分数运算虽然看似复杂，但是掌握了分数运算的简便方法，我们可以更加轻松、准确地进行分数的加减乘除运算。
通过寻找公共分母、化简分数、化为最简分数等技巧，可以帮助我们在分数运算中节省时间、减少错误。
带你了解分数的简便计算方法
带你了解分数的简便计算方法分数是数学中常见的一种表示形式，可以用来表示部分与整体之间的比例关系。
然而，对于一些人来说，分数计算可能会感到困惑和复杂。
本文将引导你了解一些简便的分数计算方法，帮助你更轻松地处理分数问题。
一、分数的基本概念在学习分数计算之前，首先需要了解几个基本概念。
分数由分子和分母组成，分子表示部分的数量，分母表示整体的数量。
例如，对于分数1/2，1是分子，2是分母。
二、分数的加法分数的加法是我们常见的计算方法之一。
当我们需要将两个分数相加时，首先要确保分母相同。
如果分母不同，需要找到它们的最小公倍数，然后将分子同时乘以相应的倍数，使得两个分数的分母相同。
接下来，我们只需要将分子相加，分母保持不变即可。
例如，计算1/3 + 1/4，找到它们的最小公倍数为12，分别乘以3和4得到3/12和4/12，于是我们得到3/12 + 4/12 = 7/12。
三、分数的减法分数的减法与加法类似，也需要确保分母相同。
如果分母不同，需要做同样的处理，将分数的分母调整为相同的值。
接下来，我们只需要将分子相减，分母保持不变即可。
例如，计算3/4 - 1/2，找到它们的最小公倍数为4，分别乘以2和2得到6/8和4/8，于是我们得到6/8 - 4/8 = 2/8，进一步简化为1/4。
四、分数的乘法分数的乘法是通过将两个分数的分子和分母相乘来实现的。
例如，计算2/3 * 4/5，我们将它们的分子2和4相乘得到8，将分母3和5相乘得到15，于是我们得到8/15。
五、分数的除法分数的除法是通过将一个分数的分子和另一个分数的分母相乘，同时将除数的分子和被除数的分母相乘来实现的。
例如，计算2/3 ÷ 1/4，我们将2/3的分子2和1/4的分母4相乘得到8，将2/3的分母3和1/4的分子1相乘得到3，于是我们得到8/3，进一步可以转化为2 2/3。
六、分数的化简有时候，我们需要将分数化简为最简形式。
一个分数被认为是最简的，当且仅当分子和分母没有共同的因数。
第一讲 分数巧算讲义
第一讲 分数求和的技巧方法总结分数求和的题目在近年的小升初考题和竞赛题中出现较为频繁，题型难度不一。
对初学的同学来说容易产生畏惧心理，但是只要了解此类题型的特点及解题思路，再结合一定量的练习，是可以轻而易举地解决此类问题的。
如果你能在各种各样的分数求和计算题中准确的识别出各种不同题型，就可以又快又准地计算出一个非常复杂的分数求和的结果。
一、 拆分（裂项）公式 （基本）ba aba b 11-=-11111+-=+n n n n ）（ dn n d n n d+-=+11）（dd n n d n n 1)11(1+-=+）（典型题目 1、11013012011216121++++++2、1101093029201912116521++++++3、2017117143141131183853523⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯4、1003211321121111+++++++++++5、设符号□、○代表不同的自然数，问算式61=+○=？6、ED C B A 1111121++++=二、 倒序求和法：典型题目 1、⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++1091021014342413231212、求分母不超过20的所有真分数之和。
3、求分母不超过100的所有真分数之和。
这三道题也可以用分组求和法。
三、 错项相减法： 典型题目1、+++2221……19902+2、+++1862……1032⨯+3、21+41+ 81+161+321四、 倒数转化法 典型题目（35×46×57）÷（24×35×46＋35×46×57＋46×57×68）五、 按特点与要求分拆 典型题目=++++++++883842977537241633756293678371六、 整体考虑换元法（代数法） 典型题目1、2、=+⨯+++-++⨯++)975753357579()531135975753357579135531()531135975753357579()975753357579135531(七、 提取公因数约分法典型题目 1、2、2005200520002005200520052005200520052005200020002000200020002000个个++++八、 凑整法典型题目与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整十数、整百数……从而使运算得到简化。
第一讲 简便运算与分数巧算
第一讲简便运算与分数巧算一、简便运算1．运算定律加法交换律：a＋b = b＋a加法结合律：（a＋b）＋c = a＋（b＋c）乘法交换律：a×b = b×a乘法结合律：（a×b）×c = a×（b×c）乘法分配律：（a＋b）×c = a×c＋b×c（a－b）×c = a×c－b×c2．其它性质a－b－c = a－c－b 可以变化顺序a－b－c = a－（b＋c）可以加起来一起减a－（b－c）= a－b＋c括号前是减号，去掉后变符号a＋（b－c）= a＋b－c括号前是减号，去掉后不变符号a÷b÷c = a÷c÷b可以变化顺可以a÷b÷c = a÷（b×c）可以乘起来一起除a－b＋c = a＋c－b 可以变化顺序a÷b×c = a×c÷b可以变化顺序3.基本题型156-49-51 156+74-56 18＋298＋3998＋49998537－（543－163）－57 43×11＋43×36＋43×52＋439999＋999＋99＋9 （2005＋2006＋2007＋2008＋2009＋2010＋2011）÷200856-38+44 153+（47+168）25×125×4×8 16×4+4×436÷2÷3 100×4÷2576×99 25×1625×125×32 303×293125×(17×8)二、相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，1.等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：1、1+2+3+4+5+6+7+8+92、1+3+5+7+92.等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半。
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第一讲简便运算与分数巧算
分数小数灵活转化：
1,怎么容易怎么来
2,加减法：小数乘除法：分数
3,熟记一些常用的转化
策略：
1:反常背后必有阴谋：找规律
2:套用常用公式：裂项，平方和，立方和，平方差
3:用简单的字母代替：换元法
4:很多题目不是做不出来，而是看不出来：整体观察
5:熟记一些最基本的题型
一、简便运算
1．运算定律
加法交换律：a＋b = b＋a
加法结合律：（a＋b）＋c = a＋（b＋c）
乘法交换律：a×b = b×a
乘法结合律：（a×b）×c = a×（b×c）
乘法分配律：（a＋b）×c = a×c＋b×c
（a－b）×c = a×c－b×c
2．其它性质
a－b－c = a－c－b 可以变化顺序
a－b－c = a－（b＋c）可以加起来一起减
a－（b－c）= a－b＋c括号前是减号，去掉后变符号a＋（b－c）= a＋b－c括号前是减号，去掉后不变符号a÷b÷c = a÷c÷b可以变化顺可以
a÷b÷c = a÷（b×c）可以乘起来一起除
a－b＋c = a＋c－b 可以变化顺序
a÷b×c = a×c÷b可以变化顺序
3.基本题型
156-49-51 156+74-56 18＋298＋3998＋49998
537－（543－163）－57 43×11＋43×36＋43×52＋43
9999＋999＋99＋9 （2005＋2006＋2007＋2008＋2009＋2010＋2011）÷2008
56-38+44 153+（47+168）
25×125×4×8 16×4+4×4
36÷2÷3 100×4÷25
76×99 25×16
25×125×32 303×293
125×(17×8)
二、相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，
1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：
1、1+2+3+4+5+6+7+8+9
2、1+3+5+7+9
2.等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半。
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 2、
3+5+7+9+11+13+15+17
简便运算方法总结
一、运用运算定律：这里主要指乘法分配律的应用。
对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。
⑵654
987666321
655987⨯+-⨯
二、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为1。
进行分数的简便运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。
需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。
例如：⑴)15
4
971267()1389511511
(⨯⨯÷⨯⨯ ⑵05
2005200520200520052005072007200720200720072007++++
三、错位相减法： 根据算式的特点，将原式扩大一个整数倍，用扩大后的算式同原算式相减，就可以使复杂的计算变的简单。
例如：⑴2
1
+221+321+421+521 ⑵51+5
43251515151+++
四、公式法
等差数列，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，。
等差数列的前n 项和公式为：Sn=n(a1+an)/2 注意： 以上n 均属于正整数。
计算：20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008
2007
五、图解法 计算：2
1
＋4
1＋8
1＋161＋321＋64
1
六、裂项法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，
最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)] （3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}
1111()a b b a a b
=-⨯-
1111
[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+
（1）11
a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a
+=+=+⨯⨯⨯
1、：511⨯＋951⨯＋1391⨯＋……＋33291⨯＋37
331⨯
2、：21－3
4－154－354－634－994－1434－1954－255
4
3、：2
1
＋6
5＋1211＋2019＋3029＋……＋97029701＋99009899 4、：1＋43211
3211211+++++++++……+100......3211++++
5、
+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯5
43143213211…＋10099981⨯⨯
七、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分
化简的部分结合在一起简算。
20041+20042－20043－20044＋20045＋20046－20047－20048＋20049
＋200410－……－20041999－20042000＋20042001＋2004
2002
八、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。
（1+413121
++）×（51413121+++）－（1＋51413121+++）×（4
13121++） 练习： 1、128
1
6413211618141211------- 2、42
13012011216121+++++ 3、2009
20081
200820071......199119901199019891198919881⨯+⨯++⨯+⨯+⨯
4、39
371
37351......191711715115131⨯+⨯++⨯+⨯+⨯
5、2+42
1
13301112017121561
3++++
6、56
5542413029201912116521++++++ 7、399
400323324255256195196143144991006364353615163
4+++++++++ 8、110
2190197217561542133011209127651-+-+-+-+- 9、
20021+20022+20023+20024－20025－20026－20027－20028＋20029
＋200210＋…＋20021995＋20021996－20021997－20021998－20021999－20022000＋20022001＋2002
2002
10、(1+51413121+++)×（6151413121++++）－(1+6
151413121++++)×(5
1413121+++)
.(7×1-3×1)+(7×3-3×2)+ (7×5-3×3)+……+(7×49-3×25)
131×17+51×123；。