高三数学精准培优专题练习18：离心率
高考数学专题十八离心率精准培优专练理
培长处十八离心率1．离心率的值22例 1：设 F 1 ， F 2 分别是椭圆x y的左、右焦点，点P 在椭圆 C 上，线段C :a 2b 21 a b 0PF 1 的中点在 y 轴上，若PF 1 F 230 ，则椭圆的离心率为（）A ．3B ． 3C ．1D ．13636【答案】 A【分析】 此题存在焦点三角形△PF 1F 2 ，由线段 PF 1 的中点在 y 轴上， O 为 F 1F 2 中点可得PF 2∥y 轴，进而 PF 2F 1 F 2 ，又因为 PF 1F 2 30 ，则直角三角形 △PF 1F 2 中，PF 1 : PF 2 : F 1 F 2 2:1: 3 ，且 2a PF 1PF 2 ， 2cF 1F 2 ，因此ec 2c F 1F 23，应选 A ．a 2aPF 1 PF 232．离心率的取值范围例 2：已知 F 是双曲线x2 2ya 0,b 0 的左焦点，E 是该双曲线的右极点，过点Fa 2b 21且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若 △ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围为（）A ． 1,B ． 1,2C ． 1,1 2D ． 2,12【答案】 B【分析】 从图中可察看到若 △ABE 为锐角三角形， 只要要AEB 为锐角． 由对称性可得只要0,π即可．且 AF ，FE 均可用 a ，b ，c 表示， AF 是通径的一半， 得： AF2AEFb ，FE a c ，AF b 2 c 2 a 2 c a ，即 e1,2 ，应选 B ．因此 tan AEFa a c1c 11 e 2FEa aa对点增分集训一、单项选择题1．若双曲线 C :x 2 y 20,b 0的一条渐近线经过点 2, 1 ，则该双曲线 C 的离心率22 1 aab为（ ）A ． 10B ． 5C ．13 D ．522【答案】 D【分析】 Q 双曲线的渐近线过点2, 1 ，代入 ybx ，可得：12b ，aa即b1 ，225，应选 D ．ec 1ba2a 2a 222．倾斜角为 πx 2 y 2 1 a b0 右焦点 F ，与椭圆交于 A 、 B 两点，且的直线经过椭圆 224a buuur uuurAF 2 FB ，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．3 D ．3 3232【答案】 Axc2 t【分析】 设直线的参数方程为2 ，代入椭圆方程并化简得2yt21 212224 ，2abt2b ct b 02因此 t 1t 2 2 2b 2 c ， t 1 t 22b 4uuuruuur2t 2 ，代入上述韦达定理，a 2b 2 22 ，因为 AF2 FB ，即 t 1a b22 ， c 2．应选 A ．化简得 8c 2 a 2b 2 ，即c2a 9a33．《九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著， 第九章“勾股”， 叙述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设F1、 F2分别是双曲线2y 2x2 1 a 0,b0 ，的左、右焦点，P是该双曲线右支上的一点，若PF1， PF2分别2ba是 Rt△F1 PF2的“勾”“股”，且PF1 PF2 4ab ，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C． 2D．5【答案】 D【分析】由双曲线的定义得PF1 PF22a ，因此PF1PF224a 2，222 PF1 PF24a 2，由题意得PF1PF222F1F22即 PF1PF2，因此 PF1PF24c2，又 PF1PF24ab ，因此 4c28ab4a2，解得 b2a ，进而离心率 e c 5 ，应选 D．a22x y1 a0,b0的一个焦点 F 与抛物线C2: y2 2 px p 04．已知双曲线 C1 : 22的焦点a b同样，它们交于A，B 两点，且直线AB 过点 F ，则双曲线 C1的离心率为（）A．2B．3C． 2 1D． 2【答案】 C【分析】设双曲线 C1的左焦点坐标为 F 'c,0，由题意可得：F c,0， c p ，2则 A p, p ， B p ,p ，即 A c,2c， B c,2c ，22又： AF'AF2a ， AF ' F ' F 222222c ，AF2c2c据此有： 22c2c2a，即 2 1 c a ，则双曲线的离心率：c12 1 ．此题选择 C 选项．e21a225．已知点 P x0 , y0 x0ax y0 上，若点M为椭圆 C 的右极点，在椭圆 C : a2 b 2 1 a b且 PO PM （ O 为坐标原点），则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是（）3B ． 0,1C ．2D ． 0,2 A ． 0,,1232【答案】 C【分析】 由题意 POPM ，因此点 P 在以 OM 为直径的圆上，圆心为a,0 ，半径为 a，22因此圆的方程2y2为： xaa ，224b 2 2 20,a 上有解，与椭圆方程联立得：12 x ax b 0 ，此方程在区间a因为 a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，因此对称轴要介于a与 a 之间，2因此aaa ，联合 abc ，解得121 ，2a2222 b 22 2c 21a 2依据离心率公式可得21 ．应选 C ．e2226．已知椭圆x2y 2 1 a b 0 ，点 A ， B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得abAPB 120 ，则该椭圆的离心率的最小值为（）A ．2 B ． 3C ．6D ．32234【答案】 C【分析】 设 M 为椭圆短轴一端点，则由题意得AMB APB120 ，即 AMO60 ，因为 tanOMAa a tan603 ， a222， 2a 23c 222 b，因此3b ，a 3 a c，e，b3e6，应选 C ．3x 227．已知双曲线y1的左，右焦点分别为F 1， F 2，点P 在双曲线的右支上，且a 2b 2PF 1 4 PF 2 ，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ． 2D ．7333【答案】 B【分析】 由双曲线的定义知 PF 1 PF 2 2a①；又 PF 1 4 PF 2 ，②联立①②解得 PF 18 a ， PF 2 2 a ，3364 a 2 4 a 24c 29在 △PF 1F 2 中，由余弦定理，得 cos F 1PF 29 917 2，828 e2 a a833要求 e 的最大值，即求 cos F 1 PF 2 的最小值，当 cos F 1 PF 21 时，解得 e5，即 e 的最大值为5，应选 B ．33解法二：由双曲线的定义知 PF 1 PF 2 2a ①，又 PF 1 4 PF 2 ，②，联立①②解得PF 18a ， PF 22a ，因为点 P 在右支因此 PF 2c a ，即 2a ca 故 5a c ，即 e 的3333最大值为 5，应选 B ．3228．已知椭圆x2y2 1 ab0 的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，点 P 在椭圆上， O 为坐标ab原点，若 OP12）F 1 F 2 ，且 PF 1 PF 2a ，则该椭圆的离心率为（2A ．3B ． 3C ．1D ．2 4222【答案】 D【分析】 由椭圆的定义可得， PF 1 PF 2 2a ，又 PF 1 PF 2a 2 ，可得 PF 1PF 2a ，即 P 为椭圆的短轴的端点，OPb ，且 OP1 c ，即有 c ba 2c22c ， ec 2 F 1F 2，即为 aa．应选 D ．22 229．若直线 y2 x 与双曲线x2y 21 ab0 有公共点， 则双曲线的离心率的取值范围为ab（ ）A ．1,5B ．1,5C ．5,D ．5,22bx ，【分析】 双曲线xy 1 ab 0 的渐近线方程为 ya 2b 2abcb2由双曲线与直线 y2 x 有交点，则有 2 ，即有 e 1+ 1 45 ，aaa则双曲线的离心率的取值范围为 5,，应选 D ．10．我们把焦点同样且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“有关曲线”．已知 F 1，F 2是一对有关曲线的焦点，e 1 ， e 2 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点， F 1 PF 2 60 ，则双曲线的离心率 e 2（ ）A ． 2B ． 2C ． 3D ． 3【答案】 C【分析】 设 F 1 c,0 ， F 2 c,0 ，椭圆的长半轴长为 a ，双曲线的实半轴长为 m ，可得 PF 1PF 2 2a ， PF 1 PF 2 2m ，可得 PF 1 a m ， PF 2 a m ，由余弦定理可得 F 1 F 2 2PF 1 2PF 2 22PF 1 PF 2 cos60 ，即有 4c 2a m2a m23m 2 ，a m a m a 2由离心率公式可得 13 4 ， e 1 e 2 423 0 ，解得 e 23 ，应选 C ．e2e21，即有 e 24e 21 211．又到了大家最喜（ tao ）爱（ yan ）的圆锥曲线了．已知直线 l : kxy 2k 1 0 与椭圆x 2y 21 a b 0 交于 A 、B 两点，与圆 C2 : x22y 21交于 C 、D 两点．若C 1: 221abuuur uuur存在 k 2, 1 ，使得 AC DB ，则椭圆 C 1 的离心率的取值范围是（）A ． 0,1B ． 1,1C ． 0,2 D ．2,12222【答案】 C【分析】 直线 l : kx y 2k 1 0 ，即 k x 2y 1 0 ，Q 直线 l 恒过定点 2,1 ， 直线 l 过圆 C 2 的圆心，uuur uuurC 2 B ， C 2 的圆心为 A 、 B 两点中点，Q AC DB ， AC 2x 1 2 y 121 ， 设 A x 1 , y 1 ， B x2 , y 2 ， a 2 b 2x 2 2 y 2 21a2b2上下相减可得：x 1x 2 x 1 x 2 y 1 y 2 y 1y2，a 2b 2化简可得x 1 x 2b 2 y 1 y 2k ， 2b 2 k ，y 12x 1x 2a 2y 2 a22b 2 k 1 ,1 ， e b0, 2 ，应选 C ． a22a 222212．已知点 P 为双曲线xy 1 ab 0 右支上一点，点F 1 ， F 2 分别为双曲线的左右焦a 2b 2点，点 I 是 △PF 1 F 2 的心里（三角形内切圆的圆心） ，若恒有 S △ IPF 1S △ IPF 2 1S △IF 1 F 2 建立，则3双曲线的离心率取值范围是（）A ． 1,2B ． 1,2C ． 0,3D ． 1,3【答案】 D【分析】设 △PF 1F 2 的内切圆半径为 r ，由双曲线的定义得 PF 1PF 2 2a ， F 1F 22c ，S △ PF 1 PF 1 r ，S △ PF1PF 2r ， S △PF F1222c r cr ，1221 2由题意得 1 PF 1 r1 PF2 r 1 cr ，故 c3 PF 1 PF 2 3a ，2 23 2故 ec3 ，又 e 1 ，因此，双曲线的离心率取值范围是1,3 ，应选 D ．a二、填空题2 213．已知抛物线 y 2 2 px p 0 与双曲线xyF ，点A 是22 1 a 0, b 0 有同样的焦点a b两曲线的一个交点，若直线 AF 的斜率为 3 ，则双曲线的离心率为 ______．【答案】7 23【分析】 如下图，设双曲线的此外一个焦点为 F 1 ，因为 AF 的斜率为 3 ，因此BAF60 ，且 AFAB ，因此 △ABF 是等边三角形，因此F 1 BF 30 ，因此 BF 12 3c ， BF4c ，216c 2 4c 2 2 4c 2c cos120 28 ，因此 AF 1因此 AF 1 2 7 c ，由双曲线的定义可知2a 2 7c 4c ，因此双曲线的离心率为7 2 ．32214．已知双曲线xy1 a0,b0 ，其左右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，若 M 是该双曲线右支a 2b 2上一点，知足 MF 13，则离心率 e 的取值范围是 __________ ．MF 2【答案】 1,2【分析】 设 M 点的横坐标为x ，∵ MF 13 ， M 在双曲线右支上 x a，依据双曲线的第MF 2二定义，22可得 3e xaa， ex2a ，e xccQ x a ， ex ea ， 2a ea ， e 2 ， Q e 1 ， 1 e 2 ，故答案为 1,2 ．2 215．已知椭圆xy0 的左、右焦点分别为F 1，F 2 ，过 F 1 的直线与椭圆交于A ，a2b 21 a bB 的两点，且 AF 2x 轴，若 P 为椭圆上异于 A ， B 的动点且 S △ PAB 4S △ PBF 1 ，则该椭圆的离心率为 _______．【答案】33【分析】 依据题意，因为 AF 2x 轴且 F 2 c,0 ，假定 A 在第一象限，则 Ac,b 2，a过B 作 BC x 轴于 C ，则易知 △AF 1F 2 ～△ 1BFC ，由 △PAB△得 AF3 BF，因此 AF2 3 BC，F F3 CF，S 4 S PBF 1111 21因此 B5 c, b 2 ，代入椭圆方程得 25c 2 b 21 ，即 25c2 b 2 9a 2 ，3 3a 9a 2 9a 2又 b 2a 2 c 2 ，因此 3c 2a 2 ，因此椭圆离心率为 ec3 ．a3故答案为3 ．3x 2 216．在平面直角坐标系 xOy 中，记椭圆y 1 ab 0 的左右焦点分别为F 1，F 2，若a22b该椭圆上恰巧有 6 个不一样的点 P ，使得 △F 1F 2 P 为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范 围是 ____________ ．【答案】1 1 1 3 , U ,122【分析】 椭圆上恰巧有 6 个不一样的点 P ，使得 △F 1 F 2 P 为等腰三角形， 6 个不一样的点有两个为椭圆短轴的两个端点，此外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设 P 在第一象限， PF 1 PF 1 ，当 PF 1 F 1 F 2 2c 时， PF 2 2a PF 1 2a 2c ，即 2a 2a 2c ，解得 e1 ，2又因为 e 1 ，因此1e 1 ，2当 PF 2 F 1 F 2 2c 时， PF 1 2a PF 2 2a 2c ，即 2a 2c 2c 且 2ca c ，解得： 1e1 ，32综上1e 1 或1e1 ．2 32三、解答题x2 217．已知双曲线y1 a 0,b 0 的的离心率为3 ，则C :2b 2a（1）求双曲线 C 的渐进线方程．（2）当 a 1 时，已知直线 xy m0 与双曲线 C 交于不一样的两点 A ， B ，且线段 AB 的中点在圆 x 2y 25 上，求 m 的值．【答案】（ 1） y 2x ；（ 2） m1 ．【分析】（ 1）由题意，得 ec 3 ，c 2 3a 2 ，a2∴ b2c2a22a 2 ，即b22 ，a∴所求双曲线 C 的渐进线方程yb x 2x ．a2（2）由（ 1）适当 a1 时，双曲线2yC 的方程为 x1 ．2设 A ， B 两点的坐标分别为x 1 , y 1 ， x 2 , y 2 ，线段 AB 的中点为 M x 0 , y 0 ，由x2y 2 12 22 ，得 x 2 0 （鉴别式0 ），2mx mx ym 0∴x 0x 1 x 2m ， y 0x 0 m 2m ，2∵点 M x 0 , y 0 在圆 x 2 y 25 上，∴ m 225 ，∴ m 1 ．2mx 2 y 2218．已知椭圆2 1 a b 0 的左焦点为 F C : 2b 1,0 ，离心率 e ．a2（ 1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2）已知直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点．uuur uuur uuur uuur①若直线 l 经过椭圆 C 的左焦点 F ，交 y 轴于点 P ，且知足 PA AF ，PBBF ．求证：为定值；②若 OAOB ，求 △OAB 面积的取值范围．2 32 ．【答案】（ 1）xy21 ；（ 2）①看法析，② S △OAB222【分析】（ 1）由题设知， c2 ， c 1，因此 a22 ， c 1 ， b 2 1 ，a 22因此椭圆 C 的标准方程为x2 1 ．2y（2）①由题设知直线 l 斜率存在，设直线l 方程为 y kx 1，则P0,k ．2设 A x 1 , y 1 ， B x 2 , y 2 ，直线 l 代入椭圆 xy 2 1 得 1 2k 2 x 2 4k 2 x 2k 2 2 0 ，222uuur uuur uuur uuur因此 x 1x 24k 2 ， x 1 x 2 2k 22，由 PA AF ，PBBF 知1 2k1 2kx 1 ， x 2 ，x 21 x 11x 1 x 22x 1 x 24k 2 4k 2 41 2k 21 2k 24 ．1 x 1x 2x 1 x 24k22 k 2 212k 212k 21②当直线 OA ， OB 分别与坐标轴重合时，易知S△ OAB2 ．2当直线 OA ， OB 斜率存在且不为0 时，设 OA : ykx ，OB : y 1，xk设 A x 1 , y 1 ， B x 2 , y 2 ，直线 ykx 代入椭圆 C 获得 x 22k 2 x 2 2 0 ，22因此 x1212， y122k，同理 x222k， y1222k212k 212k212k2S△ OAB 11k 21k 22OA OB1 2k2 2 k 22k45k 2，22令 t 1k2 1 ，则S△OABt 2t2112，2 t 1222t2t 1 1 195 t 121 1t24t2t2因为10,1，因此 29119，故 3S△ OAB2，综上3S△ OAB 2 ．t4t242222。
高三离心率提速练习题
高三离心率提速练习题一、填空题1. 圆的离心率是______。
2. 椭圆的离心率是______。
3. 双曲线的离心率是______。
二、选择题1. 下列哪个图形的离心率等于0？a. 圆b. 椭圆c. 双曲线2. 当椭圆的离心率为1时，该椭圆是一条：a. 圆b. 抛物线c. 双曲线3. 曲线的离心率越大，表示：a. 曲线越接近圆形b. 曲线越扁平c. 曲线越陡峭三、解答题1. 一椭圆的焦点分别是(-4,0)和(4,0)，离心率为2/3。
求此椭圆的方程。
2. 已知一双曲线的离心率为3/2，焦点到直线的距离为2。
求此双曲线的方程。
3. 画出离心率为1/2的椭圆和离心率为2的双曲线。
四、应用题某天，小明骑自行车以恒定的速度沿椭圆形跑道绕行。
已知此椭圆的焦点为A、B，小明起始点C与焦点A、B的距离分别为7m和9m。
小明从C点出发后，经过40秒后又回到C点。
试问小明此次跑道的周长是多少米？五、综合题在太阳系中，行星围绕太阳运动形成的轨道大致是一个椭圆。
已知地球绕太阳运行的平均速度为30km/s，并且地球和太阳的距离（称为半长轴）为1.496×10^8km，离心率为0.0167。
假设地球绕太阳的轨道是一个正椭圆，请回答以下问题：1. 地球离太阳最远时与最近时的距离分别为多少？2. 地球离太阳的距离是否处于任何一个固定的数值范围内？3. 地球绕太阳一周需要多长时间？4. 地球从最近点运动到最远点需要多长时间？5. 地球到最近点和最远点的距离差是多少？六、总结与归纳本练习题以高三离心率提速为题，涵盖了填空题、选择题、解答题、应用题和综合题等多个类型的题目。
通过解答这些题目，我们可以深入理解离心率概念，并应用到实际问题中。
此练习题旨在帮助学生巩固和提高对离心率知识的掌握程度，并培养解决实际问题的能力。
2019届高考数学专题十八离心率精准培优专练理 - 副本
培优点十八 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A B C ．13 D ．162．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C ．(1,1+D ．(2,1 1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．3 B ．2 C D 3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用， 还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F 、2F 分别是双曲线 ()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A B C 1 D ．25．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭6．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ）A B C D ．347．已知双曲线22221x y a b-=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =， 则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43 B ．53C ．2D ．73 8．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点， 若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．34BC ．12D 9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b-=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．(C ．)+∞D ．)+∞ 10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ）A B ．2 C D ．311．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．2⎫⎪⎪⎣⎭12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF ______．14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点， 满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______．16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>> （1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，离心率2e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值； ②若OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．。
2021高三数学(理)精准培优专项训练《18离心率》教师版
二、双曲线的离心率
例 2：已知双曲线 C : x2 ay2 3a a 0 ，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． a
B． 3
C． a 1 a
D． 2 3 a 0 ，得双曲线标准方程为 x2 y2 1 ， a 0 ，
3a 3
c2 3a 3 ，e 3a 3 a 1 ，故本题正确选项 C．
C． 8
D． 2 2
3
【答案】C
【解析】∵椭圆方程为 x2 y2 1 ，∴ a 2 ， 4
由椭圆定义知 △ABF2 的周长为 AB AF2 BF2 AF1 BF1 AF2 BF2 4a 8 ．
故选 C．
7．已知双曲线
y2 m2
x2 n2
1
(m 0, n 0) 的渐线方程为 y 2 x ，则此双曲线的离心率为（ 3
5．已知双曲线 x2 y2 a2 b2
1a 0,b 0 的离心率为
5 ，点 4,1 在双曲线上，则该双曲线的方程
2
为（ ）
A． x2 y2 1 4
B． x2 y2 1 20 5
C． x2 y2 1 12 3
D． x2 y2 1 8
【答案】C
【解析】因为离心率为 5 ，所以 c 5 ①；
2
2
故选 C．
10．经过双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0，b
0) 的右焦点，倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交
点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．2,
B． 1, 2
C． 1, 2
D． 2,
【答案】A
【解析】已知双曲线
x2 a2
y2 b2
3．已知椭圆
x2 a2
第十八篇离心率01—2020年高考数学选填题专项测试(文理通用)(解析版)
2020高考数学选填题专项测试01（离心率）（文理通用）第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2019·河北安平中学高三月考）已知m 是两个数2，8的等比中项，则圆锥曲线221yx m+=的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．2D 【答案】B【解析】由题意得216m =，解得4m =或4m =-．当4m =时，曲线方程为2214y x +=，故离心率为2c e a ====；当4m =-时，曲线方程为2214y x -=，故离心率为c e a ====B ． 2．（2020·梅河口市第五中学高三）已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为A B C ．2D 【答案】D 【解析】【分析】通过双曲线和圆的对称性，将ABF ∆的面积转化为FBF ∆'的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a 与b 的关系，从而推导出离心率.【详解】由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点AB Q 为圆的直径 90AFB ∴∠=o ，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形12ABFAFBF FBF S S S ''∆∆∴==，又2224tan 45FBF b S b a ∆'===o ，可得：225c a =，25e ∴=e ⇒=。
【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于,a c 的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.3．（2019·河北安平中学高三月考）设双曲线C ：22221(0)x y a b a b-=>>的两条渐近线的夹角为α，且cos α=13，则C 的离心率为（ ） ABCD ．2【答案】B 【解析】【分析】由0a b ＞＞，渐近线b y x a =的斜率小于1，从而判断渐近线的倾斜角为α，得到ba 的值，再根据222c ab =+，得到离心率． 【详解】∵0a b ＞＞，∴渐近线b y x a =的斜率小于1，因为两条渐近线的夹角为α，cos α=13， 222211cos ,sin ,tan 232322ααα===，∴2212b a =，所以22212c a a -=，∴232e =，∴e =． 【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题的关键是由渐近线的夹角α，判断渐近线的斜率，考查转化思想以及计算能力．4．（2020·山西高二月考）已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若212||PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．(]1,3B ．[)3,+∞ C．⎤⎦D．(【答案】A 【解析】【分析】首先利用双曲线的定义求出关系式，进一步利用均值不等式建立关系式，212||PF PF =2(2)a m m +=24a m+4a+m≥8a ，最后求出结果．【详解】设|PF 2|=m ，（m≥c ﹣a ），则：根据双曲线的定义：|PF 1|=2a+m ，所以212||PF PF =2(2)a m m +=24a m+4a+m≥8a 当且仅当m=2a 时成立．因为m≥c ﹣a ，所以c ﹣a≤2a ，即解得：1＜e≤3，故选A ． 【点睛】（1）本题考查的知识要点：双曲线的定义的应用．双曲线的离心率，均值不等式的应用，属于中等题型．（2）求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：①利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系；②直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式；③利用函数的思想分析解答.5．（2019·吉林长春外国语学校高二期中）已知12,A A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12,A A 的点P 恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．49B ．23C ．59D【答案】D【解析】因为12,A A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12,A A 的点P 恒满足122249PA PA b ck k e a a⋅=-=-∴=既可以解得为D6．（2020·山西大同一中高三月考）若实数数列：1，a ，81成等比数列，则圆锥曲线221yx a+=的离心率是（ ）ABCD ．13或10 【答案】A 【解析】【分析】由等比数列的性质可得a 的值，分类讨论可求曲线的离心率．【详解】由1，a ，81成等比数列有：281a =，所以9a =±，当9a =时，方程为2219yx +=，表示焦点在y 轴的椭圆，其中13a =，1c =，故离心率11c e a ==；当9a =-时，方程为2219y x -=，表示焦点在x 轴的双曲线，其中21a =，2c ==，故离心率22c e a ==，故选择A . 【点睛】本题考查知识点有等比数列的性质和圆锥曲线的离心率，属于综合题型，根据题意得出未知量代入圆锥曲线方程即可求离心率，难度不大，注重基础的应用，属于简单题.7．（2020·山东高三期末）已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，点M 在C 的右支上，坐标原点为O ，若||2FM OF =，且120OFM ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．32B．12C ．2 D．12【答案】D 【解析】【分析】设双曲线的左焦点为1,F运用余弦定理可得1||MF =，再由双曲线的定义可得1||||2MF MF a -=，即为22c a -=，运用离心率公式计算即可得到所求值．【详解】设双曲线的左焦点为1,F 由题意可得1||||2MF F F c ==，1120MFF ∠=︒，即有2221111||||||2||||cos MF M F M F F F F F F F M =+-∠g222214424()122c c c c =+--=g g，即有1||MF =，由双曲线的定义可得1||||2MF MF a -=，即为22c a -=，即有c =，可得c e a ==．故选D ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用余弦定理和双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．8．（2020·河南南阳中学高三月考）己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+->>的左、右焦点分别为12,F F ，点()11,P x y ，()1,l Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若2||2PQ OF =，11||3QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A．⎛ ⎝⎦B．2]C．1]2D．1]【答案】C 【解析】【分析】设12,PF n PF m ==，计算13m n <，得到23m n n m <+…，计算得到答案. 【详解】设12,PF n PF m ==，由110,0x y >>知m n <，由()()1111,,,P x y Q x y --在椭圆C 上，2||2PQ OF =可知四边形12PFQF 为矩形，12QF QF =； 由113QF PF …13m n<，由椭圆的定义可得2222,4m n a m n c +=+=，平方相减可得()222mn a c =-，所以()2222242c m n m n mn n m a c +==+-，而23m n n m <+…，即()222422c a c <-…由()222422c a c <-可得222,2c a c e a <=>，由()222432c a c -…，可得22241)c a =-=…，所以1c e a =…1e <….故选：C .【点睛】本题考查椭圆的方程与性质，考查运算求解能力.9．（2020·河北衡水中学高三月考）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，ABP ∆，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C 【解析】【详解】由题意知等腰ABP ∆中，||2AB AP a ==，设ABP APB θ∠=∠=，则12F AP θ∠=，其中θ必为锐角．∵ABP ∆，∴2sin a θ=，∴sin θ=，cos θ=∴243sin 22,cos 22155θθ===⨯-=．设点P 的坐标为(,)x y ，则118(cos 2),sin 255a a x a AP y AP θθ=-+=-==，故点P 的坐标为118(,)55a a-．由点P 在双曲线上得2222118()()551a aa b -=，整理得2223b a =，∴3c e a ===．选C ． 点睛：本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中,a c 之间的数量关系，其中通过解三角形得到点P 的坐标是解题的突破口．在得到点P 的坐标后根据点在椭圆上可得,a b 间的关系，最后根据离心率的定义可得所求．10．（2020·江西临川一中高三月考）已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A 1B 1C ．2D 【答案】B 【解析】【分析】求得直线PQ 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得,P Q 两点坐标的关系，根据FQ FP ⊥列方程，化简后求得离心率.【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ 的方程为y =，代入双曲线方程并化简得222222222223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a -+=⋅=- 12y y ⋅= 221222333a b x x b a-⋅=-，设焦点坐标为(),0F c ，由于以PQ 为直径的圆经过点F ，故0FP FQ ⋅=u u u v u u u v，即()()1122,,0x c y x c y -⋅-=，即21240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a 得42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故1e ===，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.11．（2020·山西高三月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ）A B C ．32D 1【答案】B【解析】【分析】由已知可求出焦点坐标为(1,0)(-1,0)，，可求得幂函数为()f x =方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率．【详解】依题意可得，抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，F 关于原点的对称点(1,0)-；24α=，12α=，所以12()f x x ==，()f x '=，设0(Q x=01x =，∴ ()1,1Q ，可得22111a b -=，又1c =，222c a b =+，可解得12a =，故双曲线的离心率是12ce a ===. 故选B ．【点睛】本题考查双曲线的性质，已知抛物线方程求焦点坐标，求幂函数解析式，直线的斜率公式及导数的几何意义，考查了学生分析问题和解决问题的能力，难度一般.12．（2020·黑龙江实验中学高三期末）设椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足0FA FB ⋅=u u u v u u u v，|FB |≤|F A |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A．2⎣⎦ B．⎫⎪⎪⎣⎭C．1⎤⎥⎣⎦D．)1,1【答案】A 【解析】【分析】设椭圆左焦点为F '，由椭圆的对称性可知且0FA FB ⋅=u u u r u u u r，可得四边形AFBF ′为矩形，设|AF ′|=n ，|AF |=m ，根据椭圆的定义以及题意可知mn =2b 2 ，从而可求得22cb的范围，进而可求得离心率.【详解】设椭圆左焦点为F '，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF '为平行四边形，又0FA FB ⋅=u u u r u u u r，即F A⊥FB ，故平行四边形AFBF ′为矩形，所以|AB |=|FF ′|=2c .设|AF ′|=n ，|AF |=m ，则在Rt △F ′AF 中，m ＋n =2a ①，m 2＋n 2=4c 2 ②，联立①②得mn =2b 2 ③.②÷③得222m n c n m b +=，令m n =t ，得t ＋2212ct b=.又由|FB |≤|F A |≤2|FB |得m n =t ∈[1，2]，所以t ＋2212c t b =∈52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故椭圆C 的离心率的取值范围是23⎣⎦.【点睛】本题考查了椭圆的离心率的取值范围的求法，考查了椭圆焦点三角形问题，需掌握椭圆的定义，属于中档题.第II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市2019年高考数学(理科)专题十八离心率精准培优专练(含答案)
培优点十八 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ） ABC ．13D ．16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴， 从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=︒，则直角三角形12PF F △中，1212::2PF PF F F = 且122a PF PF =+，122c F F =，所以121222F F c c e a a PF PF ∴====+A ．2．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C．(1,1D．(2,1【答案】B【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a =，FE ac =+，所以()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++，即()1,2e ∈，故选B ．对点增分集训一、单选题1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】双曲线的渐近线过点()2,1-，∴代入b y x a =-，可得：21ba -=-，即12b a =，e ∴==，故选D ． 2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ） A．3B．2CD【答案】A【解析】设直线的参数方程为x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩，代入椭圆方程并化简得2222411022a b t ct b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以12t t +=，412222b t t a b ⋅=-+，由于2AF FB =，即122t t =-，代入上述韦达定理， 化简得2228c a b =+，即2229c a =，c a =A ．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用， 还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】D【解析】由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以()22124PF PF a -=，即222121224PF PF PF PF a +-⋅=，由题意得12PF PF ⊥，所以222212124PF PF F F c +==，又124PF PF ab ⋅=，所以22484c ab a -=，解得2b a =，从而离心率ce a==D ． 4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A B C 1D ．2【答案】C【解析】设双曲线1C 的左焦点坐标为()',0F c -，由题意可得：(),0F c ，2pc =， 则,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即(),2A c c ，(),2B c c -，又：'2AF AF a -=，'AF ===，据此有：22c a -=，即)1c a =，则双曲线的离心率：1c e a ==．本题选择C 选项． 5．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】由题意PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2a ，所以圆的方程为：22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与椭圆方程联立得：222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，此方程在区间()0,a 上有解，由于a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2a与a 之间，所以22221a a a b a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合222a b c =+，解得221122a c <<，1e <<．故选C ． 6．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ） ABCD ．34【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒， 因为tan a OMA b ∠=，所以tan60a b ≥︒=，a ∴，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，223e ≥，e ≥选C ．7．已知双曲线22221x y a b -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①；又124PF PF =， ②联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值， 当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ． 解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF =， ②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．8．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．34BC ．12D【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，又212PF PF a ⋅=，可得12PF PF a ==，即P 为椭圆的短轴的端点，OP b =，且1212OP F F c ==，即有c b ==a =，c e a =．故选D ． 9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b -=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A．( B．(C．)+∞D．)+∞【答案】D【解析】双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2b a >，即有c e a =>=，则双曲线的离心率的取值范围为)+∞，故选D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ） AB ．2 CD ．3【答案】C【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ， 可得122PF PF a +=，122PF PF m =-，可得1PF a m =+，2PF a m =-， 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒， 即有()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+，由离心率公式可得2212134e e +=，121e e =，即有4222430e e -+=，解得2e =C ． 11．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即()210k x y --+=， 直线l 恒过定点()2,1，∴直线l 过圆2C 的圆心，AC DB =，22AC C B ∴=，2C ∴的圆心为A 、B 两点中点， 设()11,A x y ，()22,B x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩， 上下相减可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，化简可得2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-，222b k a -⋅=， 221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，e ⎛= ⎝⎦，故选C ． 12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3【答案】D 【解析】设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =，1112PF S PF r =⋅△，2212PF S PF r =⋅△，12122PF F S c r cr =⋅⋅=△，由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥，故()12332c PF PF a ≤-=， 故3ce a=≤，又1e >，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D ．二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF ______．【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F ，由于AF 60BAF ∠=︒，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形，所以130F BF ∠=︒，所以1BF =，4BF c =， 所以2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=，所以1AF =，由双曲线的定义可知24a c =-． 14．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点，满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】设M 点的横坐标为x ，∵123MF MF =，M 在双曲线右支上()x a ≥，根据双曲线的第二定义，可得223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ex a ∴=，x a ≥，ex ea ∴≥，2a ea ∴≥，2e ∴≤，1e >，12e ∴<≤，故答案为(]1,2．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______．【解析】根据题意，因为2AF x ⊥轴且()2,0F c ，假设A 在第一象限，则2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知121AF F BFC △～△， 由14PAB PBF S S =△△得113AF BF =，所以23AF BC =，1213F F CF =， 所以25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222225199c b a a +=，即222259c b a +=，又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为c e a ==． 16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-， 即222a a c >-，解得12e >， 又因为1e <，所以112e <<， 当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-，即222a c c ->且2c a c >-，解得：1132e <<，综上112e <<或1132e <<．三、解答题17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>（1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．【答案】（1）y =；（2）1m =±． 【解析】（1）由题意，得ce a==223c a ∴=， ∴22222b c a a =-=，即222b a=，∴所求双曲线C的渐进线方程by x a=±=．（2）由（1）得当1a =时，双曲线C 的方程为2212y x -=．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ， 由22120y x x y m -⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得22220x mx m ---=（判别式0Δ>）， ∴1202x x x m +==，002y x m m =+=， ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，∴()2225m m +=，∴1m =±．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，离心率e ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值；②若OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）①见解析，②32OAB S ≤<△．【解析】（1）由题设知，c a =1c =，所以22a =，1c =，21b =， 所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）①由题设知直线l 斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，则()0,P k ．设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 代入椭圆2212x y +=得()2222124220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，由PA AF λ=，PB BF μ=知111x x λ=-+，221xx μ=-+，2222121222121222444212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-=--++++-+++． ②当直线OA ，OB分别与坐标轴重合时，易知OAB S △． 当直线OA ，OB 斜率存在且不为0时，设:OA y kx =，1:OB y x k =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线y kx =代入椭圆C 得到222220x k x +-=，所以212212x k =+，2212212k y k =+，同理2222212k x k =+，212212y k =+212OAB S OA OB =⨯==△， 令211t k =+>，则OABS ==△因为()10,1t ∈，所以291192424t ⎛⎫<--≤ ⎪⎝⎭，故32OAB S ≤<△，综上32OAB S ≤<△．。
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题(含答案解析)
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题（含答案解析）一、单选题1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线C ：2221x y a −=()0a >的右焦点为F ，点()0,A a −，若双曲线的左支上存在一点P ，使得7PA PF +=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．2⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．)+∞【答案】C 【解析】设双曲线左焦点为1F ，因为点P 在双曲线左支上，所以有12PF PF a −=， 即12PF PF a =+.由已知得，存在点P ，使得7PA PF +=，即172PA PF a +=−，显然720a −>，所以72a <.又11PA PF AF +≥=P 位于图中1P 位置时，等号成立，72a −，又221c a =+，72a −，整理可得，214240a a −+≥，解得2a ≤或12a ≥（舍去）， 所以02a <≤，则204a <≤，则2114a ≥，所以2222211514c a a a a +==+≥，所以c e a ===. 故选：C.2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【解析】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>的下焦点，不妨设()0,F c −，所以过Fy x c =−，所以),0B . 因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y ca y x b⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：a .所以离心率c e a ====.故选：C3．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，22NF =，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．12CD【答案】C【解析】依题意作图，由于12MN F F =，并且线段MN ，12F F 互相平分，∴四边形12MF NF 是矩形，其中12π2F MF ∠=，12NF MF =， 设2MF x =，则12MF a x =−，根据勾股定理，2221212MF MF F F +=，()22224a x x c −+=，整理得22220x ax b −+=，由于点M 在第一象限，x a =由22NF =，得23MN MF =，即(32a c =，整理得227690c ac a +−=，即27690e e +−=，解得37e =． 故选：C ．4．（2022春·江苏南通·高三期末）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，若直线AC 与BD 的斜率之积为14−，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B C D ．34【答案】C【解析】设内层椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由离心率相同可知，外层椭圆的方程为22221()()x y ma mb +=，如图，设切线AC 的方程为1()y k x ma =−， 则1222()()()()y k x ma bx ay ab =−⎧⎨+=⎩， 消去y 得22223224222111()20b a k x ma k x m a k a b +−+−=由Δ0=，得2212211b k a m =⋅−，设切线BD 的方程为2y k x mb =+， 联立2222()()()y k x mb bx ay ab =+⎧⎨+=⎩，消去y 得222222222222()20b b a k x ma k x m a b a b +++−=，由Δ0=得22222(1)b k m a=⋅−，422124,b k k a∴⋅=又直线AC 与BD 的斜率之积为14−，2214b a ∴=2,,a b c ∴=e ∴故选：C5．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，A ，B 分别为C 的左右顶点，222:()(0)G x y m m m +−=>e 与y 轴的一个交点为D ，直线AD ，BG 的交点为M ，且MF x ⊥轴，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】解法一：由题意可知(,0),(,0),(0,2),(0,),(,0)A a B a D m G m F c −−， 故直线AD 的方程为2020()m y m x a −−=−−，即22my x m a=+， 直线BG 的方程为00m y m x a −−=−，即my x m a=+−， 联立直线AD ，BG 的方程，解得3M ax =−.又MF x ⊥轴，所以,33ac a c −=−=，所以C 的离心13c e a ==， 故选：A.解法二：设O 为坐标原点，由题意知(,0),(,0),(0,),(,0),(0,2),//A a B a G m F c D m MF OD −−， 故OAD FAM ，所以||||||||MF AF OD OA =，即2MF a c m a−=，解得2()m a c MF a −=. 又OGB FMB ，所以||||||||MF BF OG OB =，即MF a cm a+= ， 解得()||m a c MF a +=，则()()2m a c m a c a a+−=，得3a c =，所以C 的离心率13c e a == 故选：A.6．（2022春·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若AN NM MB ==，则椭圆C 的离心率e 为（ ）A ．12 BCD【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ， ∵AN NM MB ==，∴()1,0M x −，10,2y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则112,2y B x ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，得211222x x y y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩，由22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +−+−+=， 即2121221212y y y y b x x x x a−+⋅=−−+， 其中121212y y x x −=−，且11112121113122232y yy y y x x x x x +−===−+，解得：111y x =， 故111121121111122222y y y y y y x x x x x x −+===−=−+−−， 故221122b a ⎛⎫⋅−=− ⎪⎝⎭，解得2214b a =， 故22214a c a −=，∴e =故选：C7．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 过坐标原点并交椭圆于,P Q 两点（P 在第一象限），点A 是x 轴正半轴上一点，其横坐标是点P 横坐标的2倍，直线QA 交椭圆于点B ，若直线BP 恰好是以PQ为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A ．12 BCD【答案】D【解析】依题意，设()()()()1111221,,,,,,2,0P x y Q x y B x y A x −−，直线,(),PQ QB QA BP 的斜率一定存在,分别为123,,k k k ， 直线BP 恰好是以PQ 为直径的圆的切线,则PQ PB ⊥,则131k k =−, 则()()112111101233y y k k x x x −−===−−，∴3213k k =−，∵2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减得22221212220x x y y a b −−+=， ∴2121221212y y y y b x x x x a +−⋅=−+−，即2232b k k a=−， ∴2213b a −=−，∴2213b a =，∴22222213c b e a a ==−=，∴椭圆的离心率e =， 故选:D ．8．（2022春·浙江金华·高三期末）设O 为坐标原点，12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的两个焦点，12,l l 为双曲线的两条渐近线，1F A 垂直1l 于1,A F A 的延长线交2l 于B ，若2OA OB AB +=，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的渐近线方程为：0bx ay ±=，不妨令12:0,:0l bx ay l bx ay +=−=，因为直线1F A 垂直1l ，则111F A l k k ⋅=−，故1F A ak b=，又1(,0)F c −，1OF c = 则点1(,0)F c −到直线1:0l bx ay +=的距离为1AFb =，所以OA a ===，1F A a k b=，又1(,0)F c −，可知直线1F A 的方程为：()ay x c b =+，与2l 联立方程组可得：()ay x c bb y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()b a x x c a b =+ ，解得22222a cx b a abc y b a ⎧=⎪⎪−⎨⎪=⎪−⎩，故22222,a c abc B b a b a ⎛⎫ ⎪−−⎝⎭, 由||||2||OA OB AB +=,则222||ac OB b a ==−, Rt OAB 中，由勾股定理可得:()()()()224222244222222222222224a c a b a a ca b AB OB OA a bababa −−=−=−==−−−,故2222||ba AB b a =−；又||||2||OA OB AB +=,则2222224ac ba a b a b a +=−−，即2222241c ab b a b a +=−−，因为1F A 的延长线交2l 于B ，此时B 点的纵坐标大于0，即220abcb a>−，故220b a −>，所以2222b a b a −=− ，所以2222241c ab b a b a +=−−化简得2224b a c ab −+=.则224b ab =，故2b a =，则c e a ===故选：B.9．（2022春·广东广州·高三校考期中）已知1F 、2F 为双曲线()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，P 为双曲线的渐近线上一点，满足1260F PF ∠=︒，12OP F （O 为坐标原点），则该双曲线的离心率是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题可知，()1,0F c −，()2,0F c ， 根据对称性，不妨设P 为渐近线b y x a =上一点，坐标为,b m m a ⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，因为12OP F =2c ，则222212b m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故m ，故)P，在12PF F △中，1260F PF ∠=︒，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠， 即222224))))c c c =+++−+122−，即22224424c a c b =++则22c =4422498c c a c =−， 即22485a c c =，即2285a c =，即2285c a =，所以c e a ==故选：A.10．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 交于,A B 两点.若23,2AB a AF AB =⊥，则C 的离心率为（ ）A B C ．23D ．13【答案】A【解析】令1213,2,,2aAF m AF a m BF m ==−=−则 则212BF a m =+， 又22,Rt AF AB ABF ⊥中，222196(2),245a a m a a m m ⎛⎫+=+−∴=⎪⎝⎭， 1264,55a aAF AF ∴==， 12Rt AF F 中，22223616524252525a a a c =+=，所以，离心率e =故选：A. 二、多选题11．（2022春·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知双曲线2221(0)4x y b b −=>右焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，点()4,0F −，若ABF △为锐角三角形，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线过点()2,0−B ．直线30x y −=与双曲线有两个公共点C ．双曲线的一条渐近线2b y x =D．双曲线的离心率取值范围为⎛ ⎝⎭【答案】ACD【解析】A 选项：将点()2,0−代入双曲线，得到2222014b−=，符合，所以双曲线过()2,0−点，故A 选项正确；D 选项：因为ABF △是锐角三角形，所以14AFF π∠<，则212tan tan 144b AFFc π∠=<=+，即282b c <+.因为双曲线22214x y b−=中2a =，所以22224b c a c =−=−，所以2482c c −<+，解得11c <c a <.因为1c e a =>，则1e <<，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝⎭，D 选项正确；C 选项：双曲线的一条渐近线为2b y x =，则斜率为2b ，22241444b c c −==−，又2c c a =<则221144b c =−−=4，所以2942b <<，即2b <故C 选项正确，B 选项：联立2221(0)430x y b b x y ⎧−=>⎪⎨⎪−=⎩，得()222314x x b −=，即()2224360b x b −−=，则()2260316b b ∆−=+，由C 选项得，6b <，此时Δ0<，故B 选项错误. 故选：ACD.12．（2022春·江苏常州·高三统考阶段练习）如图，椭圆1C 与椭圆2C 有公共的左顶点和左焦点，且椭圆2C 的右顶点为椭圆1C 的中心，设椭圆1C 与椭圆2C 的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e 和2e ，则以下结论中正确的是（ ）A ．2121e e =−B ．1221a c a c >C ．1221a c a c +=+D ．122122a c a c −>−【答案】ACD【解析】由题知1222112,,a a a c a c =⎧⎨−=−⎩①②，由②两边同时加21c c +得1221a c a c +=+，故C 正确； 将①代入②得21222a c a c −=−， 两边同时除以2a 得：112212211222222c c ca a c a a −=−=−=−，即2121e e =−，故A 正确； 由②得11222222c a a c a c c =−+=+>，③③式两边同乘以2a 得1222122c a a c a c >=，故B 错误；由③式得122c c −<−，故两边同加1a 得21111222a c a c c a =−<−−，故D 正确. 故选：ACD13．（2022·浙江·模拟预测）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，且AB ⊥BF ，则C 的离心率为（ ）A ．BF AFB ．22||||AB AFC ．2||AF BF AB ⋅ D【答案】ABD 【解析】由题意知，(,0)A a −，(0,)B b ，(c,0)F ，则(,)AB a b =，(,)BF c b =−， ∵ AB BF ⊥，∴0AB BF ⋅=，即：20ac b −=， ① 又∵ 222b a c =−，②∴由①②得：220c ac a +−=，即：210e e +−=， 又∵ 01e <<，∴e =，故D 项正确；∴c =，∴222222)b a c a =−=−=，∴||||BF aeAF a c=====+，故A 项正确；∴2222222||||()a AB a b e AF a c +====+，故B 项正确；∴222()||||()1||a aAF BF a c a e AB a b ⋅+==≠+，故C 项错误； 故选：ABD.14．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）如图，P是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n −=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（ ）A ．12,PF m a PF m a =+=−B ．若60θ=︒，则2221314e e += C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2b nθ=【答案】ACD【解析】依题意，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得12,PF a m PF a m =+=-，A 不正确；令12||2F F c =，由余弦定理得：22222222212122212||||||()()42cos 2||||2()()PF PF F F a m a m c a m c PF PF a m a m a m θ+−++−−+−===+−−，当60θ=︒时，22234a m c +=，即22()3()4a m c c+=，因此2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2222a m c +=，即22()()2a m c c+=，有2212112e e +=，而221201e e <<<，则有22222222121122()22e e e e e e +<+=，解得22122e e >+，C 不正确； 22222222222222222221()2()()cos ()()1()n a m c a c c m b n b n a m a c c m b n bθ−+−−−−−====−−+−++， 22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ−−=−==++，于是得22221()1tan 21tan 1()2n b n bθθ−−=++，解得22tan()2n b θ=，而tan 0,02n b θ>>，因此tan 2nbθ=，D 不正确. 故选：ACD15．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线的右支交于AB 、两点，记12AF F △的内切圆1I 的半径为112,r BF F 的内切圆2I 的半径为2r ，若212r r a =，则（ ）A ．1I 、2I 在直线x a =上B ．双曲线的离心率2e =C ．1ABF 内切圆半径最小值是32aD ．12r r +的取值范围是2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABC 【解析】对A ：过1I 分别作1AF 、2AF 、12F F 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则1122,,AD AE F D F F F E F F ===，∵122AF AF a −=，则()()112122AD DF AE EF F F F F a +−+=−=， 又∵12122F F F F F F c =+=，则11FF OF OF a c =+=+， ∴OF a =，即1I 在直线x a =上， 同理可得：2I 在直线x a =上， A 正确； 对B ：∵2212121221，A B I F I F F I F I F F ∠∠∠∠==，则1221212121222I F I F I F F I F F F I A B I ∠∠∠∠∠++==， ∴122π2I F I ∠=， 又∵1222I F F F F FI F=，则2122I F I F F F =，即2212()r r c a a =−=，∴2c a =，故离心率为2ce a==，B 正确； 对C ：∵2e =，则2,c a b =，∴()22,0F a，双曲线的渐近线方程为y =，则直线AB 的倾斜角π2π,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设AB 直线方程为2x my a =+，()()1122,,,,m A x y B x y ⎛∈ ⎝⎭，联立方程2222213x my ax y a a=+⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去x 得：()222311290m y may a −++=，∴2121222129,3131ma a y y y y m m +=−=−−，则()2121226113a m y y AB y m +−==−=−， 设1ABF 内切圆半径为r ，其周长()()()1112122242L AF BF AB AF AF BF BF AF BF AB a AB =++=−+−+++=+()2221211641313a m a a m m +=+=−−，根据1ABF 的面积可得：1212112222Lr c y y a y y =⨯⨯−=−，则122431316213a y y m r a a L m −−==≥−，C 正确； 对D ：由题意不妨设12I F F ∠α=，ππ,32θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∵2παθ+=，则πππ,243θα−⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，令tan t α⎡=∈⎣，∴12tan r FF at α==，22πtan 2a r FF t α⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，121r r a t t ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又∵1y t t=+在⎡⎣上单调递增，∴1212r r a t a t ⎡⎫⎛⎫+=+∈⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭，D 错误； 故选：ABC.16．（2022春·福建厦门·高三厦门双十中学校考期中）已知1F ，2F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ） A ．21π3PF F B ．2112MF PF =C ．ED ．E 的渐近线方程为y =【答案】BD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以21π2PF F ∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知222221PF ca b−=，所以22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 错误；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BD ．三、填空题17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线2222:1x yC a b−=上，点H 在直线x a =上，且满足122340HP HF HF ++=.若存在实数λ使得122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，则双曲线C 的离心率为_____________ 【答案】2【解析】设直线PH 交x 轴于点Q ，如图，设12PF F △的外接圆半径为R ，由122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，有12211222sin 2sin PF PF OH OP R R PF F R PF F λ⎛⎫=+⋅+ ⎪∠∠⎝⎭，故12122PF PF PH R PF PF λ⎛⎫⎪=⋅+ ⎪⎝⎭，所以直线PH 过12PF F △的内心， 设12PF F △的内切圆圆心为I ，内切圆圆I 分别切1PF 、2PF 、12F F 于点M 、N 、T ，由切线长定理可得11F M FT =，22F N F T =，PM PN =， 所以，()()1212122PF PF PM F M PN F N FT F T a −=+−+=−=， 结合图形可得()()22T T T x c c x x a +−−==，所以，T x a =， 故12PF F △的内心的横坐标为a ，因为点H 在直线x a =上，所以点H 为12PF F △的内心.由122340HP HF HF ++=可得()()122340PH PF PH PF PH −+−+−=， 所以，12934PH PF PF =+，记12934777PH PF PF =+，设123477PG PF PF =+，则()()214377PG PF PF PG −=−，所以，2134F G GF =， 所以，点G 在直线12F F 上，又因为12PH F F Q =，故点G 与点Q 重合，且有12934777PH PF PF PQ =+=，由角平分线的性质可知点Q 到直线1PF 、2PF 的距离相等， 故12112243PF Q PF QS PF FQ S PF F Q===△△，同理可得1212PH PF PF HQ FQ F Q ==，令23PF m =，则14PF m =，且1212121272PH PF PF PF PF HQFQ F QFQ F Q +====+， 故12122FQ F Q F F m +==. 则双曲线C 的离心率12122243F F c me a PF PF m m====−−.故答案为：2.18．（2022·河南·模拟预测）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的左、右焦点12,F F ，M 是它们的一个交点，且12π4F MF ∠=，记1C 和2C 的离心率分别为12,e e ，则12e e 的最小值是___________.【解析】不妨设M 为第一象限的点．如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义知1212MF MF a +=，1222MF MF a −=， 所以112MF a a =+，212MF a a =−， 设122=F F c 在12MF F △中，12π4∠=F MF ， 由余弦定理得，()()()()22212121212π42cos4=++−−+−c a a a a a a a a ，化简得((22212224a a c +=，124=()1201,1e e <<>，所以124=≥所以12e e12=2212==e e 等号成立， 所以12e e．19．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为______．【解析】设内层椭圆方程为22221x y a b +=()0a b >>，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为()()22221x y ma mb +=()1m >.所以A 点坐标为(),0ma −，B 点坐标为()0,mb ，设切线AC 的方程为()1y k x ma =+，切线BD 的方程为2y k x mb =+，联立直线AC 的方程与内层椭圆方程()222211x y a b y k x ma ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()2222322242211120k ab x ma k x m k a a b +++−=，因为直线AC 与椭圆相切，所以()()()23222222422111Δ240ma k k a b m k a a b =−+−=，整理可得，2212211b k a m =⋅−.同理，联立直线BD 的方程与内层椭圆方程222221x y a b y k x mb⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可推出()222221b k m a =−，所以()224222122224111b b b k k m a m a a=⋅⨯−=−.因为12916k k =−，所以22916b a =，则222222c a b e a a −==227116b a =−=，所以e =.20．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）双曲线 22221(00)x y a b a b−=>>，的左顶点为A ， 右焦点()0F c ，， 若直线x c =与该双曲线交于B C 、两点，ABC 为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率为__________ 【答案】2【解析】联立 22222221x cx y a b c a b =⎧⎪⎪−=⎨⎪=+⎪⎩， 可得2b y a =±， 则22b BC a =，因为点 B C 、关于x 轴对称， 且F 为线段BC 的中点， 则AB AC =.又因为 ABC 为等腰直角三角形， 所以，2BC AF =， 即()222b c a a=+， 即 ()222a c abc a +==−， 所以，a c a =−， 可得2c a =，因此， 该双曲线的离心率为 2ce a==． 故答案为：221．（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆1Γ与双曲线2Γ的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点1F 、2F ，P 是1Γ与2Γ在第一象限的交点，当12π6F PF ∠=时，双曲线2Γ的离心率等于______.【答案】2【解析】设椭圆1Γ标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，椭圆离心率为1e ，设双曲线2Γ标准方程为()2222222210,0x y a b a b −=>>，双曲线离心率为2e ，由题可知：121e e ⋅=．设1PF m =，2PF n =，则122222,2,π42cos ,6m n a m n a c m n mn ⎧⎪+=⎪−=⎨⎪⎪=+−⋅⎩①②③， 由①②得，12m a a =+，12n a a =−，代入③整理得，((22212422c a a =+，两边同时除以2c得，124=即(22242e =即(42222420e e −+=，解得222(2e =，即2e=2故答案为：222．（2022·广东广州·统考一模）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为4和2，球心距离12O O =面分别与球1O ，球2O 相切于点,E F （,E F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.【答案】13【解析】设12O O EF D ⋂=，由22112112O D O F O D O E O D O D ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得21O D O D =所以42,33DE DF ====， 所以4222,133c c =+==， 设直线EF 与圆锥的母线相交于点A ， 圆锥的母线与球相切于,B C 两点，如图所示， 则,AB AE AC AF ==，两式相加得2AB AC AE AF a c a c a +=+=−++=，即2BC a =， 过2O 作21O G O B ⊥，垂直为G ， 则四边形2BGO C 为矩形，所以26a BC ===，3a =，所以椭圆的离心率为13c a=. 故答案为：13。
高三离心率练习题
高三离心率练习题离心率是椭圆曲线的一个重要属性，它反映了椭圆形状的扁平程度。
在高三数学的学习中，离心率也是一个重要的知识点。
下面是一些关于高三离心率的练习题，供同学们加深对这一概念的理解。
练习题1：已知一个椭圆的长轴为6，短轴为4，求该椭圆的离心率。
解答：椭圆的离心率e的计算公式是e = √(a^2 - b^2)/a，其中a为长轴的长度，b为短轴的长度。
代入已知条件，可以得到e = √(6^2 -4^2)/6 = √(36-16)/6 = √20/6 ≈ 0.58。
练习题2：已知椭圆的离心率为0.75，长轴的长度是8，求短轴的长度。
解答：同样利用离心率的计算公式，可知0.75 = √(8^2 - b^2)/8。
通过解方程可以得到b ≈ 3.06。
练习题3：已知一个椭圆的长轴为10，离心率为0.6，求短轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可以得到0.6 = √(10^2 - b^2)/10。
解方程可得b ≈ 6.67。
练习题4：若一个椭圆的长轴和短轴之和为16，离心率为0.8，求长轴和短轴的长度。
解答：设长轴长度为a，短轴长度为b，则离心率e = √(a^2 - b^2)/a，长轴和短轴之和可表示为a + b = 16。
根据这两个方程，可以解方程组得到a ≈ 12.25，b ≈ 3.75。
练习题5：已知一个椭圆的长轴为8，短轴为4，求该椭圆的离心率。
解答：根据离心率的计算公式，可得e = √(8^2 - 4^2)/8 = √(64-16)/8 = √48/8 = √6 ≈ 2.45。
练习题6：已知椭圆的离心率为1.5，短轴的长度为6，求长轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可得1.5 = √(a^2 - 6^2)/a。
解方程可得a ≈ 17.82。
练习题7：已知一个椭圆的离心率为1，长轴的长度为10，求短轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可以得到1 = √(10^2 - b^2)/10。
解方程可得b ≈ 0。