无穷积分敛散性判别法
积分的无穷级数
积分的无穷级数积分是高等数学中非常重要的一个概念，它可以用于求解曲线下的面积、求解概率密度函数等问题。
而积分的无穷级数则是指一种特殊的级数，它由一列积分组成，而不是由一列数值组成。
这种无穷级数的研究对于理解积分的性质和应用非常有帮助。
在介绍积分的无穷级数之前，我们先需要回顾一下一般的无穷级数的定义：设有实数列${a_n}$，则称级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$为收敛的，如果其部分和数列有极限，即$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}a_i$存在。
否则，称级数发散。
积分的无穷级数是由一列积分组成的级数。
具体来说，设$f(x)$在区间$[a,b]$上可积（或可积于Riemann-Stieltjes意义下），则称级数$\sum_{n=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_n(x)dx$为收敛的，如果其部分和数列有极限，即$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\int_{a}^{b}f_i(x)dx$存在。
否则，称级数发散。
需要注意的是，积分的无穷级数并不是对于所有的可积函数都存在的。
事实上，对于某些函数族，它们的无穷级数可能会发散。
下面我们将介绍一些积分的无穷级数的性质和判别法。
1. 比较判别法比较判别法是判断级数的敛散性的一种常用方法。
类似地，我们可以将其推广到积分的无穷级数上。
比较判别法的基本思想是：将待定极限与已知级数或积分进行比较，如果待定极限的模长小于等于已知极限的模长，并且已知级数或积分收敛，则待定极限收敛。
例：比较级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+n\sin^2n}$和级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$的敛散性。
解：设$f_n(x)=\frac{1}{n+n\sin^2n}$，则有$\int_{0}^{\pi}f_n(x)dx=\frac{\pi}{2n(1+\frac{1}{2}\sin^2n)}\geq \frac{\pi}{4n}$又由于级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$是发散的，因此可以利用比较判别法得出，级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+n\sin^2n}$也是发散的。
无穷积分敛散性的判别方法
ｇ（ ）在［ｎ，＋∞）上恒成立，而且Ｊｆ ｎ ｇ（ ） 是收敛的，那么ｆ 『 厂 ｆ ）ｇ（ ） 收敛。
（ ） 一 定 也 是 收 敛 的 。
我们首先讨论一个特殊的非负无穷积分Ｊｆ （。＞０），不 “ ∥
难判断，ｐ １时，』 １ 收敛；Ｐ≤１时，』 发散。
在判 断非 负无穷积分 的收敛性时 ，经 常需要拿被积 函数 ）
ｒ ＋ １ ／ １
、
例１：判断无穷积分ｆ．１ｎ ｄｘ（ｎ＞１）的敛散性。
解
：ｎ＞】时
， ｌｉｍ …
＊
ｉ＋１／ Ｉｎ（１＋ｘ）
＿
＝
：０，所 以 一 ＋
以上判断无穷积分 敛散性的方法 ，只要稍作 修改 ，就可适用
于瑕积分敛散 ＩＩ１９￣ＩＩＩ。例如在判断ｉ ） （ ：。为瑕点）的敛
ｄｘ收敛。
判 断 无 穷 积 分 敛 散 性 的 一 些 常 用 方 法 并 ， 给 出了相应 的例子加
二 、一 般 无 穷 积 分
以 说 明 。
一 般无穷积分主要有两个判别敛散性 的方法 ：
一 、非 负无 穷 积 分
假设
）是［ｎ，＋ ）］－＿ＩＭ ＩＭ￣ｌｌｔ，且 在任 何有限区间［。 ，
［中图分 类号 ］Ｇ６４８
［文献标 志码 ］Ａ
［文章编号 ］２０９６ — ０６０３（２０ｌ８）ｌ３—０１５６—０ｌ
判 断无穷 积分 收敛 的柯 西 准则虽 然 很好地 刻 画 了无 穷 积
时， 分 的敛散性 ，但 是在实 际的运用 中并不是 很方便 。
本 文 总 结 了
是 … 的高阶无穷小，因此ｆＩ
散性时，可将 ）与—（＿ ｌ ＿ 比较，根据Ｊ— 的敛散性判
无穷级数的定义性质和及敛散性判别
(常数项)无穷级数
n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1, s2 u1 u2, s3 u1 u2 u3,, sn u1 u2 un,
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时,如果级数 un 的部分和
n1
数列sn 有极限s ,
即
lim
n
sn
5! 55
；
n
3、
x2
；
2 4 6 (2n)
4、(1)n1 a n1 ； 2n 1
5、2k 1.2k 1,2k, 1 ； 6、 q 1, q 1. 2k
三、收敛. 四、1、发散；
2、收敛；
3、发散、[ s2n
n1 k1 (2k
1 )]. 10k
五、发散.[取 p 2n ]
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
三、基本性质
性质 1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q当q 1时,源自lim qn 0n
lim
n
sn
a 1q
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
收敛 发散
如果 q 1时
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
2 无穷积分的性质
无穷积分的性质:⑴在区间上可积 , — Const , 则函数在区间上可积 ,且.⑵和在区间上可积 , 在区间上可积 , 且.⑶无穷积分收敛的Cauchy准则: ( 翻译)定理积分收敛.⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念.绝对收敛收敛, ( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分无穷积分收敛判别法非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.⑴比较判敛法: 设在区间上函数和非负且，又对任何>, 和在区间上可积 . 则< , < ；, . ( 证 )例1 判断积分的敛散性.比较原则的极限形式 : 设在区间上函数,. 则ⅰ> < < , 与共敛散 :ⅱ> , < 时, < ；ⅲ> , 时,. ( 证 )⑵Cauchy判敛法: ( 以为比较对象, 即取.以下> 0 )对任何>, , 且, < ；且, .Cauchy判敛法的极限形式 : 设是在任何有限区间上可积的正值函数.且. 则ⅰ> < ；ⅱ>. ( 证 )例2 讨论以下无穷积分的敛散性 :ⅰ> ⅱ> [1]P 324 E6⑶其他判敛法:Abel判敛法: 若在区间上可积 , 单调有界 , 则积分收敛.Dirichlet判敛法: 设在区间上有界，在上单调，且当时，. 则积分收敛.例6 讨论无穷积分与的敛散性. [1]P325 E7例7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :, ,. [1]P326 E8例8 ( 乘积不可积的例 ) 设, . 由例6的结果,积分收敛 . 但积分却发散.( 参阅例6 )。
无穷级数的定义,性质和及敛散性判别
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
正六边形的面积 a1
R
正十二边形的面积 a1 a2
n 正 3 2 形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 an 1 3 3 3 3 2. n 3 10 100 1000 10
二、级数的概念
1 1 1 1 解 un ( ), ( 2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1 1 sn 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1 1 1 (1 ), 2 2n 1 1 1 1 lim sn lim (1 ) , n n 2 2n 1 2
n 2,3,
于是有
1 3 2 3 3 lim An A1 (1 ) A1 (1 ) . n 4 5 5 1 9 雪花的面积存在极限（收敛）．
n
lim Pn
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0
若记
un n 1
任意加括号
bk u pk 1 1 u pk
bk k 1 bk 的部分和记为 k k 1
则加括号后级数成为
记
un n 1
的部分和为 sn
则 k s pk 由数列和子数列的关系知 lim sn 存在， lim k 必定存在
1 dx 即 x 1 1 1 Sn 1 2 n n1 1 dx ln( n 1) , ( n ) x 1 故调和级数发散
无穷积分敛散性的一个新的判别法
无穷积分敛散性的一个新的判别法摘要：本文在分析无穷积分敛散性的基础上，提出了一种新的判定敛散性的准则，即采用谱函数法来判别它，这种方法将有力地推进数学分析研究，能够提供准确的敛散性判定结果。
本文首先介绍了无穷积分敛散性问题，探讨了无限积分敛散性的几种基本概念，并指出了常数微分方程在讨论无穷积分敛散性时的一些共性。
接着，介绍了一种新的判定敛散性的准则谱函数法，该方法更简单，更为精确，还改善积分出现无限值的问题。
接下来，本文介绍了谱函数法在计算无穷积分时的特殊情况，分析了函数的谱函数解析展开，说明了如何判断整个函数的散度。
最后，结合实例，给出了一个具体的应用场景，同时也指出了谱函数法的缺点，为今后继续深入研究提供了参考。
关键词：无穷积分，敛散性，谱函数法1.言无穷积分的敛散性问题是数学分析中一个重要的问题，从古典数学研究到现代数学研究，都受到广泛的关注。
本文探讨了一种新的判定敛散性的准则谱函数法，它更能精确地得出敛散性结果。
2.穷积分敛散性2.1念无穷积分敛散性是一种比较常见的概念，是指当某个函数对无穷范围内的某一函数进行无限次积分后，积分值是收敛的，还是散度的。
如果该函数的积分值在无穷的范围内收敛，则称该函数具有敛散性。
2.2数微分方程在讨论无穷积分敛散性问题时，常数微分方程在研究中也有很大的作用。
例如，求解积分的结果就可以转化为求解常数微分方程的任务，并从而分析其是否具有敛散性。
3.函数法3.1 介绍谱函数法是一种比较新的判断敛散性的准则，它采用数学函数的谱函数解析展开，进而判断整个函数的散度，从而更为精确地判断无穷积分敛散性。
3.2殊情况当函数只有一个有限的频率项时，可以利用谱函数法来计算无穷积分，从而判断敛散性。
当函数具有更多的频率项时，则需要将其全部解析开，进而分析其是否具有散度。
3.3用谱函数法在实际应用中也受到了广泛的欢迎，其优点在于准确性更高，而且可以解决传统方法在积分出现无限值时无法解决的问题。
广义积分敛散性判别法的应用
广义积分敛散性判别法的应用主要的广义积分敛散性证明方法如下：套定义验证比较判别法、等价无穷小Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.1 广义积分的定义定义1.1[无穷积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a,A] 都是Riemann可积, 且极限 limA→+∞∫aAf(x)dx 存在, 则把无穷积分定义为∫a+∞f(x)dx=limA→+∞∫aAf(x)dx.否则称无穷积分是发散的.此外,∫−∞+∞f(x)dx=∫a+∞f(x)dx+∫−∞af(x)dx.这与Cauchy主值积分不同:(V.P.)∫−∞+∞f(x)dx=limA→+∞∫−AAf(x)dx.广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.定义1.2 [瑕积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a′,b],(a<a′<b) 都是Riemann可积, 且极限 lima′→a+∫a′bf(x)dx 存在, 则把瑕积分定义为∫abf(x)dx=lima′→a+∫a′bf(x)dx.否则称无穷积分发散.例1.1 无穷积分∫1+∞1xpdx 当 p>1 时, 该无穷积分收敛;当 p≤1 时, 该无穷积分发散.例1.2 瑕积分∫011xpdx. 当 p<1 时, 该瑕积分收敛; 当 p≥1 时, 该瑕积分发散.例1.3 ∫−∞+∞11+x2dx=arctanx|−∞0+arctanx|0+∞=π例1.4 ∫−1111−x2dx=arcsinx|−10+arcsinx|01=π.如果被积函数 f(x) 恒大于0, 我们有如下结论.定理1.5 设 f≥0, 则无穷积分∫a+∞f(x)dx 收敛当且仅当 F(A)=∫aAf(x)dx 是 A∈[a,+∞) 的有界函数.2 比较判别法与等价无穷小定理2.1 设 0≤f≤Mg,M>0 为常数,(这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分∫a+∞g(x)dx 收敛时, 无穷积分∫a+∞fdx 也收敛. 当无穷积分∫a+∞fdx 发散时, 无穷积分∫a+∞g(x)dx 发散. 瑕积分的结果类似.在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限 l=limx→∞f(x)g(x) 存在, 则(1) 当 0<l<∞时, 积分∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散.(2) 当 l=0 时, 如果∫a+∞g(x)dx 收敛, 则∫a+∞f(x)dx 也收敛.(3) 当 l=+∞时, 如果∫a+∞g(x)dx 发散, 则∫a+∞f(x)dx 也发散.注：对瑕积分有类似结论..例2.2 判断积分∫0+∞dxexx 的敛散性.提示：无. \QED例2.3 积分∫01dxlnx 是发散的.证明：注意到 limx→0+1lnx=0, 于是0不是瑕点, 1是瑕点. 我们只需要考虑∫1/21dxlnx. 由于∫1/21dxlnx=∫01/2dtln(1−t),且 ln(1−t)∼−t(t→0), 则积分∫1/21dxlnx 与−∫01/2dtt 同敛散. 则原积分是发散的. \QED例2.4 积分∫01lnx1−xdx 是收敛的.证明： 0,1 都是瑕点. 把积分区间拆成 (0,1/2) 与 (1/2,1). (在 (0,1/2) 区间内, 出现瑕点的地方是 lnx, 而在 (1/2,1) 区间内, 出现瑕点的地方是 11−x, 没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意0>∫01/2lnx1−xdx>2∫01/2lnxdx,而∫01/2lnxdx=xlnx|01/2−∫01/2dx=12(ln12−1),则∫01/2lnx1−xdx 收敛. 另一方面,∫1/21lnx1−xdx=∫01/2ln(1−t)tdt,并注意到 limt→0+ln(1−t)t=−1, 则∫1/21lnx1−xdx 收敛. \QED3 用Cauchy准则验证收敛性定理3.1 [Cauchy准则] f(x) 在 [a,+∞) 上的积分收敛的充分必要条件是: ∀ε>0,∃M=M(ε),当 B>A>M 时, |∫abf(x)dx|<ε.例3.2 积分∫0+∞cosx2dx 是收敛的.证明：我们只需要看被积函数在 [1,+∞) 的积分即可. 作变量代换 x=t, 则∫1+∞cosx2dx=12∫1+∞costtdt.则|∫ABcosttdt|=|sintt|AB+12sintt3/2dt|≤1A+1B+12∫ABt −3/2dt=2A→0(B>A→+∞).因此积分是收敛的. \QED注：f在 [a,+∞) 积分存在不能推出 f(x)→0(x→+∞). 需要添加条件. 详见第6小节.例3.3 积分∫0+∞|cosx2|dx 是发散的.证明：【方法一】只需要考虑 cost 的一个周期. 由于∫(mπ)2(mπ+π)2|cosx2|dx=12∫mπ(m+1)π|cost|tdt>12(m+1)π∫mπ(m+1)π|cost|dt=22(m+1)π>2π1m+1+m+2=2π(m+2−m+1).固定m, 取 n>m, 则∫(mπ)2(nπ)2|cosx2|dx>2π(n+1−m+1)→∞(n→∞).因此原积分是发散的. \QED【方法二】(比较判别法). 由于 |cosx2|≥cos2x2=12(1+cos2x2), 由例3.2, 积分∫1+∞cos(2x2)dx 是收敛的, 但是积分 \int_1^{+\infty}1dx 发散, 则原积分发散. \QED注：方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当 |x|≤1 时, 根据幂函数 y=xα的性质, 必有 x2≤|x|≤1. 利用这个技巧可以去掉绝对值.。
无穷积分敛散性的一个新的判别法
无穷积分敛散性的一个新的判别法无穷积分敛散性是一个重要的数学概念，它涉及到许多重要的数学理论和应用计算，其应用广泛，从实际应用到数学建模等。
因此，研究无穷积分敛散性有着重要的意义，也是数学研究的一个重要部分。
本文将介绍一种新的识别无穷积分敛散性的方法，以及它的一些书面推导和实际应用。
首先，我们回顾一下无穷积分敛散性的基本原理。
无穷积分敛散性是指，存在一个无穷级数$sum_{k=0}^n a_k$，若它具有收敛性，则被称为无穷积分敛散性。
其收敛性的条件是，当$ k rightarrow infty $时，$a_k$晕于某一限值。
基于无穷积分敛散性的基本原理，我们可以建立一种新的识别无穷积分敛散性的方法。
此方法的首要步骤是，根据上述定义，使用微积分等法计算$sum_{k=0}^n a_k$的积分。
接下来，利用微积分的反变换公式，求解无穷积分敛散性的条件。
最后，根据实际应用，使用一系列试验，确定无穷积分敛散性是否满足本文定义的条件。
当确定问题满足无穷积分敛散性的条件后，就可以把它归类到无穷积分敛散性的范畴中，从而更好地研究此问题。
此外，该方法还可以协助我们用图形来分析某一问题的无穷积分敛散性以及其它连续情况，绘制出函数图像，更好地把握问题特征。
在实际应用中，无穷积分敛散性是一个重要的考虑因素。
比如，在经济领域，可以利用本文提出的方法来识别投资者在投入市场时可能遇到的无穷积分敛散性情况，并根据实际情况更好地做出投资决策。
此外，本文所提出的方法还可以应用到信号处理、数值分析等领域，可以指导更好的数学建模和算法设计。
综上所述，本文提出了一种新的识别无穷积分敛散性的方法，它不仅可以更好地研究无穷积分敛散性，而且可以为一些实际应用提供技术支持。
未来，本文所提出的方法还可以进一步发展和改进，希望能够为解决更多实际问题提供解决方案。
综上所述，本文介绍了一种新的识别无穷积分敛散性的方法，它可以更好地研究无穷积分敛散性。
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无穷积分敛散性的判别法郑汉彬摘 要：无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题,是求解无穷积分近似值的—个先决条件。
由于判别方法比较多,学生不易掌握,从而是数学分析的一个难点,也一直是一个重要的研究课题。
本文就一些常见和不常见的判定方法做一个归纳,这样将有助于我们灵活地运用各种判别法判定无穷积分的敛散性。
关键词：无穷积分；瑕积分；收敛性；判别法无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题,是求解无穷积分近似值的一个先决条件。
由于判断方法比较多,不易掌握,从而是数学分析和高等数学的一个难点。
最原始的判别方法是对积分区间无穷型的反常积分先将积分限视为有限的积分区间,按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,再用极限去判定原积分是否收敛。
本文以文献中相关定理为基础,并对相关的文献资料中给出的无穷积分敛散性判定方法的相关理论进行总结及一定的改进和补充,使之能够更广泛地应用于无穷积分敛散性判定中,对比了各种类型的无穷积分敛散性判定方法的应用以及在应用过程中应注意的一些巧妙方法,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误。
1 无穷积分的敛散性 定义1 设函数)(x f 在),[+∞a 上有定义,且对)(,x f a b >∀在上],[b a 可积,当()limbab f x dx J →+∞=⎰存在,称此极限J 为函数)(x f 在区间),[+∞a 上的无穷限反常积分(简称无穷积分),记为()aJ f x dx+∞=⎰这时称积分⎰+∞adx x f )(是收敛的.如果上述极限不存在,为方便起见,并称无穷积分⎰+∞adx x f )(发散.2 无穷积分敛散性的判别法如何判断一个无穷积分的敛散性,这是无穷积分理论的重要内容之一。
对此,我们首先建立一个收敛准则,然后再介绍几种常有的敛散性判别法。
柯西收敛准则因为无穷积分⎰+∞adx x f )(的收敛问题即是极限⎰+∞→AaA dx x f )(lim的存在问题,所以由极限的柯西收敛准则立刻可以得到无穷积分的收敛准则。
定理1 无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛的充分必要条件是对任何0>ε,都存在a A >,使当A A A >>12时,有()21A A f x dx ε<⎰一般来说,利用柯西收敛准则判断一个无穷积分的收敛性,其难度是比较大的。
实践证明,在不少情况下,将所给的无穷积分与一个已知其敛散性的无穷积分相比较,可以有效地确定该无穷积分的敛散性。
我们可以给出下面的比较判别法。
比较判别法定理2 设定义在),[+∞a 上的函数f 和g 都在任何有限区间[a,u]上可积,满足 ),[),()(+∞∈≤a x x g x f则当⎰+∞adx x g )(收敛时⎰+∞adx x f )(必收敛；当⎰+∞adx x f )(发散时,⎰+∞adx x g )(必发散.比较判别法是一种非常重要和常见的无穷积分敛散性判别法,在很多情况中都会用到,常常会收到比较明显的效果。
上面介绍的是比较判别法的一般形式,比较判别法也有极限形式。
柯西判别法 定理3 设f 定义于)0)(,[>+∞a a ,且在任何有限区间],[u a 上可积,则有(i) 当),,[,1)(+∞∈≤a x xx f p且1>p 时⎰+∞adx x f )(收敛； (ii) 当),,[,1)(+∞∈≥a x x x f p 且1≤p 时⎰+∞a dx x f )(发散.当无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛,但无穷积分⎰+∞adx x f )(不收敛,称无穷积分⎰+∞adx x f )(为条件收敛。
上面介绍的比较判别法和柯西判别法都只能判定无穷积分的绝对收敛性,对于条件收敛的判定则是无能为力的。
下面再介绍两种适用范围更广的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法。
狄利克雷判别法 定理 4 若⎰=uadx x f x F )()(在),[+∞a 上有界,)(x g 在),[+∞a 上当+∞→x 时单调趋于0,则⎰+∞adx x g x f )()(收敛.阿贝尔判别法定理5 若⎰+∞adx x f )(收敛,)(x g 在),[+∞a 上单调有界,则⎰+∞adx x g x f )()(收敛.上面介绍的柯西收敛准则,比较判别法,柯西判别法,狄利克雷判别法,阿贝尔判别法是最常用的五种判别无穷积分敛散性方法,我们必须熟练和准确地掌握这几种判别方法。
下面介绍几种不常见的对 数判别法,比值判别法等判别方法,对我们学习和研究无穷积分的敛散性也有所帮助。
对数判别法定理6 设)(x f 在),[+∞a 上恒正可积,且1ln()limln x f x q x →+∞=(i)当+∞≤<q 1时,无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛,(ii)当1<≤∞-q 时,无穷积分⎰+∞adx x f )(发散.注1 我们在利用对数判别法讨论无穷积分的敛散性时,被积函数必须是恒的。
当1ln )(1lnlim==+∞→q xx f x 时,无穷积分⎰+∞a dx x f )(的敛散性无法确定。
我们必须利用别的判定方法对其进一步判定。
比值判别法正项级数的敛散性判别法很多,例如比值判别法,根值判别法,拉贝判别法等,但非负函数无穷积分的敛散性判别法却不多,正项级数与非负函数无穷积分本有相似之处,我们可以建立非负函数无穷积分⎰+∞1)(dx x f ,其敛散性与正项级数敛散性判别法相似,于是我们得到无穷积分⎰+∞1)(dx x f 的比值判别法。
定理7 设,1),,1[>∀+∞∈∀A x 有)(,0)(x f x f >在],1[A 上可积,且(1)lim()x f x l f x →+∞+=则当1<l时无穷积分⎰+∞1)(dx x f 收敛,当1>l时无穷积分⎰+∞1)(dx x f 发散.上面得出了无穷积分⎰+∞1)(dx x f 的比值判别法,我们同理也可得出无穷积分⎰+∞1)(dx x f的根值判别法：设,1),,1[>∀+∞∈∀A x 有)(,0)(x f x f >在],1[A 上可积,若()()1lim xx f x l→+∞=则当1<l时无穷积分⎰+∞1)(dx x f 收敛,当1>l时无穷积分⎰+∞1)(dx x f 发散.求导极限判别法定理8 设函数)(x f 在),[+∞a 上可导,且0)(≥x f ,若 λ=')()(lim x f x f ,则,当0<λ时, ⎰+∞adx x f )(收敛；当0>λ时, ⎰+∞a dx x f )(发散； 当0=λ时,⎰+∞adx x f )(敛散性不确定.以上对数判别法,比值判别法和求导极限判别法都有被积函数非负这一约束条件, 当上式的比值 0,1,1===λl q 时,无穷积分的敛散性都不确定,都要求我们作进一步的讨论。
在很多情况下,这三种 方法是可以相互通用的。
极限审敛法的等价定理我们将无穷积分运用无穷小和无穷大比较的方法进行比较,可得到了相应无穷积分敛散性极限审 敛法的等价定理,从而可运用等价定理灵活地判断无穷积分的敛散性。
定理9 设)(x f 在),[+∞a 上连续,且0)(≥x f .(i)如果存在在常数1>p ,))(1(0)(+∞→=x xx f p 即有界,则⎰+∞adx x f )(收敛；(ii)如果)(x f 是)(1+∞→x x的同阶或低阶无穷小,则⎰+∞adx x f )(发散.3 判别法的应用 例1 求证反常积分dx xx ⎰+∞sin 收敛,其中被积函数在0=x 的值定义为1.证明 对任何012>>A A ,按分部积分公式有2221112sin cos cos A A A A A A x xxdx dx x xx =--⎰⎰从而有22112121sin 1112A A A A x dx dx x A A x A ≤++=⎰⎰对于任给的0>ε,取ε2=A ,于是当A A A >>12时,就有212sin 22A A x dx x A Aε≤<=⎰由柯西收敛准则知反常积分dx xx ⎰+∞sin 收敛.例2 证明反常积分()2sin 01px dx p x+∞≥+⎰是收敛的. 证明 因为20sin 1px dx x +∞+⎰=210sin 1p x dx x +⎰+21sin 1p x dx x +∞+⎰所以只须证明21sin 1px dx x +∞+⎰收敛即可.记)1(1)(,sin )(2px x x g x x x f +== 则对任意1u >,()22111sin cos cos112uuf x dx x x dx u ==-≤⎰⎰)(x g 在),1[+∞上单调递减,并且0)1(1lim)(lim =+=+∞→+∞→p x x x x x g .由狄利克雷判别法可知无穷积分21sin 1px dx x +∞+⎰收敛.例3 讨论()1!0x x a x dx a x+∞>⎰的敛散性. 解 因为ea x x a xx a x x a x f x f x x x x x x x x =+=++=++∞→+++∞→+∞→)1(lim !)1()!1(lim )()1(lim 11 所以由比值判别法知： 当a e <时,积分()1!0x x a x dx a x+∞>⎰收敛； 当a e >时,积分()1!0x x a x dx a x+∞>⎰发散； 当a e =时,21))11(1(lim )1)1()((lim -=+=-++∞→+∞→x x x x e x x f x f x .由拉贝判别法知1!x xe x dx x +∞⎰发散.综上所述,当a e <时,积分()1!0x xa x dx a x +∞>⎰收敛； 当a e ≥时,积分()1!0x xa x dx a x +∞>⎰发散. 4 结束语无穷积分涉及到一个所谓收敛性问题，关于无穷积分敛散性的判定,在目前的文献中有不少的介绍,本文就一些常见的判定方法和不常见的判定方法做了一个归纳，并列举了相关例题，这样将有助于我们灵活地运用各种判别方法判断无穷积分的敛散性。
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