2017福州一中追梦计划招生数学卷
2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地
2017 年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（ “追梦计划” ）招生考试试卷 阅读与表达（满分 120 分，考试时间 120 分钟）学 校姓 名准考证号（本试卷共 18 题。
第１题 6 分；第 2-8 题，每题 3 分；第 9-16 题，每题 4 分；第 17 题 6 分；第 18 题 55 分。
共 120 分。
答案应全部填涂或填写在答题卡 的 相应位置 。
）矚慫润 ．．．．．．．．．．．．．． ． ．．．．厲钐瘗睞枥。
1．根据要求填空（每空 1 分，共 6 分） （1）在李白《行路难（其一） 》中， “______________，_______________”体现出诗人对 从政仍有所期待。
聞創沟燴鐺險爱氇。
（2）中国古典诗词常将“秋”与“愁”联系起来，刘禹锡却在《秋词》中一反悲秋传统，“_____________，_________骛楼諍锩瀨濟溆。
_”描绘出一幅壮丽开阔的秋日图景，抒发豪迈之情。
残（3）白居易《钱塘湖春行》中以“几处早莺争暖树，__________”表现了鸟儿迎春的喜悦；韩愈《早春呈水部张十八员外（其一） 》以“ _________，草色遥看近却无”描绘了春雨的 滋润与小草初出的模样。
酽锕极額閉镇桧猪。
2．下列加点字的注音和字形全都正确 的一项是（ ．． A．撺 掇（cuān) ．砖。
） （3 分） 心无旁鹜 （wù）彈贸摄尔霁毙攬 ．颦 蹙（pín） ．嗔 怒（chēn） ．B．枘 凿（nà） ． C．骊 歌（lí） ．谮 害（zèn） ． 姿睢 （suī） ．菡萏 （yàn） ． 花圃 （bǔ） ． 1 / 12深恶 痛疾（wù） ． 浩瀚无垠 （yín）謀荞抟箧飆鐸 ．怼类。
D．诓 骗（kuāng） ．盡继。
攲 斜（qī ） ．荣膺 （yīng） ．颔 首低眉（hàn）厦礴恳蹒骈時 ．3．下列句子中的加点成语使用正确 的一项是（ ．．） （3 分）A．我班的小张同学实力超群，在校运会 100 米决赛中白驹过隙 ，勇夺该项目冠军，为班级 ．．．． 赢得了沉甸甸的荣誉。
2017年高考真题——理科数学(福建卷)解析版
2017年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）第Ⅰ卷(选择题 共50分)一．选择题1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ． 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3．因此是充分不必要条件．3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25 B ．45CD【答案】C【解析】 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式d =． 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588 B ．480C ．450D ．120【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和 C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{}21n -的前9项和【答案】C【解析】第一循环：1,2S i ==，10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==< …．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>，输出S ．根据选项，101(12)12S -=-，故为数列12n -的前10项和．故答案A ．7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）A B ． C ．5 D ．10【答案】C【解析】由题意，容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出，则算出S=5．故答案C8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点． B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是（ ）A ．数列{}n b 为等差数列，公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q,同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=∙=∙112...m c a a a =∙∙∙,212...,m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列，2221212211212............mm m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙故选C 10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C ．{|01},A x x B R =<<= D ．,A Z B Q == 【答案】D【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ．二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________ 【答案】23【解析】13103a a ->∴>a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴==12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________【答案】12π【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，2412R S R ππ∴====球表13．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________【解析】sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠=∙BD ==14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________1【解析】由直线方程)y x c =+⇒直线与x 轴的夹角12233MF F ππ∠=或，且过点1-F （c,0）12212MF F MF F ∠=∠∴122123MF F MF F π∠=∠=即12F M F M ⊥12RT F MF ∴∆在中，12122,,F F c F M c F M ===∴由椭圆的第一定义可得21c a c a =∴==-15．当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：122311111111()()...()_____2223212nn n n n nn C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+【答案】113[()1]12n n +-+ 【解析】由01221......(1)n nn n n n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：122311*********()()...()[()1]222321212n n n n n n nn n C C C C ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++ 三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分． 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X ”，224(5)3515==⨯=P X ，11()1(5)15∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115． （Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ，224()255=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ，2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-a f x x． （Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2()1(0)'=->f x x x， (1)1,(1)1'∴==-f f ，()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值； ②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；(0,)∈x a 时，()0'<f x ，(,)∈+∞x a 时，()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤．（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1，求直线l 的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．函数与方程思想．满分13分． 解：（Ⅰ）依题意，过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i ，∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x ii y x 得：2110=y x ，即210=x y ，∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y（Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<x x ，∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y，解得32=±k直线l 的方程为3+102=±y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分13分． 解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE//AB DE Q ，3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形 //BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥ 1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ，CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD uu u r uuu r uuur的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-uuu r ，1(0,3,1)AB k =uuu r ，1(0,0,1)AA =uuu r设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由100AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =，得(3,2,6)n k =-设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuu r uuu r67==，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像．（1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数； 若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2017个零点． 本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分14分． 解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 2x <<10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解 设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ， 即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos 21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin x a x =-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin x h x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π= 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点 由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点21．（本题满分14分）（1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （1）求实数,a b 的值；（2）若点00(,)p x y 在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点p 的坐标． 本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分．解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩ （Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点00(,)P x y 在直线l 上，所以01x =故点P 的坐标为(1,0)（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上． （1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程； （2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系． 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上，可得a = 所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+=从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=所以圆心为(1,0)，半径1r =以为圆心到直线的距离1d =<，所以直线与圆相交 （3）（本小题满分7分）不等式选讲 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥ 解得1322a <≤，又因为*a N ∈，所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3。
福州一中2017年高中招生(面向市区以外)
福州一中年高中招生（面向市区以外）综合素质测试数学参考答案一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分）二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分）．．．．．．三、解答题（本大题共小题，满分分）. 本小题主要考查三角形全等、相似的判定方法；特殊四边形的性质及判定等基础知识，考查识图、辩图、逻辑推理能力，考查几何直观等形象思维．满分分．（Ⅰ）法一:证明：过作于，于，……………………分∵四边形是正方形，∴，∴四边形是矩形，又∵是的角平分线，∴……………………………………分∴四边形是正方形，∴，∵，∴，∴∴……………………………………分在和中，，∴≌（），……………………………………分∴……………………………………分 法二：连，由，两点都在以为直径的圆上，分∴分∵ 四边形是正方形， ∴，∴，∴分∴……………………………………分（Ⅱ）法一：∵ 四边形是矩形，∴， 又∵，∴∥，∴∽，∴，……………………………………分同理，，∴，∴，……………………………………分∵，，∴∽……………………………………分 ∴……………………………………分∴为定值.…………………………………分法二：连，由，两点都在以为直径的圆上，分，分∵分∴分（或证明）. 本小题主要考查勾股定理、解直角三角形等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分分．解：在中作于点.…………………分在中，……………………………………分………………………………分依题意，以点为圆心，海里为半径的圆形区域为暗礁区域………………分∵所以，如果渔船不改变航线继续航行，有触礁危险.……………………………分在上取点使得，连接，.在中，，所以，……………………………分在中，……………………………分所以，在中，……………………………分因为该渔船到达点的时间小时.所以巡逻船速度海里小时. ………………………分所以，巡逻船要以北偏东的航向和至少每小时海里的速度前往拦截. ………………………分（注：没有取“”扣分）. 本题考查一次函数和二次函数的图像与性质，综合了等腰直角三角形、圆、矩形的性质及垂直平分线的判定，解题过程中利用了图象平移的性质，蕴含了方程思想、化归及数形结合等数学思想．满分分．解：（Ⅰ）法一：当时即，则有两个不同的实根，(注：说明因二次函数开口向上，与轴交于、两点则亦可)……分由已知可得，，则解得或（舍），分分法二：过作轴于当时即，则有两个不同的实根，分解得，则由已知可得，，设直线与轴交于点，∵，为等腰直角三角形即解得，分分（Ⅱ）设交轴于.由题意可得，，，∵点和点关于轴对称，为等腰直角三角形且由平移的性质可知且分设，则，分解得或，则或分（Ⅲ）连接，∵，为等腰直角三角形，分由（Ⅱ）可知，∵四边形为矩形在的垂直平分线上分过作于，由垂线段最短可知即为线段的最小长度..... 分当点在处时，在的中点处，当点在处时，在上的点处由上可知.则，，，∵四边形为矩形得，∵即线段的最小长度为分。
【福州一中】2016-2017年高三第二学期模拟文科数学试卷(附答案)
19．解：（Ⅰ）取线段CD的中点Q，
连接KQ，直线KQ即为所求.
证明如下：
取EC中点G，连接FG，连接AC交BD于O.
则OG为 的中位线.
∴ ，∵ ，∴ ，
∴四边形FGOD为平行四边形，∴ .
∵K，Q分别为BC，CD中点，∴ ，∴ .
∵ ， ，∴Байду номын сангаас.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，∵ ， ，∴ ，
A． B． C． D．
11．已知 ， 是焦点在 轴的双曲线 的上、下焦点，点 关于渐近线的对称点恰好落在以 为圆心， 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）
A．3B． C．2D．
12．已知函数 ， ，函数 ，若存在 ， ，使得 成立，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
室外工作
室内工作
合计
有呼吸系统疾病
150
无呼吸系统疾病
100
合计
200
（Ⅰ）请把 列联表补充完整；
（Ⅱ）你是否有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；
（Ⅲ）现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2人，求2人都有呼吸系统疾病的概率.
参考公式与临界表：
A．528B．1 020C．1 038D．1 040
5．某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积等于（）
A． B． C． D．
6．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可以作为三角形的三边边长的概率为（）
A． B． C． D．
2017福州一中追梦计划招生数学答案
2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（“追梦计划”）招生考试数学与逻辑参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．5210258+=⎧⎨+=⎩x yx y12．5<x13．333333212345621+++++=14．4+15．13<≤n三、解答题（本大题共7小题，满分90分）16. 本小题主要考查实数的运算、代数式的化简等基础知识，考查代数运算能力、化简能力，分类与整合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）原式=116+82-+⨯……………………5分=8……………………………………6分（Ⅱ）原式222241--=÷--x x xxx x……………………………………8分()()222122--=⋅-+-x x xx xx x…………………………9分1=.2-+x……………………………………11分当12=-x时，原式23=-.……………………………12分17. 本小题主要考查圆的几何性质、等腰三角形的判定及性质等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查演绎论证及度量计算的逻辑思想等．满分12分．证明：（Ⅰ）∵ 四边形ABED 为⊙O 的圆内接四边形∴ 180∠+∠=B ADE ……………………………………2分 又 ∵ 180∠+∠=CDE ADE∴ ∠=∠B CDE ……………………………………3分 ∵ =AB AC∴ ∠=∠B C ……………………………………4分 ∴ ∠=∠C CDE ……………………………………5分 ∴ ∆CDE 为等腰三角形……………………………………6分 （Ⅱ）法一：连接AE ，∵ ⊙O 的直径为AB∴ 90=∠AEB ∴BC AE ⊥...............................7分∵AC AB =∴421==BC CE .........................................8分 由(Ⅰ)知EDC C B ∠=∠=∠，C C ∠=∠ ∴ABC ∆∽EDC ∆ ∴ECACDC BC =...........................................10分 ∴332=⋅=DC CE BC AC .................................11分 ∵AC AB =∴⊙O 的半径为16.3……………………………………12分 法二：连接AE ，过点E 作⊥EF CD ，垂足为F 由（Ⅰ）知∆CDE 是以CD 为底边的等腰三角形∴ 1322==CF CD ………………7分 ∵ ⊙O 的直径为AB90∴∠=AEB ……………………8分 ∵ =AB AC4∴==BE CE …………………9分 ∵ ，∠=∠∠=∠B C AEB EFC∴ ∆EFC ∽∆AEB ，……………………………10分 ∴=FC CE BE AB……………………………………11分∴ 4432332⋅⨯===CE BE AB FC∴⊙O 的半径为16.3……………………………………12分 18.本题考察反比例函数图像及性质、一次函数解析式求解问题,及求平面四边形面积问题,涉及对称与割补思想方法.满分12分． 解：（Ⅰ）过点C 分别作CE AO ⊥于点E ， 设点(,)C m n ， ∵tan 2∠=COA 2,n m ∴=..................................1分 ∵//CB OA ,B y n ∴=∵D 为AE 的中点，,2D ny ∴=..............................................2分 又,C D 在反比例函数图象上，,D D mn x y k ∴=⋅=2,D x m ∴= ..............................................4分∵2,=B x 1,m ∴= 2,n ∴=.............................................5分2.k mn ∴==所以，反比例函数的解析式为2.=y x...........................................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(1,2),(2,1)C D ，法一：AOC ACD OCDA S S S ∆∆=+四边形......................9分 1152211222=⨯⨯+⨯⨯=..............12分法二： BCDOCDA OABC S S S ∆=-四边形四边形矩形∆∆=+-COE BCD ABCE S S S ...............9分115121211222=⨯⨯+⨯-⨯⨯=...........12分19. 本小题主要考查三角形全等、相似的判定方法；特殊四边形的性质及判定等基础知识，考查识图、辩图、逻辑推理能力，考查几何直观等形象思维．满分12分．（Ⅰ）法一：证明：过P 作⊥PM AB 于M ，⊥PN BC 于N ，……………………1分 ∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ 90∠=ABC ， ∴ 四边形BMPN 是矩形，又 ∵ BD 是∠ABC 的角平分线，∴ =PM PN ……………………………………2分 ∴ 四边形BMPN 是正方形， ∴ 90∠=MPN ， ∵ ⊥AP PE ， ∴ 90∠= APE ，∴ ∠-∠=∠-∠APE MPE MPN MPE∴ ∠=∠APM EPN ……………………………………4分 在∆APM 和∆EPN 中，∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AMP ENP PM PNAPM EPN ， ∴ ∆APM ≌∆EPN （ASA ），……………………………………5分 ∴ .=AP PE ……………………………………6分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，.....................2分∴ ∠=∠ABP AEP .....................3分 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴45ABP ︒∠=，∴ 45∠=AEP ，∴45EAP ︒∠=∴∠=∠EAP AEP ......................5分 ∴ .=AP PE ……………………………………6分（Ⅱ）法一：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ 90∠=BAD ， 又∵90∠= PBM ， ∴ PM ∥AD ， ∴ ∆BPM ∽∆BDA ， ∴=PM BPAD BD ，……………………………………7分 同理，PN BPCD BD=，∴PM PNAD CD =， ∴63==42=PM AD PN CD ，……………………………………9分 ∵ 90∠=∠=AMP ENP ，∠=∠MPA EPN ， ∴ ∆APM ∽.∆EPN ……………………………………10分 ∴=AP PMPE PN……………………………………11分 ∴ :3:2.=AP PE 为定值.…………………………………12分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，..................8分∴ABP AEP ∠=∠，......................9分 tan tan ∴∠=∠ABP AEP∵ tan tan ，∠=∠=AP AD AEP ABP AE AB....................11分 ∴3.2==AP AD AE AB .....................12分 （或证明AEP ABD ∆∆∽）20. 本小题主要考查勾股定理、解直角三角形等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分14分．解：在ΔABD 中作DA B C ⊥于点C .…………………2分 在ABC Rt ∆中， 1645AB BAC ︒=∠=，，28==∴AC BC ……………………………………3分2628214=-=-=∴AC AD CD ………………………………4分依题意，以点D 为圆心，12海里为半径的圆形区域为暗礁区域………………5分∵ 12<所以，如果渔船不改变航线继续航行，有触礁危险.……………………………6分在BC 上取点E 使得12=ED ，连接AE ，ED . 在CED Rt ∆中，12=ED ，26=CD所以，222CD ED CE -=26=∴CE ……………………………8分在A C E Rt ∆中，222AC CE AE +=210=∴AE ……………………………9分所以，在A C E Rt ∆中，53sin ==∠AE CE EAC '3652EAC ︒∴∠= ……………………………11分因为该渔船到达点E 的时间224224===BE t 小时. 所以巡逻船速度2022210==≥t AE v 海里/小时. ………………………13分 所以，巡逻船要以北偏东''9036525308︒︒︒-=的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截. ………………………14分 （注：没有取“=”扣1分）21.本题考察学生的阅读理解能力，解一元二次方程及求解二次函数最值的能力，蕴含了数形结合的思想. 满分14分．解：（I ）由题意知，{}3,22max --=-，......................................2分 所以方程变为 2228x x -=-+，化简为 2410x x --=...................3分解得 12x =或 22x =所以方程{}23,228max x x --=-+的解为2+或2分 （II ）(1)当2236x x x x +-≥-即32x ≥时， {}22236,36,y max x x x x x x =+--=+-...................................7分∵ 236=+-y x x 的对称轴为3,2x =-而32x ≥在对称轴32x =-的右侧，y ∴随着x 的增大而增大，32x ∴=时，y 取最小值，且最小值为2333()36224y =+⨯-=.................9分（2）当2236x x x x +-<-即32x <时，{}22236,,y m a x x x x x x x =+--=-.....................................11分∵ 2=-y x x 的对称轴为1,2x =而1322<， 12x ∴=时，y 取最小值，且最小值为2111()224y =-=-..................13分由（I ）（II ）得 函数{}2236,y max x x x x =+--的最小值为14-..........14分（注：若用数形结合作答的酌情给分.）22. 本题考查用待定系数法求函数解析式及一次函数和二次函数的性质，综合了等腰直角三角形、圆、矩形的性质及垂直平分线的判定，解题过程中利用了图象平移的性质，蕴含了化归及数形结合的数学思想．满分14分．解：（I ）由已知设)0(2)1(:21≠--=a x a y C 过)0,3(B ，........................1分则024=-a ，21=a ..........................2分 23212)1(21:221--=--=∴x x x y C ..........................3分抛物线1C 的对称轴方程为1=x ，由对称性可得)0,1(-A ....................4分（II ）法一：设直线)0(≠+=k b kx y l ：由已知得⎩⎨⎧=+-=+032b k b k ，解得3,1-==b k 3:-=∴x y l ................5分设直线l 交y 轴于)3,0(-D∵ =OB OD ，45=∠∴ODB由平移的性质可知BC PQ = ∵=PF BC ，22==∴PF PQ ∵⊥PF l ，PQF ∆∴为等腰直角三角形.ODB FQP ∠==∠∴ 45，4=QFy FQ //∴轴 ....................7分设)3,(-t t Q ，则)2321,(2--t t t F ，4|)3(2321|2=----=t t t FQ 解得1-=t 或5，则)0,1(-F 或)6,5( ....................9分 法二：连接FQ 并延长交x 轴于H ，连接AF∵ 22==BC AC ，4=AB∴ABC ∆为等腰直角三角形...............5分90=∠ACB ， 45=∠=∠BAC ABC∵ l FP ⊥ ∴90=∠FPQ ∴PF AC //∵ BC PF =∴AC PF =∴四边形ACPF 为矩形 ∴AF PC // ∴ 45=∠FAH由平移的性质可知BC PQ =∴PFQ ∆为等腰直角三角形， 45=∠FQP∴ 45=∠AFH ∴AFH ∆为等腰直角三角形..........................7分设)2321,(2--m m m F ，则FH AH =即2321)1(2--=--m m m 解得1-=m 或5，即)0,1(-F 或)6,5( ..............................9分（Ⅲ）连接QR AR MQ NQ ,,,由（II ）可知 90=∠=∠FPQ ACB ，)2,5(QPF AC //∴∵=AC PF∴四边形ACPF 为矩形90=∠∴MAN RQ MN AR ==∴21R ∴在AQ 的垂直平分线上，即R 的路径是线段....11分当点M 在C 处时，R 在AQ 的中点1R 处，当点M 在A 处时，R 在AN 上的点2R 处 ∵122190,∠=∠=∠ AR R AQC R AR ∵121sin ∠==R R AC NAQ CQ AR∵===AC CQ AQ 21021=∴R R 即R 的路径长度为210......................................14分。
福建省2017年中学考试数学试卷(含问题详解)
2017年福建省中考数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．3的相反数是（ ） A ．-3 B ．13-C ．13D ．3 2．如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．用科学计数法表示136 000，其结果是（ ）A ．60.13610⨯B ．51.3610⨯C ．313610⨯D ．613610⨯ 4．化简2(2)x 的结果是（ ）A ．4x B ．22x C ． 24x D ．4x 5．下列关于图形对称性的命题，正确的是（ ） A ．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形 B ．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C ．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D ．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形 6． 不等式组：⎩⎨⎧>+≤-0302x x 的解集是（ ）A ．32x -<≤B ．32x -≤<C ． 2x ≥D ．3x <-7．某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（ ）A ．10，15B ．13，15C ．13，20D ．15，158．如图，AB 是O e 的直径，,C D 是O e 上位于AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与ACD ∠互余的角是（ ）A ．ADC ∠B ．ABD ∠C ． BAC ∠D ．BAD ∠9．若直线1y kx k =++经过点(,3)m n +和(1,21)m n +-，且02k <<，则n 的值可以是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．610．如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB 和点P 绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A B ''和点P '，则点P '所在的单位正方形区域是（ ）A ．1区B ．2区C ．3区D ．4区第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共６小题，每小题４分，共２４分．11．计算023--= ．12． 如图，ABC ∆中，,D E 分别是,AB AC 的中点，连线DE ，若3DE =，则线段BC 的长等于 ．13．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是13，那么添加的球是 ． 14．已知,,A B C 是数轴上的三个点，且C 在B 的右侧．点,A B 表示的数分别是1，3，如图所示．若2BC AB =，则点C 表示的数是 ．15．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l 上，且有一个公共顶点O ，其摆放方式如图所示，则AOB ∠ 等于 度．16． 已知矩形ABCD 的四个顶点均在反比例函数1y x=的图象上，且点A 的横坐标是2，则矩形ABCD 的面积为 ．三、解答题 ：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17． 先化简，再求值：1)11(2-⋅-a aa ，其中12-=a ．18． 如图，点,,,B E C F 在一条直线上，,,AB DE AC DF BE CF ===．求证： A D ∠=∠．19．如图，ABC ∆中，90,BAC AD BC ∠=⊥o，垂足为D ．求作ABC ∠的平分线，分别交,AD AD 于P ，Q 两点；并证明AP AQ =．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)20．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．21．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 是O e 的直径，点P 在CA 的延长线上，45CAD ∠=o．（Ⅰ）若4AB =，求弧CD 的长；（Ⅱ）若弧BC =弧AD ，AD AP =，求证：PD 是O e 的切线．22．小明在某次作业中得到如下结果：2222sin 7sin 830.120.990.9945+≈+=o o ， 2222sin 22sin 680.370.93 1.0018+≈+=o o ， 2222sin 29sin 610.480.870.9873+≈+=o o ， 2222sin 37sin 530.600.80 1.0000+≈+=o o ， 222222sin 45sin 45()()122+≈+=o o ． 据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有22sin sin (90)1αα+-=o．（Ⅰ）当30α=o时，验证22sin sin (90)1αα+-=o是否成立；（Ⅱ）小明的猜想是否成立?若成立，若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．23．自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：使用次数0 1 2 3 4 5(含5次以上) 累计车费0 0.5 0.9 a b 1.5同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：使用次数0 1 2 3 4 5人数 5 15 10 30 25 15（Ⅰ）写出,a b的值；（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利? 说明理由．24．如图，矩形ABCD 中，6,8AB AD ==，,P E 分别是线段AC 、BC 上的点，且四边形PEFD 为矩形．（Ⅰ）若PCD ∆是等腰三角形时，求AP 的长； （Ⅱ）若2AP =，求CF 的长．25．已知直线m x y +=2与抛物线2Y ax ax b =++有一个公共点(1,0)M ，且a b <． （Ⅰ）求抛物线顶点Q 的坐标（用含a 的代数式表示）； （Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点； （Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N ．（ⅰ）若211-≤≤-a ，求线段MN 长度的取值范围； （ⅱ）求QMN ∆面积的最小值．。
福州一中2017年高中招生(面向福州以外地区)
福州一中2017年高中招生（面向福州以外地区）综合素质测试理科综合试卷（考试时间：50分钟 满分：50分）学校 姓名 准考证号一、选择题（共12小题，每小题2分，共24分，每小题仅有一个选项是正确的，请将正确答案用．．．．．．．2B ．．铅笔填涂在答题卡上．．．．．．．．．）1. 关于染色体、DNA 、基因三者关系的叙述中，正确的是（ ）A ．染色体存在于DNA 分子中B ．染色体数目和基因数目一样多C ．一个DNA 分子中含有一个基因D ．DNA 主要存在于染色体上2.下列有关人体消化系统的叙述中，正确的是（ ）A ．消化腺是由胃腺、肠腺和胰腺共同组成的B ．胃是消化食物和吸收营养物质的最主要部位C ．所有的消化腺都能分泌消化液D ．所有的消化液中都含有消化酶3. 右图是植物新陈代谢示意图，甲、乙、丙分别表示不同的生理活动，①②③代表相关的物质, 以下描述正确的是（ ）A. 播种前要松土，与乙所代表的生理活动有关B. 图中甲表示光合作用，①代表二氧化碳C. 根吸收的②绝大部分经甲过程蒸发到空气中D. 丙所代表的生理活动，能为植物体各项生命活动提供能量4．以下各项中，能正确表示一条食物链的是（ ）A ．阳光→草→兔→狼B ．昆虫→蜘蛛→青蛙→蛇C ．草→兔→狼→细菌D ．草→兔→狐5．常温下，下列溶液中，pH 最小的是 （ ）A ．pH 等于7的溶液B ．使无色酚酞溶液变红的溶液C ．使紫色石蕊溶液变红的溶液D ．使红色石蕊试纸变蓝的溶液6．右图表示的是纯净物、单质、化合物、含氧化合物、氧化物之间的包含与不包含关系，若整个大圆代表纯净物，则①③所属的类别是（ ）A ．① 单质、③ 氧化物B ．① 单质、③ 含氧化合物C ．① 氧化物、③化合物D ．①化合物、③ 含氧化合物7．下列说法正确的是（ ）A ．灼烧并闻气味一定能鉴别纯棉线和羊毛线B ．能与盐酸反应生成二氧化碳的钠盐一定是碳酸钠C ．酸碱中和反应生成盐和水，则生成盐和水的反应一定是中和反应D ．带火星的细木条伸入集气瓶中，木条不复燃，则集气瓶中一定不含氧气①② ③ ④8.某白色粉末可能含有CaCl2、Na2SO4、Ba(NO3)2、K2CO3中的一种或几种。
2017福州一中追梦计划招生数学答案
2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（“追梦计划”）招生考试数学与逻辑参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．5210258+=⎧⎨+=⎩x yx y12．5<x13．333333212345621+++++=14．4+15．13<≤n三、解答题（本大题共7小题，满分90分）16. 本小题主要考查实数的运算、代数式的化简等基础知识，考查代数运算能力、化简能力，分类与整合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）原式=116-+……………………5分=8……………………………………6分（Ⅱ）原式222241--=÷--x x xxx x……………………………………8分()()222122--=⋅-+-x x xx xx x…………………………9分1=.2-+x……………………………………11分当12=-x时，原式23=-.……………………………12分17. 本小题主要考查圆的几何性质、等腰三角形的判定及性质等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查演绎论证及度量计算的逻辑思想等．满分12分．证明：（Ⅰ）∵ 四边形ABED 为⊙O 的圆内接四边形∴ 180∠+∠=oB ADE ……………………………………2分 又 ∵ 180∠+∠=oCDE ADE∴ ∠=∠B CDE ……………………………………3分 ∵ =AB AC∴ ∠=∠B C ……………………………………4分 ∴ ∠=∠C CDE ……………………………………5分 ∴ ∆CDE 为等腰三角形……………………………………6分 （Ⅱ）法一：连接AE ，∵ ⊙O 的直径为AB∴ο90=∠AEB ∴BC AE ⊥...............................7分∵AC AB =∴421==BC CE .........................................8分 由(Ⅰ)知EDC C B ∠=∠=∠，C C ∠=∠ ∴ABC ∆∽EDC ∆ ∴ECAC DC BC =...........................................10分 ∴332=⋅=DC CE BC AC .................................11分∵AC AB =∴⊙O 的半径为16.3……………………………………12分 法二：连接AE ，过点E 作⊥EF CD ，垂足为F 由（Ⅰ）知∆CDE 是以CD 为底边的等腰三角形 ∴ 1322==CF CD ………………7分 ∵ ⊙O 的直径为AB90∴∠=oAEB ……………………8分 ∵ =AB AC4∴==BE CE …………………9分 ∵ ，∠=∠∠=∠B C AEB EFC∴ ∆EFC ∽∆AEB ，……………………………10分 ∴=FC CE BE AB……………………………………11分∴ 4432332⋅⨯===CE BE AB FC∴⊙O 的半径为16.3……………………………………12分 18.本题考察反比例函数图像及性质、一次函数解析式求解问题,及求平面四边形面积问题,涉及对称与割补思想方法.满分12分． 解：（Ⅰ）过点C 分别作CE AO ⊥于点E ， 设点(,)C m n ， ∵tan 2∠=COA 2,n m ∴=..................................1分 ∵//CB OA ,B y n ∴= ∵D 为AE 的中点，,2D ny ∴=..............................................2分 又,C D 在反比例函数图象上，,D D mn x y k ∴=⋅=2,D x m ∴= ..............................................4分∵2,=B x 1,m ∴= 2,n ∴=.............................................5分 2.k mn ∴==所以，反比例函数的解析式为2.=y x...........................................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(1,2),(2,1)C D ，法一：AOC ACD OCDA S S S ∆∆=+四边形......................9分 1152211222=⨯⨯+⨯⨯=..............12分法二：BCDOCDA OABC S S S ∆=-四边形四边形矩形∆∆=+-COE BCD ABCE S S S ...............9分115121211222=⨯⨯+⨯-⨯⨯=...........12分 19. 本小题主要考查三角形全等、相似的判定方法；特殊四边形的性质及判定等基础知识，考查识图、辩图、逻辑推理能力，考查几何直观等形象思维．满分12分．（Ⅰ）法一：证明：过P 作⊥PM AB 于M ，⊥PN BC 于N ，……………………1分 ∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ 90∠=oABC ， ∴ 四边形BMPN 是矩形，又 ∵ BD 是∠ABC 的角平分线，∴ =PM PN ……………………………………2分 ∴ 四边形BMPN 是正方形， ∴ 90∠=oMPN ， ∵ ⊥AP PE ， ∴ 90∠=o APE ，∴ ∠-∠=∠-∠APE MPE MPN MPE∴ ∠=∠APM EPN ……………………………………4分 在∆APM 和∆EPN 中，∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AMP ENP PM PNAPM EPN ， ∴ ∆APM ≌∆EPN （ASA ），……………………………………5分 ∴ .=AP PE ……………………………………6分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，.....................2分∴ ∠=∠ABP AEP .....................3分 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴45ABP ︒∠=，∴ 45∠=oAEP ，∴45EAP ︒∠=∴∠=∠EAP AEP ......................5分∴ .=AP PE ……………………………………6分 （Ⅱ）法一：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ 90∠=oBAD ， 又∵90∠=o PBM ， ∴ PM ∥AD ， ∴ ∆BPM ∽∆BDA ， ∴=PM BPAD BD ，……………………………………7分 同理，PN BPCD BD=，∴PM PNAD CD=， ∴ 63==42=PM AD PN CD ，……………………………………9分∵ 90∠=∠=oAMP ENP ，∠=∠MPA EPN ， ∴ ∆APM ∽.∆EPN ……………………………………10分 ∴=AP PMPE PN……………………………………11分 ∴ :3:2.=AP PE 为定值.…………………………………12分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，..................8分 ∴ABP AEP ∠=∠，......................9分tan tan ∴∠=∠ABP AEP∵ tan tan ，∠=∠=AP ADAEP ABP AE AB....................11分 ∴3.2==AP AD AE AB .....................12分 （或证明AEP ABD ∆∆∽）20. 本小题主要考查勾股定理、解直角三角形等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分14分．解：在ΔABD 中作DA B C ⊥于点C .…………………2分 在ABC Rt ∆中， 1645AB BAC ︒=∠=，，28==∴AC BC ……………………………………3分2628214=-=-=∴AC AD CD ………………………………4分依题意，以点D 为圆心，12海里为半径的圆形区域为暗礁区域………………5分 ∵ 6212<所以，如果渔船不改变航线继续航行，有触礁危险.……………………………6分 在BC 上取点E 使得12=ED ，连接AE ，ED . 在CED Rt ∆中，12=ED ，26=CD所以，222CD ED CE -=26=∴CE ……………………………8分在A C E Rt ∆中，222AC CE AE +=210=∴AE ……………………………9分所以，在A C E Rt ∆中，53sin ==∠AE CE EAC '3652EAC ︒∴∠= ……………………………11分因为该渔船到达点E 的时间224224===BE t 小时. 所以巡逻船速度2022210==≥t AE v 海里/小时. ………………………13分 所以，巡逻船要以北偏东''9036525308︒︒︒-=的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截. ………………………14分 （注：没有取“=”扣1分）21.本题考察学生的阅读理解能力，解一元二次方程及求解二次函数最值的能力，蕴含了数形结合的思想. 满分14分．解：（I ）由题意知，{}3,22max --=-，......................................2分 所以方程变为 2228x x -=-+，化简为 2410x x --=...................3分解得 12x =或 22x =所以方程{}23,228max x x --=-+的解为2 或2.................5分 （II ）(1)当2236x x x x +-≥-即32x ≥时， {}22236,36,y max x x x x x x =+--=+-...................................7分 ∵ 236=+-y x x 的对称轴为3,2x =-而32x ≥在对称轴32x =-的右侧， y ∴随着x 的增大而增大，32x ∴=时，y 取最小值，且最小值为2333()36224y =+⨯-=.................9分 （2）当2236x x x x +-<-即32x <时，{}22236,,y max x x x x x x =+--=-.....................................11分∵ 2=-y x x 的对称轴为1,2x =而1322<， 12x ∴=时，y 取最小值，且最小值为2111()224y =-=-..................13分由（I ）（II ）得 函数{}2236,y max x x x x =+--的最小值为14-..........14分（注：若用数形结合作答的酌情给分.）22. 本题考查用待定系数法求函数解析式及一次函数和二次函数的性质，综合了等腰直角三角形、圆、矩形的性质及垂直平分线的判定，解题过程中利用了图象平移的性质，蕴含了化归及数形结合的数学思想．满分14分．解：（I ）由已知设)0(2)1(:21≠--=a x a y C 过)0,3(B ，........................1分则024=-a ，21=a ..........................2分 23212)1(21:221--=--=∴x x x y C ..........................3分抛物线1C 的对称轴方程为1=x ，由对称性可得)0,1(-A ....................4分（II ）法一：设直线)0(≠+=k b kx y l ：由已知得⎩⎨⎧=+-=+032b k b k ，解得3,1-==b k 3:-=∴x y l ................5分 设直线l 交y 轴于)3,0(-D ∵ =OB OD ，ο45=∠∴ODB 由平移的性质可知BC PQ = ∵=PF BC ，22==∴PF PQ ∵⊥PF l ，PQF ∆∴为等腰直角三角形.ODB FQP ∠==∠∴ο45，4=QFy FQ //∴轴 ....................7分设)3,(-t t Q ，则)2321,(2--t t t F ，4|)3(2321|2=----=t t t FQ 解得1-=t 或5，则)0,1(-F 或)6,5( ....................9分 法二：连接FQ 并延长交x 轴于H ，连接AF ∵ 22==BC AC ，4=AB∴ABC ∆为等腰直角三角形...............5分ο90=∠ACB ，ο45=∠=∠BAC ABC∵ l FP ⊥ ∴ο90=∠FPQ ∴PF AC // ∵ BC PF =∴AC PF =∴四边形ACPF 为矩形 ∴AF PC // ∴ο45=∠FAH由平移的性质可知BC PQ =∴PFQ ∆为等腰直角三角形，ο45=∠FQP∴ο45=∠AFH ∴AFH ∆为等腰直角三角形..........................7分设)2321,(2--m m m F ，则FH AH =即2321)1(2--=--m m m 解得1-=m 或5，即)0,1(-F 或)6,5( ..............................9分 （Ⅲ）连接QR AR MQ NQ ,,,由（II ）可知ο90=∠=∠FPQ ACB ，)2,5(QPF AC //∴∵=AC PF∴四边形ACPF 为矩形ο90=∠∴MANRQ MN AR ==∴21R ∴在AQ 的垂直平分线上，即R 的路径是线段....11分当点M 在C 处时，R 在AQ 的中点1R 处，当点M 在A 处时，R 在AN 上的点2R 处∵122190,∠=∠=∠oAR R AQC R AR∵121sin ∠==R R AC NAQ CQ AR ∵22,42,210===AC CQ AQ21021=∴R R 即R 的路径长度为210......................................14分。
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2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇
和农村地区（“追梦计划”）招生考试
数学与逻辑试卷
（满分：150分 考试时间：120分钟）
学 校： 姓 名： 准考证号： 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．
的相应位置． 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．)
1.下列运算正确的是（ ）
A ．
22423+=a a a B ．2242-=a a a C ．22422⋅=a a a D ．22
22÷=a a a 2.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
清华大学 北京大学 浙江大学 中国人民大学
3.代数式3231212x x x -+分解因式，结果正确的是（ ）
A ．23(44)-+x x x
B ．23(4)x x -
C ．3(2)(2)x x x +-
D ．23(2)x x -
4．下列命题错误．．
的个数是（ ） ① 经过三个点一定可以作一个圆；
② 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；
③ 对角线相等的四边形是矩形；
④ 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 5.无论x 取何值时，点)2,(2x x x P +-不可能．．．
在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
6.如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4:5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（ ）
A ．288
B ．144
C ．216
D ．120
A . B. C. D.
7.在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：①2甲s ＞2乙s ；②2甲s ＜2
乙s ；③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的结论是（ ）
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
8.2017年5月14日，福州一中将喜迎建校两百周年华诞，当天正好是星期日，以当天作为第1天开始算起，则第366天是（ ） A ．星期六 B ．星期日 C ．星期一 D ．星期二
9.如图，A 、B 是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是（ ）
A . 625
B .15
C .425
D .725 10．已知关于x 的不等式组0243(2)
-⎧>⎪⎨⎪-<-⎩x m x x 的解集为1x >，且使关于x 的方程
1322
x m x x -+=--有非负整数解，则符合条件的实数m 的取值之和为（ ） A. 8- B ．7- C ．2- D ．0
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共 20分．请将正确答案填在答题卡相应位置)
11. 《九章算术》是我国传统数学最重要的著作，奠定了我国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就． 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为 ．
O N P M B
A 12.若函数=-y kx b 的图象如图所示，则关于x 的不等式(3)0k x b -->的解集为 ．
13.观察下列等式：332123+=，33321236++=，333321+2+3+410=，…，根据上述规律，第五个等式为________________．
14. 如图，AB 是⊙O 的直径，8=AB ，点M 在⊙O 上，45∠=MAB ，N 是劣弧MB 的三等分点（靠近点B ），
P 是直径AB 上的一动点，则∆PMN 周长的最小值为______________．
15.定义二次函数的图象与直线x y =交点的横坐标为二次函数的不动点.已知二次函数 ()21324
=+-+-y x mn x mn 有唯一不动点，若3-≤m 且0<mn ，则n 的取值范围是 .
三、解答题(本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．（本小题满分12分） （Ⅰ）计算：()()3
0201713.142716302π-⎛⎫--+⨯︒+ ⎪⎝⎭cos ； （Ⅱ）先化简，再求值：222311-⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭x x x x x x ，其中1.2=-x
17. （本小题满分12分）
如图，已知三角形ABC ，=AB AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于D 、E 两点，连接.ED
（Ⅰ）求证：∆CDE 为等腰三角形；
（Ⅱ）若3=CD ，8=BC ，求⊙O 的半径．
18. （本小题满分12分）
如图，四边形OABC ，顶点,B C 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上,//,CB OA BA x ⊥轴，点B 的横坐标为2，tan 2,COA ∠=D 为AB 的中点，反比例函数k y x
=的图象经过,C D 两点.
（Ⅰ）求反比例函数的解析式；
（Ⅱ）求四边形OCDA 的面积.
19.（本小题满分12分） 已知四边形ABCD ，点E 在边BC 上，P 为对角线BD 上的动点，满足⊥AP PE . （Ⅰ）当四边形ABCD 为正方形时（如图1），求证：=PA PE ；
（Ⅱ）当四边形ABCD 为矩形，且6=AD ，4=CD 时（如图2），试探究:AP PE 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
20. （本小题满分14分）
如图，海中有一小岛D ，它周围12海里内有暗礁.一艘巡逻船在D 岛海域例行巡逻，某时刻航行至A 处时，测得其东北方向与它相距16海里的B 处有一渔船，且D 岛位于巡逻船正东214海里处.观测中发现，此渔船正以每小时4海里的速度沿正南方向航行.如果渔船不改变航线继续前行，有没有触礁危险？请通过计算加以说明.如果有危险，巡逻船的速度至少为多少时，才能将该渔船拦截在暗礁区域之外，并确定此时巡逻船的航向. （参考数据：sin 3652'0.6︒≈，sin5308'0.8︒
≈）
21.（本小题满分14分）
对于两个实数,a b ，我们规定{},max a b 表示,a b 中的较大值，当a b ≥时，{},max a b a =；当a b <时，{},max a b b =，例如：{}1,33max =.
（Ⅰ）求方程{}23,228max x x --=-+的实数解；
（Ⅱ）求函数{}2236,y max x x x x =+--的最小值.
22.（本小题满分14分）
如图，已知抛物线1C 的顶点坐标为)2,1(-C ，抛物线1C 与x 轴交于、A B 两点，其中()3,0B .直线l 经过、B C 两点，连接AC .
（Ⅰ）求点A 的坐标及抛物线1C 的解析式；
（Ⅱ）将抛物线1C 平移，并保持抛物线的顶点在直线l 上，当B 、C 两点分别平移到点P 、
Q 处时，过点P 作直线l 的垂线交抛物线1C 于点F ，此时恰有BC PF =，求点F 的坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，取在x 轴上方的点F ，连接AF ，设M 、N 分别为线段AC 、AF 上的动点，以MN 为直径的⊙R 经过点Q ，当点M 从C 运动到A 时，试求圆心R 经过的路径长.
备用图。