2013追梦计划数学卷答案

2013年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（“追
梦计划”）招生考试数学与逻辑参考答案
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．
20 12．1=m 13．外语 14． 55
2 15．15+
三、解答题（本大题共7小题，满分90分）
16. （1）解：原式422431)223(4-+
---=……………………………………5分 22
5=…………………………………………………………………7分 （2）解：原式1
)1()1)(1(1112
+-⋅-+-+=x x x x x ……………………………………2分 2
2)1(2)1(111+=+--+=x x x x …………………………………………5分 把12-=x 代入，原式1)112(2
2=+-=………………………………7分
17．解：（1）∵BD AC ⊥，AC 是O 的直径,
∴DF BF =.
在ABF Rt ∆中，∵90AFB ∠=︒,30A ∠=︒,
∴321==
AB BF . ∴3=DF .……………………………6分
（2）连接OB ，OD
∵30A ∠=︒
∴ 602=∠=∠A BOC .
∴2
360sin sin ===∠ OB BF BOF . ∴2=OB .
∵BD AC ⊥，AC 是
O 的直径, ∴弧=BC 弧21=
CD 弧BD .
∴2120BOD BOC ∠=∠=
∴弧BD 120421803
ππ=⨯⨯=.……………………………………12分 18．解：（1）140，90000；…………………………………………………………4分
（2）w 内x x x x x y 100100
1)501501001()50(2+-=-+-=-=；………8分 （3）解：设x 件服装放在国内销售，则5000)x -（件服装出口外销,此时销售利润为w ，那 么21=100+805000)100w x x x -
+-（）（21=1000)410000100
x --+（ 当x = 1000时，w 取得最大值为410000元.5000x -=4000（件） 答：应将4000件服装出口外销，1000件服装放在国内销售才可以获得最大的利润.最大 利润是410000元.…………………………………………………………………………12分
19．解：（1）依题意得：⎩
⎨⎧≥-≥+224222x x ，解得10≤≤x ……………………………6分 （2）解法一：假设存在实数x 满足题意，依题意 2}2,4,2{-=--x x x P
若22=-x ，则4=x ，2}2,1,2min{=+x x ，满足题意；
若12+=-x x ，无解；
若x x 22=-，则2-=x ，4}2,1,2min{-=+x x ，满足题意.
综上，当4=x 或2-=x 满足题意. …………………………………………12分
解法二：假设存在实数x 满足题意，依题意 2}2,4,2{-=--x x x P .
由于21x x -≠+，所以不必考虑min{2,1,2}1x x x +=+这种情况.
当1222x x +≥⎧⎨≥⎩
即1x ≥时，2}2,1,2min{=+x x . 令22=-x ，则4=x ，满足题意.
当1222x x x
+≥⎧⎨≥⎩即1x ≤时，min{2,1,2}2x x x +=.
令22x x -=，则2-=x ，满足题意.
综上，当4=x 或2-=x 满足题意. …………………………………………12分
20．（1）∵ABC ∆和DCE ∆都是等腰直角三角形，
90=∠=∠DCE ACB
∴CE CD CB CA ==,
在BCD ∆和ACE ∆中
=CB CA BCD ACE CD CE ⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴BCD ∆≌ACE ∆)(SAS ……………………………………………………………6分
（2）延长BD 交AE 于H ,设BD 与OM 相交于G .
∵BCD ∆≌ACE ∆，
∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠.
又∵
90=∠+∠BDC DBC ，ADH BDC ∠=∠,
∴ 90=∠+∠ADH EAC .
∴ 90=∠AHD .
∵O 是线段AB 的中点，M 是线段BE 的中点， ∴//OM AE 且12
OM AE =
. 同理可证：//,ON BD 12
ON BD = ∴OM ON =.
∵//OM AE ， ∴90BGO AHD ∠=∠=.
∵//,ON BD
∴90MON BGO ∠=∠=.
∴MON ∆是等腰直角三角形.…………………………………………………………12分
（3）11M ON ∆是等腰直角三角形……………………………………………………14分
21．解：（1）依题意得⎪⎩
⎪⎨⎧==++=+-20240c c b a c b a ，解得2,1,1==-=c b a
∴抛物线的解析式为：22++-=x x y ……………………………………………4分
（2）过A 作BC AH ⊥于H ，ABP S ∆AH BP ⋅=21，APC S ∆AH CP ⋅=2
1 ∴2:3::==∆∆CP BP S S APC ABP …………………………………………………6分
过P 作x PP ⊥'
轴于'P ，则'BPP ∆∽BCO ∆. ∴5
3'==BC BP CO PP . ∴'3655PP CO =
=.
∵以P 为圆心的圆与x 轴相切,
∴该圆半径='65
PP =………………………………………………………………8分 （3）假设存在点Q 满足题意， 设),(y x Q ，则0,0>>y x ，Q 点坐标满足22++-=x x y .
连接OQ .
∴QCAB S 四边形3222122121212++-=+⨯+⨯⨯=
x x y x . 依题意4322=++-x x ，即0122=+-x x ，
解之得122x x ==，此时Q （1，2）
∴存在点Q （1，2），使四边形QCAB 的面积是AOC ∆面积的4倍. ………………12分
（4）由已知A B 、两点关于对称轴对称，作点O 关于AC 的对称点'O ， '
OO 交AC 于 H ，过'O 作x T O ⊥'于T .
∵AC OO ⊥'，
∴AOH OAC ∠∠与互余.
又∵C OAC ∠∠与互余,
∴AOH C ∠=∠.
∵90OTO AOC '∠=∠=︒
∴TO O '
∆∽AOC ∆. ∴'OT OO OT OA AC OC '==. ∵55422'=⋅⨯
==AC OC OA OH OO , ∵5
1sin sin '''=∠==∠ACO OO T O OT O ∴54'
=T O ，同理5
8=OT . ∴)54,58('-O . 连接BN M O ,'
∵BN AN M O OM ==,'
,
∴AN MN OM ++BN MN M O ++='.
可知当B N M O ,,,'
在一条直线上时AN MN OM ++取最小值. 855
222''=
+=BT T O B O .………………………………………………………15分 易求直线'24:99
OB y x =-+的解析式为， 由直线B O '交抛物线的对称轴1=2
x 于N ， 可得)3
1,21(N …………………………………………………………17分 22．解：①0………………………………………………………………………………3分 ②C ……………………………………………………………………………………6分 ③16
5…………………………………………………………………………………9分。