散度和旋度

§ 2.4 稳恒磁场的散度和旋度DIVERGENCE AND CURL OF THE STEADY MAGNETIC FIELDS

我们已经得到稳恒磁场两个积分方程：

磁场“高斯定理”

(2.4-1)

安培环路定理

(2.4-2)

由高斯积分变换定理

于是从磁场的“高斯定理” (2.4-1)可知，对任意体积V上式右方均为零.将 V缩小成包含着任意一点的无限小邻域，我们便得到磁场的散度方程：

▽.B = 0 （2.4-3）

（比较：电场的散度方程▽.E = ρ / ε0）

再由斯托克斯积分变换定理

由面积S的任意性，我们可得到安培环路定理(2.4-2)的微分形式——稳恒磁场的旋度方程：▽×B = μ0J （2.4-4）

（比较：静电场的旋度方程▽×E = 0 ）

(2.4-3）和（2.4-4）是稳恒磁场的两个基本微分方程,它们反映了稳恒磁场的基本性质.

方程（2.4-3）表示稳恒电流的磁场是“无散场”.虽然它是从毕奥—萨伐尔定律导出的，但是由于迄今为止没有发现自由磁荷，人们认为，这方程对于非稳恒磁场也成立.

（2.4-4）则表示，，在J≠0处，▽×B ≠ 0，稳恒磁场的B 线在电流分布点周围形成涡旋，而在J = 0的地方，

▽×B = 0，涡旋不是在此处形成.

5.关于磁单极子 ( Magnetic Monopole)

按照狄拉克(Dirac)1931年的理论，磁单极子————或者说自由磁荷应当取值

n = 0 , ±1，±2 ···（2.4-5）

其中，普郎克常数 h = 6.626196(50) ×10-34焦耳秒，

e为基本电荷的绝对值.

上式表示，磁荷与电荷一样是量子化的，n =±1给出磁荷的基本值.如果狄拉克的预言最终被证实，那么在有净磁荷存在的地方，就应当有B 线发出或终止.

假定磁荷的磁场也如同电荷的电场一样遵从距离平方反比率，即离开q m为 r 处

（2.4-6）

那么，对于包围着q m的任意闭合曲面S，磁场“高斯定理”（2.4-1）就应当修改成

（2.4-7）

若以rm表示净磁荷的体密度，则从（2.4-7）可以得到磁场的散度方程

（2.4-8）

我们看到，如果自然界果真存在自由磁荷，那么磁场的高斯定理与电场的高斯定理就是对称的. 此外，由于狄拉克的磁荷是量子化的，必然导致磁通量也是量子化的.将（2.4-6）代入（2.4-7），我们马上得到

（2.4-9）

Φ0称为磁通量子，它由两个基本的物理常量e 和h 组成. （2.4-9）式表示：通过包围着净磁荷的任意闭合曲面之磁通量，一定是磁通量子Φ0的整数倍.

磁通量子化现象确实是存在的，它已经由B.S.Deaver,Jr. 和 W.M.Fairbenk最先于1961年在超导体内观测到[1]，但这是超导体内自旋相反的电子凝聚成量子态——“库栢对”（Cooper pair）的结果，似乎与磁荷是否存在这个问题无关.

1982年，B.Cabrera等曾经报道用超导量子干涉仪观测到一个可能是磁单极子的记录[2,3]，但未能获得普遍认可.

[1] B.S.Deaver,Jr.,and W.M..Fairbenk, Phys.Rev.Lett.7 (1961)43.

[2] B.Cabrera，Phys.Rev.Lett.48 (1982)1378.

[3] B.Cabrera，et,al., Phys.Rev.Lett.51 (1983)1933.

梯度 Gradient 散度 divergence 旋度curl 的物理意义

时间与空间是物理最基本的物理量：

我们也常想了解物理量随时间变化因此定义如速度＝位移随时间变

化率, 加速度=速度随时间变化率,必v=能量随时间变化率等, 因为时间是纯量所以处理起来还算比较简易,

我们也经常想了解物理量随空间的变化, 但是空间有方向性因此其变

化比较多些,

于是有所谓梯度/散度与旋度等数学运算.

力做孕i以将能量储存成位能 dU=-Fx*dx-Fy*dy-Fz*dz (或者以向量内积F．d r表示)

因此反过来可知 Fx=-dU/dx, Fy=-dU/dy, Fz=-dU/dz

因此定义Ｆ＝Fx i + Fy j +Fz k = -▽U

其中▽U= du/dx i +dU/dy j + du/dz k 称为位能Ｕ的梯度

（有没有联想到梯田的高度差！）

以重力场为例水平方向能量都一样因此重力水平方向没有差值

因此水平方向没有作用力

但是垂直方向升高某高度位能会增加因此作用力向下（因为力是负的梯度）

位能随高度增加梯度是正的因此作用力就朝下（负号的意义）

若是很短的距离内位能改变很大表示作用力很大（是否想到较陡的山）若是相同距离内位能变化较小则表示作用力也比较小（较平缓的山坡）因此从能量随空间的分布我们可以得知作用力的分布这就是梯度的用途！

接下来谈一谈电场的散度与磁场的旋度：

电场其实就是单位电荷所受的力（电位就是单位电荷的电能）

电场源自于电荷磁场源自于电流

电场和磁场最大的不同在于

电力方向在两电荷的连心在线或者说电场是径向力

而在电流的方向上没有磁场磁场存在于与电流方向垂直的平面方向

其实电与磁可说是一体的两面（这留待以后再详述）

反正你我都没有人亲眼看过电场或磁场我们都只能观察到力的效应电于电磁作用力在连心线方向的便是电场与连心线方向垂直的便

是磁场

散度主要是用于类似电场这类连心线方向的场（开放电力线）

而旋度则适用于类似磁场这类（封闭磁力线）的场．例如漩涡的水流中任一点其水流方向与中心点联机并非一致

例如电场的散度和产生径向场的源（电荷量）成正比▽．Ｅ＝ρ/ε

出现ε只是因为单位选择的因素

而磁场的旋度则和产生场的漩涡场的源（电流密度）成正比▽×Ｂ=μJ 黄福坤 (研究所)张贴:2006-10-23 22:25:30关键词:|电场:2|电荷:1

谈到电场的散度▽．Ｅ＝ρ/ε（▽．Ｅ＝dEx/dx +dEy/dy+dEz/dz 其中Ex,Ey,Ez为电场的各分量）

忍不住就和电位Ｖ的梯度连在一起谈已知Ｅ=-▽V

将以上两者合并则得到▽2V=-ρ/ε

于是得到 d2V/dx2+d2V/dy2+d2V/dz2=-ρ/ε

在电荷不存在的区域上式的右边为零于是变成 Laplace's equation （有源则称poission's equation）

(当然以上所写类似d/dx 等正确写法是偏微分但是不好输入因此以全微分写法代之)

从数值分析的角度可知任何满足Laplace的区域其电位数值恰好是四周电位的平均值

哇这样谈下去会愈谈愈多还是先停一下要是网友有兴趣再深入讨论