简单的线性规划练习习题
简单的线性规划练习题,DOC
C．25万元D．27万元
5．毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下___元.
船型
每只船限载人数
租金(元/只)
大船
5
12
小船
3
8
简单的线性规划练习题
1．不等式组 所表示的平面区域的面积等于()
A. B.
C. D.
2．设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z＝2x＋y的最小值为()
A．2B．3
C．5D．7
3．已知A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及边界运动，则z＝x－y的最大值及最小值分别是()
A．－1，－3B．1，－3
C．3，－1D．3,1
4．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是()
高中数学必修5(简单的线性规划)同步测试精选(含答案)
高中数学必修5（简单的线性规划）同步测试精选（含答案）一、选择题1．某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为z ，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )A.⎩⎨⎧ x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，z ＝20x ＋40yB.⎩⎨⎧ x ＋y ≥10，2x ＋y ≥10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，z ＝20x ＋40yC.⎩⎨⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，z ＝20x ＋40yD.⎩⎨⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，z ＝40x ＋20y2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52 B ．－2 C ．－32D ．23．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C.[]－1，6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32 4．已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0，若目标函数z ＝mx －y (m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－15．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )C ．17万元D ．18万元 二、填空题6．满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0，并使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是________．7．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最小值是________.8．设关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是________．三、解答题9．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z 等于多少？10．变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，求(x －2)2＋y 2的最小值．[能力提升]1．若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－122．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5D ．23当实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．4．设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 1≤13，S 4≥10，S 5≤15，求a 4的最大值．参考答案与解析1【解析】 由题意易知选A. 【答案】 A2【解析】 作出可行域如图，由图可知，当直线z ＝2x －y 过点A 时，z 值最小． 由⎩⎨⎧x －2y ＋2＝0，x ＋2y ＝0，得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12， z min ＝2×(－1)－12＝－52. 【答案】 A3【解析】 作出可行域如图所示．目标函数z ＝3x －y 可转化为y ＝3x －z ，作l 0：3x －y ＝0，在可行域内平移l 0，可知在A 点处z 取最小值为－32，在B 点处z 取最大值为6.【答案】 A4【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y ＝mx －z (m ≠0)与直线2x －2y ＋1＝0重合，即m ＝1时，目标函数z ＝mx －y 取最大值的最优解有无穷多个，故选A.【答案】 A5【解析】 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z万元，则有⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.【答案】 D6【解析】 首先作出直线6x ＋8y ＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点M (0,5)时截距最大，此时z 最大．【答案】 (0,5)7【解析】 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．设t ＝x ＋2y ， 则y ＝－12x ＋t2，当x ＝0，y ＝0时，t 最小＝0. z ＝3x ＋2y 的最小值为1. 【答案】 18【解析】 由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点P (x 0，y 0)，使x 0－2y 0＝2成立，只需点A (－m ，m )在直线x －2y －2＝0的下方即可，即－m －2m －2>0，解得m <－23.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－239【解】 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x ，y ，则根据条件x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，x ≤8，y ≤7，x ∈N *，y ∈N *.目标函数z ＝450x ＋350y .作出约束条件所示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x ＋350y －z ＝0知，当直线经过直线x ＋y ＝12与2x ＋y ＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即z max ＝450×7＋350×5＝4 900.10【解】不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1在平面直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．设P (x ，y )是该区域内的任意一点，则(x －2)2＋y 2的几何意义是点P (x ，y )与点M (2,0)距离的平方．由图可知，当点P 的坐标为(0,1)时，|PM |最小，所以|PM |≥22＋1＝5，所以|PM |2≥5，即(x －2)2＋y 2≥5.1【解析】 作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A －2k ，0.∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D. 【答案】 D2【解析】 法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎨⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4.故选B.【答案】 B3【解析】 画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎨⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32，所以a 的取值范围是1≤a ≤32.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，324【解】 可将此题看成关于a 1和d 的线性规划问题，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 1≤13，4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15，化简为⎩⎨⎧a 1≤13，2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3，求a 4＝a 1＋3d 的最大值，将其转化为⎩⎨⎧x ≤13，2x ＋3y ≥5，x ＋2y ≤3，求z ＝x ＋3y 的最大值问题，不等式组表示的平面区域如图所示．由z＝x＋3y，得y＝－13x＋z3，平移直线y＝－13x，由图可知，当直线y＝－13x＋z3过点A时，z有最大值．由⎩⎨⎧2x＋3y＝5，x＋2y＝3，得A(1,1)，所以z max＝1＋1×3＝4，即a4的最大值为4.。
线性计划练习题含答案
其中，所有正确结论的序号是______．【答案】①、③
47．已知实数 知足 假设目标函数 取得最小值时的最优解有无数个，那么实数 的值为____
【答案】
32．若是实数x，y知足 ，那么 的最大值___ 【答案】29
【解析】如图画出实数x，y知足 ，的可行域如下：
由图像可知当过点（7,9）时 的有最大值29.
33．假设实数 、 知足 且 的最小值为 ，那么实数 的值为____.【答案】 .
【解析】由于 最小值为3,因此最优解应为直线y=-x+b与2x-y=0的交点.由 得 ,代入y=-x+b得b= .
28．设实数 知足约束条件 ，假设目标函数 的最大值为9，那么d= 的最
小值为_____。【答案】
【解析】作出可行域，由图象可知 过点（1,4）时有最大值 ，
因 ,那么 ，
因此 得最小值为
29．已知实数x,y知足 ，那么z=2|x|+y的取值范围是_________【答案】[-1,11]
【解析】作出可行域与目标函数，结合图象可得目标函数通过（0，-1）时，有最小值-1，通过点（6，-1）时有最大值11，因此取值范围是[-1,11]。
应选B
5．假设实数 ， 知足条件 则 的最大值为（）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】作出如右图所示的可行域，当直线z=2x-y过点A时，Z取得最大值.因为A(3,-3)，因此Zmax= ,应选A.
6．设变量x，y知足约束条件 ，假设目标函数z=2x+6y的最小值为2，那么 =
A．1 B．2 C．3 D．4
2．概念 ，已知实数 知足 ，设 ，那么 的取值范围是 （ ）
简单的线性规划练习含答案
线性规划教案1.若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A2.不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B3.满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩ppp p作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D4.已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D5.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?产 品 木料(单位m 3) 第 一 种第 二 种 圆 桌 0.18 0.08 衣 柜0.090.28解：设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+005628.008.07209.018.0y x y x y x 而z =6x +10y .如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z =6x +10y 取最大值解方程组⎩⎨⎧=+=+5628.008.07209.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).答:应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一6.某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？解答提示：1．设x ，y 分别为甲、乙两种柜的日产量，目标函数z=200x＋240y，线性约束条件：作出可行域．z最大=200×4＋240×8=2720答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获最大利润2720元．。
简单的线性规划问题练习题及答案解析
1．目标函数z ＝4x ＋y ，将其看成直线方程时，z 的几何意义是( ) A ．该直线的截距 B ．该直线的纵截距 C ．该直线的横截距D ．该直线的纵截距的相反数解析：选B.把z ＝4x ＋y 变形为y ＝－4x ＋z ，则此方程为直线方程的斜截式，所以z 为该直线的纵截距．2．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2 答案：B3．若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ≤4，y ≤5，则s ＝x ＋y 的最大值为________．解析：可行域如图所示，作直线y ＝－x ，当平移直线y ＝－x至点A 处时，s ＝x ＋y 取得最大值，即s max ＝4＋5＝9.答案：94．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x y ≥－2x .x ≤3(1)求不等式组表示的平面区域的面积；(2)若目标函数为z ＝x －2y ，求z 的最小值． 解：画出满足不等式组的可行域如图所示： (1)易求点A 、B 的坐标为：A (3,6)，B (3，－6)，所以三角形OAB 的面积为：S △OAB ＝12×12×3＝18.(2)目标函数化为：y ＝12x －z 2，画直线y ＝12x 及其平行线，当此直线经过A 时，－z2的值最大，z 的值最小，易求A 点坐标为(3,6)，所以，z 的最小值为3－2×6＝－9. 一、选择题1．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0x －2y －1≤0x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0,1)B ．(－1，－1)C ．(1,0)D ．(12，12)解析：选C.可以验证这四个点均是可行解，当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.排除A ，B ，D.2．(2010年高考浙江卷)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1D.715 解析：选A.画出可行域如图： 令z ＝x ＋y ，可变为y ＝－x ＋z ，作出目标函数线，平移目标函数线，显然过点A 时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0，得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9.3．在△ABC 中，三顶点分别为A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及其边界上运动，则m ＝y －x 的取值范围为( )A ．[1,3]B ．[－3,1]C ．[－1,3]D ．[－3，－1]解析：选C.直线m ＝y －x 的斜率k 1＝1≥k AB ＝23，且k 1＝1＜k AC ＝4，∴直线经过C 时m 最小，为－1， 经过B 时m 最大，为3. 4．已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0y －1≤0x ＋2y －2≥0表示的平面区域内运动，则z ＝x－y 的取值范围是( )A ．[－2，－1]B ．[－2,1]C ．[－1,2]D ．[1,2]解析：选C.先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分， ∵z ＝x －y ，∴y ＝x －z .由图知截距－z 的范围为[－2，1]，∴z 的范围为[－1,2]．5．设动点坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧?x －y ＋1??x ＋y －4?≥0，x ≥3，y ≥1.则x 2＋y 2的最小值为( )A. 5B.10C.172 D ．10解析：选D.画出不等式组所对应的平面区域，由图可知当x ＝3，y ＝1时，x 2＋y 2的最小值为10.6．(2009年高考四川卷)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元解析：选D.设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，则获得的利润为z ＝5x ＋3y . 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．二、填空题7．点P (x ，y )满足条件⎩⎨⎧0≤x ≤10≤y ≤1，y －x ≥12则P 点坐标为________时，z ＝4－2x ＋y取最大值________．解析：可行域如图所示，当y －2x 最大时，z 最大，此时直线y －2x ＝z 1，过点A (0,1)，(z 1)max ＝1，故当点P 的坐标为(0,1)时z ＝4－2x ＋y 取得最大值5.答案：(0,1) 58．已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≤x2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________.解析：作出可行域如图所示：作直线l 0∶x ＋3y ＝0，平移l 0知当l 0过点A 时，x ＋3y 最大，由于A 点坐标为(－k3，－k 3)．∴－k3－k ＝8，从而k ＝－6. 答案：－69．(2010年高考陕西卷)铁矿石A 和B 的含铁率a ，，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b某冶炼厂至少要生产22(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析：设购买A 、B 两种铁矿石分别为x 万吨、y 万吨，购买铁矿石的费用为z 百万元，则z ＝3x ＋6y .由题意可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋710y ≥1.9，x ＋12y ≤2，x ≥0，y ≥0.作出可行域如图所示：由图可知，目标函数z ＝3x ＋6y 在点A (1,2)处取得最小值，z min ＝3×1＋6×2＝15 答案：15 三、解答题10．设z ＝2y －2x ＋4，式中x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10≤y ≤22y －x ≥1，求z 的最大值和最小值．解：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10≤y ≤22y －x ≥1的可行域(如图所示)．令t ＝2y －2x 则z ＝t ＋4.将t ＝2y －2x 变形得直线l ∶y ＝x ＋t2.则其与y ＝x 平行，平移直线l 时t 的值随直线l 的上移而增大，故当直线l 经过可行域上的点A 时，t 最大，z 最大；当直线l 经过可行域上的点B 时，t 最小，z 最小．∴z max ＝2×2－2×0＋4＝8， z min ＝2×1－2×1＋4＝4.11．已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －ay －1≥02x ＋y ≥0x ≤1(a ∈R )，目标函数z ＝x ＋3y 只有当⎩⎨⎧x ＝1y ＝0时取得最大值，求a 的取值范围．解：直线x －ay －1＝0过定点(1,0)，画出区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x ≤1，让直线x －ay －1＝0绕着(1, 0)旋转得到不等式所表示的平面区域．平移直线x ＋3y ＝0，观察图象知必须使直线x －ay －1＝0的斜率1a ＞0才满足要求，故a ＞0.12．某家具厂有方木料90 m 3 ，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2；生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元；出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产方桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所获利润最大？解：由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x 张，可获利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1x ≤902x ≤600x ∈N *?⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900x ≤300x ∈N *?x ≤300，x ∈N *.目标函数为z ＝80x .所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元． (2)设只生产书橱y 个，可获利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0.2y ≤901·y ≤600y ∈N *?⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450y ≤600y ∈N *?y ≤450，y ∈N *.目标函数为z ＝120y .所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元． (3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤902x ＋y ≤600x ≥0，x ∈N y ≥0，x ∈N ?⎩⎨⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0，且x ∈N ，y ∈N .目标函数为z ＝ 80x ＋120y .在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域 ，即可行域(图略)． 作直线l ∶80x ＋120y ＝0，即直线l ∶2x ＋3y ＝0(图略)．把直线l 向右上方平移，当直线经过可行域上的直线x ＋2y ＝900,2x ＋y ＝600的交点时，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝9002x ＋y ＝600解得交点的坐标为(100,400)．所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56000(元)．因此，生产书桌100张，书橱400个，可使所获利润最大．。
简单的线性规划练习题(优.选)
简单的线性规划练习题
1．不等式组⎩⎨⎧
x ≥0
x ＋3y ≥4
3x ＋y ≤4
所表示的平面区域的面积等于( )
A.3
2 B.2
3 C.4
3
D.34
2．设变量
x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
y ≤x
x ＋y ≥2
y ≥3x －6
，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小
值为( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
3．已知A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及边界运动，则z ＝x －y 的最大值及最小值分别是( )
A ．－1，－3
B ．1，－3
C ．3，－1
D ．3,1
4．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( )
A ．12万元
B ．20万元
C ．25万元
D ．27万元
5．毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为________元.
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高考数学专题复习七-7.2简单的线性规划-高考真题练习(附答案)
7.2简单的线性规划考点简单的线性规划1.(2018天津理,2文,2,5分)设变量x,y 满足约束条件+≤5,2t ≤4,-+≤1,≥0,则目标函数z=3x+5y 的最大值为()A.6B.19C.21D.45答案C 本题主要考查线性目标函数最值的求解.由变量x,y 满足的约束条件画出可行域(如图阴影部分所示).作出基本直线l 0:3x+5y=0,平移直线l 0,当经过点A(2,3)时,z 取最大值,z max =3×2+5×3=21,故选C.2.(2018北京理,8,5分)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则()A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)∉AC.当且仅当a<0时,(2,1)∉AD.当且仅当a≤32时,(2,1)∉A 答案D 本题主要考查不等式组的解法,元素与集合的关系.若(2,1)∈A,则有2−1≥1,2+1>4,2−≤2,解得a>32.结合四个选项,只有D 说法正确.故选D.易错警示注意区分集合条件中的“或”与“且”.本题容易把三个不等式的中间联结词认为是“或”而错选A.3.(2017课标Ⅲ文,5,5分)设x,y 满足约束条件3+2t6≤0,≥0,≥0,则z=x-y 的取值范围是()A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3]答案B 由题意,画出可行域(如图中阴影部分所示),易知A(0,3),B(2,0).由图可知,目标函数z=x-y 在点A,B 处分别取得最小值与最大值,z min =0-3=-3,z max =2-0=2,故z=x-y 的取值范围是[-3,2].故选B.4.(2017课标Ⅰ文,7,5分)设x,y 满足约束条件+3≤3,t ≥1,≥0,则z=x+y 的最大值为()A.0B.1C.2D.3答案D 本题考查简单的线性规划问题.作出约束条件表示的可行域如图:平移直线x+y=0,可得目标函数z=x+y 在A(3,0)处取得最大值,z max =3,故选D.一题多解由约束条件求出三个交点的坐标(3,0),(1,0),3212分别代入目标函数z=x+y,得到z max =3.5.(2016北京理,2,5分)若x,y 满足2t ≤0,+≤3,≥0,则2x+y 的最大值为()A.0B.3C.4D.5答案C 画出可行域,如图中阴影部分所示,令z=2x+y,则y=-2x+z,当直线y=-2x+z 过点A(1,2)时,z 最大,z max =4.故选C.思路分析先画出可行域,再令z=2x+y 并改写成斜截式,找到令z 取最大值时的点,代入求值.评析本题考查简单的线性规划,属容易题.6.(2016天津理,2,5分)设变量x,y 满足约束条件t +2≥0,2+3t6≥0,3+2t9≤0,则目标函数z=2x+5y 的最小值为()A.-4B.6C.10D.17答案B 由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分).当直线2x+5y-z=0过点A(3,0)时,z min =2×3+5×0=6,故选B.评析本题考查了简单的线性规划问题,正确画出可行域是求解的关键.7.(2016山东,4,5分)若变量x,y 满足+≤2,2t3≤9,≥0,则x 2+y 2的最大值是()A.4B.9C.10D.12答案C 作出不等式组所表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,x 2+y 2表示平面区域内的点到原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点A(3,-1)到原点的距离最大,所以x 2+y 2的最大值是10,故选C.评析本题考查了数形结合的思想方法.利用x 2+y 2的几何意义是求解的关键.8.(2016浙江,4,5分)若平面区域+t3≥0,2tt3≤0,t2+3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.355 B.2C.322D.5答案B 作出可行域如图.由2tt3=0,+t3=0,得A(2,1),由+t3=0,t2+3=0,得B(1,2).斜率为1的平行直线l 1,l 2分别过A,B 两点时它们之间的距离最小.过A(2,1)的直线l 1:y=x-1,过B(1,2)的直线l 2:y=x+1,此时两平行直线间的距离=2.故选B.9.(2015重庆,10,5分)若不等式组+t2≤0,+2t2≥0,t +2≥0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m 的值为()A.-3 B.1C.43D.3答案B 如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则-2m<2,即m>-1,所围成的区域为△ABC,S △ABC =S △ADC -S △BDC .点A 的纵坐标为1+m,点B 的纵坐标为23(1+m),C,D 两点的横坐标分别为2,-2m,所以S △ABC =12(2+2m)(1+m)-12(2+2m)·23(1+m)=13(1+m)2=43,解得m=-3(舍去)或m=1.故选B.10.(2015山东理,6,5分)已知x,y 满足约束条件t ≥0,+≤2,≥0.若z=ax+y 的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-3答案B 作出可行域如图.①当a<0时,显然z=ax+y 的最大值不为4;②当a=0时,z=y 在B(1,1)处取得最大值,为1,不符合题意;③当0<a<1时,z=ax+y 在B(1,1)处取得最大值,z max =a+1=4,故a=3,舍去;④当a=1时,z=x+y 的最大值为2,不符合题意;⑤当a>1时,z=ax+y 在A(2,0)处取得最大值,z max =2a=4,得a=2,符合题意.综上,a=2.11.(2015福建文,10,5分)变量x,y 满足约束条件+≥0,t2+2≥0,B-≤0.若z=2x-y 的最大值为2,则实数m 等于()A.-2B.-1C.1D.2答案C 当m<0时,约束条件所表示的平面区域是开放的,目标函数z=2x-y 无最大值,排除A,B,当m=2时,目标函数z=2x-y 的最大值为0,于是排除D,故选C.12.(2014课标Ⅱ理,9,5分,0.798)设x,y 满足约束条件+t7≤0,t3+1≤0,3tt5≥0,则z=2x-y 的最大值为()A.10B.8C.3D.2答案B 由约束条件得可行域如图阴影部分所示.由+t7=0,t3+1=0得A(5,2).当直线2x-y=z 过点A 时,z=2x-y 取得最大值.其最大值为2×5-2=8.故选B.方法总结解决线性规划问题的一般步骤:①画出可行域;②根据目标函数的几何意义确定其取得最优解的点,并求出该点坐标;③求出目标函数的最大值或最小值.13.(2014课标Ⅱ文,9,5分,0.700)设x,y 满足约束条件+t1≥0,tt1≤0,t3+3≥0,则z=x+2y 的最大值为()A.8B.7C.2D.1答案B 约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z=x+2y,得y=-12x+2,2为直线y=-12x+2在y 轴上的截距,要使z 最大,则需2最大,所以当直线y=-12x+2经过点B(3,2)时,z 最大,最大值为3+2×2=7,故选B.14.(2014课标Ⅰ文,11,5分,0.236)设x,y 满足约束条件+≥st≤−1,且z=x+ay 的最小值为7,则a=()A.-5B.3C.-5或3D.5或-3答案B 二元一次不等式组表示的平面区域如图所示,其中平移直线x+ay=0,可知在点,z 取得最值,因此t12+a×r12=7,化简得a 2+2a-15=0,解得a=3或a=-5,但a=-5时,z 取得最大值,故舍去,故选B.解后反思本题也可由排除法选出答案,当a=-5时,目标函数无最小值,当a=3时,可以判断出目标函数的最小值为7,所以选B.15.(2014北京理,6,5分)若x,y 满足+t2≥0,B-+2≥0,≥0,且z=y-x 的最小值为-4,则k 的值为()A.2B.-2C.12D.-12答案D 由t =−4,=0得A(4,0).由图推测直线kx-y+2=0必过A(4,0),得k=-12,经验证符合题目条件.故选D.16.(2014课标Ⅰ理,9,5分)不等式组+≥1,t2≤4的解集记为D.有下面四个命题:p 1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p 2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p 3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p 4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是()A.p 2,p 3B.p 1,p 2C.p 1,p 4D.p 1,p 3答案B 不等式组+≥1,t2≤4表示的平面区域D 如图阴影区域所示.设z=x+2y,作出基本直线l 0:x+2y=0,经平移可知直线l:z=x+2y 经过点A(2,-1)时z 取得最小值0,无最大值.对于命题p 1:由于z 的最小值为0,所以∀(x,y)∈D,x+2y≥0恒成立,故x+2y≥-2恒成立,因此命题p 1为真命题;由于∀(x,y)∈D,x+2y≥0,故∃(x,y)∈D,x+2y≥2,因此命题p 2为真命题;由于z=x+2y 的最小值为0,无最大值,故命题p 3与p 4错误,故选B.17.(2013课标Ⅱ文,3,5分,0.693)设x,y 满足约束条件t +1≥0,+t1≥0,≤3,则z=2x-3y 的最小值是()A.-7B.-6C.-5D.-3答案B 由约束条件得可行域(如图),当直线2x-3y-z=0过点A(3,4)时,z min =2×3-3×4=-6.故选B.18.(2013课标Ⅱ理,9,5分,0.788)已知a>0,x,y 满足约束条件≥1,+≤3,≥ot3).若z=2x+y 的最小值为1,则a=()A.14B.12C.1D.2答案B 由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC 及其内部),由=1,=ot3)得A(1,-2a),当直线2x+y-z=0过点A 时,z=2x+y 取得最小值,所以1=2×1-2a,解得a=12,故选B.解题关键根据约束条件准确画出可行域,从而经过平移确定直线z=2x+y 过可行域内的点A 时z 取得最小值是解题的关键.19.(2013湖北文,9,5分)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆.则租金最少为()A.31200元B.36000元C.36800元D.38400元答案C 设旅行社租用A 型客车x 辆,B 型客车y 辆,租金为z 元,则线性约束条件为+≤21,t ≤7,36+60≥900,≥0,≥0,目标函数为z=1600x+2400y.画出可行域:当目标函数z=1600x+2400y 经过点A(5,12)时,z min =1600×5+2400×12=36800.选C.20.(2012课标,5,5分)已知正三角形ABC 的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内部,则z=-x+y 的取值范围是()A.(1-3,2)B.(0,2)C.(3-1,2)D.(0,1+3)答案A 由题意知可行域为△ABC(不含边界).当直线-x+y-z=0过点C(1+3,2)时,z min =1-3;当过点B(1,3)时,z max =2.故选A.评析本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想.正确理解直线的斜率、截距的几何意义是求解的关键.21.(2016浙江,3,5分)在平面上,过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.由区域t2≤0,+≥0,t3+4≥0中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=()A.22B.4C.32D.6答案C 由不等式组画出可行域,如图中的阴影部分所示.因为直线x+y-2=0与直线x+y=0平行,所以可行域内的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2,-2),D(-1,1),所以|AB|=|CD|=(2+1)2+(−2−1)2=32.故选C.22.(2022全国乙文,5,5分)若x ,y 满足约束条件+≥2,+2≤4,≥0,则z =2x -y 的最大值是()A.-2B.4C.8D.12答案C 由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示,联立+2=4,=0,可得A (4,0),当直线z =2x -y 过点A 时,z =2x -y 取最大值,z max =2×4-0=8,故选C .23.(2021全国乙文,5,5分)若x ,y 满足约束条件+≥4,−≤2,≤3,则z =3x +y 的最小值为()A.18B.10C.6D.4答案C 解题指导:思路一:先画出可行域,然后移动直线3x +y =0,最后由z 与纵截距的关系得最优解,计算即可;思路二:先求出可行域顶点的坐标,然后分别求出各顶点处目标函数值,通过比较大小得到z 的最小值.解析解法一:作出不等式组表示的可行域,如图.作直线l :3x +y =0,平行移动直线l ,可知当平移后的直线过点(1,3)时,纵截距最小,即z 最小.故z min =3×1+3=6.故选C .解法二:根据线性约束条件得出可行域为△ABC 及其内部(如上图所示),其中A (3,1),B (1,3),C (5,3),经检验,知目标直线过点B (1,3)时,z 取最小值,即z min =3×1+3=6.解后反思:对于直线z =Ax +By ,若B >0,则当目标直线向上移动时,z 变大;若B <0,则当目标直线向下移动时,z 变大.24.(2020课标Ⅰ理,13,5分)若x ,y 满足约束条件2+−2≤0,−−1≥0,+1≥0,则z =x +7y 的最大值为.答案1审题指导:作出可行域移动直线x +7y =0过A (1,0)时有z max .解题思路:作出可行域如图,由z =x +7y 得y =-7+7,易知当直线y =-7+7经过点A (1,0)时,z 取得最大值,z max =1+7×0=1.方法总结:线性规划问题的最优解一般在可行域的边界或顶点处取得,所以可以通过平移目标函数所对应的直线判断最优解,还可以通过比较边界或顶点处的目标函数值进行判断.25.(2016江苏,12,5分)已知实数x,y 满足t2+4≥0,2+t2≥0,3tt3≤0,则x 2+y 2的取值范围是.答案,13解析画出不等式组t2+4≥0,2+t2≥0,3tt3≤0表示的可行域如图:由x-2y+4=0及3x-y-3=0得x 2+y 2表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方可得22)max =22+32=13,(x 2+y 2)min =d 2=45,其中d 表示点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离,所以x 2+y 2的取值范围,13.解后反思对于线性规划问题,要正确作出可行域,并理解目标函数的几何意义,分清常规的“距离型”“斜率型”与“截距型”是解题的关键.26.(2020课标Ⅱ文,15,5分)若x,y 满足约束条件+≥−1,t ≥−1,2t ≤1,则z=x+2y 的最大值是.答案8解析作出约束条件表示的可行域,如图所示.由图可知直线z=x+2y 过点A(2,3)时,z 取得最大值,最大值为2+2×3=8.27.(2019课标Ⅱ文,13,5分)若变量x,y 满足约束条件2+3t6≥0,+t3≤0,t2≤0,则z=3x-y 的最大值是.答案9解析本题考查简单的线性规划问题;以二元一次不等式组作为约束条件考查学生数形结合思想及运算求解能力;考查数学运算的核心素养.作出可行域(如图阴影部分所示).易得A(3,0),B(1,2),C(0,2).将z=3x-y 化为y=3x-z,由图知,当直线y=3x-z 经过点A(3,0)时,截距-z 取得最小值,从而z 取得最大值.z max =3×3=9.易错警示因为目标函数中y 的系数为负值,所以容易理解为在点C 处取得最大值,导致错误.28.(2018课标Ⅲ文,15,5分)若变量x,y 满足约束条件2++3≥0,t2+4≥0,t2≤0,则z=x+13y 的最大值是.答案3解析本题考查简单的线性规划.解法一:根据约束条件作出可行域,如图所示.z=x+13y 可化为y=-3x+3z.求z 的最大值可转化为求直线y=-3x+3z 纵截距的最大值,显然当直线y=-3x+3z 过A(2,3)时,纵截距最大,故z max =2+13×3=3.解法二:画出可行域(如上图),由图知可行域为三角形区域,易求得顶点坐标分别为(2,3),(2,-7),(-2,1),将三点坐标代入,可知z max =2+13×3=3.29.(2018浙江,12,6分)若x,y 满足约束条件t ≥0,2+≤6,+≥2,则z=x+3y 的最小值是,最大值是.答案-2;8解析本小题考查简单的线性规划.由约束条件得可行域是以A(1,1),B(2,2),C(4,-2)为顶点的三角形区域(含边界),如图.当直线y=-13x+3过点C(4,-2)时,z=x+3y 取得最小值-2,过点B(2,2)时,z=x+3y 取得最大值8.思路分析(1)作出可行域,并求出顶点坐标.(2)平移直线y=-13x,当在y 轴上的截距最小时,z=x+3y 取得最小值,当在y 轴上的截距最大时,z=x+3y 取得最大值.30.(2016课标Ⅲ,13,5分)设x,y 满足约束条件2t +1≥0,t2t1≤0,≤1,则z=2x+3y-5的最小值为.答案-10解析可行域如图所示(包括边界),直线2x-y+1=0与x-2y-1=0相交于点(-1,-1),当目标函数线过(-1,-1)时,z 取最小值,z min =-10.31.(2014安徽,13,5分)不等式组+t2≥0,+2t4≤0,+3t2≥0表示的平面区域的面积为.答案4解析不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分.由+3t2=0,+2t4=0得=8,=−2.∴A(0,2),B(2,0),C(8,-2).直线x+2y-4=0与x 轴的交点D 的坐标为(4,0).因此S △ABC =S △ABD +S △BCD =12×2×2+12×2×2=4.故答案为4.32.(2013课标Ⅰ,14,5分,0.660)设x,y 满足约束条件1≤≤3,-1≤t ≤0,则z=2x-y 的最大值为.答案3解析可行域为如图所示的阴影部分,由z=2x-y,得y=2x-z.-z 的几何意义是直线y=2x-z 在y 轴上的截距,要使z 最大,则-z 最小,所以当直线y=2x-z 过点A(3,3)时,z 最大,最大值为2×3-3=3.33.(2012课标理,14,5分)设x,y满足约束条件t ≥−1,+≤3,≥0,≥0,则z=x-2y的取值范围为.答案[-3,3]解析由不等式组画出可行域(如图所示).当直线x-2y-z=0过点B(1,2)时,z min=-3;过点A(3,0)时,z max=3.∴z=x-2y的取值范围是[-3,3].评析本题考查了简单线性规划知识;考查了数形结合的思想方法.34.(2011课标文,14,5分)若变量x,y满足约束条件3≤2+≤9,6≤t≤9,则z=x+2y的最小值为.答案-6解析画出约束条件所表示的平面区域,如图阴影部分所示:当目标函数表示的直线经过点A(4,-5)时,z有最小值,z min=4+2×(-5)=-6.失分警示本题易将平面区域画错或者将目标函数表示的直线的斜率看成12而致错.评析本题考查线性规划问题,正确作图是得分的前提.。
课时作业3：3.5.2 简单的线性规划（一）
3.5.2简单的线性规划问题（一）一课一练一．选择题1. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是（）.A．50x+40y =2000 B．50x+40y C．50x+40y D．40x+50y2．若x，y R，且,且z＝x＋2y的最小值等于()．A．2 B．3 C．5 D．93．设x，y满足则z＝x＋y ()．A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值4．如下图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为()．A. B.C．4 D.5. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18 吨.那么该企业可获得最大利润是（）A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元6. 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元，派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为( )A.4 650元B.4 700元C.4 900元D.5 000元二．填空题7．已知a>0，x，y 满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于_______. 8．已知，则z＝3x－y的最大值为________．9．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．三．解答题10．已知f(x)＝3x－y，且－1≤x＋y≤1,1≤x－y≤3，求f(x)的取值范围．11．某企业生产A，B两种产品，生产每吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：产品品种劳动力(个)煤(t)电(kW)A产品39 4B产品104 5已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360 t，并且供电局只能供电200 kW，试问该企业生产A，B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？3.5.2简单的线性规划问题（一）一课一练参考答案一．选择题1. 【答案】B2．【答案】 B【解析】可行域如下图阴影部分所示，则当直线x＋2y－z＝0经过点M(1,1)时，z＝x＋2y取得最小值，为1＋2＝3. 3．【答案】 B【解析】作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如下图中阴影部分所示．由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，作直线l：y＝－x.当平移直线l至经过A(2,0)时，z 取得最小值，z min＝2，由图可知无最大值．故选B.4．【答案】B【解析】由y＝－ax＋z知当－a＝k AC时，最优解有无穷多个．∵k AC＝－，∴a＝.5. 【答案】D【解析】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系：A原料B原料甲产品吨乙产品吨则有，目标函数.作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当x=3,y=4时可获得最大利润为27万元，故选D.6.【答案】C【解析】设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x,y,获得利润为z,则根据条件得x,y满足的约束条件为，目标函数.作出约束条件所表示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线知，当直线经过直线与的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即z max=450×7+350×5=4900（元）.二．填空题7．【答案】【解析】作出不等式组表示的可行域，如下图(阴影部分)．易知直线z＝2x＋y过交点B时，z取最小值，由得∴z min＝2－2a＝1，解得a＝.8．【答案】9【解析】画出可行域如下图所示，当直线z＝3x－y过点(3,0)时，z max＝9.9．【答案】2 300【解析】设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则，目标函数为z＝200x＋300y.作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2 300元．三．解答题10．【解析】作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如下图中阴影部分所示．在可行域内平移直线l：3x－y＝0，当直线l向下平移过B(0，－1)，即直线x－y－1＝0与x＋y＋1＝0的交点时，f(x)min＝3×0＋1＝1；当直线l向下平移过A(2，－1)即直线x－y－3＝0与x＋y－1＝0的交点时，f(x)max＝2×3＋1＝7，∴11．【解析】设生产A，B两种产品各为x，y吨，利润为z万元，则，z＝7x＋12y.作出可行域(如下图)，作出在一组平行直线7x＋12y＝t(t为参数)，此直线经过M(20,24)，故z的最优解为(20,24)，z的最大值为7×20＋12×24＝428(万元)．。
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1．不等式组 所表示的平面区域的面积等于()
A. B.
C. D.
2．设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z＝2x＋y的最小值为()
A．2B．3
C．5D．7
3．已知A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及边界运动，则z＝x－y的最大值及最小值分别是()
A．12万元B．20万元
C．25万元D．27万元
5．毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为________元.
船型
每只船限载人数
租金(元/只)
大船
5
12Байду номын сангаас
小船
3
8
A．－1，－3B．1，－3
C．3，－1D．3,1
4．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是()