磁感应强度

磁场高斯定理 磁场环路定理
1
一、磁场的高斯定理
r r 1.磁力线 1.磁力线 BB BA 为形象的描绘磁场分布的而 引入的一组有方向的空间曲线。 引入的一组有方向的空间曲线。 B A 1.规定 规定 •方向：磁力线上某点的切线方向为该点磁场方向。 方向： 方向 磁力线上某点的切线方向为该点磁场方向。
r dS ⊥ = dS cos( E n ) = dS cosθ
r r dϕ m = BdS ⊥ = BdS cosθ = B ⋅ dS r 式中： 式中：dS = dSn 称为面元矢量。 ˆ 称为面元矢量 面元矢量。 ˆ 为法线方向单位矢量。 n 为法线方向单位矢量。
穿过一面元的磁通量： 穿过一面元的磁通量：
结果
作一安培回路如图： 作一安培回路如图： bc和 da两边被电流平 和 两边被电流平 面等分。 和 面等分。ab和cd 与电 流平面平行,则有 则有： 流平面平行 则有： v
v dB
v dB'
p
v dB ' '
l
d
c
o dl ' '
a
b
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为 均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。 均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
2
⊥
r B
2.磁力线形状 磁力线形状 •直线电流的磁力线分布 直线电流的磁力线分布
•载流螺线管的磁力线分布 载流螺线管的磁力线分布
I
3.磁力线的性质 磁力线的性质 1.磁力线为闭合曲线或两头伸向无穷远； 磁力线为闭合曲线或两头伸向无穷远； 磁力线为闭合曲线或两头伸向无穷远 2.磁力线密处 B 大；磁力线疏处 B 小； 磁力线密处 3.闭合的磁力线和载流回路象锁链互套在一起； 闭合的磁力线和载流回路象锁链互套在一起； 闭合的磁力线和载流回路象锁链互套在一起 4.磁力线和电流满足右手螺旋法则。 磁力线和电流满足右手螺旋法则。 磁力线和电流满足右手螺旋法则
∫
r r B ⋅ dl =
I r2 I= πr 2= 2 I ∑ 2 πR R
∫ Bdl
cos θ
L
R
由于环路上各点 磁感应强度 大小相 方向与环路一致。 等，方向与环路一致。
r
r r B // d l ,
cosθ = 1
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r r r2 B ⋅ dl = B∫ dl = B2πr = µ0 ∑ I= µ0 2 I ∫ R µ0I B = r∝r 2 2π R
r (2) B 为环路上一点的磁感应强度，不是任意点的， 为环路上一点的磁感应强度，不是任意点的，
它与环路内外电流都有关。 它与环路内外电流都有关。 (3)环路定理只适用于闭合电流或无限电流 有限电流 环路定理只适用于闭合电流或无限电流.有限电流 环路定理只适用于闭合电流或无限电流 不适用环路定理，只能用毕奥—萨伐尔定律 萨伐尔定律。 不适用环路定理，只能用毕奥 萨伐尔定律。 (4)安培环路定理说明磁场性质 磁场是有旋场。 安培环路定理说明磁场性质—磁场是有旋场 安培环路定理说明磁场性质 磁场是有旋场。
r
L
1 B∝ r
r
L
R
r
2πR B ∝ r
0
o
R
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例3：一环形载流螺线管，匝数为 ：一环形载流螺线管， N ，内径为 R1 ，外径为 R2 ，通 求管内磁感应强度。 有电流 I ，求管内磁感应强度。 解：在管内作环路半径为 r的圆环 ， 的圆环 环路内电流代数和为： 环路内电流代数和为：∑ I = NI
1 2
(S )
2
16
3
2.磁通量 2.磁通量 定义:通过任一曲面的磁力线的条 定义 通过任一曲面的磁力线的条 磁通量。 数称为通过这一面元的磁通量 数称为通过这一面元的磁通量。 1.穿过一面元的磁通量 dϕ m 穿过一面元的磁通量
ˆ dS n
θ θ
r B
dS 面元在垂直于磁场方 向的投影是 dS ⊥ ，
∧
dS⊥
所以通过面元 dS 的磁通量, r 的磁通量等于面元dS ⊥的磁通量
二、安培环路定理
1.定理表述 1.定理表述 磁感应强度沿闭合回路的线积分等于环路所包围 的电流代数和乘以 µ0。 数学表达式： 数学表达式：
∫
L
r r B ⋅ dl = µ 0 ∑ I
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安培环路定理 2.明确几点 2.明确几点
∫
L
r r B ⋅ dl = µ 0 ∑ I
(1)电流正负规定：电流方向与环路方向满足右手定 电流正负规定： 电流正负规定 取正；反之取负。 则时电流 I 取正；反之取负。
4
2.穿过某一曲面的磁通量 .
r r ϕ m = ∫∫ dϕ m = ∫∫ B ⋅ dS
dϕ m
r B
= ∫∫ BdScosθ
3.穿过闭合曲面的磁通量 .
dS
ˆ n
S
r r ϕ m = ∫∫ dϕ m = B ⋅ dS
磁力线穿出闭合面为正通量， 磁力线穿出闭合面为正通量， 磁力线穿入闭合面为负通量。 磁力线穿入闭合面为负通量。 磁通量单位：韦伯， 磁通量单位：韦伯，Wb
•大小：通过磁场中某点垂直于 大小： 大小 磁感应强度的单位面积的磁力 线根数等于该点磁感应强度的 dϕ m 大小。 大小。
dϕ m
dS⊥
B =
dS
磁感应强度大小为磁力线的面密度。 磁感应强度大小为磁力线的面密度。 可用磁力线的疏密程度表示磁感应强度的大小 疏密程度表示磁感应强度的大小。 可用磁力线的疏密程度表示磁感应强度的大小。
区域在圆柱体外作一环路， 2.圆柱体外一点 r > R 区域在圆柱体外作一环路， 圆柱体外一点 环路内电流代数和为： 同理： 环路内电流代数和为： ∑ I = I 同理：
I
r r B ⋅ dl = B ∫ dl = B2πr = µ0 I ∫ µ0I 1 B B = ∝ 2π r r µI
分布曲线： 分布曲线：
I B
r L
θ = 0, cosθ = 1 µ0I 2π r= µ 0 I 左边= 左边 B ∫ dl = 2π r L 右边= 右边 µ0 ∑ I = µ0 I
左边=右边 定理成立。 左边 右边 定理成立。 推广到任意路径都成立，证毕。 推广到任意路径都成立，证毕。
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r r (3)要求环路上各点 B 大小相等， 的方向与环路方向 要求环路上各点 大小相等， B r r µ0 ∑ I 一致，目的是将: B ⋅ dl = µ 一致，目的是将 0 ∑ I 写成 B = ∫L ∫ dl r 的方向与环路方向垂直， 或 B 的方向与环路方向垂直， r r r r B ⊥ dl , cosθ = 0 ∫ B ⋅ dl = 0
L
安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有 高度的对称性 。 利用高安培环路定理求磁感应强度的关健： 利用高安培环路定理求磁感应强度的关健：根据 磁场分布的对称性，选取合适的闭合环路。 磁场分布的对称性，选取合适的闭合环路。 3.选取环路原则 3.选取环路原则 (1)环路要经过所研究的场点 (1)环路要经过所研究的场点。 环路要经过所研究的场点。 (2)环路的长度便于计算； 环路的长度便于计算； 环路的长度便于计算
rR
o R1
2
当 r >> ( R2 – R1) 时N = n 为沿轴向线圈密度； 为沿轴向线圈密度；
µ 0 NI B 2πr = µ0 NI ∴ B = 2πr
2πr
r r Q ∫ B ⋅ dl = µ 0 ∑ I
L
B = µ0nI与直螺管的结论一致。 与直螺管的结论一致。
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例4：无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 ：无限大平板电流的磁场分布。 薄平板垂直于纸面放置， 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（ 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。 v 解：视为无限多平行长 dB' v 直电流的场。 直电流的场。 p dB v 分析求场点p的对称性 垂线， 做 po 垂线，取对称的 长直电流元，其合磁场 长直电流元， 方向平行于电流平面。 方向平行于电流平面。
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例1：密绕载流螺线管通有电流为 I，线圈密度为 n， ： 线圈密度为 ， 求管内一点的磁感应强度 求管内一点的磁感应强度 。 解：理想密绕螺线管，管内的磁 . .. . .. . .. . .. . .. r 理想密绕螺线管， a b 场是均匀的， 场是均匀的，管外的磁场为 0 ； B 作闭合环路 abcda,环路内的 环路内的 电流代数和为： 电流代数和为：∑ I = nabI
当 r >> ( R2 – R1) 时
r
B = µ0nI 与直螺管的结论一致。 d
N = n 为沿轴向线圈密度； 为沿轴向线圈密度； 2πr
1
dr
r
d2 d1
h
r r Φm = ∫∫ B ⋅ dS = ∫d2 Bhdr
2
µ0 N I h d2 dr µ0 N I h d1 = ∫d2 r = 2π ln d 2 2π
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特例：以无限长载流直导线为例。 特例：以无限长载流直导线为例。 长直导线周围的B 线为一系列的同心圆， 长直导线周围的 线为一系列的同心圆，选取 路径方向与磁感应强度方向相同； 感应强度方向相同 路径方向与磁感应强度方向相同；
L
r r 左边= 左边 ∫ B ⋅ dl = ∫L Bdl cosθ
由于环路上各点的磁感应强 r r 度大小相等； 度大小相等；且 B // dl
b c a b
r r r r r r r r r r ∫ B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl