对应分析

1.对应分析

对应分析表(A correspondence table)是一个两维表(two-way table)，表中的单元包含行变量和列表量之间对应测度的一些信息。所谓的对应测度(The measure of correspondence)，可以表明行变量或列变量之间的近似程度(similarity)、密切关系(affinity)、复杂关系(confusion)、关联程度(association)或交互作用(interaction)。交叉列联表(a crosstabulation)是对应分析表中最普通的一种类型，该表中的单元格包含频数(计数)。

利用SPSS中的列联表分析也可以得到交叉列联表，但是交叉列联表并不总是能够清晰地刻画出行变量和列变量之间的本质关系。当我们所感兴趣的变量是名义变量(没有内在的次序或秩序)同时还包含很多类型时，这种问题尤其突出。一个有关职业和早餐谷类食品的交叉列联表，也许能够告诉我们观测单元频数和期望频数是否存在显著差异，但是它很难识别出从事何种职业的人们喜欢哪种类似的早餐食品，同时也很难对早餐口味进行归类。

利用多维空间图形，对应分析可以分析两个名义变量之间的关系。这种图形称为对应分析图，是利用计算出来的行变量和列变量得分而绘制的。变量中相似的类型在图形中比较接近，因此通过这种方法可以很容易看出某个变量的哪些类型和其它类型相似，也可以分析出行变量和列变量的哪些类型存在相关性。SPSS的对应分析方法还容许用辅助点(supplementary points)对根据活动点定义出的空间进行拟合。

如果没有办法根据类型的得分排序，或者这种排序与我们的直觉不相符，那么可以设定某些类型的得分相同，实际上就是对类型的次序设定限定条件。比如说，我们预期变量“吸烟行为”有四个类型：不吸烟、少量吸烟、适度吸烟和大量吸烟，每一类型都有对应于次序的得分，但是对应分析对这四个类型进行排序时，可以限定适度吸烟和大量吸烟的得分相同。

利用距离来进行对应分析依赖于我们所使用的正态化方法。对应分析可用来分析一个变量类型之间的差异，同时也可以分析变量(行变量和列变量)之间的差异。在默认的正态化方法下下，SPSS的对应分析主要用来研究行变量与列变量之间的差异(。

对应分析算法可以进行各种类型的分析。标准的对应分析以行变量和列变量为中心并且分析这两个变量之间的开方距离。但是也有其它的中心选项，利用欧式距离，并且以低维空间的矩阵作为代表。

正态化过程将惯量分布到行变量和列变量得分上，不管采用哪种类型的正态化方法，对应分析的某些输出结果，比如奇异值(the singular values)、每个维度的惯量(the inertia per dimension)和贡献度(contributions)并不发生变化。但是行变量得分、列变量得分和它们的方

差却受到正态化方法的影响。对应分析有多种分散惯量的方法，最常用的方法是将惯量仅仅分散到行得分或列得分上，或者将它对称分散到行得分或者列得分上。

对应分析有下面四种正态化方法：

1、行主成分法(Row principal)：在行主成分正态化过程中，行点之间的欧氏距离(Euclidean distances)近似于对应分析表中行变量之间的开方距离，行得分是列得分的加权平均，列得分要进行标准化，使得其平方距离的加权和为1(质心)。由于主成分正态化方法对行类型距离取最大值，如果我们仅仅对行变量各类型之间的差距感兴趣，那么就应该使用这种方法；

2、列主成分法(Column principal)：在另外一个方面，列点之间的欧氏距离(Euclidean distances)近似于对应分析表中行变量之间的开方距离，此时列得分是行得分的加权平均，行得分要进行标准化，使得其平方距离的加权和为1(质心)。列成分正态化方法对列类型距离取最大值，如果我们仅对列变量各类型之间的差距感兴趣，那么就应该使用这种方法；

3、对称法(Symmetrical)：行变量和列变量可以按照一视同仁的方法来处理，这种对称正态化方法将相同的惯量分布到行得分和列得分上。需要注意的时，此时行点距离或者列点距离与开方距离都不存在近似相等关系，如果我们对两组变量间的差异性或者近似性感兴趣，通常使用这种方法；使用这种方法时，通常还要绘制二维图。

4、主成分法(Principal)：第四个选项是主成分正态化(principal normalization)，利用这种方法在进行对应分析时，惯量要被分散两次，一次是分散到行得分上，另外一次是分散到列得分上。如果我们仅对行点之间的距离和列点之间的距离感兴趣，但是并不关心行点和列点之间的关系时，可以使用这种方法。使用主成分正态化方法时，绘制二维图就不合适了，因此我们使用主成分正态化方法时，就不能选择输出二维图。

例1 吸烟行为与工作类型的关系

前面的分析中已经提到过，对应分析的主要目标是利用对应表显示行变量和列变量之间的关系。本例中使用的数据来自Greenacre(1984)，利用他假设的数据来分析职员类型和吸烟之间的关系。下表是数据中使用的变量名、变量标签和变量标签值：

其中变量staff最后一个类型(National Average)和smoke的最后两个类型(No Alcohol 和Alcohol)在分析中作为辅助(supplementary)类型。

打开SPSS中tutorial\sample files文件夹中的smoking.sav .

数据文件中的个案以计数值进行了加权，因此在分析之前要以变量count为权数，对个案进行加权，点击Data→Weight Cases...，进入加权个案对话框；

选择变量count，移入Weight cases by下Frequency Variable文本框中，点击OK按钮，完成个案的加权；

首先使用行主成分正态化的方法来进行对应分析，点击Analyze→Data Reduction→Correspondence Analysis...，进入对应分析对话框；

从左侧变量列表框中选择Staff Group为行变量，移入Row Variable方框中，点击Define 按钮，进入定义行变量范围对话框；在minimum value后键入1，maximum value后键入5，设定行变量的类型数为5个，点击Update后再键入Continue按钮，回到对应分析对话框；

选定Smoking为列变量，移入Column Variable方框中，点击Define Range按钮，也进

入定义行变量范围对话框；在minimum value后键入1，maximum value后键入4，设定列变量的类型数为4个，点击Update后再键入Continue按钮，回到对应分析对话框

点击Statistics ，进入对应分析统计量对话框；增加Row profiles 、Column profiles 、Permutations of the correspondence table 以及Confidence Statistics for 下的Row points 和

Column points 这几个选项，点击Continue 按钮，回到对应分析对话框，点击OK 按钮，输出对应分析结果。

对应表(correspondence table)显示列变量smoking behavior 和行变量staff group 的分布，也就是说表中每一行对应一类职员，每一列对应一种吸烟行为。行边际总和(The marginal row totals)显示该公司的高级职员有51人，低级职员有88人，他们的人数远远多于管理人员和秘书；但是高级管理人员(Sr Managers)和低级管理人员(Jr Managers)的吸烟行为的分布，与高级职员和低级职员的情况是非常相似的。观察列边际总和(column totals)，发现不吸烟的人数(nonsmokers)和适度吸烟的人(medium smokers)大体相等。但是考虑到吸烟行为以后，各种职员是否有某种共同点？工作类型和吸烟行为是否存在某种关系？要回答这些问题还要进行下面的分析。

在理想状态下，对应分析应该在尽可能低的维度中反映出行变量和列变量中的关系。但是看看上面综述表(Summary)中的最大维度数，可以了解每一维度的相对重要性。分别将(活动的，active rows)行变量数和(活动的，active columns)列变量数减去1，取它们的最小值，就得到最大维度数(即()min 1,1r c --)。比如本例中真正进入分析过程的行变量有5个类

型，列变量有四个类型，因此本例最多有3个维度(()min 51,413--=)。

从综述表中可以看到第一维度的惯量(inertia ，测度数据变动程度的统计量)最大；第二维度的惯量与第一维度的惯量正交，而且它尽量解释剩下的变动；同样第三维度的惯量也和第二维度正交。每一维度尽可能对总惯量进行分解，将每一维度的惯量和总惯量进行对比就可以知道每一维度的重要性。比如本例中第一维度的惯量占总体的87.8%(0.075/0.085)，而第二维度仅占11.8%(0.010/0.085)。

如果对应分析结果中有q 个维度，但是前p 个维度已经能显示总惯量的绝大部分，此时我们不需要再关注那个最大维度。比如本例前两个维度的惯量加起来已占总惯量的99.6%，第三维度仅占总惯量的0.4%，因此两个维度就已足够了。

可以将奇异值(The singular values)理解为行得分和列得分之间的相关系数，它们近似于相关分析中的佩尔森相关系数。对每个维度来说，奇异值的平方就是特征值(eigenvalue)，也就等于惯量inertia ，因此奇异值也是测度每一维度重要性的统计量。

对应分析可以输出很多图形，分析它们可以知道变量类型之间和变量之间潜在的关系。上面显示的是行得分与列得分在二维空间中的散点图。解释这个图形比较简单，图中行/列点接近的点，它们的近似程度当然大于那些行/列点较远的点。第一维度(横坐标)方向，Senior Employees 与Junior Employees 这两个行点之间的距离较远，因此第一维度分离出高级雇员和低级雇员这两个类型；第二维度(纵坐标)方向，Managers 与Employees 、Secretaries 列点之间的距离较大，管理人员和其他类型工作人员在这个维度中被分离出来；

使用对称正态化方法很容易观察到工作类型与吸烟之间的关系。比如从上图中看到Managers 与Heavy smoking 的点较近，管理人员的烟瘾可能都比较大；Senior Employees 与None smoking 比较接近，高级雇员可能不怎么吸烟；Junior Employees 与Medium smoking 或Light smoking 距离较小，低级雇员吸烟不多，他们也有可能适度吸烟；Secretaries 和吸烟行为的距离都较远，从事秘书工作的人没有呈现出特定的吸烟行为(当然他们远离Heavy

smoking，不会是瘾君子)。

对应分析在判断类型之间距离时，不仅考虑边际分布，同样也考虑到单个单元的频率。以行变量(列变量)边际总和为基础，分别计算出每个单元行轮廓和列轮廓。

行轮廓(Row Profiles)显示行类型在每个列类型中的比例。比如从行轮廓表(Row Profile)看出，Senior Employees中不吸烟(None smoking)的人比例为49%，烟瘾很重的仅占7.8%；与之相对的是Junior Employees，吸烟较适度吸烟的比例37.5%，吸烟较少只占27.3%，因此低级雇员大都吸烟；

列轮廓(Column Profiles)与行轮廓对应，它反映列类型在每个行类型中的比例。从列轮廓表中看出，Light smoking中，Junior Employees的比例最大，达到53.3%，因此吸烟较少

的比

的大都是低级雇员；类似地，Medium smoking和Heavy smoking中，Junior Employees

Mass测度以边际频率为基础的某个对象的影响力的大小，它对质心有影响，而对应分析的质心是行轮廓或列轮廓的加权平均。行质心就是行轮廓的均值，那些具有较大mass统计量的点，比如Junior Employees，会把质心推向它所处的位置；而那些mass较小的点，比如Senior Employees，对质心的“推动”作用就很小了。

如果我们喜欢分析距离之间的差距，那么行轮廓间类型的差距越大，它们在散点图中的距离也就越远。比如使用行主成分正态化方法，最终的轮廓是完整空间中行点之间的欧氏距离，实际上等于对应表中行点之间的开方距离。在一个缩减空间中，欧氏距离近似等于开方

距离。换句话说，开方距离是加权的轮廓距离，这些加权距离以mass 统计量为基础。

类似地，如果使用列主成分正态化方法，完整空间中列点之间的欧氏距离等于对应表中列点之间的开方距离。但是需要注意的是，如果使用对称正态化方法，欧氏距离和开方距离并不相等。

可以将总惯量定义为所有平方距离的加权和与原始距离之比，其中的权数就是mass 统计量。如果mass 统计量较小的行变量类型对惯量还有影响，那么它们和质心的距离应该很远；而那些mass 统计量很大的行变量类型，即使它们和质心的距离很近，也会对总惯量产生影响。对列变量类型，这个道理也同样适用。

接下来要分析行点一览表(Overview Row Points)中与列点一览表(Overview Column Points)，这两个表中的行得分和列得分就是二维图中行点和列点的向量。通过轮廓表和奇异值，行得分与列得分就产生了联系。特别地，将行轮廓矩阵与列得分矩阵相乘，再除以每一维度奇异值就可以得到行得分矩阵。

本例中，行轮廓矩阵为0.3640.1820.2730.2220.167

0.3890.2220.490

0.1960.2350.0780.2050.2730.3750.1480.400

0.240

0.2800.080

?????

????

?

??????，列得分

矩阵为0.7520.0960.1800.4460.3750.0230.5620.625-????-????-????，它们相乘后的矩阵为0.03450.06120.13540.07660.19930.00300.12150.01820.10520.0251-??

??????-??

-??

??--??

，再将该矩阵的第一列除以第一维度的特征值0.273，第二列除以第二维度的特征值0.010，就得到行得分矩阵。

对行主成分正态化方法，奇异值不能带入上面的公式中。行点位于活动的列点的加权质心，而权数对应于行轮廓表中的entries。如果行点是列点的加权平均，而且使用最大维度，那么行点与原始点之间的欧氏距离就等于行点与平均行点之间的开方距离，最后又等于某行的惯性。因为开方统计量等于总惯量乘以对应表中单元和，我们可以想象行点的位置实际上就是用图形展现出来的开方统计量。对列主成分正态化方法，也可以做类似的解释，但是这种解释不适用于对称正态化方法。

要计算出行点一览表(Overview Row Points或列点一览表)中某一维度的惯量是可行的。行变量(列变量)在每一维度的得分等于该点在这个维度的正交投影。因此，某一维度的惯量就等于维度得分与原始得分平方距离的权数之和。但是这个是否能运用到行得分、列得分(或同时运用)上依赖于我们所适用的正态化方法。每一个行点和列点对惯量都有所贡献。如果一个维度上，行得分和列得分对惯量的贡献都比较大，那么它们在这个维度上也是比较重要的。

一个维度中某点对惯量的贡献度是投影点与根据维度惯量分解的原始点平方距离的和，诊断某点的贡献度，有助于对应分析的解释，可以识别出对应分析结果中的决定性点(Dominant points)。比如观察行点一览表中的行点贡献度，Senior employees和Junior employees是第一维度上决定性点，它们对惯量的贡献程度达到84%；观察列点一览表中的列点贡献度，可以看到None smoking对第一维度的惯量贡献度最大，为65%。

一个维度中某点对惯量的贡献度同时依赖于mass统计量以及它和原始点的距离。和原始点距离较远而且mass统计量较大的那些点，它们对维度的贡献度也比较大。因为辅助点在对应分析结果中没有多少作用，它们对维度中的惯量也没有什么贡献。

除了要分析每个点对每一维度惯量的贡献度，我们还要分析每一维度对每一点惯量的贡献程度。通过计算每一维度点惯量的贡献度比例，可以分析某点的惯量如何在维度上分布。需要注意的是，维度对点惯量贡献度的和并不等于1。在一个缩减的空间中，高维度对惯量的影响不能显示出来，使用维度最大化的方法可能会揭示出没有被解释的惯量数值。

从行点一览表中看出，前两个维度主要把惯量贡献给Senior employees和Junior

employees，实际上几乎将所有的惯量贡献给Junior managers 和Secretaries。对高级雇员来说，前两个维度还没有“贡献”出11%左右的惯量。总的来说，前两个维度贡献对行点的惯量比例还是非常大的。从列点一览表中也可以得到类似的结果，对每一个活动的列点，前两个维度贡献对惯量贡献度最少都能够达到98%，而第三个维度对这些点的贡献就很小了。

有时对行变量和列变量的类型进行排序也是非常有用的。比如我们可能有理由相信某个变量的类型按照某种顺序排列，但是我们不知道这种准确的顺序。这种排序问题在很多学科中都会遇到，比如考古学中的顺序问题，植物社会学中的等级问题，以及社会科学中的格特曼量表问题(Guttman’s scalogram problem)等等。

在对应分析中，以行得分和列得分作为排序变量，可以解决这些问题。如果我们有p维的行得分和列得分，那么可以生成p个排序表。如果从综述表中看出第一个奇异值很大，那么第一个表就会显示某种特定的结构，比预期值大的频数会靠近对角元素。

回过头看一下行点一览表，可以发现第一维度中行得分从低到高的排序是：Senior Employees (–0.728)，Secretaries (–0.385)，Senior Managers (–0.126)，Junior Employees (0.446)，Junior Managers (0.495)；类似地，观察列点一览表，第一维度中列得分从低到高的排列是：None，Light，Medium，Heavy。

上面显示的是对应表在第一维度中的排序表(Permutation Correspondence Table According to dimension 1)，它就反映了行变量和列变量各类型的顺序。比如行变量的五个类型在这个表中就是按照Senior Employees、Secretaries、Senior Managers 、Junior Employees 、Junior Managers 这样的顺序排列的，同样列变量的四个类型也是按照None、Light、Medium、Heavy顺序排列的。比较排序表(Permutation Correspondence Table)与原先对应表中行变量(列变量)的排序，可以看到行变量的顺序发生了改变，原先处于第5位的Secretaries移动到第2位，后面三个类型的位置都向后移动一位；列变量的顺序保持不变。

假定本例使用的表(数据)是一个频数表，数据是从一个未知总体中随机抽取而得到的，单元频数服从多元名义变量分布(a multinomial distribution)。根据这个假定就可以计算奇异值(the singular values)、行得分和列得分的标准差以及相关系数。

如果对应分析结果是一维的，那么就可以计算总体中每个得分(行得分和列得分)的置信区间。如果行得分或列得分的标准差较大，那么对应分析就不能确定该点在总体中的位置；反之，如果标准差较小，那么对应分析就可以确定该点一定会接近分析结果中对应点。

如果对应分析结果是多维的，维度之间的相关系数较大，那么也不能确定某点在维度中的位置，出现这种情况时，应该使用方差(协方差)矩阵来计算多变量置信区间。

下面两个表分别是行点置信区间表(Confidence Row Points)和列点置信区间表(Confidence Column Points)。从行点置信区间表中看出，Senior Managers和Junior Managers

在两个维度中的标准差都比较大，这可能是因为管理人员的数量少而造成的；由于同样的原因，可以看到在列点置信区间表中，Heavy Smoking在两个维度上的标准差都比较大。从这

个两个表中还可以看出，除了Junior Employees类型以外，两个维度中其他类型的行得分和列得分之间的相关系数都不是很大，这说明大部分的行点和列点在二维空间中的位置还是比较确定的。

在对应分析中，空间中的辅助类型可以描述活动类型之间的关系。一个辅助的轮廓表定义行变量或列变量各类型间的轮廓，它对分析结果没有任何影响。在前面的分析中，我们知道行变量有一个辅助类型(National Average)，列变量有两个辅助类型(No Alcohol 和Alcohol)。行变量的辅助类型定义了和各吸烟类型交叉的行轮廓，而两个辅助列变量类型定义了和职员类型交叉的两个列轮廓。辅助轮廓要么在行空间，要么在列空间中定义一个点。由于要单独对行变量和列变量进行分析，这时就要使用主成分正态化方法。

要增加辅助类型并且得到使用主成分正态化的分析结果，需要重新回到对应分析对话框；选择staff，点击Define Range，在Maximum value后键入6，点击Update，选中Category

Constraints列表框中的6，选择右侧的Category is supplemental后再点击Continue按钮，回

到对应分对话框；

选择smoke，点击Define Range，在Maximum value后键入6，点击Update；选中Category Constraints列表框中的5，选择右侧的Category is supplemental，再选中Category Constraints

列表框中的6，选择右侧的Category is supplemental，点击Continue按钮，回到对应分析对话框；

点击Model按钮，进入对应分析模型设置对话框；在下方Normalization Method核选框

中选择Principal，点击Continue按钮，回到对应分析对话框；

点击Plots按钮，进入对应分析图形设置对话框；在Scatterplots复选框中选择Row points 和Column points，点击Continue按钮，回到对应分析对话框；点击OK按钮，输出采用主

成分正态化方法进行分析的结果。

上面是增加了行变量辅助类型National Average后的行点图，辅助类型National Average 的点远离原点(origin)，说明就吸烟行为来说，采用的样本并不具有全国代表水平。原点下方的几个点中，Secretaries和Senior employees的行点与National Average相对较近，而Junior Managers与它较远，因此从事秘书工作的职员和高级雇员的吸烟行为与全国平均水平比较类似，而低级管理人员的吸烟行为和全国平均水平没有多少相似性。

增加了两个辅助类型的列点图显示在上面，辅助类型Alcohol与原点的距离较近，显示alcohol的轮廓和平均行轮廓有较近的对应关系；辅助类型No Alcohol与原点较远，它和平均行轮廓存在差异。靠近No Alcohol最近的点是Light，说明少量吸烟职员的轮廓和不喝酒职员的轮廓很接近；在那些吸烟的职员中，No Alcohol和Medium的点要近一点，但是和Heavy的点是最远的。因此从Heavy smoking到Light smoking，它们和No Alcohol之间的近似程度有所增加。但是从列轮廓表中可以看到，Secretaries在No smoking中的相对比例最大，达到30.4%，这又表明No Alcohol和吸烟的几个类型不可能存在多少对应关系。

2 多元对应分析

多元对应分析(the multiple correspondence analysis)又称为同质性分析(homogeneity

analysis)，它的目的是寻找分类变量的最优量化值，尽可能将类型区分开来。在对象得分图中，同一类型的对象应相互靠近，而不同类型的对象应相距较远。只有变量非常相似时(homogeneous)，使用同质性这个术语才比较成功，此时可以根据相同或相似的类型将对象进行聚类。

例2 五金店商品特性

本例使用的数据来自Hartigan(1975)，用五金商店的例子来说明多元对应分析的原理。这个数据中使用的变量名、变量标签和变量标签值见下表：

打开SPSS中tutorial\sample files文件夹中的screws.sav。

要进行多元对应分析，点击Analyze→Data Reduction→Optimal Scaling...，进入最优刻度对话框；采用系统默认的设置，在Optimal Scaling Level核选框中选择All variables multiple nominal，Number of Sets of Variables核选框中选择One set，点击Define按钮，进入多元对应分析对话框；

从左侧的变量列表框中选择Thread与Length in half-inches之间的变量为分析变量，移

入Analysis Variables 方框中；选择Object 为标签变量，移入Labeling Variables 方框中；

点击Plots 复选框中的Object 按钮，进入对象图设置对话框；选择Label Objects 复选框中的Variable ，用变量为对象进行标签；将Available 下方的所有变量都移入Selected 方框中，

将这些变量都作为标签变量，点击Continue 按钮，回到多元对应分析对话框；

点击Plots 复选框中的Variable 按钮，进入变量图设置对话框；将左侧变量列表框中的所有变量都移入Joint Category Plots 方框中，输出所有分析变量的联合类型图；点击

Continue

按钮，回到多元对应分析对话框，点击OK 按钮，输出多元对应分析结果。

利用同质性分析(Homogeneity analysis)可以得到多元对应分析的维度，在没有缺失数据时，多元对应分析结果中的最大维度的确定和一般多元对应分析是一样的，可用公式

()min 1,1r c --来确定，也就是说它要么等于行变量类型个数减一，要么等于列变量类型

个数减一，总是取两者的最小值。在实际分析中我们一般也很少用到维度的最大值，这是因为较低的维度比较容易解释，而经过一些维度以后，变量间增加的额外信息都可以忽略不计了。在同质性分析中，一维、二维或三维的分析结果是最为常见的。

从模型综述表(Model Summary)中可以看到，数据中的方差波动几乎可以用前两个维度来解释(98.9%)，其中第一维度解释62.1%左右的变动，第二维度解释36.8%左右的变动。

前两个维度同样可以解释对象的距离。如果某个变量的判别能力很好，那么变量对象应该靠近它们所属的类型。理想状况下，同一类型的对象之间应该很近(它们具有类似的对象得分)；不同变量的类型如果属于(具有)相同的对象得分，它们也应该很近(也就是说有两个类似得分的对象，它们属于两个不同的变量)

观察完模型综述表以后，接下来应该看看对象得分图。我们可以设定一个或多个变量作

为标签来绘制对象得分图，这样每个标签变量都有一个对象得分图，图中的对象(点)以每个变量的标签值为标记。首先分析变量Object的对象得分图，Object仅仅是一个所谓的个案识别变量(a case-identification variable)，在多元对应分析的计算过程中并没有用到这个变量。

在对象得分图上，对象和原点之间的距离反映了“平均”响应模式(the “average” response pattern)的变动，而所谓的平均响应模式对应于每个变量频数最多的类型。如果对象具有很多共同特征，或者说它们对应于频数最大的类型，那么它们就靠近原点；反之，如果对象具有唯一(独特)的特征，它们就会远离原点。

分析上面的对象得分图，可以看到在第一维度中，screws 和bolts位于水平轴的左侧，可以形成一组；nails和tacks位于水平轴的右侧，它们也形成一组，这两组之间有一段空白区域，说明第一维度可以将这两组类型区分开来。在小一点的范围内，还可以看到bolts对应的几个对象位于水平轴的最左侧，和其他对象有一定的距离，没有多少重叠区域，因此第一维度也可以将它区分出来。

第二维度似乎可以将screw1和nail6与其它对象分开，这两个对象在变量值上有共同点，

从变量长度来看，它们是数据中最长的两个对象。而且screw1和原点的距离最远，这表明从总体来说，这个对象和其他对象具有的特征差异较大。

从上面的分析中，我们知道利用对象得分图可以很容易判断出数据中是否存在离群值，比如可以把screw1作为一个离群值，在后面的分析中，我们会分析如果剔除这个离群对象，多元对应分析的结果会发生什么变化。

在分析其他变量的对象得分图之前，让我们来看一看输出结果中的判别测度(discrimination measures)，判断它们和我们上面的分析是否吻合。在多元判别分析中，每个变量的判别测度是每一维度的平方成分载荷(a squared component loading)，这个测度统计量同样表明每个维度中量化变量的方差。它的最大值是1，当然只有当所有的对象得分落入一个唯一的互斥组别，并且一个类型的所有对象得分都完全相同时才会取得这个最大值。需要注意的是，如果存在缺失数据，判别测度统计量也许会大于1。

如果变量在某个维度上的判别测度统计量较大，那么它的各个类型就比较分散，也就表明变量在那个维度上的类型的区分度较高。

任意一个维度判别测度统计量的均值等于该维度所能解释的方差比例。因此维度是根据平均判别测度统计量来排序的，第一维度的平均判别统计量应该是最大的，第二维度次之，等等，依次类推。从判别测度表(Discrimination Measures)中就可以看到第一维度判别测度统

计量均值为3.727，而第二维度上该统计量已减小到2.209。

从判别测度图中也可以看到，变量Thread和Bottom shape位于图形的右下方，它们在第一维度的判别测度统计量较大，而在第二维度的判别测度统计量较小，它们主要分散在第一维度上，因此第一维度主要和这两个变量有关；与这两个变量相对的是变量Length in half-inches，它的判别测度统计量在第一维度较小，在第二维度较大，因此这个变量和第二

维度比较接近；对照这个变量的对象得分图(Object Points Labeled by Length in half-inches)，可以看到最长的对象(2_1/2_in)位于第二维度的左上方，第二维度似乎可以将最长的对象和其他对象区分出来，从这个角度来分析，判别测度图和对象得分图的结果是吻合的。

变量Indentation of head和Head form位于图形的右侧，它们在两个维度上的判别测度统计量都比较大，说明这两个维度都可以将它们区分出来；变量Brass与原点很近，说明两个维度都没有区分出这个变量，因为所有的对象(五金用品)可以都用黄铜制造，也可以不用黄铜制造，从这个角度分析是有一定意义的。

前面提到过判别测度统计量是某一维度上量化变量的方差，判别测度统计量包含这些方差，显示哪个变量在哪一维度的判别程度。但是相同的方差也许会对应那些分布较为分散的类型，也许会对应那些分布较为靠近的类型。如果出现这两种情况，判别测度图就无法区分了。此时就要分析输出结果中的分类量化图(Category quantification plots)，它是判别变量和识别变量类型间关系的另外一种方法。在分类量化图中，每一类型在每个维度上的向量都显示出来，利用它我们就可以判断出在每个变量中，哪些类型存在相似性。

变量Length in half-inches有5个类型，其中有两个类型(2_1/2_in和1_1/2_in)位于原点上方，其中2_1/2_in和原点的距离是最远的，另外三个类型位于图形下方，因此第二维度

可以将变量Length in half-inches中的类型区分开来，当然这样的分析结论从判别测度图中

也可以得到；

类似地，变量Indentation of head有3种类型，其中Star在第二维度的上方，其他两个类型也位于右下方，因此第二维度可以将该变量的各类型区分开来；而从判别测度图中没有办法得到这个结论。

既然某个变量的类型量化制的分布反映了变量的方差，那么它也就表明这个变量在每个维度上的区分程度。从分类量化图中可以看出，变量Thread的两个类型在第一维度方向距离较远，但是它们在第二维度方向的距离却很短，因此这个变量在第一维度上的区分能力较好；变量Head form的5个类型在两个维度方向都相距较远，说明两个维度较好地分离了这个变量各个类型。

分类量化图除了可以判别出变量在维度上的判别能力，它同样可以比较变量的判别的能力。如果一个变量各类型能够很好地区分开来，那么它的判别能力肯定好于那些类型非常接近的变量。比如在第一维度方向，与变量Thread相比，变量Brass两个类型就非常接近，说明在这个方向上，变量Thread的判别效果好于变量Brass；但是在第二维度方向，这两个变量两个类型间的差距非常接近，它们在这个维度上的判别能力是非常接近的。在前面讨论的判别测度图中，使用方差来反映变量类型分散情况时，也能得出类似的结论。

要深入分析数据，就要仔细观察每个变量的对象得分图。在理想情况下，相似的对象应单独组成一个类型，而这些形成的类型之间应该相距较远。

在变量Thread的对象得分图中，Yes_Thread所有对象的得分都是负数(水平轴的左侧)，

而No_Thread所有对象的得分都是正数(水平轴的右侧)，因此第一维度很好地将区分出变量Tread的两个类型，虽然这两个类型没有形成某个固定的组别，但是它们之间较好的区分度表明分析结果还是非常不错的；

变量Head form的对象得分图显示这个变量在两个维度上都能很好区分开来(前面分析

中已经多次提及)。Flat的对象位于图形的右下方，而Cup的对象位于图形的右上方，而Cone 的对象位于左侧，这三个对象和其它两个对象可以区分开来，它们之间比较分散，应该没有多少相同的性质；另外两个类型Cylinder和Round在图形的左下方，它们的对象有很多重叠在一起，没有办法将这两个类型分开。

在变量Length in half-inches的对象得分图中，变量各类型没有投影到水平轴方向，因

此第一维度没有办法将各类型分开；但是在第二维度，较长对象(如2_in)的得分是负值，而较短对象(如1/2in)的得分是正值，因此变量各类型在这个维度上可以区分开。

变量Brass的对象得分图中，所有的对象得分点分散到二维空间中，两类对象相互重叠

在一起，因此两个维度都没有办法将它们分开，这个结论前面也多次提及。

在前面分析标签变量Object的对象得分图时，发现一个离群的对象screw1，它可能具

有与众不同的特征，在分析过程中可以将它剔除出去，然后对比分析剔除离群对象的对应分析结果是否和原先的结果存在差异。

要将这个对象从数据中剔除出去，点击Data→Select Cases...，进入选择个案对话框；

选择Select核选框中的If condition is satisfied，点击If按钮，进入条件设置对话框；由于被剔除的screw1是在标签变量Object的标签值中处于16位，因此在条件设置对话框中的空白文本框中键入条件表达式：object ~= 16，点击Continue按钮，回到选择个案对话框，

点击OK按钮，完成剔除对象的过程；再进入多元对应分析对话框，保持原来的设置，点击OK按钮，输出剔除对象screw1后的多元对应分析结果。

对比两个输出结果的模型综述表，两个维度的特征值只有细微的变化，两个维度相加仍旧能够解释数据绝大部分的方差变动；