2020届辽宁省辽南协作校高三第二次模拟数学理科试题(wd无答案)
辽宁省辽南协作校2019-2020学年度下学期高三第二次模拟考试数学理科试卷及其答案
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2019—2020学年度下学期高三第二次模拟考试试试题
数学（理科）
第1卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知{}0)1(>-=x x x A ，{}1<=x x B ，则A Y B=（ ）
A ．)1,0(
B ．R
C ．)1(，-∞
D ．),1()1(+∞-∞Y ，
2．已知复数2020i i z +=．则z =（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．2
3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A ．100，40
B ．100，20
C ．200，40
D ．200，20
4设l 是直线，βα，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A ．若α∥l ，β∥l ，则βα∥
B ．若α∥l ，β⊥l ，则βα⊥
C ．若βα⊥，α⊥l ，则β⊥l
D ．若βα⊥，α∥l ，则β⊥l
5．已知a>b ．则条件“c≤0”是条件“bc ac <”的（ ）条件．。
辽宁省辽南协作校2019-2020学年度下学期高三第二次模拟考试数学理科
姓 名： 考生考号：2019—2020学年度下学期高三第二次模拟考试试试题数学（理科）时间：120分钟 试卷满分：150分本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知{}0)1(>-=x x x A ，{}1<=x x B ，则A Y B=（ ）A ．)1,0(B ．RC ．)1(，-∞D ．),1()1(+∞-∞Y ，2．已知复数2020i i z +=．则z =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．23．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ．100，40B ．100，20C ．200，40D ．200，204设l 是直线，βα，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若α∥l ，β∥l ，则βα∥B ．若α∥l ，β⊥l ，则βα⊥C ．若βα⊥，α⊥l ，则β⊥lD ．若βα⊥，α∥l ，则β⊥l5．已知a>b ．则条件“c≤0”是条件“bc ac <”的（ ）条件．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6．如图所示算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的a 、b 分别为12、30，则输出的a=（ ）A ．2B ．4C ．6D ．187．某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是女孩，则至少有两个孩子是女孩的概率是（ ）A ．43B ．83C ．74D ．21 8．已知半径为r 的圆M 与x 轴交于E ，F 两点，圆心M 到y 轴的距离为d ．若EF d =，并规定当圆M 与x 轴相切时0=EF ，则圆心M 的轨迹为（ ）A ．直线B ．圆C ． 椭圆D ．抛物线9．已知周期为π的函数)00)(cos()sin(3)(πϕωϕωϕω<<>+-+=，x x x f 是奇函数，把)(x f 的图像向右平移6π个单位得到g （x ）的图像，则g （x ）的一个单调增区间为（ ） A ．)2,2(ππ- B ．)125,12(ππ- C ．)3,6(ππ- D ．)4,4(ππ- 10．已知数列{}n a 满足N n n a a n n ∈=-+,21．则∑=-n i i a a 211=（ ）A ．n n 111--B ．n n 1-C ．n （n -1）D ．n21 11．在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点，A ，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．31B ．21C ．22D ．41 12．已知函数f （x ）满足x x xf x f x ln 1)(2)(2+=+'，ee f 1)(=．当x>0时，下列说法： ①e ef =)1( ②)(x f 只有一个零点 ③)(x f 有两个零点 ④)(x f 有一个极大值其中正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答。
2020届辽宁省部分重点中学协作体高三模拟数学(理)试题(解析版)
2020届辽宁省部分重点中学协作体高三模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =--≤，{}0B x x =>，则A B =I （ ） A ．[1-，2] B ．（1，2] C ．（0，2]D ．（2，+∞）【答案】C【解析】由题意可得{}12A x x =-≤≤，再由集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意{}()(){}{}22021012A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以{}{}{}(]120020,2A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂>=<≤=. 故选：C. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，属于基础题.2．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．1D ．1-【答案】D【解析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解. 【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i iz i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．已知10.330.3log 22,2a b c -===，，则a b c 、、的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】A【解析】由题意结合对数函数、指数函数的性质可得01a b c <<<<，即可得解. 【详解】由题意0.30.3log 2log 10a =<=，1030221b -<=<=，0.30221c =>=， 所以01a b c <<<<. 故选：A. 【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，考查了对数函数、指数函数单调性的应用，属于基础题.4．已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为ˆ12yx a =+，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（ ） A ．100万元 B ．101 万元C ．102万元D ．103万元．【答案】C【解析】由题意计算出x 、y ，进而可得12a y x =-，代入9x =即可得解. 【详解】 由题意()18.27.887.98.185x =++++=，()19289898793905y =++++=， 所以12901286a y x =-=-⨯=-，所以ˆ126y x =-， 当9x =时，ˆ1296102y=⨯-=. 故选：C. 【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3644a a a +=+，则9S =（ ） A ．18 B ．24C ．48D ．36【答案】D【解析】由题意结合等差数列的性质可得54a =，再由等差数列前n 项公式结合等差数列的性质可得1995992a a S a +=⨯=，即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 是等差数列，∴365444a a a a a +=+=+，∴54a =，∴199599362a a S a +=⨯==. 故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n 项和公式的应用，属于基础题.6．人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg 110x f x -=⨯⨯，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（ ） A ．10 B ．100C ．1000D ．10000【答案】D【解析】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ，由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，计算即可得解.【详解】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ， 由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，所以3110x -=，7210x -=，所以3417210101000010x x --===. 故选：D. 【点睛】本题考查了对数运算的应用，考查了对于新概念的理解，属于基础题. 7．函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为（ ）A ．(2,0),k k Z π∈B ．(,0),k k Z π∈C ．(,0),2k k Z π∈ D ．(,0),4k k Z π∈ 【答案】D【解析】由题意结合正切函数的图象与性质可得2,2k x k Z π=∈，即可得解. 【详解】 令2,2k x k Z π=∈，则,4k x k Z π=∈， 所以函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为,0,4k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了正切函数图象与性质的应用，属于基础题.8．已知二项式121(2)n x x+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A ．240 B ．120 C ．48 D ．36【答案】A【解析】由题意结合二项式系数和的性质可得264n =即6n =，写出二项式展开式的通项公式3362162r rr r T C x--+=⋅⋅，令3302r -=即可得解. 【详解】由题意264n=，解得6n =，则1162211(2)(2)n x x x x+=+，则二项式1621(2)x x+的展开式的通项公式为6133622166122rrr r r r r T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令3302r -=即2r =，则6426622240r r C C -⋅=⋅=. 故选：A. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9．已知函数228,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值不可能是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由题意结合基本不等式可得当1x >时，()4f x a ≥+；由二次函数的性质可得1a >，进而可得924a a -≤+，即可得解. 【详解】由题意当1x >时，()44f x x a a a x =++≥=+， 当且仅当2x =时，等号成立；当1x ≤时，()228f x x ax =-+，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为x a =，当1a <时，()f a 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，不合题意； 当1a ≥时，()1f 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，()192f a =-， 由题意可得924a a -≤+，解得53a ≥； 综上，实数a 的取值范围为53a ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数最值相关问题的求解及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.10．已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC V 是边长为3的正三角形，BCD V 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于（ ） A． B ．323πC ．12πD ．643π【答案】B【解析】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、BO ，设1OO m =，由勾股定理可得22134OD m =+、22331OA m ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，利用22OD OA =即可得32m =，进而可得外接球半径2R =，即可得解.【详解】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，由题意可得1O 为BCD V 的外心，AG ⊥平面BCD ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ， 过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、OD ，可知四边形1OHGO 为矩形，Q ABC V 是边长为3，2CD =，∴332AG =，13BD =11O G =，设1OO m =，则33HA m =， ∴222211134OD DO OO m =+=+，22223312OA OH HA m ⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭， 由22OD OA =可得221333142m m ⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭，解得32m =， ∴三棱锥A BCD -外接球的半径21324R m =+=， ∴此三棱锥外接球的体积343233V R ππ==. 故选：B.【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及外接球的求解，考查了面面垂直性质的应用和空间思维能力，属于中档题.11．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A B ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若2BC =，1FB =，则AB =（ ） A ．3 B ．4C ．6D ．6【答案】B【解析】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由抛物线的性质可得1BG FB ==，设AF AH x ==，由平面几何的知识即可得解.【详解】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由题意1BG FB ==，2BC =，设AF AH x ==，由三角形相似可得BG BC AHAC=即1212x x=++，解得3x =， 则4AB AF BF =+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了抛物线性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.12．已知2()2(ln )x e f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ）A ．1(]46e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， B ．1(,]6-∞ C ．1[0]46e ⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭， D ．1(,]4-∞【答案】D【解析】由题意结合导数转化条件得()22xt e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，求导后确定函数()g x 的值域即可得解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()0,∞+， 对函数()f x 求导得()()()2221212()2(1)21x x x e x e f x t x x x t x x ⎡⎤-+⎣⎦'--=-+-=，Q 2()2(ln )xe f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1， ∴()220xe x t +=-在()0,∞+上无解，即()22xt e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，则()()()()()222222102222x x x e x e e x g x x x +-+'==>++， ∴函数()g x 在[)0,+∞单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()104g x g >=， ∴14a ≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于基础题.二、填空题13．己知x ，y 满足约束条件1020x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值是______．【答案】2-【解析】由题意作出可行域，转化目标函数为2y x z =-，数形结合即可得解. 【详解】由题意画出可行域，如图阴影所示：令2z x y =-，目标函数可转化为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，数形结合可得，当直线2y x z =-过点A 时，z 取最小值，由010y x y =⎧⎨-+=⎩可得()1,0A -，此时min 2z =-.故答案为：2-. 【点睛】本题考查了简单线性规划的应用，属于基础题.14．古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、2的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天，4A 纸之所以流行的重要原因之一，2，2的矩形为“优美”矩形．现有一长方体1111ABCD A B C D -，126AD =，25AC =127AC =，则此长方体的表面六个矩形中，“优美”矩形的个数为___________． 【答案】4【解析】由题意求出该长方体的长、宽、高后，根据新概念验证即可得解. 【详解】由题意，该长方体如图所示：Q 126AD =，25AC =127AC =∴211222CC C AC A =-=222211114AD AD AD DD CC =-==-，222CD AC AD =-=，∴2AB CD ==，1122CC AA == ∴12AA AB =12AD AA =2AD AB=， ∴此长方体的表面六个矩形中，“优美”矩形的个数为4.故答案为：4. 【点睛】本题考查了长方体几何特征的应用及对于新概念的理解，属于基础题.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，121n n S a +=+则n S =______． 【答案】()11312n -+ 【解析】由题意利用数列n a 与n S 的关系可转化条件为131n n S S +=-，进而可得111322n n S S +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】Q 121n n S a +=+，11a =，∴111S a ==，11211n n n n S a S S ++=+=-+,∴131n n S S +=-即113133222n n n S S S +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又11122S -=，∴数列12n S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为3的等比数列，∴111322n n S --=⋅，∴()11111331222n n n S --=⋅+=+. 故答案为：()11312n -+. 【点睛】本题考查了数列n a 与n S 关系的应用，考查了通过构造新数列求数列的通项，属于中档题.16．已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点12F F ，，点P 是1C 与2C 的一个公共点，12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，1C 的离心率为37，则2C 的离心率是______． 【答案】3【解析】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =，由椭圆的离心率结合题意可得1123PF F F ==，再由双曲线的离心率公式即可得解. 【详解】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =， 由题意椭圆1C 的离心率12111122327F F c c e a a PF PF ====+， 又12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，∴1212347F F F F =+，解得1123PF F F ==，∴双曲线2C 的离心率1222212232F F c ce a a PF PF ====-. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了椭圆性质、双曲线性质的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.三、解答题17．已知(2cos ,sin ),(cos ,)m x x n x x ==u r r ，且()f x m n =⋅u r r．（1）求()f x 在[0,]2π上的值域；（2）已知,,a b c 分别为ABC V 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若()32A f =，且2a =，4b c +=，求ABC V 的面积．【答案】（1）[0,3]（2【解析】（1）由题意结合平面向量数量积运算、三角恒等变换可得()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，进而可得1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可得解；（2）由题意可得3A π=，利用余弦定理可得24()3b c bc =+-，求得4bc =后，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】 （1）由题意可得2()2cos cos f x m n x x x=⋅=+u r r1cos 222cos 2212sin 2126x x x x x π+⎛⎫=⨯+=++=++ ⎪⎝⎭ Q 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ∴()f x 的值域为[0,3]；（2）因为32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以2sin 136A π⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 因为0A π<<，所以3A π=，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-∴24()3b c bc =+-，由4b c +=可得4bc =，1sin 2ABC S bc A ∴==△【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换与解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.18．已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D 是BC 的中点．（1）求证：1A B ∥平面1ADC ； （2）求锐二面角1D AC C --的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）155【解析】（1）连结1A C ，设11AC AC M =I ，由平面几何知识可得1//A B MD ，由线面平行的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，表示出点的坐标后，求得平面1DAC 的一个法向量m u r、平面1ACC 的一个法向量n r，利用cos ,m n m n m n⋅=⋅u r ru r r u r r 即可得解. 【详解】（1）证明：连结1A C ，设11AC AC M =I ，则M 是1A C 的中点，再连结DM ，因为D 是BC 的中点，所以DM 是1A BC V 的中位线，所以1//A B MD ， 又因为1A B ⊄平面1ADC ，DM ⊂平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC ；（2）取AB 的中点O ，过点O 作1//Oz AA ，连结OC ，易知OB 、OC 、Oz 两两垂直，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则有(1,0,0)A -，13,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,0)C ，13,2)C ， 所以33,22AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()13,2AC =u u u ur ，()3,0AC =u u u r ，设平面1DAC 的一个法向量(,,)m x y z =u r，则133022320m AD x y mAC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=++=⎩u u u v v u u u u v v ，令1x =，则有(1,3,1)m =u r ， 设平面1ACC 的一个法向量(,,)n a b c =r，则130320m AC a b n AC a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，令1b =-则)3,1,0n =-r ， 所以13(3)(1)1015cos ,52m n m n m n⋅⨯+-⨯-+⨯===⨯⋅u r ru r r u r r ，所以二面角1D AC C --的余弦值为155． 【点睛】本题考查了线面平行的证明及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.19．某工厂计划建设至少3个，至多5个相同的生产线车间，以解决本地区公民对特供商品A的未来需求．经过对先期样本的科学性调查显示，本地区每个月对商品A的月需求量均在50万件及以上，其中需求量在50~ 100万件的频率为0.5，需求量在100~200万件的频率为0.3，不低于200万件的频率为0.2．用调查样本来估计总体，频率作为相应段的概率，并假设本地区在各个月对本特供商品A的需求相互独立．（1）求在未来某连续4个月中，本地区至少有2个月对商品A的月需求量低于100万件的概率．（2）该工厂希望尽可能在生产线车间建成后，车间能正常生产运行，但每月最多可正常生产的车间数受商品A的需求量x的限制，并有如下关系：若一个车间正常运行，则该车间月净利润为1500万元，而一个车间未正常生产，则该车间生产线的月维护费（单位：万元）与月需求量有如下关系：试分析并回答该工厂应建设生产线车间多少个？使得商品A的月利润为最大．【答案】（1）1116（2）4个【解析】（1）由独立重复实验的概率公式结合题意计算即可得解；（2）按照建设3个车间、4个车间、5个车间讨论，分别求出对应的分布列和期望，比较期望大小即可得解.【详解】（1）由题意每月需求量在50~ 100万件的概率为0.5，则由独立重复实验概率公式可得所求概率22314 2344441111111112222216P C C C⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）（i）当建设3个车间时，由于需求量在50万件以上，此时的净利润Y的分布列为：则()450014500E Y =⨯=（万元）；（ii ）当建设4个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有1个车间闲置，此时的净利润150035004000Y =⨯-=；需求量100x ≥时，则4个车间正常运行，此时的净利润150046000Y =⨯=； 则Y 的分布列为：则()40000.560000.55000E Y =⨯+⨯=（万元）（iii ）当建设5个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有2个车间闲置，此时的净利润1500350023500Y =⨯-⨯=； 需求量100200x ≤<时，则4个车间正常运行，会有1个车间闲置， 此时1500460015400Y =⨯-⨯=；需求量200x ≥时，则5个车间正常运行，此时的净利润150057500Y =⨯=； 则Y 的分布列为：则()35000.554000.375000.24870E Y =⨯+⨯+⨯=（万元） 综上所述，要使该工厂商品A 的月利润为最大，应建设4个生产线车间． 【点睛】本题考查了独立重复实验概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望的求解与应用，属于中档题.20．己知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：过点2P ，1(0,1)F -，2(0,1)F 是两个焦点．以椭圆C 的上顶点M 为圆心作半径为()0r r >的圆， （1）求椭圆C 的方程；（2）存在过原点的直线l ，与圆M 分别交于A ，B 两点，与椭圆C 分别交于G ，H 两点（点H 在线段AB 上），使得AG BH =u u u r u u u r，求圆M 半径r 的取值范围．【答案】（1）22:12y C x +=（2）【解析】（1）由题意结合椭圆性质可得122|a PF PF =+=2221b a c =-=，即可得解；（2）当直线斜率不存在时，r =l 方程为：y kx =，()11,G x y ，()22,H x y ，联立方程后利用弦长公式可得||GH =由圆的性质可得||AB =||||AB GH =，可得24212132r k k ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭，即可得解. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意1c =，122|a PF PF =+=22a =，2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212y x +=；（2）当直线斜率不存在时，圆M 过原点，符合题意，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =，()11,G x y ，()22,H x y ， 由直线l 与椭圆C 交于G 、H 两点，则2212y kx y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()22220k x +-=，>0∆， 则1212220,2x x x x k +==-+，所以||H G ==点M 到直线l 的距离d =，则||AB =， 因为AG BH =u u u r u u u r，点H 在线段AB 上，所以点G 在线段AB 的延长线上，只需||||AG BH =即||||AB GH =，所以()2222812421k r k k +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 则()()2422224242212332*********k k k r k k k k k k +++⎛⎫=+==+ ⎪++++++⎝⎭因为24223132224k k k ⎛⎫++=+-≥ ⎪⎝⎭，所以42110322k k <≤++，所以(]22,3r ∈，r ∈；综上，r 的取值范围为.【点睛】本题考查了椭圆方程的确定，考查了直线、圆、椭圆的综合应用，属于中档题. 21．已知函数()1ln f x ax x =++． （1）221()()(1)2g x af x x a a x =+-++，求函数()g x 的单调区间： （2）对于任意0x >，不等式()xf x xe ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）1a ≤【解析】（1）求导后，按照1a >、1a =、01a <<与0a ≤分类，分别解出不等式()0g x '>，即可得解；（2）转化条件得对于任意0x >，不等式ln 1x xe x a x--≤恒成立，设ln 1()x xe x F x x --=，则22ln ()x x e x F x x+'=，设2()ln xh x x e x =+，求导后可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，进而可得01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0()0F x '=，则()0()F x F x ≥，设()()0x x xe x ϕ>=，求导后可得()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，即可证000011ln x x e x x ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭，代入求出()0F x 后，即可得解. 【详解】（1）由题意21()ln (1),(0)2g x a x x a x a x =+-++>， 则2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a g x x a x x x'-++--=+-+==， （i ）当1a >时，()0g x '>的解集为((,1))0,a +∞U ，则()g x 的单调增区间为(0,1)和(,)a +∞，单调减区间为(1,)a ；（ii ）当1a =时，()0g x '≥，则()g x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间； （iii ）当01a <<时，()0g x '>的解集为(0,)(1,)a +∞U ，则()g x 的单调增区间为(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间为(,1)a ；（iiii ）当0a ≤时，()0g x '>的解集为(1,)+∞，则()g x 的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1).（2）由已知，问题等价于对于任意0x >，不等式ln 1x xe x a x--≤恒成立，设ln 1()x xe x F x x --=，则22ln ()x x e xF x x+'=， 设2()ln xh x x e x =+，则()21()2xh x x x e x'=++， 在(0,)+∞上，()0h x '>，()h x 单调递增，又12110e h e e -⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，(1)0h e =>，所以1(1)0h h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0()0F x '=， 在()00,x 上，()0F x '<，()F x 单调递减； 在()0x +∞上，()0F x '>，()F x 单调递增； 所以()0()F x F x ≥，又有00001ln 20000000111ln ln ln x x x x x e x x e x e ex x x ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇔⇔， 设()()0xx xex ϕ>=，则有()001lnx x ϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭和()(1)0xx x e ϕ'=+>， 所以在(0,) +∞上，()x ϕ单调递增，所以000011ln x x e x x ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭，所以()0000000ln 111()1x x e x x F x F x x x --+-≥===， 故实数a 的取值范围为1a ≤. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于难题.22．已知平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221162x y +=，以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos()6πρθ+=若将曲线1C 上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，倍，得曲线2C ． （1）写出直线l 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点(1,0)P ， 直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB+的值． 【答案】（10y --=，224x y +=（2【解析】（1）转化直线l的极坐标方程为12sin 22ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，利用极坐标方程与直角坐标方程转化公式得直线l 的直角坐标方程；设点(),P x y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P x y的对应点，由题意得12x xy ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入化简即可得解；（2）写出直线的参数方程112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)，代入2C 的直角坐标方程，由根与系数的关系可得1A B t t +=-，30A B t t =-<，转化条件11PA PB+=即可得解.【详解】 （1）Q 直线l的极坐标方程可化为12sin 2ρθθ⎫-=⎪⎪⎝⎭，∴直线l0y --=；设点(),P x y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P xy 的对应点， 则12x x y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，∴()2221162x '⎝⎭+=，化简得()()224x y ''+=， ∴曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=；（2）由题意点(1,0)P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)， 将直线l 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程可得：230t t +-=，112130∆=+=>，则1A B t t +=-，30A B t t =-<，∴11113A BA B A B A B A B t t t t PA PB t t t t t t +-+=+====⋅⋅. 【点睛】 本题考查了极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，属于中档题.23．已知函数()ln(12)f x x x m =--+-．（1）当2m =时，求函数()y f x =的定义域；（2）己知函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭（2）3m <-【解析】（1）由题意，分类讨论求解不等式|1||2|2x x --+>，即可得解； （2）转化条件得|1||2|m x x <--+恒成立，由绝对值三角不等式求得|1||2|x x --+的最小值即可得解.【详解】（1）当2m =时，由题意可得|1||2|2x x --+>，所以2122x x x <-⎧⎨-++>⎩或21122x x x -≤<⎧⎨--->⎩或1122x x x ≥⎧⎨--->⎩，解得32x <-， 所以函数()y f x =的定义域为3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭；（2）由题意可得|1||2|0x x m --+->恒成立即|1||2|m x x <--+恒成立， 又因为()()()|1||2||2||1||21|3x x x x x x --+=-+--≥-+--=-， 当且仅当1x ≥时，等号成立.所以实数m 的取值范围为3m <-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解及绝对值三角不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.。
2020届辽宁省部分重点中学协作体高三模拟数学(理科)试题(解析版)
辽宁省部分重点中学协作体2020年高考模拟考试数学（理科）试卷考试时间：120分钟 考试分数：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}220A x xx =--≤，{}0B x x =>，则A B =I （ ）A. [1-，2]B. （1，2]C. （0，2]D. （2，+∞）【答案】C 【分析】由题意可得{}12A x x =-≤≤，再由集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意{}()(){}{}22021012A x xx x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以{}{}{}(]120020,2A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂>=<≤=. 故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，属于基础题. 2.已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A. i - B. iC. 1D.1-【答案】D 【分析】 根据复数z 满足()11zi i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z 满足()11zi i +=-，所以()()()211111i i z i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.已知10.330.3log 22,2a b c -===，，则a b c 、、的大小关系是（ ）A.a b c <<B. a c b <<C.c a b <<D.b c a <<【答案】A【分析】由题意结合对数函数、指数函数的性质可得01a b c <<<<，即可得解. 【详解】由题意0.30.3log 2log 10a =<=，1030221b -<=<=，0.30221c =>=，所以01a b c <<<<. 故选：A.【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，考查了对数函数、指数函数单调性的应用，属于基础题. 4.已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为ˆ12yx a =+，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（ ） A. 100万元 B. 101 万元C. 102万元D. 103万元．【答案】C 【分析】由题意计算出x 、y ，进而可得12a y x =-，代入9x =即可得解. 【详解】由题意()18.27.887.98.185x =++++=，()19289898793905y =++++=， 所以12901286a y x =-=-⨯=-，所以ˆ126yx =-， 当9x =时，ˆ1296102y=⨯-=. 故选：C.【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3644a a a +=+，则9S =（ ）A. 18B. 24C. 48D. 36【答案】D 【分析】由题意结合等差数列的性质可得54a =，再由等差数列前n 项公式结合等差数列的性质可得1995992a a S a +=⨯=，即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 是等差数列，∴365444a a a a a +=+=+，∴54a =，∴199599362a a S a +=⨯==. 故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n 项和公式的应用，属于基础题.6.人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg 110x f x -=⨯⨯，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（ ） A. 10 B. 100C. 1000D. 10000【答案】D 【分析】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ，由题意1219010lg 110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，计算即可得解.【详解】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ， 由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，所以3110x -=，7210x -=，所以3417210101000010x x --===. 故选：D.【点睛】本题考查了对数运算的应用，考查了对于新概念的理解，属于基础题. 7.函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为（ ） A.(2,0),k k Z π∈ B. (,0),k k Z π∈C. (,0),2k k Z π∈ D. (,0),4k k Z π∈ 【答案】D 【分析】由题意结合正切函数的图象与性质可得2,2k x k Z π=∈，即可得解.【详解】令2,2k x k Z π=∈，则,4k x k Z π=∈， 所以函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为,0,4k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了正切函数图象与性质的应用，属于基础题. 8.已知二项式121(2)nx x+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A .240B. 120C. 48D. 36【答案】A 【分析】由题意结合二项式系数和的性质可得264n =即6n =，写出二项式展开式的通项公式3362162r rr r T C x--+=⋅⋅，令3302r -=即可得解. 【详解】由题意264n=，解得6n =，则1162211(2)(2)n x x x x+=+，则二项式1621(2)x x +的展开式的通项公式为6133622166122rrr r r r r T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令3302r -=即2r =，则6426622240r r C C -⋅=⋅=. 故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9.已知函数228,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值不可能是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【分析】由题意结合基本不等式可得当1x >时，()4f x a ≥+；由二次函数的性质可得1a >，进而可得924a a -≤+，即可得解.【详解】由题意当1x >时，()44f x x a a a x =++≥=+， 当且仅当2x =时，等号成立； 当1x ≤时，()228f x x ax =-+，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为x a =，当1a <时，()f a 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，不合题意； 当1a ≥时，()1f 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，()192f a =-，由题意可得924a a -≤+，解得53a ≥； 综上，实数a 的取值范围为53a ≥. 故选：A.【点睛】本题考查了分段函数最值相关问题的求解及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 10.已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC V 是边长为3的正三角形，BCD V 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于（ ）A. B.323πC. 12πD.643π【答案】B 【分析】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，过点O 作OHAG ⊥于H ，连接AO 、BO ，设1OO m =，由勾股定理可得22134OD m =+、221OA m ⎫=+-⎪⎪⎝⎭，利用22OD OA =即可得2m =，进而可得外接球半径2R =，即可得解.【详解】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，由题意可得1O 为BCD V 的外心，AG ⊥平面BCD ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ， 过点O 作OHAG ⊥于H ，连接AO 、OD ，可知四边形1OHGO 为矩形，Q ABC V 是边长为3，2CD =，∴33AG =，13BD =11O G =，设1OO m =，则332HA m =-，∴222211134OD DO OO m =+=+，2222331OA OH HA m ⎫=+=+-⎪⎪⎝⎭， 由22OD OA =可得22133314m m ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭，解得32m =， ∴三棱锥A BCD -外接球的半径21324R m =+=， ∴此三棱锥外接球体积343233V R ππ==. 故选：B .【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及外接球的求解，考查了面面垂直性质的应用和空间思维能力，属于中档题.11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A B ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若2BC =，1FB =，则AB =（ ）A. 3B. 4C. 6D. 6【答案】B 【分析】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由抛物线的性质可得1BG FB ==，设AF AH x ==，由平面几何的知识即可得解.【详解】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由题意1BG FB ==，2BC =，设AF AH x ==，由三角形相似可得BG BC AH AC =即1212x x=++，解得3x =， 则4AB AF BF =+=.故选：B.【点睛】本题考查了抛物线性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.12.已知2()2(ln )x e f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ）A. 1(]46e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， B. 1(,]6-∞C. 1[0]46e ⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭，D. 1(,]4-∞【答案】D 【分析】由题意结合导数转化条件得()22x t e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，求导后确定函数()g x 的值域即可得解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()0,∞+，对函数()f x 求导得()()()2221212()2(1)21xx x e x e f x t x x x t x x⎡⎤-+⎣⎦'--=-+-=，Q 2()2(ln )xe f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1， ∴()220x e x t +=-在()0,∞+上无解，即()22xt ex =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，则()()()()()222222102222x x x e x e e x g x x x +-+'==>++， ∴函数()g x 在[)0,+∞单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()104g x g >=， ∴14a ≤. 故选：D.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.己知x ，y 满足约束条件1020x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值是______．【答案】2- 【分析】由题意作出可行域，转化目标函数为2y x z =-，数形结合即可得解.【详解】由题意画出可行域，如图阴影所示：令2z x y =-，目标函数可转化为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，数形结合可得，当直线2y x z =-过点A 时，z 取最小值，由010y x y =⎧⎨-+=⎩可得()1,0A -，此时min 2z =-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查了简单线性规划的应用，属于基础题.14.古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、宋时期的单檐建筑中较多存在2的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天，4A 纸之所以流行的重要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近2，我们称这种满足了2的矩形为“优美”矩形．现有一长方体1111ABCD A B C D -，126AD =25AC =127AC =“优美”矩形的个数为___________． 【答案】4 【分析】由题意求出该长方体长、宽、高后，根据新概念验证即可得解.【详解】由题意，该长方体如图所示：Q 126AD =，25AC =127AC =，∴211222CC C AC A =-=，222211114AD AD AD DD CC =-==-，222CD AC AD =-=，∴2AB CD ==，1122CC AA == ∴12AA AB =12AD AA =2AD AB=， ∴此长方体的表面六个矩形中，“优美”矩形的个数为4.故答案为：4.【点睛】本题考查了长方体几何特征的应用及对于新概念的理解，属于基础题. 15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，121n n S a +=+则n S =______．【答案】()11312n -+ 【分析】由题意利用数列n a 与n S 的关系可转化条件为131n n S S +=-，进而可得111322n n S S +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用等比数列的通项公式即可得解.【详解】Q 121n n S a +=+，11a =，∴111S a ==，11211nn n n S a S S ++=+=-+,∴131n n S S +=-即113133222n n n S S S +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又11122S -=，∴数列12n S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为3的等比数列，∴111322n n S --=⋅，∴()11111331222n n n S --=⋅+=+. 故答案为：()11312n -+. 【点睛】本题考查了数列n a 与n S 关系的应用，考查了通过构造新数列求数列的通项，属于中档题.16.已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点12F F ，，点P 是1C 与2C 的一个公共点，12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，1C 的离心率为37，则2C 的离心率是______．【答案】3 【分析】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =，由椭圆的离心率结合题意可得1123PF F F ==，再由双曲线的离心率公式即可得解.【详解】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =，由题意椭圆1C 的离心率12111122327F F c c e a a PF PF ====+， 又12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，∴1212347F F F F =+，解得1123PF F F ==，∴双曲线2C 的离心率1222212232F F c ce a a PF PF ====-. 故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆性质、双曲线性质综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答， （一）必考题：共60分17.已知(2cos ,sin ),(cos ,)m x x n x x ==u r r ，且()f x m n =⋅u r r． （1）求()f x 在[0,]2π上的值域；（2）已知,,a b c 分别为ABC V 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若()32Af =，且2a =，4b c +=，求ABC V 的面积．【答案】（1）[0,3]（2【分析】（1）由题意结合平面向量数量积运算、三角恒等变换可得()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，进而可得1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可得解； （2）由题意可得3A π=，利用余弦定理可得24()3b c bc =+-，求得4bc =后，利用三角形面积公式即可得解.【详解】（1）由题意可得2()2cos cos f x m n x x x=⋅=+u r r1cos 222cos 2212sin 2126x x x x x π+⎛⎫=⨯+=++=++ ⎪⎝⎭ Q 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ∴()f x 的值域为[0,3]；（2）因为32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2sin 136A π⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为0A π<<，所以3A π=，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-∴24()3b c bc =+-，由4b c +=可得4bc =，1sin 2ABC S bc A ∴==△【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换与解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.18.已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D 是BC 的中点．（1）求证：1A B ∥平面1ADC ； （2）求锐二面角1D AC C --的余弦值．【答案】（1）见解析（2）155【分析】（1）连结1A C ，设11AC AC M =I ，由平面几何知识可得1//A B MD ，由线面平行的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，表示出点的坐标后，求得平面1DAC 的一个法向量m u r 、平面1ACC 的一个法向量n r ，利用cos ,m nm n m n⋅=⋅u r ru r r u r r 即可得解. 【详解】（1）证明：连结1A C ，设11AC AC M =I ，则M 是1A C 的中点，再连结DM ，因为D 是BC 的中点，所以DM 是1A BC V 的中位线，所以1//A B MD ， 又因为1A B ⊄平面1ADC ，DM ⊂平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC ；（2）取AB 的中点O ，过点O 作1//Oz AA ，连结OC ，易知OB 、OC 、Oz 两两垂直，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则有(1,0,0)A -，132D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,0)C ，13,2)C ， 所以33,22AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()13,2AC =u u u ur ，()3,0AC =u u u r ，设平面1DAC 的一个法向量(,,)m x y z =u r，则133022320m AD x y mAC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=++=⎩u u u v v u u u u v v ，令1x =，则有(1,3,1)m =-u r ， 设平面1ACC 的一个法向量(,,)n a b c =r，则130320m AC a b n AC a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u u vv ，令1b =-则()3,1,0n =-r ， 所以13(3)(1)1015cos ,52m n m n m n⋅⨯+-⨯-+⨯===⨯⋅u r ru r r u r r ，所以二面角1D AC C --15． 【点睛】本题考查了线面平行的证明及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.19.某工厂计划建设至少3个，至多5个相同的生产线车间，以解决本地区公民对特供商品A 的未来需求．经过对先期样本的科学性调查显示，本地区每个月对商品A 的月需求量均在50万件及以上，其中需求量在50~ 100万件的频率为0.5，需求量在100~200万件的频率为0.3，不低于200万件的频率为0.2．用调查样本来估计总体，频率作为相应段的概率，并假设本地区在各个月对本特供商品A 的需求相互独立．（1）求在未来某连续4个月中，本地区至少有2个月对商品A 的月需求量低于100万件的概率．（2）该工厂希望尽可能在生产线车间建成后，车间能正常生产运行，但每月最多可正常生产的车间数受商品A 的需求量x 的限制，并有如下关系：若一个车间正常运行，则该车间月净利润为1500万元，而一个车间未正常生产，则该车间生产线的月维护费（单位：万元）与月需求量有如下关系：试分析并回答该工厂应建设生产线车间多少个？使得商品A 的月利润为最大． 【答案】（1）1116（2）4个 【分析】（1）由独立重复实验的概率公式结合题意计算即可得解；（2）按照建设3个车间、4个车间、5个车间讨论，分别求出对应的分布列和期望，比较期望大小即可得解. 【详解】（1）由题意每月需求量在50~ 100万件的概率为0.5，则由独立重复实验概率公式可得所求概率223142344441111111112222216P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）（i ）当建设3个车间时，由于需求量在50万件以上，此时的净利润Y 的分布列为：则()450014500E Y =⨯=（万元）；（ii ）当建设4个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有1个车间闲置，此时的净利润150035004000Y =⨯-=；需求量100x ≥时，则4个车间正常运行，此时的净利润150046000Y =⨯=；则Y 的分布列为：则()40000.560000.55000E Y =⨯+⨯=（万元）（iii ）当建设5个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有2个车间闲置，此时的净利润1500350023500Y =⨯-⨯=；需求量100200x ≤<时，则4个车间正常运行，会有1个车间闲置， 此时1500460015400Y =⨯-⨯=；需求量200x ≥时，则5个车间正常运行，此时的净利润150057500Y =⨯=；则Y 的分布列为：则()35000.554000.375000.24870E Y =⨯+⨯+⨯=（万元） 综上所述，要使该工厂商品A 的月利润为最大，应建设4个生产线车间．【点睛】本题考查了独立重复实验概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望的求解与应用，属于中档题.20.己知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：过点2P ，1(0,1)F -，2(0,1)F 是两个焦点．以椭圆C 的上顶点M 为圆心作半径为()0r r >的圆， （1）求椭圆C 的方程；（2）存在过原点的直线l ，与圆M 分别交于A ，B 两点，与椭圆C 分别交于G ，H 两点（点H 在线段AB 上），使得AG BH =u u u r u u u r，求圆M 半径r 的取值范围．【答案】（1）22:12y C x +=（2）【分析】（1）由题意结合椭圆性质可得122|a PF PF =+=2221b a c =-=，即可得解；（2）当直线斜率不存在时，r=l 方程为：y kx =， ()11,G x y ，()22,H x y ，联立方程后利用弦长公式可得||GH =||AB =||||AB GH =，可得24212132r k k ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭，即可得解. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ， 由题意1c=，122|a PF PF =+=22a =，2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212y x +=；（2）当直线斜率不存在时，圆M 过原点，符合题意，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =，()11,G x y ，()22,H x y ，由直线l 与椭圆C 交于G 、H 两点，则2212y kx y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()22220k x +-=，>0∆， 则1212220,2x x x x k+==-+，所以||H G ==，点M 到直线l的距离d=，则||AB =，因为AG BH =u u u ru u u r，点H 在线段AB 上，所以点G 在线段AB 的延长线上，只需||||AG BH =即||||AB GH =，所以()2222812421k r k k +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 则()()2422224242212332*********k k k r k k k k k k +++⎛⎫=+==+ ⎪++++++⎝⎭因为24223132224k k k ⎛⎫++=+-≥ ⎪⎝⎭， 所以42110322k k <≤++，所以(]22,3r ∈，r ∈；综上，r的取值范围为.【点睛】本题考查了椭圆方程的确定，考查了直线、圆、椭圆的综合应用，属于中档题. 21.已知函数()1ln f x ax x =++． （1）221()()(1)2g x af x x a a x =+-++，求函数()g x 的单调区间： （2）对于任意0x >，不等式()xf x xe ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）1a ≤ 【分析】（1）求导后，按照1a >、1a =、01a <<与0a ≤分类，分别解出不等式()0g x '>，即可得解；（2）转化条件得对于任意0x >，不等式ln 1x xe x a x --≤恒成立，设ln 1()x xe x F x x--=，则22ln ()x x e x F x x+'=，设2()ln xh x x e x =+，求导后可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，进而可得01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00hx =，即0()0F x '=，则()0()F x F x ≥，设()()0x x xe x ϕ>=，求导后可得()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，即可证000011ln x x e x x ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭，代入求出()0F x 后，即可得解.【详解】（1）由题意21()ln (1),(0)2g x a x x a x a x =+-++>， 则2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a g x x a x x x'-++--=+-+==， （i ）当1a >时，()0g x '>的解集为((,1))0,a +∞U ，则()g x 的单调增区间为(0,1)和(,)a +∞，单调减区间为(1,)a ；（ii ）当1a =时，()0g x '≥，则()g x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间；（iii ）当01a <<时，()0g x '>的解集为(0,)(1,)a +∞U ，则()g x 的单调增区间为(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间为(,1)a ；（iiii ）当0a ≤时，()0g x '>的解集为(1,)+∞，则()g x 的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1).（2）由已知，问题等价于对于任意0x >，不等式ln 1x xe x a x--≤恒成立，设ln 1()x xe x F x x --=，则22ln ()x x e xF x x+'=， 设2()ln xh x x e x =+，则()21()2x h x xx e x'=++， 在(0,)+∞上，()0h x '>，()h x 单调递增，又12110eh ee -⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，(1)0h e =>，所以1(1)0h h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以01,1x e ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0()0F x '=， 在()00,x 上，()0F x '<，()F x 单调递减；在()0x +∞上，()0F x '>，()F x 单调递增；所以()0()F x Fx ≥，又有00001ln 20000000111ln ln ln x x x x x e x x e x e e x x x ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇔⇔，设()()0xx xe x ϕ>=，则有()001lnx x ϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭和()(1)0xx x e ϕ'=+>， 所以在(0,) +∞上，()x ϕ单调递增，所以000011ln x x e x x ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭，所以()0000000ln 111()1x x e x x F x F x x x --+-≥===， 故实数a 的取值范围为1a ≤.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221162x y +=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos()6πρθ+=1C 上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的倍，得曲线2C ．（1）写出直线l 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点(1,0)P ， 直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB+的值． 【答案】（1）0y -=，224x y +=（2【分析】（1）转化直线l的极坐标方程为12sin 22ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，利用极坐标方程与直角坐标方程转化公式得直线l 的直角坐标方程；设点(),Px y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P x y的对应点，由题意得12x xy ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入化简即可得解； （2）写出直线的参数方程112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)，代入2C 的直角坐标方程，由根与系数的关系可得1A B t t +=-，30A B t t =-<，转化条件11PA PB+=即可得解.【详解】（1）Q 直线l的极坐标方程可化为12sin 22ρθθ⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭，∴直线l的直角坐标方程为0y -=；设点(),Px y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P xy 的对应点，则12x x y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，∴()22221162x ⎛⎫' ⎪'⎝⎭+=，化简得()()224x y ''+=，∴曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=；（2）由题意点(1,0)P 在直线l 上，21则直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)， 将直线l 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程可得：230t t +-=，112130∆=+=>，则1A B t t +=-，30A B t t =-<， ∴1111A B A B A B A B A B t t t t PA PB t t t t t t +-+=+====⋅⋅. 【点睛】本题考查了极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，属于中档题.23.已知函数()ln(12)f x x x m =--+-．（1）当2m =时，求函数()y f x =的定义域；（2）己知函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭（2）3m <- 【分析】（1）由题意，分类讨论求解不等式|1||2|2x x --+>，即可得解；（2）转化条件得|1||2|m x x <--+恒成立，由绝对值三角不等式求得|1||2|x x --+的最小值即可得解.【详解】（1）当2m =时，由题意可得|1||2|2x x --+>， 所以2122x x x <-⎧⎨-++>⎩或21122x x x -≤<⎧⎨--->⎩或1122x x x ≥⎧⎨--->⎩，解得32x <-， 所以函数()y f x =的定义域为3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭； （2）由题意可得|1||2|0x x m --+->恒成立即|1||2|m x x <--+恒成立，又因为()()()|1||2||2||1||21|3x x x x x x --+=-+--≥-+--=-，当且仅当1x ≥时，等号成立.所以实数m 的取值范围为3m <-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解及绝对值三角不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题。
2020届辽南高三理科数学二模试卷含答案
高三数学理（二模答）—2019—2020学年度下学期高三第二次模拟考试试题数学（理科）参考答案选择题：1.C 2.A 3.D 4.B 5.B 6.C 7.C 8.C 9.B 10.B 11.A 12.D 填空题：13.214.1215.16.6π解答题：17.（1）由已知得：sin A 2=2sin 2A 2因为sin A 2≠0，所以sin A 2=12………………………………（3分）因为A 2∈（0，π2），所以A =π3………………………………（5分）（2）由已知得：ìíî12bc sin A =33b +c =7因为b>c 所以b =4,c =3………………………………（8分）由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A得a =13………………………………（10分）由正弦定理a sin A =b sin B 得sin B ………………………………（12分）18.（1）茎叶图如下甲88635234乙13993…………………………………………（3分）散点图如下：传球成功次数传球成功次数甲乙45403530254540353025场次012345012345场次1高三数学理（二模答）—…………………………………（5分）（2）-x 甲=28+33+36+38+455=36,-x 乙=39+31+43+39+335=37，s 2甲=(28-36)2+(33-36)2+(36-36)2+(38-36)2+(45-36)25=64+9+0+4+815=1585=31.6s 2乙=(39-37)2+(31-37)2+(43-37)2+(39-37)2+(33-37)25=4+36+36+4+165=965=19.2………………………………………………………（9分）（3）选乙比较好，理由如下：由（2）可知，-x 甲<-x 乙，且s 2甲>s 2乙,说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲，且比较稳定，所以选择乙比较好…………………………………（12分）选甲比较好，理由如下：由（1）和（2）可知，虽然-x 甲<-x 乙,但数值相差不大，且由近期5场比赛的数据分析，甲的传球成功次数一直在稳定增加，而乙则有所波动，说明甲球员的状态和潜力要好一些，所以选择甲比较好.…………………………………（12分）（上述两种答案答出一种即可以给分）19.（1）证明：由题意可知，BC ⊥CD ，AE ⊥BC ，AE ∩CD=E ，AE ⊂平面ADC ，DC ⊂平面ADC ，所以BC ⊥平面ADC ，又AD ⊂平面ADC ，所以BC ⊥AD ，因为AD ⊥AB ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AB ∩BC=B所以AD ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC .……………………………………（4分）（2）过点A 作直线AZ ⊥平面ABD ，以点A 为原点，分别以AB 、AD 、AZ 所在直线为x 轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系，设AD =1，则A （0，0，0），D （0，1，0），B （2，0，0），设点E 的坐标为（a ，b ，c ），则C 的坐标为（2a ，2b -1，2c ）， AE =（a ，b ，c ）， BE =(a -2，b ，c ) AE · BE =a (a -2)+b 2+c 2=-12……①又| DE |2=a 2+(b -1)2+c 2=1……②，| BC |2=(2a -2)2+(2b -1)2+(2c )2=1……③解由①②③构成的方程组可得ìíîïïïïïïïïa =34b =12c =，即点E 的坐标（34，12…………（8分）进而 DE =(34，-12), BD =(-2，1，0)设平面BDC 的一个法向量为 n =（x ，y ，z ），可得ìíî n · DE =0 n · BD =0所以ìíîïï34x -12y +=0-2x +y =0，令x =1，解得y=2，z =，即 n =（1，2，………（10分）A B C D E x yz 2易知，平面ABD的一个法向量m=（0，0，1），cos< n, m>= n· m|n||m|=31×1=14，由图可知，二面角C-BD-A的大小为锐角，二面角C-BD-A的余弦值为14.………………………………（12分）20.（1）定义域（0，+∞）当a=3时，f(x)=e x-ln x-3f′(x)=e x-1x………………………………（1分）f″(x)=e x+1x2>0,(f″(x)为f′(x)的导函数)∴f′(x)单调递增∵f′(12)=e12-2<0，f′(1)=e-1>0，∴∃x0∈(12,1)使f′(x0)=e x0-1x0=0，e x0=1x0，∴x∈(0,x0)时,f′(x)<0,f(x)递减，x∈(x0，+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增所以f(x)min=f(x0)=e x0-ln x0-3=1x0+x0-3又f(x0)在(12,1)递减，f(x0)<f(12)<2+12-3<0………………………………（3分）f(1e3)=e1e3-ln1e3-3=e1e3>0∴在(0,x0)上有且只有一个零点又f(e)=e e-ln e-3=e e-4>22-4=0所以在(x0,+∞)上有且只有一个零点综上，函数f(x)有且仅有两个零点………………………………（6分）（2）由x1,x2是函数f（x）的两个零点知e x1=ln x1+a,e x2=ln x2+a∴e x1+e x2=ln x1+ln x2+2a=ln x1x2+2a要证e x1x2>e x1+e x2+2-2a需证e x1x2>ln x1x2+2a+2-2a令x1x2=t∈(0,+∞)需证e t-ln t-a>2-a（也可去证e t-ln t-2>0证法也与（1）同理）………………………………（9分）令f(t)=e t-ln t-a与（1）同理得f(t)min=e t0-ln t0-3=1t0+t0-a>2-a,t0∈(12,1)∴e t-ln t-a>2-a∴e x1x2>e x1+x2+2-2a………………………………（12分）3高三数学理（二模答）—高三数学理（二模答）—21.（1）∵点M 是抛物线C 1：y 2=2px ()p >0的准线与x 轴的交点，∴M æèçöø÷-p 2,0，又∵C 2()1,0,||MC 2=3||OM ，∴1+p 2=3×p 2，∴p =1.∴抛物线C 1的标准方程为y 2=2x .………………………………（4分）（2）设P ()x 0,y 0,A ()0,b ,B ()0,c ，则bc <0，x 0>0.直线PA 的方程为()y 0-b x -x 0y +bx 0=0，直线PB 的方程为()y 0-c x -x 0y +cx 0=0.∵△APB 的内切圆为圆C 2：()x -12+y 2=1，∴||()y 0-b ×1+bx 0()y 0-b 2+x 02=1,||()y 0-c ×1+cx 0()y 0-c 2+x 02=1，整理得()x 0-2b 2+2y 0b -x 0=0,()x 0-2c 2+2y 0c -x 0=0.∴b,c 是方程()x 0-2x 2+2y 0x -x 0=0的两根，该方程判别式Δ=4x 20>0.∴b +c =-2y 0x 0-2,bc =-x 0x 0-2.………………………………（6分）∵bc <0,x 0>0,∴x 0>2，∴()b -c 2=()b +c 2-4bc =æèçöø÷-2y 0x 0-22-4æèçöø÷-x 0x 0-2=4x 02+4y 02-8x 0()x 0-22.∵y 02=2x 0,∴()b -c 2=4x 02()x 0-22,∴||b -c =||||||2x 0x 0-2=2x 0x 0-2.所以△APB 的面积S =12||b -c x 0=x 02x 0-2.………………………………（10分）令t =x 0-2,∴x 0=t +2,t >0，∴S =()t +22t =t +4t +4≥+4=8，当且仅当t =4t ,t =2时，等号成立，此时x 0=4.所以△APB 面积的最小值为8.………………………………（12分）22.（1）由题意可得|a|=1，故l 的参数方程为{x =4t +1y =3t -1（t 为参数），圆C 的参数方程为{x =1+cos θy =-2+sin θ（θ为参数），消去参数t ，得l 的普通方程为3x -4y -7=0，消去参数θ，得C 的普通方程为(x -1)2+(y +2)2=1.………………………………（5分）4高三数学理（二模答）—（2）l ′的方程为y =34(x +m )-74，即3x -4y +3m -7=0，因为圆C 上只有一个点到l ′的距离为1，圆C 的半径为1，所以C (1,-2)到l ′的距离为2，即|3+8+3m -7|5=2，解得m =2（m =-143<0舍去）.………………………（10分）23.（1）当a =1时，f ()x =||x -1+||x -4=ìíîïï5-2x ,x ≤13,1<x <42x -5,x ≥4，当x ≤1时，f ()x <x ，无解；当1<x <4时，f ()x <x 可得3<x <4；当x ≥4时，f ()x <x 可得4≤x <5；故不等式f ()x <x 的解集为()3,5．………………………………（5分）（2）∵f ()x =||x -a +||x -4≥||()x -a -()x -4=||a -4，∴||a -4≥4a -1=4-a a ．当a <0或a ≥4时，不等式显然成立；当0<a <4时，1a≤1，则1≤a <4．故a 的取值范围为()-∞,0⋃[)1,+∞．………………………………（10分）5。
【精准解析】辽宁省辽南协作校2020届高三第二次模拟数学(理)试题
B. R
C. (,1)
D.
【答案】C 【解析】 【分析】 先求出集合 A，再求并集即可.
【详解】 A x x(1 x) 0 x 0 x 1 ，故 A B (,1) .
故选：C. 【点睛】本题考查并集的求法，属于基础题.
2.已知复数 z i i2020 .则| z | ( )
A. 2
故选：C． 【点睛】本题考查算法案例，解题时只要模拟程序运行，判断变量值变化，判断循环条件， 得出结论． 7.某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是女孩，则至少有两个孩子是女孩的概率是( )
3
A.
4
B. 3 8
4
C.
7
D. 1 2
【答案】C 【解析】 【分析】 利用列举法确定基本事件的总数，再得出至少有两个孩子是女孩所包含的基本事件，最后利 用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，某家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是女孩， 基本事件有：（男男女），（男女男），（女男男），（男女女），（女男女），（女女男），（女女女）， 共有 7 个， 其中至少有两个孩子是女孩包含的基本事件有： （男女女），（女男女），（女女男），（女女女），共有 4 个，
10000 由图乙可知，高中生近视率为 50% ， ∴抽取的高中生近视人数为 40 50% 20 （人）. 故选：D..
【点睛】本题主要考查的是统计图及分层抽样的应用，解答本题的关键是能从图中获取关键
信息，接下来结合已知中的数据进行解答即可，属于常考题.
4.设 l 是直线， ， 是两个不同的平面( )
理利用圆的弦长公式列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
9.已知周期为 的函数 f (x) 3 sin(x ) cos(x )( 0, 0 π) 是奇函数，把
2020届辽宁省部分重点中学协作体高三下学期高考模拟考试数学(理)试题(带答案)
辽宁省部分重点中学协作体2020年高考模拟考试数学（理科）试卷考试时间： 120 分钟f 考试分数： 150 分试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题，1—12题， 共60分）和第Ⅱ卷（非选择题，13-23题，共90分）。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
作答时，将答案写在答题卡，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}022≤--=x x x A ，{}0>=x x B ，则A ∩B=（ ）A ． [-1，2]B ．（1，2]C ．（0，2]D ．（2，+∞） 2．已知复数z 满足i i z -=+1)1(，i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．1- C ．1 D ．i 3．已知3.0313.02,22log ===-c b a ，，则c b a 、、的大小关系是（ ）A ． a<b<cB ，a<c<bC ． c<a<bD ． b<c<a 4．已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为a x y+=12ˆ，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（ ） A ．100万元 B ．101 万元 C ．102万元 D ．103万元． 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4634a a a +=+，则9S =（ ）A ．18B ． 24C ．48D ．366．人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为dB x f )(，则有12101lg10)(-⨯⨯=xx f ，则dB 90的声音与dB 50的声音强度之比为（ ） A ．10 B ．100 C ．1000 D ．10000 7．函数x y 2tan =图象的对称中心坐标为（ ）A ．Z k k ∈),0,2(πB ．Z k k ∈),0,(πC ．Z k k ∈),0,2(π D ．Z k k ∈),0,4(π8．已知二项式nxx )12(21+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A ．240 B ．120 C ．48 D ．369．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+-=1,41,82)(2x a x x x ax x x f ，若)(x f 的最小值为)1(f ，则实数a 的值不可能是（ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．410．已知三棱锥A —BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，△ABC 是边长为3的正三角形，△BCD 是直角三角形，且∠BCD=90°，CD=2，则此三棱锥外接球的体积等于（ ） A ．π34 B ．332π C ．π12 D ．364π11．已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于B A ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若|BC|=2，|FB|=1，则|AB|=（ ）A ．3B ．4C ．6D ．612．已知)2(ln 2)(xx x t x e x f x ++-=恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞6]41(e Y ， B ．]61,(-∞ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧6]410[e Y ， D ．]41,(-∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．己知x ， y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+-0201y y x y x ，则y x -2的最小值是 .14．古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、宋时期的单檐建筑中较多存在1:2的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天， A4纸之所以流行的重要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近1:2，我们称这种满足了1:2的矩形为“优美”矩形。
2020年辽宁大连高三二模理科数学试卷-学生用卷
2020年辽宁大连高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第1题5分2007年高考真题全国卷I理科第2题5分设a是实数，且a1+i +1+i2是实数，则a=（）．A. 12B. 1 C. 32D. 22、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第2题5分设集合M={x||x|⩾3，x∈R}，N={y|y=x2，x∈M}，则M∩N=（）．A. MB. NC. 空集D. R3、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第3题5分2017~2018学年6月广东深圳盐田区盐田高级中学高一下学期月考理科第9题5分已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ⩽π2)，且此函数的图象如图所示，则点P(ω,φ)的坐标是（）．A. (2,π2)B. (2,π4)C. (4,π2)D. (4,π4)4、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第4题5分设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，且f(1)>1，f(2)=2m−3m+1，则m的取值范围是（）．A. m<23且m≠−1B. m<23C. −1<m<23D. m<−1或m>235、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第5题5分2007年高考真题全国卷I理科第10题5分(x2−1x )n的展开式中，常数项为15，则n=（）．A. 3B. 4C. 5D. 66、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第6题5分2017年江西新余高三二模理科第7题5分在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a n+2−a n=1+(−1)n(n∈N+)，则S100=（）．A. 0B. 1300C. 2600D. 26027、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第7题5分2017~2018学年陕西西安未央区西安中学高二下学期期末理科平行班第10题5分2017年四川成都双流区双流中学高三一模理科第8题5分如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x2和曲线y=√x围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）．A. 12B. 14C. 13D. 168、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第8题5分已知点A(3,√3)，O是坐标原点，点P(x,y)的坐标满足{√3x−y⩽0x−√3y+2⩾0y⩾0，设z为OA→在OP→上的投影，则z的取值范围是（）．A. [−√3,√3]B. [−3,3]C. [−√3,3]D. [−3,√3]9、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第9题5分如图a是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、⋯、A m[如A2表示身高(单位：cm)在[150,155]内的学生人数]．图b是统计图a中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160∼180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）．A. i <9B. i <8C. i <7D. i <610、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第10题5分直线√2ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交于A 、B 两点（其中a ，b 是实数），且△AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最小值为（ ）．A. 0B. √2C. √2−1D. √2+111、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第11题5分|OA →|=1，|OB →|=√3，OA →⋅OB →=0 ，点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设OC →=mOA →+nOB →(m,n ∈R)，则m n 等于（ ）．A. 13B. 3C. √33D. √312、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第12题5分2019~2020学年安徽合肥蜀山区合肥一六八中学高二上学期期末理科第10题5分抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且∠AFB =120°，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为M 1，则|MM 1||AB|的最大值为（ ）．A. 4√33B. √3C. 2√33D. √33二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第13题5分甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有 种．（用数字作答）14、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第14题5分2012年北京房山区高三期末已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 cm 3．15、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第15题5分已知a n=log n+1(n+2)(n∈N+)，我们把使乘积a1⋅a2⋅a3⋅⋯⋅a n为整数的数n叫做“劣数”，则在区间(1,2004)内的所有劣数的和为．16、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第16题5分某学生对函数f(x)=xsinx进行研究后，得出如下四个结论：①函数f(x)在[−π2,π2]上单调递增；②存在常数M>0，使|f(x)|⩽M|x|对一切实数x都成立；③函数f(x)在(0,π)上无最小值，但一定有最大值；④点(π,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心，其中正确的是．（填序号）三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第17题12分如图，在△ABC中，B=π4，AC=2√5，cosC=2√55．(1) 求sinA．(2) 记BC的中点为D，求中线AD的长．18、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第18题12分某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为15，路段CD发生堵车事件的概率为18）．(1) 请你为其选择一条由A到B的最短路线（即此人只选择从西向东和从南向北的路线），使得途中发生堵车事件的概率最小．(2) 若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望E(ξ)．19、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第19题12分在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E（图1），沿DE将△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC（图2）．(1) 若F是AB的中点，求证：CF//平面ADE．(2) P是AC上任意一点，求证：平面ACD⊥平面PBE．(3) P是AC上一点，且AC⊥平面PBE，求二面角P−BE−C的大小．20、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第20题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点．(1) 求直线ON（O为坐标原点）的斜率K ON．(2) 对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角θ(θ∈R)使等式：OM→=cosθOA→+sinθOB→成立．21、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第21题12分已知函数f(x)=ax+lnx，a∈R．(1) 求函数f(x)的极值．(2) 对于曲线上的不同两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，如果存在曲线上的点Q(x0,y0)，且x1<x0<x2使得曲线在点Q处的切线l//P1P2，则称l为弦P1P2的伴随直线，特别地，当x0=λx1+(1−λ)x2(0<λ<1)时，又称l为P1P2的λ−伴随直线．① 求证：曲线y =f (x )的任意一条弦均有伴随直线，并且伴随直线是唯一的．② 是否存在曲线C ，使得曲线C 的任意一条弦均有12−伴随直线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第22题10分已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是{x =√22t +m y =√22t（t 是参数）． (1) 将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程转化为普通方程．(2) 若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB|=√14，试求实数m 的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第23题10分已知不等式|x −a |<b 的解集是{x |−1<x <5}．(1) 求实数a ，b 的值．(2) 解不等式|a +b |+|a −b |⩾|a |(|x −1|+|x −2|)．1 、【答案】 B;2 、【答案】 B;3 、【答案】 B;4 、【答案】 C;5 、【答案】 D;6 、【答案】 C;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 B;10 、【答案】 C;11 、【答案】 B;12 、【答案】 D;13 、【答案】72;;14 、【答案】4315 、【答案】2026;16 、【答案】②③;17 、【答案】 (1) 3√10．10;(2) √5．;18 、【答案】 (1) 路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．;(2) 37．60;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;(3) 45°．;20 、【答案】 (1) −1．3;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) 当a⩾0时，f(x)没有极值；)，没有极小值．当a<0时，f(x)的极大值为−1+ln(−1a;(2)①证明见解析．②存在，证明见解析．;22 、【答案】 (1) (x−2)2+y2=4，y=x−m．;(2) m=1或m=3．;23 、【答案】 (1) a=2，b=3．;(2) {x|0⩽x⩽3}．;。
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2020届辽宁省辽南协作校高三第二次模拟数学理科试题
一、单选题
(★) 1. 已知，，则( )
A．B．C．D．
(★) 2. 已知复数.则( )
A．B．1C．0D．2
(★★) 3. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A．100，40B．100，20C．200，40D．200，20
(★★) 4. 设是直线，，是两个不同的平面( )
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
(★★) 5. 已知，则条件“ ”是条件“ ”的( )条件.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
(★★) 6. 如图所示算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的分别为12、30，则输出的( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．18
(★★★) 7. 某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是女孩，则至少有两个孩子是女孩的概率是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
(★★★) 8. 已知半径为 的圆
与 轴交于 两点，圆心 到 轴的距离为 .若
，并规定当圆
与 轴相切时 ，则圆心
的轨迹为( )
A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．抛物线
(★★★) 9. 已知周期为 的函数
是奇函数，把
的图象向右平移 个单位得到
的图象，则
的一个单调增区间为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
(★★★) 10. 已知数列 满足 .则 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
(★★★★) 11. 在直角坐标系
中， 是椭圆 ： 的左焦点， 分
别为左、右顶点，过点
作 轴的垂线交椭圆 于 ， 两点，连接 交 轴于点
，连
接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
(★★★) 12. 已知函数满足.当时，下列说法：① ；② 只有一个零点；③ 有两个零点；④ 有一个极大值.其中正确的是( )
A．①③B．②③C．①④D．②④
二、填空题
(★★) 13. 已知函数（且）的图象恒过定点，且点在函数的图象上，则______.
(★★) 14. 已知数列为等差数列，成公比不为1的等比数列，且，则公差
_____.
(★★) 15. 已知平面向量与的夹角，且.若平面向量满足，则______.
(★★★) 16. 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，为中点，，则球的体积为_______.
三、解答题
(★★★) 17. 已知的内角所对的边分别为，且.
（1）求角的值.
（2）若面积为，且，求及的值.
(★★★) 18. 数据的收集和整理在当今社会起到了举足轻重的作用，它用统计的方法来帮助人
们分析以往的行为习惯，进而指导人们接下来的行动.
某支足球队的主教练打算从预备球员甲、乙两人中选一人为正式球员，他收集到了甲、乙两名
球员近期5场比赛的传球成功次数，如下表：
场次第一场第二场第三场第四场第五场
甲2833363845
乙
39
31
43
39
33
（1）根据这两名球员近期5场比赛的传球成功次数，完成茎叶图（茎表示十位，叶表示个位）；分别在平面直角坐标系中画出两名球员的传球成功次数的散点图； （2）求出甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数的平均值和方差； （3）主教练根据球员每场比赛的传球成功次数分析出球员在场上的积极程度和技术水平，同时根据多场比赛的数据也可以分析出球员的状态和潜力.你认为主教练应选哪位球员?并说明理由.
(★★★) 19. 已知矩形
， 为 中点，将 至 折起，连结
.
（1）当 时，求证：
；
（2）当
时，求二面角
的余弦值. (★★★★★) 20. 已知函数
.
（1）若 .证明函数
有且仅有两个零点；
（2）若函数
存在两个零点
，证明： .
(★★★★) 21. 已知点
是抛物线
：
的准线与 轴的交点，点 是抛物线
上的动点，点 、 在 轴上， 的内切圆为圆
：
，且
，
其中 为坐标原点. （1）求抛物线 的标准方程； （2）求
面积的最小值.
(★★★) 22. 在直角坐标系
中，直线 的参数方程为 （ 为参数），圆 的参数
方程为
（ 为参数）.
（1）求 和 的普通方程；
（2）将向左平移后，得到直线，若圆上只有一个点到的距离为1，求. (★★★) 23. 设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围．。