_多重集全排列_在排列组合_概率中的应用
高中数学中的排列组合与概率综合应用
高中数学中的排列组合与概率综合应用在高中数学中，排列组合与概率是两个重要的概念和工具。
它们不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在现实生活中也有着重要的意义。
本文将探讨排列组合与概率在高中数学中的综合应用。
一、排列组合与概率的基本概念排列组合是数学中的基本概念，它们描述了对象的不同排列和选择方式。
排列是指从一组对象中按照一定顺序选择若干个对象，组成一种排列方式。
组合是指从一组对象中选择若干个对象，不考虑其顺序。
概率是指某一事件发生的可能性，它可以用数值来表示。
二、排列组合与概率在生活中的应用1. 考试座位安排：在高中考试中，学校需要安排考生的座位。
通过排列组合的方法，可以计算出不同座位安排的可能性。
而概率则可以用来估计每个考生被安排到某个座位的可能性。
2. 抽奖活动：在各种抽奖活动中，排列组合与概率也有着广泛的应用。
例如，某个活动中有100个参与者，其中10个人可以获得奖品。
通过排列组合的方法，可以计算出不同人获奖的可能性。
而概率则可以用来估计每个人获奖的概率。
3. 股票投资：在股票投资中，投资者需要根据市场情况做出买入或卖出的决策。
排列组合与概率可以用来分析不同投资组合的可能性，并估计每种投资组合的收益概率。
4. 生产计划安排：在生产过程中，企业需要合理安排生产计划，以最大限度地提高生产效率。
通过排列组合的方法，可以计算出不同生产计划的可能性，并通过概率来估计每种生产计划的成功概率。
三、排列组合与概率的综合应用举例假设某公司有5个职位需要填补，共有10名应聘者。
每个应聘者只能担任一个职位。
现在需要计算以下几个问题：1. 有多少种不同的职位填补方式？通过排列的方法，可以计算出不同职位填补方式的数量。
根据排列的定义，可以得出答案为10的5次方，即10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30,240 种。
2. 某个应聘者被选中的概率是多少？假设某个应聘者是A，他被选中的概率可以通过计算他被选中的情况数与总情况数的比值得出。
组合数学中的容斥原理及其应用实例
技术创新33组合数学申的容斥原理及其应用实例◊宝鸡文理学院数学与信息科学学院李海侠容斥原理是组合数学中的一个重要计数工具，在集合论、概率论和初等数论等学科中占有非常重要的地位。
本文讨论容斥原理的思想以及在计数问题中的若干应用，帮助大家更方便的利用容斥原理解决相关问题。
容斥原理冋是组合数学中的基本计数原理，是解决计数问题的一个重要工具。
掌握容斥原理的主要思想可以大大简化计数问题的计算，给解决相关问题带来方便，具有非常重要的研究意义。
但纵观容斥原理的已有研究成果，目前对容斥原理在圆排列（非夫妻围坐问题）、多重集排列和与棋盘多项式有关的禁区排列等方面的应用很少。
因此，本文在容斥原理相关定理的基础上探析容斥原理的主要思想以及若干应用,并通过举例进行详细说明，从而使大家更好地理解并灵活应用容斥原理。
1预备知识为了后面讨论的需要，下面给出容斥原理的相关定理和思想。
定理1（容斥原理）呦设有限集S,P=｛片，马,…，好｝是与S中元素有关的性质集合，4,&，…,4,是分别具有性质£，妁，…上的元素构成的s的子集，贝U：|4U4U-U^…|»,,,,（1）=ZW-Z|4-n^|+s l4.n4.nAl—■+（-ir1l4n^n-n4.li=l l<i<j<n l<i<j<k<n|4A4n-n4；|⑵=l^|-il4l+Z|4A4|-z|4n4n^|+-+（-ir|4n4n-n4.li=l l<i<j<k<n运用容斥原理和组合販易得定理2如果有限集s的子集4,4,…,4.具有对称性，即|4|=^（1<«<«）,|4-C1勺| =J R2（i<i</<»）,-）|4n4n-AA|=^,”则14u U•••U Al=ex-CX+•-+（-1）"_1CX=（3）冈n瓦n…n可=国-c：x+c江-…+（-i）”c：&=同-x（-i）/_I c火（4）利用容斥原理解题的思想和步骤：J（1）根据题意,找出全集s并构造出s中具有性质P t的元素组成的s的子集4（i= 1,2,•••,»）,这里4（21,2,…，”）的寻找非常关键，目标是既能用容斥原理又使得⑷，|4ri24y|,---,|4/容易求出。
排列组合的应用概率计算
排列组合的应用概率计算在数学中，排列组合是一种重要的概念，它与概率计算密切相关。
在实际生活中，排列组合的应用广泛存在于各个领域。
本文将探讨排列组合在概率计算中的应用，以及它们对我们日常生活的影响。
1. 介绍排列组合是数学中研究对象的一种组合方式。
排列指的是从一组元素中选取若干个元素并按照一定顺序进行排列的方式。
组合则是从一组元素中选取若干个元素，不考虑顺序的方式。
排列与组合的计算方式可以通过数学公式进行推导，但是在实际应用中，我们更多地使用这些公式来解决问题。
2. 排列的应用概率计算排列在概率计算中有着广泛的应用。
以抽奖为例，当从一组编号为1至10的球中抽取3个球时，我们可以通过排列的概念来计算中奖的可能性。
根据排列的计算公式，一共有10个球可供选取，中奖的可能性为10个球中选取3个球的排列数，即10P3。
通过排列的计算，我们可以得到中奖的准确概率。
3. 组合的应用概率计算组合同样在概率计算中发挥着重要的作用。
以彩票为例，当从一组编号为1至30的号码中选取6个号码时，我们可以通过组合的概念来计算中奖的可能性。
根据组合的计算公式，一共有30个号码可供选取，中奖的可能性为30个号码中选取6个号码的组合数，即30C6。
通过组合的计算，我们可以得到中奖的准确概率。
4. 排列组合在实际生活中的应用排列组合不仅在概率计算中有着广泛的应用，还在我们的日常生活中扮演着重要的角色。
比如，在购买彩票时，我们可以利用组合的概念计算中奖的可能性，从而决定是否购买。
此外，在排队、选课、选取团队成员等情景中，我们可以利用排列组合的知识来计算不同的可能性，并作出相应的决策。
5. 排列组合的局限性和扩展尽管排列组合在概率计算和实际生活中有着广泛的应用，但也存在一些限制和扩展的可能性。
排列组合的计算适用于有限元素的情况，而当元素数量非常大时，计算量也会非常大。
此外，随着计算机科学的发展，我们可以利用计算机算法来解决更复杂的排列组合问题，从而扩展了排列组合的应用领域。
高中数学排列组合及概率的基本公式、概念及应用doc资料
高中数学排列组合及概率的基本公式、概念及应用1 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =+++.分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =⨯⨯⨯.2 排列数公式 ：mn A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．规定1!0=.3 组合数公式：mnC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).组合数的两个性质:(1)m n C =mn nC - ;(2) m n C +1-m nC =m n C 1+.规定10=n C .4 二项式定理 nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =.2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++的展开式的系数关系：012(1)n a a a a f ++++=； 012(1)(1)n n a a a a f -+++-=-；0(0)a f =。
5 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和：P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． n 个互斥事件分别发生的概率的和：P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．6 独立事件A ，B 同时发生的概率：P(A ·B)= P(A)·P(B). n 个独立事件同时发生的概率：P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．7 n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).k k n kn n P k C P P -=-8 数学期望：1122n n E x P x P x P ξ=++++数学期望的性质（1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E pξ=. 9方差：()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+标准差：σξ=ξD . 方差的性质：(1)()2D a b a D ξξ+=；(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则2q D p ξ=. 方差与期望的关系：()22D E E ξξξ=-.10正态分布密度函数：()()()2226,,x f x x μ--=∈-∞+∞，式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 对于2(,)N μσ，取值小于x 的概率：()x F x μσ-⎛⎫=Φ⎪⎝⎭.()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<<11 )(x f 在0x 处的导数（或变化率）：00000()()()limlim x x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆. 瞬时速度：00()()()lim limt t s s t t s t s t t tυ∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 瞬时加速度：00()()()lim limt t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 12 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.13 几种常见函数的导数：(1) 0='C （C 为常数）.(2) 1()()n n x nxn Q -'=∈.(3) x x cos )(sin ='.(4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln ='；1(log )log a a x e x'=.(6) x x e e =')(; a a a xx ln )(='.14 导数的运算法则：（1）'''()u v u v ±=±.（2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v-=≠. 15 判别)(0x f 是极大（小）值的方法：当函数)(x f 在点0x 处连续时，（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值. 16 复数的相等：,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈）17 复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +18 复平面上的两点间的距离公式：12||d z z =-=（111z x y i =+，222z x y i =+）.19实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程20ax bx c ++=，①若240b ac ∆=->,则1,2x =;②若240b ac ∆=-=,则122bx x a==-;③若240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根240)x b ac =-<.20解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．21解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法，还记得什么时候用隔板法？22排列数公式是： 组合数公式是： 排列数与组合数的关系是：mnm n C m P ⋅=！组合数性质：mnC=m n nC-m nC+1-m n C=mn C1+ ∑=nr r nC=n21121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C二项式定理：nn n r r n r n n n n n nnnb C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(二项展开式的通项公式：rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =概率统计23有关某一事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)，转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率，看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件。
利用排列组合解决概率问题
利用排列组合解决概率问题排列组合在解决概率问题中的应用概率问题是概率论中的重要分支，是研究随机事件发生的可能性大小及其规律的学科。
在实际生活和工作中，我们时常需要利用概率来解决一些实际问题。
而排列组合是计算概率问题中必不可少的工具之一。
本文将从排列、组合和排列组合的应用三个方面，来详细介绍在概率问题中如何利用排列组合来解决问题。
一、排列首先我们来说排列。
排列是将若干个对象按一定的顺序排成一列的不同方法数。
比如小学班中选出3人来排队，有多少种不同的排队方法？我们可以先算出第1个人有3种选择，第2个人有两种选择，第3个人有1种选择，所以一共有3×2×1=6种不同的排队方法。
这就是一个典型的排列问题。
一般地，从n个不同元素中任取m个，按一定顺序排成一列的不同排列数，记作A(n, m)，有公式：A(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×⋯×2×1，0!=1；(n-m)!表示n-m的阶乘。
二、组合其次我们来说组合。
组合是从若干元素中任取m个元素，不考虑元素之间的顺序排列，共有多少种不同的选择方式。
比如小学班中选出3人来合影，有多少种不同的合影方式？我们可以先算出一共有10种选择，即从10人中选出3人的不同组合数，即C(10,3)=120，所以一共有120种不同的合影方式。
一般地，从n个不同元素中任取m个元素的不同组合数，记作C(n,m)，有公式：C(n,m)=n! / (m!(n-m)!)其中，阶乘同排列中的定义。
三、排列组合的应用最后我们来说排列组合在概率问题解决中的应用。
下面我们分别从两个方面来介绍。
(1) 案例分析比如有10个整数，其中6个为1，4个为2。
从这10个整数中任选3个整数，求其中至少有2个整数为1的概率。
我们可以分别计算3个整数中有2个为1的概率，和3个整数中全部为1的概率。
排列组合的概率
排列组合的概率排列组合是概率论中一个非常重要的知识点，也是数学中的一支分支。
在实际生活中，排列组合也有广泛的应用，例如在概率统计、密码学等领域都有重要的作用。
本篇文章将为大家介绍排列组合在概率中的应用及其相关概念和公式。
一、排列组合的基本概念排列和组合是计数学中最基本的问题之一，他们的特点是在某个集合中从中选出元素并进行排列。
排列和组合的区别是排列允许重复，组合不允许重复。
举个例子，假设一个3个球的盒子中有红色、黄色和蓝色三个球，从中选两个球排列，那么所有可能的结果有：红色球，黄色球红色球，蓝色球黄色球，红色球黄色球，蓝色球蓝色球，红色球蓝色球，黄色球这是从三个球中选取两个并进行排列的结果，共有6个可能的结果。
这种情况下的计算就是典型的排列问题。
如果是组合问题的话，那么从三个球中选两个，可能的结果就是：红色球，黄色球红色球，蓝色球黄色球，蓝色球这是从三个球中选取两个并进行组合的结果，共有3个可能的结果。
二、排列组合的公式计算排列和组合的问题本质上就是在进行选择和排序。
在实际计算过程中，可以使用排列组合的公式来进行求解。
1. 排列公式在一个 n 个元素的集合中，如果选取 m 个元素进行排列，那么总的可能组合数就是：A(n,m) = n! / (n - m)!其中，n! 表示 n 的阶乘，即 n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。
这个公式的意思是先从 n 个元素中选择 m 个不同的元素，然后对这 m 个元素进行全排列。
2. 组合公式在一个 n 个元素的集合中，如果选取 m 个元素进行组合，那么总的可能组合数就是：C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!)在计算组合的时候，我们需要排除掉同一种组合中不同的位置排列，因此这个公式在计算的时候需要将排列问题中的 m! 减去，即：C(n,m) = A(n,m) / m!。
排列组合公式总结大全(3篇)
第1篇在数学中，排列组合是研究有限集合中元素的不同排列和组合方式的一种数学分支。
它广泛应用于统计学、概率论、计算机科学、组合数学等领域。
以下是对排列组合中常用公式的总结，以供参考。
一、排列1. 排列的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2. 排列数公式：A(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
3. 排列的运算性质：（1）交换律：A(n, m) = A(n-m, n-m)（2）结合律：A(n, m) × A(m, k) = A(n, k)（3）逆运算：A(n, m) × A(m, n-m) = n!二、组合1. 组合的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，不考虑它们的顺序，这样的取法称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
2. 组合数公式：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]3. 组合的运算性质：（1）交换律：C(n, m) = C(n-m, n-m)（2）结合律：C(n, m) × C(m, k) = C(n, k)（3）逆运算：C(n, m) × C(m, n-m) = C(n, n)三、排列与组合的关系1. 排列与组合的关系：A(n, m) = C(n, m) × m!2. 排列与组合的区别：（1）排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。
（2）排列的运算性质与组合的运算性质不同。
四、排列组合的应用1. 排列组合在概率论中的应用：计算随机事件发生的概率。
2. 排列组合在计算机科学中的应用：设计算法、密码学、数据结构等。
3. 排列组合在统计学中的应用：抽样调查、数据分析等。
多重集合的全排列
多重集合的全排列多重集合的定义：多重集合不要求元素不能重复。
多重集合表⽰：M=\left \{k_{1}\cdot a_{1},k_{2}\cdot a_{2},\cdots ,k_{n}\cdot a_{n}\right \}\left ( 其中每个a_{i}代表是不同的元素，每个元素a_{i}有k_{i}个，k_{i}可以是有限数，也可以是∞。
\right )多重集的排列:多重集合M=\left \{k_{1}\cdot a_{1},k_{2}\cdot a_{2},\cdots ,k_{n}\cdot a_{n}\right \}的r排列数为k^{r}多重集合M=\left \{k_{1}\cdot a_{1},k_{2}\cdot a_{2},\cdots ,k_{n}\cdot a_{n}\right \}的全排列数为：\frac{\left ( k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{n}\right )!} {k_{1}!k_{2}!\cdots k_{n}!}例题：题解：n个数，选择n-1种，那么有C_{n}^{n-1}也就是n种⽅案。
对于每种⽅案，要从n-1个数⾥⾯，选择⼀个重复的数字，有n-1种⽅案。
此时对于每种⽅案，长度都是为n的序列，考虑多重集合的全排列⽅案数。
根据公式可知全排列数为\frac{n!}{2!}，所以题⽬答案就是：n\ast \left ( n-1\right )\ast \frac{n!}{2!}把除以2的阶乘转换为乘以2的阶乘的逆元AC_Code:1 #include <bits/stdc++.h>2using namespace std;3 typedef long long ll;4const int maxn = 1e5+10;5const ll mod=1e9+7;67 ll F[maxn];8 ll n;910void init(){11 F[0]=F[1]=1;12for(int i=2;i<=100000;i++) F[i]=1ll*F[i-1]*i%mod;13 }1415 ll qpow(ll a,ll b){16 ll res=1;17while(b){18if( b&1 ) res = res*a%mod;19 a = a*a%mod;20 b>>=1;21 }22return res;23 }2425int main()26 {27 init();28 ll t2=qpow(2,mod-2);29while( ~scanf("%lld",&n)){30 ll ans=n*(n-1)%mod*F[n]%mod*t2%mod;31 printf("%lld\n",ans);32 }33return0;34 }Processing math: 0%。
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1 +a 4 证明不等式
2
≤ 1,
即 a2 + 1 ≥4, 故 a ≥ 3或 a ≤ - 3.
1 + 2 1 ≤2. 2 1 , 2 1 在直线 2
例 4 在 △AB C 中 , cosA + cosB + cosC = 断 △AB C 的形状 . 解 由已知得
co sA + co sB - co s (A + B ) 3 = 0, 2 3 = 0. 2
抛 物 线 综 合 题 中 的 参 量 转 化
● 刘光锐 王志强 山东武城县第二中学
在解析几何问题中 , 参量的设置与消去是一个 成功解决问题的关键 , 同时也是一个被重点研究的 问题 , 是考查的热点 . 由于抛物线独特的方程形式及 性质 , 使得抛物线综合题中的量值转化具有明显的 抛物线特色 . 笔者抛砖引玉 , 作以下分析概括 .
・14・
B∈
中学教研 (数学 ) 2006 年第 9 期 由锐角 △AB C 知 ∠B = △AB C 为正三角形 .
3 求参数范围
π ,π , 求 ∠B 的值 . 4 解 由已知得
π π , 同 理 ∠A = ,故 3 3
( sinB + cosB ) cosA + ( 1 + cosB - sinB ) sinA - 3 = 0,
a3 , 则 a1 , a2 , a3 , b 四个元素进行排列 , 共有 A 4 = 24
4
种 ( b排在第 1 个位置 、 第 2 个位置 、 第 3 个位置 、 最 ) 后位置的各有 A 3 = 6 种 . 3 ⑵ 再把不同的元素看成相同的元素 , 那么 b 排 在第 1 个位置只能算 1 种 , 排在第 2, 3, 4 个位置也 都只能算 1 种 . 也就是每种方法都重复了 A 3 3 = 6次 , 所以答案是
1 + 2
cos α +
2
1 ≤2, 2
≤ 1,
当且仅当 sin2α = cos2α = 时 , 等号成立 .
π π 1 k ( k ∈ Z) ,即 α = + 2 2 4
整理得 ( cosB -
1 2 1 ) ≤0 ] cosB = . 2 2
解 题方法与技巧 ・・ 解题方法与技巧 ・・ 解题方法与技巧 ・・ 解题方法与技巧 ・・ 解题方法与技巧 ・・ 解题方法与技巧 ・・ 解题方法与技巧 ・・ 解题方法与技巧 中 中 学 学 教 教 研 研 ・ ・ 中 中 学 学 ( ) 226151 教 教 研 研 ・ ・ 解 题方法与技巧 ・・ 解题方法与技巧 ・・ 解题方法与技巧 ・・ 解题方法与技巧 ・・ 解题方法与技巧 ・・ 解题方法与技巧 ・・ 解题方法与技巧 ・・ 解题方法与技巧
答略 . “ 多重集全排列 ” 在排列组合 、 概率中用以解决 一些含有相同元素的排列问题有着广泛的应用 .
例 2 在原点处有一个质点 , 每一秒等概率地
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点 ( cosA, sinA ) 在直线
( sinB + cosB ) x + ( 1 + cosB - sinB ) y - 3 = 0
例 5 如果关于 x 的方程 sin x + a cosx = 2 恒有 解 , 求实数 a 的范围 . 解 点 ( sinx, cosx ) 在直线 x + ay - 2 = 0 及圆
图 1
是问题得证的关键 . 问题变 式 如 图 2, 设 p > 0 是 一 常 数 , 过 点
13 4 8 解 ⑴ = C = 1287 (种 ) . 84 5 4 13
所以 , 该质点又恰好回到原点的概率
P1 = ( 20 + 180 + 180 + 20 )
1 4
6
=
25 . 256
⑵1287 答略 .
13 4 5 4 ・ = 1287 - 70 = 1217 (种 ) . 84 54 34 24
64 = 180 种不同的方法 ; 24 24 64 = 20种不同 34 34
例 1 ⑴ 如图 1, 在 A 点处有一蚂蚁要经过格 架到 B 点 去 , 并且它只会向 右或向上爬 行 ,问该蚂蚁 有多少种不同 的爬行方法 ? ⑵爬 行 方 法同 ⑴, C 点处 图 1 断开 , 有多少种不同的爬行方法 ? 分析 从 A 点去 B 点 , 一共有 13 格 , 8 格向右 ,
3|
x + y =1 上 , 所以
2 2
及圆 x + y = 1 上 , 所以
| 0 +0 ( sinB + co sB ) 2 + ( 1 + co sB - sinB ) 2
2
2
≤ 1,
| 0 +0 - 2 |
π ,π , 所以 cosB = sinB , 得 cosB ≥ sinB , 又 ∠B ∈ 4 故 ∠B = π . 4
A4 A3
3 4
= 4种.
2006 年第 9 期 中学教研 (数学 )
・1 5 ・
由此推至一般 , 设多重集 S = { n1 ・ e1 , n2 ・ e2 , …, nk ・ek } , 令 an 为 S 的全排列数 , 则
an = ( n1 + n2 + … + nk ) 4 . n1 4 n2 4 …nk 4
例 6 求证 证明 令
u =
α +
2
sin α +
2
2
1 + 2 1 , 2
co s α + cos α +
2
2
则 u > 0, 点
2
sin α +
2
即
( 1 - cosB ) cosA - sinB sinA + cosB -
x +y - u =0 及圆 x + y = 2 上 , 所以 | 0 +0 - u |
“ 多重集全排列 ” 在排列组合 、 概率中的应用
● 郁中华 江苏包场高级中学
引例 a, a, a, b 这 4 个字母用列举法 , 得到不 同的排列方法有以下 4 种 : ① b, a, a, a; ② a, b, a, a; ③a, a, b, a; ④a, a, a, b. 也可以分两个步骤来解决这 个问题 : ⑴ 把相同的元素 a 暂且看作不同的元素 a1 , a2 ,
1 挖掘定值 y1 y2 , x1 x2
点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点 , 点 C 在抛物线的 准线上 , 且 B C ∥x 轴 . 证明 :直线 AC 经过原点 O.
( 2001 全国高考试题 )
分析 要 证 直 线 AC 经 过 原 点 O, 只 要 证 明 :
( 1 ) kOA = kOC ; ( 2 ) 原 点 坐 标 满 足 直 线 AC 的 方 程 ; ( 3 ) 向量 OA ∥OC . 其 中 之 一 成 立 即 可 . 由 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 知 C p
5 格向上 , 相当于二重集 S = { 8 ・ 右 , 5・ 上 }的全排
⑶ 左、 右各移动 1 次 , 上 、 下各移动 2 次 , 共有
64 = 180 种不同的方法 ; 24 24
⑷ 上、 下各移动 3 次 , 共有 法.
64 = 20 种不同的方 34 34
列 . 第二小题用“ 排除法 ” 解决 .
点 ( cosA, sinA ) 在直线
3 ( 1 - cosB ) x - y sinB + cosB =0 2
2
≤ 2 ] | u | ≤ 2,
故 u ≤2, 即
sin α +
2
及圆 x2 + y2 = 1 上 , 所以
3 0 - 0 + co sB 2
( 1 - co sB ) 2 + sin2 B
→ →
在课本习题中 , 我们获知过焦 点的直线与抛物线两交点之横 、 纵 坐标乘积为定值 , 它将成为某些问 题获解的关键 . 典型例题 如图 1, 设抛物线
y = 2 px ( p > 0 ) 的焦点为 F, 经过
2
-
p
2
, y2
, 则只要证明 : x1 y2 +
2
2
y1 = 0, 因点 A 在抛物线上 , 即证明 y1 y2 = - p , 这
向左或右 、 上或下移动一个单位 , 则 6 秒后该质点又 恰好回到原点的概率是多少 ? 分析 6 秒后该质点又恰好回到原点 , 说明该 质点左 、 右移动的单位相等 , 上 、 下移动的单位也相 等. 解 ⑴ 左、 右各移动 3 次 , 共有 的方法 ; ⑵ 左、 右各移动 2 次 , 上 、 下各移动 1 次 , 共有