八年级数学下册第二十二章四边形22.6正方形第2课时正方形的判定课件新版冀教版
八年级数学下册课件(冀教版)正方形
正方形(square)是我们熟悉的几何图形，它的四 条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形， 又是菱形.它既有矩形的性质，又有菱形的性质.
正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形． 要点精析 (1)正方形的四条边都相等，说明正方形是特殊的菱形； (2)正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩 形.即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
3 已知在四边形ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，
那么这个条件可以是( D )
A．∠D＝90°
B．AB＝CD
C．AD＝BC
D．BC＝CD
4 ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，且AC⊥BD， 请添加一个条件：A__C_＝__B__D_，使得▱ABCD 为正方形．
证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°. 又∵DG⊥AE， ∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°. ∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO. ∴△AEO ≌△DFO (ASA)．∴OE＝OF. ∴∠OEF＝45°. ∴∠OEF＝∠OBA. ∴EF∥AB.
AC＝BD，AD∥BC，
∠DAC＝∠ACD＝45°.
∵BD＝CE，∴AC＝CE.∴∠CAE＝∠CEA.
∵AD∥CE，∴∠DAF＝∠AEC. ∴∠DAF＝∠CAE＝ 1 ∠DAC＝22.5°.
2
又∵∠ACF＝45°，∴∠AFC＝112.5°.
3 如图是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点 剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度 所标的数据(单位：cm)不正确的是( A )
最新冀教版八年级数学下册 22.6 正方形 (2)
22.6 正方形1．掌握正方形的概念、性质，并会运用；(重点)2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别；(难点)3．掌握正方形的判定条件；(重点) 4．合理地利用正方形的判定进行有关的论证和计算．(难点)一、情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手过程中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？二、合作探究探究点一：正方形的性质【类型一】 利用正方形的性质求线段长或证明如图所示，正方形ABCD 的边长为1，AC 是对角线，AE 平分∠BAC ，EF ⊥AC 于点F .(1)求证：BE ＝CF ； (2)求BE 的长．解析：(1)由角平分线的性质可得到BE ＝EF ，再证明△CEF 为等腰直角三角形，可证明BE ＝CF ；(2)设BE ＝x ，在△CEF 中可表示出CE ，由BC ＝1，可列出方程，可求得BE .(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝90°，∵EF ⊥AC ，∴∠EF A ＝90°，∵AE 平分∠BAC ，∴BE ＝EF ，又∵AC 平分∠BCD ，∴∠ACB ＝45°，∴∠FEC ＝∠FCE ，∴EF ＝FC ，∴BE ＝CF ；(2)解：设BE ＝x ，则EF ＝CF ＝x ，在Rt △CEF 中，CE ＝EF 2＋CF 2＝2x ，∵BC ＝1，∴x ＋2x ＝1，解得x＝2－1，即BE 的长为2－1.方法总结：矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．【类型二】利用正方形的性质求角度或证明在正方形ABCD 中，点F 是边AB上一点，连接DF ，点E 为DF 中点．连接BE 、CE 、AE .(1)求证：△AEB ≌△DEC ；(2)当EB ＝BC 时，求∠AFD 的度数． 解析：(1)根据正方形的四条边都相等可得AB ＝CD ，每一个角都是直角可得∠BAD ＝∠ADC ＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，根据等边对等角可得∠EAD ＝∠EDA ，再求出∠BAE ＝∠CDE ，然后利用“边角边”证明即可；(2)根据全等三角形对应边相等可得EB ＝EC ，再求出△BCE 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠EBC ＝60°，然后求出∠ABE ＝30°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BAE ，然后根据等边对等角可得∠AFD ＝∠BAE .(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，∵点E 为DF 的中点，∴AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，∴∠EAD ＝∠EDA ，∵∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ，∠CDE ＝∠ADC －∠EDA ，∴∠BAE ＝∠CDE ，在△AEB 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△AEB ≌△DEC (SAS)；(2)解：∵△AEB ≌△DEC ，∴EB ＝EC ，∵EB ＝BC ，∴EB ＝BC ＝EC ，∴△BCE 是等边三角形，∴∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝90°－60°＝30°，∵EB ＝BC ＝AB ，∴∠BAE ＝12(180°－30°)＝75°，又∵AE ＝EF ，∴∠AFD ＝∠BAE ＝75°.方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段．探究点二：正方形的判定【类型一】 利用“一组邻边相等的矩形是正方形”判定已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，DE ⊥BC 于点E ，DF⊥AC 于点F .求证：四边形CEDF 是正方形． 解析：要证四边形CEDF 是正方形，则要先证明四边形DECF 是矩形，再证明一组邻边相等即可．证明：∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠DFC ＝90°，∠DEC ＝90°，又∵∠ACB ＝90°，∴四边形DECF 是矩形，∵DE ＝DF ，∴矩形DECF 是正方形．方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．【类型二】 利用“有一个角是直角的菱形是正方形”判定如图，已知在四边形ABFC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且CF ＝AE ；(1)试判断四边形BECF 是什么四边形？并说明理由；(2)当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECF 是正方形？请回答并证明你的结论．解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE ＝EC ，BF ＝FC ，又因为CF ＝AE ，可得出BE ＝EC ＝BF ＝FC ，根据四边相等的四边形是菱形，所以四边形BECF 是菱形；(2)由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠ABC ＝45°时，∠EBF ＝90°，得出菱形EBFC为正方形，根据直角三角形中两个锐角互余得∠A＝45°.解：(1)四边形BECF是菱形．理由如下：∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠3＝∠1，∵∠ACB＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠4，∴EC＝AE，∴BE＝AE，∵CF＝AE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；(2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．证明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°，∴菱形BECF是正方形．方法总结：正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．探究点三：正方形的性质与判定的综合已知：如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF.(1)求证：∠ECF＝90°；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；(3)在(2)的条件下，△ABC应该满足条件：________________________，则四边形AECF为正方形．(直接添加条件，无需证明)解析：(1)由已知CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，可推出∠BCE＝∠OCE，∠GCF＝∠OCF，所以得∠ECF＝90°；(2)由(1)可得出EO＝CO＝FO，点O运动到AC的中点时，则有EO＝CO＝FO＝AO，所以这时四边形AECF是矩形；(3)由已知和(2)得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形．(1)证明：∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠ECF＝12×180°＝90°；(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF，又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF.又∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形；(3)解：当点O运动到AC的中点时，且满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．∵由(2)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，已知MN∥BC，当∠ACB＝90°，则∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，即AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．故答案为：∠ACB为直角．方法总结：此题考查的是正方形和矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识．解题的关键是由已知得出EO＝FO，确定(2)(3)的条件．如图，AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E ，AC 、BD 相交于O .求证：(1)BE ＝BF ；(2)OF ＝12CE .解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE ＝∠AOF ＝90°.由于AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO ＝∠AEB .根据“对顶角相等”即可求得∠BFE ＝∠AEB ，BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .根据三角形的中位线的性质即可证得OG ∥BC ，OG ＝12CE .根据平行线的性质即可求得∠OGF ＝∠FEB ，从而证得∠OGF ＝∠AFO ，OG ＝OF ，进而证得OF ＝12CE .证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴∠ABE ＝∠AOF ＝90°.∵∠CAE ＝∠BAE ，∴∠AFO ＝∠AEB ，又∵∠AFO ＝∠BFE ，∴∠BFE ＝∠AEB ，∴BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .∵AO ＝CO ，AG ＝EG ，∴OG ∥BC ，OG ＝12CE ，∴∠OGF＝∠FEB .∵∠AFO ＝∠AEB ，∴∠OGF ＝∠AFO ，∴OG ＝OF ，∴OF ＝12CE .方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决．三、板书设计 1．正方形的性质对边平行，四条边都相等； 四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．2．正方形的判定方法一组邻边相等的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形．本节课采用探究式教学，让学生产生学习兴趣，通过实践活动调动学生的积极性，给学生动手动脑的机会，变被动学习为主动学习，引导通过感官的思维去观察、探究、分析知识形成的过程，以此深化知识、更深刻理解知识、主动获取知识，养成良好的学习习惯.。
冀教版八年级下册数学课件22.6正方形 (共54张PPT)
例5:如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连
结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
分析：欲证∠CEA＝∠ABG，
大家想一想证明两个角相等的方法，
你有办法了吗？？？通过自己的努力，看能不能解决问题？
提示：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。
∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
试一试
看能不能完成证明???
例4．如图(4)在正方形ABCD中，F
为CD延长线 上一点，CE⊥AF于E， 交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
证明:∵正方形ABCD ∴AD＝CD AD⊥CD 又∵CE⊥AF
∴∠1＋∠CFE＝∠2＋∠AFD＝90°
∴∠1＝∠2 在△ADF和△CDM中 ∠1＝∠2
CD＝AD ∠ADF＝∠MDC ∴△ADF≌△CDM (ASA) ∴DF＝DM ∴△MDF是等腰直角三角形 ∴∠MFD＝45°
每条对角线平分一组对角
对称性：
正方形图形的分析： A
450 450
450 D
450
450 450
B
O
450 450
C
从图中可看出，⑴在正方形中产生了哪些特殊图 形？ 4个全等的小等腰直角三角形和4个全等的
大等腰直角三角形
⑵产生了哪些特殊角？900和450
正方形性质的应用 例1:已知：正方形ABCD对角线AC、BD相
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
有一个直角
一组邻边相等
矩形 平行四边形
菱形
2024八年级数学下册第22章四边形22.6正方形2正方形的判定教案(新版)冀教版
在教学过程中，要注意引导学生通过观察、思考、讨论，发现正方形的性质和判定方法，培养学生独立思考和合作交流的能力。同时，结合生活实际，让学生感受数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣。
4. 练习软件：利用练习软件，设计具有针对性的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，及时反馈学习情况，提高学生的学习效果。
5. 板书设计：精心设计板书，将正方形的性质和判定方法以简洁、直观的方式呈现给学生，帮助学生理解和记忆。
五、教学过程设计
1. 导入新课（5分钟）
目标： 引起学生对正方形的兴趣，激发其探索欲望。
视频简介：本视频通过生动的动画和实例，深入浅出地讲解了正方形的性质和判定方法，以及正方形在几何学中的特殊地位。适合作为课后自主学习材料，帮助学生巩固正方形的相关知识。
2. 拓展要求：
鼓励学生利用课后时间进行自主学习和拓展，教师可提供必要的指导和帮助，如推荐阅读材料、解答疑问等。
要求学生阅读《正方形的历史与应用》文章，并撰写一篇读后感，分享自己对正方形历史和应用的理解和体会。
八、课后拓展
1. 拓展内容：
阅读材料：《数学探究》杂志中关于正方形的历史和发展文章，了解正方形在数学发展中的重要性。
文章标题：《正方形的历史与应用》
文章摘要：本文介绍了正方形在古代数学家们心中的地位，以及正方形在现代数学中的应用。通过阅读，学生可以了解正方形的丰富历史背景和在现实生活中的广泛应用。
视频资源：网络公开课《正方形的奇妙世界》，时长约45分钟。
冀教版八年级下册数学《正方形》PPT教学课件
4.正方形的边长为a,当边长增加1时,其面积增加了___2_a__+_1___.
A
D
O
B
C
5.如图，E是正方形ABCD外一点，AE＝AD， ∠ADE＝75°，
求∠AEB的度数。
议一议
问题:
随堂练习
用一根绳子围成一个四边形，应如何确定 面积最大的四边形的形状？
结论
在长度给定的情况下，围成的四边形中， 正方形的面积最大。
A
D
B
E C
2.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，
PF⊥BD于F,则PE+PF=______5________.
分析 A
E
D
A
D
P
O
E
F
B
C
B
C
3.以正方形ABCD的边DC向外作等边△DCE,则∠AEB=__3_0_°_.
4.正方形ABCD中，M为AD中点， ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若
2、以《完美的正方形 》为题写一篇１０ ０字左右的小文章，谈谈你对正方形的认 识，题材不限.
谢谢指导！
情景二
A
D
A
D
B
C
B
C
问题:
图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？ （CD在移动的过程中始终保持与AB平行）
当CD移动到C D 位置，且 AD ＝AB时，此 时是什么图形啊？
当AD＝AB这个四边形是矩形,它是特殊的矩形, 是一组邻边相等的矩形也是正方形.
正方形的概念： 有__一__组_邻__边_相__等__且_有__一_个__角__是_直__角_的__ _____ 的平行四边形是正方定形义。法
冀教版八年级下册数学课件第22章22.6.2正方形性质与判定的灵活运用
∵△APD≌△AEB，BE＝ 3，∴PD＝BE＝ 3，
∴S△ABP＋S△ADP＝S△ABD－S△BDP＝12S 正方形 ABCD－12×DP×BE＝12
×
262＋
26＋12－12×
3×
3＝12＋
6 2.
故④不正确．
综上可知，正确结论的序号是①②③. 【答案】A
(2)当AE＝1时，求EF的长． 解：设 EF＝MF＝x. ∵AE＝CM＝1，且 AB＝BC＝3， ∴BM＝BC＋CM＝3＋1＝4，EB＝AB－AE＝3－1＝2. ∴BF＝BM－MF＝4－x. 在 Rt△EBF 中，由勾股定理得 EB2＋BF2＝EF2， 即 22＋(4－x)2＝x2，解得 x＝52，则 EF＝52.
∴△AFE≌△DBE(AAS)，∴EF＝BE.
∴四边形 AFDB 是平行四边形，∴BD＝AF.
∵AD 为△ABC 的中线，∴DC＝BD，∴AF＝DC.
(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论；
解：四边形 ADCF 是菱形． 证明：∵AF＝DC，AF∥BC，∴四边形 ADCF 是平行四边形． ∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°. ∵AD 为△ABC 的中线，∴AD＝DC， ∴四边形 ADCF 是菱形．
(3)在(2)的条件下，要使四边形ADCF为正方形，在△ABC中 应添加什么条件，请直接把补充条件写在横线上 _(答__案__不__唯__一__)_A_C__＝__A_B__(不需说明理由)．
【点拨】∵AC＝AB，AD 为△ABC 的中线，∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°. 又∵四边形 ADCF 是菱形，∴四边形 ADCF 是正方形．
2．如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边 上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转 90°得到△DCM.
2024八年级数学下册第22章四边形22.6正方形2正方形的判定教学设计(新版)冀教版
（3）数学竞赛：鼓励学生参加一些与几何学相关的数学竞赛，如“几何图形设计大赛”、“几何证明挑战赛”等，通过竞赛提高学生对几何学的兴趣和热情。
（4）正方形在实际应用中的案例：为学生提供一些正方形在实际应用中的案例，如建筑设计、电路板设计、艺术创作等，让学生了解正方形在现实生活中的重要性和广泛性。
b.有一个角是直角的菱形是正方形
c.四条边都相等的四边形是正方形
②正方形的性质
a.四个角都是直角
b.四条边都相等
c.对角线互相垂直且平分对方
2.词句
①正方形：四个角都是直角的四边形
②对角线：正方形两条互相垂直且平分对方的线段
③判定：根据给定的条件判断一个图形是否为正方形
3.艺术性和趣味性
①使用图形和符号：用直观的图形表示正方形，用箭头表示对角线的互相垂直和平分关系，让学生一目了然。
（3）实践法：教师可以设计一些实际的练习题，让学生运用所学的正方形判定方法进行解答。通过实际操作和实践，学生能够将理论知识应用到实际问题中，提高解决问题的能力。
2.教学手段
（1）多媒体设备：教师可以利用多媒体设备，展示正方形的判定方法的相关图形和示例。通过直观的图形和动画效果，学生能够更好地理解和记忆正方形的判定方法。
课后拓展
1.拓展内容
（1）阅读材料：推荐学生阅读一些与正方形相关的数学书籍，如《正方形的秘密》、《正方形的魅力》等，让学生更深入地了解正方形的性质和应用。
（2）视频资源：鼓励学生观看一些与正方形相关的数学视频，如《正方形的奥秘》、《正方形的探索》等，让学生通过视频更直观地了解正方形的性质和应用。
【最新】冀教版八年级数学下册第二十二章《22.6正方形》公开课课件2(共19张PPT).ppt
谢谢指导！
❖ 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021
平行四边形
正
矩形 方 菱形
形
例题
如图:在正方形ABCD中,点E在对角线AC 上,那么BE与DE相等吗?为什么?
解: BE = DE
因为 对角线所在的
D
C
直线是正方形ABCD的一条
E
对称轴，而点E在对称轴上，
点B为点D关于AC的对称点。
所以 BE =DEAΒιβλιοθήκη B判定正方形的方法
矩形 菱形
正方形
合作探究
②、正方形既具有矩形的性质有 具有菱形的性质。
思考： 正方形的对称中心在哪
里？对称轴有几条，各在 什么位置？
图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”√”
平行四边形
对边平行且相 等
四边都相等
四个角都是直 角
对角线互相平 分
对角线互相垂 直
对角线相等
对角线平分每一 组对角
中心对称
矩形
菱形
正方形
正方形的性质
已知:平行四边形ABCD的对角线AC、BD交 于点O，从下列条件中取出哪些条件后，可 使平行四边形ABCD成为正方形。
（１） ＡＢ＝ＡＤ；
A
（２） ＡＣ＝ＢＤ；
（３） ∠ＢＡＤ＝９０；
（４） ＡＣ⊥ＢＤ。
B
D O
C
A
D
A
冀教版八年级数学下册教学课件PPT-22.6 正方形
第二十二章
四边形
学习新知
检测反馈
问题思考
学习新知
观察图片,回答下列问题:
1.上述图片中的四边形都是特殊的平行四边形,除菱形、
矩形外,还有一种特殊的平行四边形,观察这些特殊的平行
四边形,你能发现它们有什么共同特征吗?与同伴交流.
2.观察特征,填写下表:
图形名称 角 边 线 对角线 对称性 性质 四个角都相等都是90° 数量关系 位置关系 数量关系 一组邻边分别相等
四边形EFMN是正方形. 提示:先证明△AEN≌△BFE,得到
NE=EF,∠AEN=∠BFE,∠ANE=∠BEF;再证明 EF=FM,FM=MN,MN=NE,从而得到四边形EFMN是菱形,最后证明四边
形EFMN是正方形.
已知:如图所示,在矩形ABCD中,BE平分
∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.
1
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种识 别方法
一个角是直角且一组邻边相等
检测反馈
1.判断下列说法是否正确
(1)有一个角为直角的菱形是正方形; (2)四个角都相等的四边形是正方形. (
√
)
(✕ )
(3)四条边都相等的四边形是正方形;
(4)有一组邻边相等的矩形是正方形;
(✕ )
(
√) √
) ( ✕ )
两组对边分别平行 相等且互相平分 相交
位置关系 轴对称图形
3.这种特殊的平行四边形与我们学过的菱形、矩形以及平 行四边形之间有什么联系与区别?如何给出这个定义?
正方形的定义:有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行 四边形叫做正方形.
活动1 正方形的性质
冀教版八年级下册数学课件22.6 正方形
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等 最新冀教版八年级下册数学精品课件设计
2.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与 BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面 积解．：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得
AD AO2 OD2 2 2, ∴正方形的周长为4AD＝8 2， 面积为AD2＝8.
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例5 如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B
的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形
CEDF为正方形.
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，
∴∠DEC= ∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °，
C
∴四边形ADFC是矩形.
E
F
D
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①， AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
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当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
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例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，
PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
解: 连接PC，AC. ∵四边形ABCD是正方形,
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5．如图所示，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 四条边上的 点，AE＝BF＝CG＝DH，四边形 EFGH 是什么图形？证明你的结 论．
解：四边形 EFGH 是正方形，证明如下： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA. 又∵AE＝BF＝CG＝DH，∴HA＝EB＝FC＝GD. 又∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴Rt△AEH≌Rt△BFE≌Rt△CGF≌Rt△DHG. ∴∠AHE＝∠BEF，EF＝FG＝GH＝HE， ∴四边形 EFGH 是菱形．又∵∠AHE＋∠AEH＝90°， ∴∠AEH＋∠BEF＝90°，∴∠HEF＝90°. ∴四边形 EFGH 是正方形．
(2)解：方法 1：当∠A＝45°时，菱形 BECF 是正方形． ∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°. ∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°. ∴菱形 BECF 是正方形． 方法 2：当∠A＝45°时，菱形 BECF 是正方形． ∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°. BE＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝45°， ∴∠BEC＝90°， ∴菱形 BECF 是正方形．
5．在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边 形是正方形的条件是( C )
A．AC＝BD，AB 綊 CD
B．AD∥BC，∠A＝∠C C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
解析：通过 AO＝BO＝CO＝DO，可以判断出该四边形为矩形， 由 AC⊥BD 进一步判断出该四边形为正方形．故选 C.
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7．如图所示，四边形 ABCD 是矩形，E 是 BD 上的一点，∠ BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点 G 是 BC，AE 延长线的交点， AG 与 CD 相交于点 F.
求证：四边形 ABCD 是正方形．
证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°. 又∵∠BAE＝∠BCE， ∴∠DAE＝∠DCE. 又∵∠AED＝∠CED，ED＝ED， ∴△ADE≌△CDE. ∴AD＝CD. ∴四边形 ABCD 是正方形．
第二十二章 四边形
22．6 正方形 第2课时 正方形的判定
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Байду номын сангаас
演
作
身
练
业
课前基热础身训(练5分钟)
1．有一组邻边 相等 且有一个角是 直角 的平行四边形叫 做正方形．
2．既是 矩形 又是菱形的四边形是正方形． 3．有一组 邻边 相等的矩形是正方形． 4．有一个角 是直角 的菱形是正方形．
6．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于 D，交 AB 于 E，且 CF＝BE.
(1)求证：四边形 BECF 是菱形； (2)当∠A 的大小满足什么条件时，菱形 BECF 是正方形？请 回答并证明你的结论．
(1)证明：证法 1：∵EF 垂直平分 BC， ∴BE＝EC，BF＝CF， ∵CF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF. ∴四边形 BECF 是菱形． 证法 2：∵EF 垂直平分 BC， ∴BD＝DC，EF⊥BC. ∵BE＝CF，∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)， ∴DE＝DF， ∴四边形 BECF 是菱形．
随堂演基础练训(1练0分钟)
正方形的判定 1．如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不 正确的是( D )
A．当 AC＝BD 时，它是矩形 B．当 AC⊥BD 时，它是菱形 C．当 AD＝DC 时，它是菱形 D．当∠ABC＝90°，它是正方形
解析：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，故 D 项不正 确．故选 D.
2．下列命题正确的是( C ) A．对角线相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 解析：菱形是平行四边形，又∵对角线相等， ∴是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形．故选 C.
3.如图，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得 到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为( C )
A．60° C．45°
B．30° D．90°
解析：由折法可知，剪得的四边形对角线垂直且互相平分， 即为菱形，要想得到正方形，需有一个内角是 90°，即剪刀与折痕 所成的角应为920°＝45°.故选 C.
4．如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，请你添加一个条 件：∠ADC＝90°或 AC＝BD，(答案不唯一)，使得该菱形为正方形．