浙江省临海市高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法学案(无答案)苏教版必修5
教学设计3：3.2 一元二次不等式及其解法
3.2一元二次不等式及其解法教学目标知识与技能1.巩固一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与联系;2.通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式.对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;3.使学生掌握解含有字母参数不等式（组）的解法，初步掌握分类讨论的思想方法及技巧.过程与方法1.使学生掌握在解含有字母参数的不等式（组）时知道是否要分类讨论，讨论的依据是什么，分类的标准是什么，通过师生的共同探索，培养学生发现问题、思考问题、解决问题的能力;2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力；2.培养学生探索问题的积极性、主动性以及和同学互相合作的团队精神.同时，培养学生思考问题的周到缜密性，养成严谨的学习态度和思想作风；3.通过教师与学生、学生与学生的共同合作，加强师生感情交流与沟通，培养良好的师生关系及相互合作的团队精神.教学重点1.熟练地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.教学难点1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系;2.正确地对参数分区间讨论，由于字母较多又要讨论，所以容易出错,一定要使同学们细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出错.教学过程 导入新课师 分式不等式的解法：移项，通分，右边化为0，左边化为)()(x g x f 的形式.解分式不等式，切忌去分母.1.解不等式：-x 2+5x ＞6({x |2＜x ＜3}).2.解不等式：x 2-4x +4＞0({x |x ∈R ,x ≠2}).3.解不等式：x 2+2x +3＜0(Δ=-8＜0,x ∈∅).4.解不等式：253＞+-x x （{x |-13＜x ＜-5}）. 师 写解集时考虑二次项的系数正负、不等式中不等号的方向、对应的一元二次方程有无实数根及有实数根时两个实数根的大小.推进新课师 思考一下如何解下面这个不等式：解关于x 的不等式a (x -ab )＞b (x +ab ). 生 将原不等式展开，整理得(a -b )x ＞ab (a +b ). 讨论：当a ＞b 时，b a b a ab x -+)(＞,∴x ∈(ba b a ab -+)(,+∞).当a =b 时，若a =b ≥0时x ∈∅；若a =b ＜0时x ∈R. 当a ＜b 时，b a b a ab x -+)(＜,∴x ∈(-∞, ba b a ab -+)().例1：解关于x 的不等式x 2-x -a (a -1)＞0.生 原不等式可以化为(x +a -1)(x -a )＞0， 若a ＞-(a -1),即a ＞21,则x ＞a 或a ＜1-a .∴x ∈(-∞,1-a )∪(a ,+∞). 若a =-(a -1),即a =21,则(x -12)2＞0.∴x ∈{x |x ≠21,x ∈R }.若a ＜-(a -1),即a ＜21,则x ＜a 或x ＞1-a .∴x ∈(-∞,a )∪(1-a ,+∞). 师 引申：解关于x 的不等式(x -x 2+12)(x +a )＜0. 生 ①将二次项系数化“+”为(x 2-x -12)(x +a )＞0.②相应方程的根为-3，4，-a ，现a 的位置不定，应如何解？ ③讨论：（ⅰ）当-a ＞4，即a ＜-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x |-3＜x ＜4或x ＞-a }.（ⅱ）当-3＜-a ＜4，即-4＜a ＜3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x |-3＜x ＜-a 或x ＞4}.（ⅲ）当-a ＜-3，即a ＞3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x |-a ＜x ＜-3或x ＞4}.（ⅳ）当-a =4，即a =-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x |x ＞-3}.(ⅴ)当-a =-3，即a =3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x |x ＞4}.师 变题：解关于x 的不等式2x 2+kx -k ≤0.师 此不等式为含参数k 的不等式，当k 值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手. 生 Δ=k 2+8k =k (k +8).(1)当Δ＞0,即k ＜-8或k ＞0时，方程2x 2+kx -k =0有两个不相等的实根. 所以不等式2x 2+kx -k ≤0的解集是{x |4)8(4)8(++-≤≤+--k k k x k k k };(2)当Δ=0，即k =-8或k =0时，方程2x 2+kx -k =0有两个相等的实根， 所以不等式2x 2+kx -k ≤0的解集是{4k-}，即{0,2}；(3)当Δ＜0,即-8＜k ＜0时，方程2x 2+kx -k =0无实根， 所以不等式2x 2+kx -k ≤0的解集为. 练习：解不等式：mx 2-2x +1＞0.师 本题对解集的影响因素较多，若处理不当，不仅要分级讨论，而且极易漏解或重复.较好的解决方法是整体考虑，分区间讨论，方为上策.显然本题首先要讨论m 与0的大小，又由Δ=4-4m =4(1-m ),故又要讨论m 与1的大小.我们将0与1分别标在数轴上，将区间进行划分，这样就可以保证不重不漏. 解：∵Δ=4-4m =4(1-m ), ∴当m ＜0时,Δ＞0,此时mmx m m x --=-+=111121＜. ∴解集为{mm x m m x ---+=1111＜＜ }. 当m ＝0时，方程为-2x +1＞0,解集为{x |x ＜21}, 当0＜m ＜1时,Δ＞0，此时mmx m m x --=-+=111121＞, ∴解集为{mm x m m x x ---+=1111＜或＞}.当m ＝1时,不等式为(x -1)2＞0, ∴其解集为{x |x ≠1};当m ＞1时,此时Δ＜0,故其解集为R.师 小结：在以上的讨论中，请不要漏掉在端点的解集的情况. 教师精讲对应的一元二次方程有实数根1-a 和a ,不等式中二次项的系数为正，所以要写出它的解集需要对两根的大小进行讨论.（1）当最高次项系数含有字母时，首先需讨论该系数是否为零.（2）整合结论时，对所讨论的对象按一定的顺序进行整理，做到不重不漏.总之，解含参数的一元二次不等式，大家首先要克服畏惧心理，冷静分析，掌握好解题技巧，恰当分类，必然能解答好. 知识拓展例2：关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0的解集为{x |x ＜-2或x ＞21－}，求关于x 的不等式ax 2-bx +c ＞0的解集. 师 由题设a ＜0且25-=-a b ，1=a c ，从而ax 2-bx +c ＞0可以变形为02＜acx a b x +-， 即x 2-25x +1＜0.∴21＜x ＜2.∴原不等式的解集为{x |21＜x ＜2}. 引申：已知关于x 的二次不等式ax 2+(a -1)x +a -1＜0的解集为R ，求a 的取值范围.师 原不等式的解集为R ，即对一切实数x 不等式都成立，故必然y =ax 2+(a -1)x +a -1的图象开口向下，且与x 轴无交点，反映在数量关系上则有a ＜0且Δ＜0. 生 由题意知，要使原不等式的解集为R ，必须⎩⎨⎧∆,0,0＜＜a即⇔⎩⎨⎧---0)1(4)1(02＜＜a a a a ⇔⎩⎨⎧--012302＞＜a a a 313110-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-＜＜或＞＜a a a a ∴a 的取值范围是a ∈(-∞,31-). 师 本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a =0的情况，但对本题讲a =0时式子不恒成立.（想想为什么）师 变题：若函数f (x )=kx 2-6kx +(k +8)的定义域为R ，求实数k 的取值范围.显然k =0时满足.而k ＜0时不满足102)8(43602≤⇒⎩⎨⎧≤+-=∆k k k k k ＜＞. ∴k 的取值范围是 [0,1]. 合作探究例3：若不等式13642222＜++++x x kkx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围. 生 ∵⇔++-+--⇔-++++⇔++++03643)3(220136422136422222222＞＜＜x x kx k x x x k kx x x x k kx x 2x 2-2(k -3)x +3-k ＞0(∵4x 2+6x +3恒正)，∴原不等式对x 取任何实数均成立，等价于不等式2x 2-2(k -3)x +3-k ＞0对x 取任何实数均成立.∴Δ= [-2(k -3)]2-8(3-k )＜0⇔k 2-4k +3＜0⇔1＜k ＜3.∴k 的取值范围是（1，3）. 师 逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分. 例4：当m 取什么实数时，方程4x 2+(m -2)x +(m -5)=0分别有:①两个实根；②一正根和一负根；③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于 1. 解：设方程4x 2+(m -2)x +(m -5)=0的两根为x 1，x 2. ① 若方程4x 2+(m -2)x +(m -5)=0有两个正根，则需满足：⎪⎩⎪⎨⎧⇔+≥∆0002121＞＞x x x x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧---≥---0450420)5(16)2(2＞＞m m m m ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥+-52084202＞＜m m m m⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥≤521416＞＜或m m m m m ∈∅. ∴此时m 的取值范围是∅，即原方程不可能有两个正根. ②若方程4x 2+(m -2)x +(m -5)=0有一正根和一负根，则需满足：⇔⎩⎨⎧∆0021＜＞x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧----0450)5(16)2(2＜＞m m m m ＜5. ∴此时m 的取值范围是(-∞,5).③若方程4x 2+(m -2)x +(m -5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧------⇔⎪⎩⎪⎨⎧+∆045042)5(16)2(0002121＜＞＞＜＞＞m m m m x x x x m ＜2.∴此时m 的取值范围是(-∞,2). ④若方程4x 2+(m -2)x +(m -5)=0的两根都大于1，则需满足：⇔⎪⎩⎪⎨⎧-+---≥∆0)1()1(0)1)(1(02121＞＞x x x x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-≥+-0460432084202＜＞m m m m m ∈∅.∴此时m 的取值范围是∅，即原方程不可能两根都大于1. 师 说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理. 练习：1.关于x 的方程mx 2+(2m +1)x +m =0有两个不等的实根，则m 的取值范围是（ ） A. (41-,+∞)B.(-∞, 41-) C. [41-，+∞）D.( 41-,0)∪(0,+∞) 【解析】由m ≠0且Δ＞0，得m ＜41-，∴选D. 【答案】D2.若不等式ax 2+5x +b ＞0的解集为{x |31＜x ＜21}，则a 、b 的值分别是__________. 【解析】由⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧•=+=+∆21312131002121x x x x a ＞＜⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-∆6165500a b a a ＞＜⎩⎨⎧-=-=.1,6b a 【答案】-6，-13.若方程x 2-(k +2)x +4=0有两负根，求k 的取值范围. 解：要原方程有两个负实根，必须⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥∆≠+0000)1(22121＞＜x x x x k ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-+-≤-+≠+0)1(2230)1(2402012＞＜k k k kk k k 12101213k k k k k k ≠-⎧⎪-≤≤⎪⎪⎨-⎪⎪-⎪⎩＞或＜＞或＜所以-2＜k ＜-1或32＜k ＜1. ∴实数k 的取值范围是{k |-2＜k ＜-1或32＜k ＜1}. 4.已知不等式(a 2-1)x 2-(a -1)x -1＜0的解集为R ，求实数a 的取值范围. 解：若a 2-1=0，即a =1或a =-1时，原不等式的解集为R 和{x |x ＜21}； 若a 2-1≠0，即a ≠±1时，要使原不等式的解集为R ，必须⇔⎩⎨⎧∆-0012＜＜a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧-----0)1)(1(4)1(01222＜＜a a a -53＜a ＜1. ∴实数a 的取值范围是(53-,1)∪{1}=(53-,1］. 方法引导 讲练结合法通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣、勇于探索的精神.课堂小结1.本节我们利用一元二次不等式及有关知识解决了一些简单的问题，这类问题常见的有：不等式恒成立的条件；已知一元二次不等式的解集，求二次三项式的系数；讨论一元二次方程根的简单情况等.2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步： （1）确定讨论的对象及其范围；（2）确定分类讨论的标准，正确进行分类； （3）逐类讨论，分级进行； （4）归纳整合，作出结论.3.对于解含有字母参数不等式时，着重考虑最高次项系数的符号及系数为0时的情况，以及该不等式对应方程的根的大小情况.4.在分类过程中要注意按照一个统一的标准，一定的顺序进行讨论，做到不重复不遗漏.考虑问题要周到缜密，特别是对于一些特殊情况要考虑慎重，养成严谨的学习态度和思想作风. 布置作业（1）已知不等式x 2+5x +m ＞0的解集为{x |x ＜-7或x ＞2}，求实数m 的值.（2）已知关于x 的二次不等式px 2+px -4＜0对任意实数x 都成立，求实数p 的范围. （3）若y =ax 2+bx +c 经过(0，-6)点，且当-3≤x ≤1时，y ≤0，求实数a ,b ,c 的值. （4）已知方程2(k +1)x 2+4kx +3k -2=0有两个负实根，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）m =-14 （2）{p |-16＜p ＜0} （3）a =2,b =4,c =-6（4）解：要使原方程有两个负实根，必须⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥∆≠+0000)122121＞＜（x x x x k ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-+-≤-+≠+0)1(2230)1(2402012＞＜k k k kk k k ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--≤≤--≠13210121＜或＞＜或＞k k k k k k -2＜k ＜-1或32＜k ＜1.∴实数k 的取值范围是{k |-2＜k ＜-1或32＜k ＜1}.板书设计。
高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法(二)学案 新人教A版必修5
3.2 一元二次不等式及其解法（二）[学习目标] 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．知识点一分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式知识点二简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式f(x)＞0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其步骤是：(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积；(3)将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．思考 (x －1)(x －2)(x －3)2(x －4)＞0的解集为______________． 答案 {x |1＜x ＜2或x ＞4} 解析 利用数轴穿根法知识点三 一元二次不等式恒成立问题对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：(1)转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0Ｗ.ax2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0Ｗ.(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k ≥f (x )恒成立⇔k ≥f (x )max ；k ≤f (x )恒成立⇔k ≤f (x )min ．题型一 分式不等式的解法 例1 解下列不等式：(1)x ＋43－x ＜0；(2)x ＋1x －2≤2. 解 (1)由x ＋43－x ＜0，得x ＋4x －3＞0，此不等式等价于(x ＋4)(x －3)＞0， ∴原不等式的解集为{x |x ＜－4或x ＞3}． (2)方法一 移项得x ＋1x －2－2≤0， 左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0，同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x －5）≥0，x －2≠0，∴x ＜2或x ≥5.∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}． 方法二 原不等式可化为x －5x －2≥0，此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －5≥0，x －2＞0①或⎩⎪⎨⎪⎧x －5≤0，x －2＜0，②解①得x ≥5，解②得x ＜2，∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}．反思与感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型f （x ）g （x ）＞0(<0)或f （x ）g （x ）≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可，注意不等号的方向变化．跟踪训练1 不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2} 答案 A解析 ∵x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x＋2)2>0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}． 题型二 解一元高次不等式 例2 解下列不等式： (1)x 4－2x 3－3x 2＜0； (2)1＋x －x 3－x 4＞0；(3)(6x 2－17x ＋12)(2x 2－5x ＋2)＞0. 解 (1)原不等式可化为x 2(x －3)(x ＋1)＜0， 当x ≠0时，x 2＞0，由(x －3)(x ＋1)＜0，得－1＜x ＜3； 当x ＝0时，原不等式为0＜0，无解． ∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜3，且x ≠0}． (2)原不等式可化为(x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1)＜0， 而对于任意x ∈R ，恒有x 2＋x ＋1＞0，∴原不等式等价于(x ＋1)(x －1)＜0， ∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}．(3)原不等式可化为(2x －3)(3x －4)(2x －1)(x －2)＞0，进一步化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0， 如图所示，得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜12或43＜x ＜32或x ＞2.反思与感悟 解高次不等式时，主导思想是降次，即因式分解后，能确定符号的因式应先考虑约分，然后可以转化为一元二次不等式，当然也可考虑数轴穿根法．跟踪训练2 若不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，则不等式x 2＋px ＋q x 2－5x －6＞0的解集是( ) A ．(1，2)B ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)C ．(－1，1)∪(2，6)D ．(－∞，－1)∪(1，2)∪(6，＋∞) 答案 D解析 由题意知x 2＋px ＋q ＝(x －1)(x －2)，则待解不等式等价于(x －1)(x －2)(x 2－5x －6)＞0⇒(x －1)(x －2)(x －6)(x ＋1)＞0⇒x ＜－1或1＜x ＜2或x ＞6. 题型三 不等式恒成立问题例3 对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋(5－2a )的值恒大于0，则a 的取值范围为________． 答案 (－2，2)解析 由题意知，f (x )开口向上，故要使f (x )＞0恒成立， 只需Δ＜0即可， 即(a －4)2－4(5－2a )＜0， 解得－2＜a ＜2.反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种： (1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立关于参数的不等式求解．跟踪训练3 对任意a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1＜x ＜3B ．x ＜1或x ＞3C ．1＜x ＜2D ．x ＜1或x ＞2 答案 B解析 f (x )＞0，∴x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0， 即(x －2)a ＋(x 2＋4－4x )＞0， 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4) 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （－1）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x 2－4x ＋4＝x 2－3x ＋2＞0，－x ＋2＋x 2＋4－4x ＝x 2－5x ＋6＞0， ∴x ＜1或x ＞3.题型四 一元二次不等式在生活中的应用例4 某人计划收购某种农产品，如果按每吨200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万吨，政府为了鼓励个体多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点． (1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在征税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围． 解 (1)降低后的征税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万吨，收购总金额为200a (1＋2x %)．依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)． 依题意得，150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0，∴－42≤x ≤2. 又∵0＜x ＜10， ∴0＜x ≤2.∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．反思与感悟 不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键． 跟踪训练4 在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离S m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：S 甲＝0.1x ＋0.01x 2，S 乙＝0.05x ＋0.005x 2. 问超速行驶谁应负主要责任？解 由题意列出不等式S 甲＝0.1x ＋0.01x 2>12，S 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10.分别求解，得x <－40或x >30. x <－50或x >40.由于x >0，从而得x 甲>30 km/h ，x 乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任．1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x≤0}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ＜2} D ．{x |0≤x ≤1} 答案 B解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4}答案 D解析 a ＝0时符合题意．a >0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0，得{a |0<a ≤4}，综上，得{a |0≤a ≤4}，故选D.3．不等式（x ＋1）（x ＋2）2（x ＋3）x ＋4＞0的解集为______________________．答案 {x |－4＜x ＜－3或x ＞－1} 解析 原式可转化为(x ＋1)(x ＋2)2(x ＋3)(x ＋4)＞0，根据数轴穿根法，解集为－4＜x ＜－3或x ＞－1.4．设x 2－2x ＋a －8≤0对于任意x ∈(1，3)恒成立，求a 的取值范围．解 原不等式x 2－2x ＋a －8≤0转化为a ≤－x 2＋2x ＋8对任意x ∈(1，3)恒成立， 设f (x )＝－x 2＋2x ＋8，易知f (x )在 [1，3]上的最小值为f (3)＝5. ∴a ∈(－∞，5]．5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？解 设每盏台灯售价x 元，则x ≥15，并且日销售收入为x [30－2(x －15)]，由题意知，当x ≥15时，有x [30－2(x －15)]＞400，解得：15≤x ＜20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x ∈[15，20)．1.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，一定要考虑分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .3．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．。
《3.2 一元二次不等式》教学案
3.2一元二次不等式第1课时《一元二次不等式的解法》教学案教学教法分析●三维目标1.知识与技能(1)通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；(2)掌握利用因式分解和讨论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用；(3)会解含参数的一元二次不等式和可化为一元二次不等式的不等式；(4)培养数形结合、分类讨论、等价转化的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化力，“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力．2.过程与方法经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法．3．情感、态度与价值观(1)激发学生学习数学的热情，培养勇于探索的精神，培养学生的合作意识和创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想；通过等与不等的对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育；(2)创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用.●重点、难点重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，学会解一元二次不等式，突出体现数形结合的思想．难点：含参数的一元二次不等式解法．对于本节内容而言，学生学习不会感到太大的困难，但要理解掌握本节内容所涉及的数学知识和方法，则要经历观察、思考、归纳、比较、探究的过程．含参数的一元二次不等式的解法是学生学习本节课的难点，为突破此难点学习时应采取由易到难，由浅入深的方法，先从简单的讨论开始，再进行复杂的讨论．教学方案设计●教学建议一元二次不等式解集的求法对学生而言并不会感到困难，但理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系，则需要经历观察、思考、探究的过程，教学中要遵循人们认识事物的一般规律——从特殊到一般，从具体的二次函数与一元二次方程的关系出发，利用二次函数图象的直观性，借助方程的根是二次函数的两个零点，引导学生观察二次函数图象上任意一点P(x，y)在图象上移动，随着点P的横坐标x变化，点P的纵坐标y的变化情况，在获得感性认识的前提下，归纳出一般的一元二次不等式解集的求法．本节课需要给学生的思维活动留足够的时间和空间，帮助学生了解知识形成的过程，加深对知识的理解，领悟隐藏在知识发生过程中的数学思想方法．●教学流程观察下列不等式：(1)x2＞0；(2)－x2＋3x≤0；(3)x2－3x＋2＞0.上述不等式各有几个未知数，并且未知数的最高次数是多少？【提示】各有一个未知数，未知数的最高次数为2.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．【问题导思】1．二次函数y＝x2－2x的图象与二次方程x2－2x＝0的根有何内在联系？【提示】零点的横坐标是方程的根．2．当x满足什么条件时，函数y＝x2－2x的图象在x轴上方？【提示】x＞2或x＜0.3．能否根据问题2得出不等式x2－2x＞0的解集？【提示】能，解集为{x|x＞2或x＜0}．4．不等式x2－2x＜0的解集呢？【提示】{x|0＜x＜2}．课堂互动探究例(1)2x 2－3x －2＞0；(2)x 2－3x ＋5＞0；(3)－6x 2－x ＋2≥0；(4)－4x 2≥1－4x ；(5)2x 2－4x ＋7＜0；(6)x 2－6x ＋9＞0.【思路探究】 化一边为0→二次项系数化为正→求对应方程的根→二次函数图象与解集【自主解答】 (1)∵Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25＞0，∴方程2x 2－3x －2＝0的两根是－12，2.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞2或x ＜－12. (2)∵Δ＝(－3)2－4×5＝9－20＜0，∴不等式x 2－3x ＋5＞0的解集为R .(3)原不等式可化为6x 2＋x －2≤0， ∵Δ＝12－4×6×(－2)＞0， ∴方程6x 2＋x －2＝0的两根是－23，12.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. (4)原不等式可化为4x 2－4x ＋1≤0，即(2x －1)2≤0.∴原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝12. (5)∵Δ＝(－4)2－4×2×7＜0，∴不等式2x 2－4x ＋7＜0的解集为∅.(6)∵原不等式可化为(x －3)2＞0. ∴原不等式的解集是{x |x ∈R ，且x ≠3}．规律方法1．本题给出了解一元二次不等式的各种常见类型，要认真体会．2．一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式，尤其要注意“>”与“≥”，“<”与“≤”符号的区分．变式训练解下列不等式．(1)x 2＞14＋5x ；(2)－x 2＋7x ＞6；(3)x 2＋x ＞－14.【解】 (1)先将不等式化为x 2－5x －14＞0，∵方程x 2－5x －14＝0⇔(x －7)(x ＋2)＝0，其根为x 1＝－2，x 2＝7.结合二次函数y ＝x 2－5x －14的图象易得不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞7}．(2)先将不等式化为x 2－7x ＋6＜0，即(x －1)(x －6)＜0，∴1＜x ＜6， 故不等式的解集为{x |1＜x ＜6}． (3)原不等式化为x 2＋x ＋14＞0，∵方程x 2＋x ＋14＝0的判别式Δ＝0，∴方程有两相等实根，为x 1＝x 2＝－12，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠－12.【思路探究】 当a ＝0时，不等式的解集→ a ＜0时，不等式的解集→a ＞0时不等式的解集 【自主解答】 若a ＝0，原不等式可化为－x ＋1＜0， 即x ＞1.若a ＜0，原不等式可化为(x －1a )(x －1)＞0， 即x ＜1a 或x ＞1.若a ＞0，原不等式可化为(x －1a )(x －1)＜0.(*) 其解的情况应由1a 与1的大小关系决定，故 (1)当a ＝1时，由(*)式可得x ∈∅； (2)当a ＞1时，由(*)式可得1a ＜x ＜1； (3)当0＜a ＜1时，由(*)式可得1＜x ＜1a . 综上所述：当a ＜0时，解集为{x |x ＜1a 或x ＞1}； 当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为{x |1＜x ＜1a }； 当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为{x |1a ＜x ＜1}．规律方法1．含参数的一元二次不等式中，若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．其次对方程的根比较大小，由根的大小确定参数的范围，然后根据范围对参数分类讨论．互动探究若把题目中的条件“a ∈R ”改为“a ＜1”解集又怎样？ 【解】 (1)若a ＝0，则原不等式可化为－x ＋1<0， 即x >1；(2)若a <0，则原不等式化为(x －1a )(x －1)>0， 即x <1a 或x >1；(3)若0<a <1，则原不等式的解为1<x <1a . 综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a 或x >1}； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}； 当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }.(1)2x 2－3x ＋1≤12；(2)x ＋1x －2≤2.【思路探究】 (1)化为同底→利用y ＝2x单调递增→转化为一元二次不等式 (2)移项→通分→等价转化为一元二次不等式【自主解答】 (1)原不等式可转化为2x 2－3x ＋1≤2－1，∴x 2－3x ＋1≤－1，即x 2－3x ＋2≤0，∴不等式的解集为{x |1≤x ≤2}．(2)移项，得x ＋1x －2－2≤0，左边通分并化简，得－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0，它的同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x －2≠0，∴x <2或x ≥5.∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．规律方法1．通过本例可以看出：指对数不等式和分式不等式都可以转化为一元二次不等式进行求解．2．分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组．变式训练解下列不等式：(1)log 2(x 2－5x －4)＞1；(2)x ＋21－x ＜0.【解】 (1)原不等可转化为：log 2(x 2－5x －4)＞log 22.∴x 2－5x －4＞2，x 2－5x －6＞0， ∴(x ＋1)(x －6)＞0，∴原不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞6}．(2)原不等式可化为：x ＋2x －1＞0.它的同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x －＞0，x －1≠0，∴x ＜－2或x ＞1，∴原不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞1}.易错易误辨析忽略二次项系数的符号导致错误典例解不等式－6x 2－x ＋2≥0.【错解】 ∵方程－6x 2－x ＋2＝0的两个根为x 1＝－23，x 2＝12，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12或x ≤－23. 【错因分析】 没有注意到二次项系数小于0这个情况，此时应先把二次项系数化为正数，再进行求解．【防范措施】 解一元二次不等式时应先看二次项系数，当二次项系数为正时，可以按照“当不等式＞0，解在两根之外，当不等式＜0，解在两根之间”这一规律写出解集．当二次项系数为负时要先化成正数，再进行求解．【正解】 不等式可转化为6x 2＋x －2≤0. ∵方程6x 2＋x －2＝0的两个根为x 1＝－23，x 2＝12，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12.1．基础知识： (1)一元二次不等式；(2)一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系． 2．基本技能：(1)一元二次不等式的基本解法； (2)含参数的一元二次不等式的解法； (3)可化为一元二次不等式的不等式的解法． 3．思想方法： (1)分类讨论思想； (2)转化与化归思想；(3)函数与方程思想.当堂双基达标1．下列不等式：①x 2＞0；②－x 2－x ≤5；③ax 2＞2；④x 3＋5x －6＞0；⑤mx 2－5y ＜0；⑥ax 2＋bx ＋c ＞0.其中是一元二次不等式的有________．(填序号)【解析】 由一元二次不等式的定义判断：③、⑥中最高次项是二次项但其系数为参数a ，当a ＝0时就不是一元二次不等式；④的最高次项为三次项不符合；⑤中含有x ，y 两个未知数也不符合．故只有①②是一元二次不等式．【答案】 ①②2．不等式2x 2－x －1＞0的解集是________． 【解析】 不等式对应方程2x 2－x －1＝0可化为 (x －1)(2x ＋1)＝0，故两根为x 1＝－12，x 2＝1， ∴原不等式解集为{x |x ＜－12或x ＞1}． 【答案】 {x |x ＜－12或x ＞1}3．不等式(x ＋1)(2－x )≤0的解集是________．【解析】 不等式左边是两个一次式联乘积，而第二个一次式中x 项系数为负，所以展开后二次项系数为负，故应先化为(x ＋1)(x －2)≥0再求解集．【答案】 (－∞，－1]∪[2，＋∞)4．(原创题)若0＜a ＜1，求不等式x 2－(a ＋1a )x ＋1≥0的解集．【解】 原不等式可化为(x －a )(x －1a )≥0，∴对应方程(x －a )(x －1a )＝0两根分别为：x 1＝a ，x 2＝1a . 又∵0＜a ＜1，∴1a ＞a ，∴原不等式解集为(－∞，a ]∪[1a ，＋∞).课后知能检测一、填空题1．(2013·如皋高二检测)不等式(x －1)(x －3)＞0的解集为________．【解析】 不等式对应方程(x －1)(x －3)＝0两根为x 1＝1，x 2＝3，故不等式解集为{x |x ＜1或x ＞3}．【答案】 (－∞，1)∪(3，＋∞)2．(2013·济宁高二模拟)不等式－x 2＋4x ＋5＜0的解集为________．【解析】 二次项系数为负，故两边同乘－1化为x 2－4x －5＞0，即(x ＋1)(x －5)＞0. 对应方程两根分别为x 1＝－1，x 2＝5， 故不等式解集为{x |x ＜－1或x ＞5}． 【答案】 (－∞，－1)∪(5，＋∞)3．已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝________.【解析】 由x 2＜4，∴－2＜x ＜2；由x 2－2x －3＜0，即(x ＋1)(x －3)＜0，∴－1＜x ＜3. ∴M ＝{x |－2＜x ＜2}，N ＝{x |－1＜x ＜3}， ∴M ∩N ＝{x |－1＜x ＜2}． 【答案】 (－1，2)4．(2013·盐城高二检测)下列不等式中，解集是∅的是________．(填序号)①2x 2－3x ＋2>0；②x 2＋4x ＋4≤0； ③4－4x －x 2<0；④－2＋3x －2x 2>0.【解析】 计算Δ，结合二次函数图象知④的解集是∅. 【答案】 ④5．不等式2x －13x ＋1＞1的解集是________． 【解析】 原不等式可化为2x －13x ＋1－1＞0， ∴2x －1－3x －13x ＋1＞0， 即－x －23x ＋1＞0，∴x ＋23x ＋1＜0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ＋＜0，3x ＋1≠0.∴－2＜x ＜－13.【答案】 (－2，－13)6．不等式2x 2－2x －3＜(12)3(x －1)的解集为________．【解析】 ∵2x 2－2x －3＜(12)3(x －1)，∴2x 2－2x －3＜23(1－x )，∴x 2－2x －3＜3－3x ，即x 2＋x －6＜0，解得－3＜x ＜2.【答案】 (－3，2)7．不等式log 2(x 2－1)＜2的解集为________．【解析】 ∵log 2(x 2－1)＜2，∴log 2(x 2－1)＜log 24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＜4，x 2－1＞0，∴⎩⎨⎧－5＜x ＜5，x ＞1或x ＜－1，∴1＜x ＜5或－5＜x ＜－1。
高中数学 第3章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时 一元二次不等式的应用学案 新人教
第2课时 一元二次不等式的应用学 习 目 标核 心 素 养1.掌握一元二次不等式的实际应用．(重点)2.理解三个“二次”之间的关系．3.会解一元二次不等式中的恒成立问题．(难点)1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养．2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养．1．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式f （x ）g （x ）>0(<0) 法一：⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）>0（<0）g （x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）<0（>0）g （x ）<0 法二：f (x )·g (x )>0(<0) f （x ）g （x ）≥0(≤0) 法一：⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）≥0（≤0）g （x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）≤0（≥0）g （x ）<0法二：⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）·g （x ）≥0（≤0）g （x ）≠0f （x ）g （x ）>a ⎝ ⎛⎭⎪⎫<a≥a ≤a 先移项转化为上述两种形式思考：x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？将x ＋2>0变形为(x －3)(x ＋2)>0，有什么好处？[提示] 等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式． 2．(1)不等式的解集为R (或恒成立)的条件 不等式ax 2＋bx ＋c >0 ax 2＋bx ＋c <0 a ＝0 b ＝0，c >0b ＝0，c <0a ≠0⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0 ⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ<0(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法f (x )≤a 恒成立⇔f (x )max ≤a f (x )≥a 恒成立⇔f (x )min ≥a思考：x －1>0在区间[2，3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2，3]与不等式x －1>0的解集有什么关系？[提示] x －1>0在区间[2，3]上恒成立的几何意义是函数y ＝x －1在区间[2，3]上的图象恒在x 轴上方．区间[2，3]内的元素一定是不等式x －1>0的解，反之不一定成立，故区间[2，3]是不等式x －1>0的解集的子集．3．从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系． (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系). (3)解不等式(或求函数最值). (4)回扣实际问题．思考：解一元二次不等式应用题的关键是什么？[提示] 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x ，用x 来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x <2}D ．{x |0≤x ≤1}B [∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．] 2．不等式x ＋1x≥5的解集是 ． ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤14 [原不等式⇔x ＋1x ≥5x x ⇔4x －1x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x （4x －1）≤0，x ≠0，解得0<x ≤14.]3．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是 ． (0，8) [因为x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， 所以Δ＝a 2－4×2a <0，所以0<a <8.]4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是 ．[10，30] [设矩形高为y ，由三角形相似得：x 40＝40－y40，且x >0，y >0，x <40，y <40，xy ≥300，整理得y ＋x ＝40，将y ＝40－x 代入xy ≥300，整理得x 2－40x ＋300≤0，解得10≤x ≤30.]分式不等式的解法 【例1】 解下列不等式： (1)x －3x ＋2<0； (2)x ＋12x －3≤1. [解] (1)x －3x ＋2<0⇔(x －3)(x ＋2)<0⇔－2<x <3， ∴原不等式的解集为{x |－2<x <3}．(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0， ∴－x ＋42x －3≤0， 即x －4x －32≥0. 此不等式等价于(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x ≥4.1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．[跟进训练]1．解下列不等式：(1)x ＋1x －3≥0；(2)5x ＋1x ＋1<3. [解] (1)根据商的符号法则，不等式x ＋1x －3≥0可转化成不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）（x －3）≥0，x ≠3. 解这个不等式组，可得x ≤－1或x >3. 即知原不等式的解集为{x |x ≤－1或x >3}．(2)不等式5x ＋1x ＋1<3可改写为5x ＋1x ＋1－3<0，即2（x －1）x ＋1<0.可将这个不等式转化成2(x －1)(x ＋1)<0，解得－1<x <1. 所以，原不等式的解集为{x |－1<x <1}．一元二次不等式的应用【例2】 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%).为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.思路探究：将文字语言转换成数学语言：“税率降低x 个百分点”即调节后税率为(8－x )%；“收购量能增加2x 个百分点”，此时总收购量为m (1＋2x %)吨，“原计划的78%”即为2400m ×8%×78%.[解] 设税率调低后“税收总收入”为y 元．y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400)(0<x ≤8).依题意，得y ≥2 400m ×8%×78%，即－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%，整理，得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2.根据x 的实际意义，知0<x ≤8，所以x 的范围为(0，2]. [跟进训练]2．某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[解] 设花卉带的宽度为x m(0<x <600)，则中间草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m.根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x －600)(x －100)≥0，所以0<x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0，100] m ．不等式恒成立问题 [探究问题]1．若函数f (x )＝ax 2＋2x ＋2对一切x ∈R ，f (x )>0恒成立，如何求实数a 的取值范围？ [提示] 若a ＝0，显然f (x )>0不能对一切x ∈R 都成立．所以a ≠0，此时只有二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋2的图象与直角坐标系中的x 轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝4－8a <0，解得a >12.2．若函数f (x )＝x 2－ax －3对x ∈[－3，－1]上恒有f (x )<0成立，如何求a 的范围？ [提示] 要使f (x )<0在[－3，－1]上恒成立，则必使函数f (x )＝x 2－ax －3在[－3，－1]上的图象在x 轴的下方，由f (x )的图象可知，此时a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）<0，f （－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋6<0，a －2<0， 解得a <－2.故当a ∈(－∞，－2)时，有f (x )<0在x ∈[－3，－1]时恒成立．3．若函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意a ∈[－3，1]时，y <0恒成立，如何求x 的取值范围？[提示] 由于本题中已知a 的取值范围求x ，所以我们可以把函数f (x )转化为关于自变量是a 的函数，求参数x 的取值问题，则令g (a )＝2x ·a ＋x 2－4x ＋4.要使对任意a ∈[－3，1]，y <0恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧g （1）<0，g （－3）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4<0，x 2－10x ＋4<0. 因为x 2－2x ＋4<0的解集是空集，所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意a ∈[－3，1]，y <0恒成立． 【例3】 已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2，2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．思路探究：对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．[解] 设函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a 在x ∈[－2，2]时的最小值为g (a )，则(1)当对称轴x ＝－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，与a >4矛盾，不符合题意．(2)当－a 2∈[－2，2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝3－a －a 24≥0，解得－6≤a ≤2，此时－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，此时－7≤a <－4. 综上，a 的取值范围为－7≤a ≤2.1．(变结论)本例条件不变，若f (x )≥2恒成立，求a 的取值范围．[解] 若x ∈[－2，2]，f (x )≥2恒成立可转化为：当x ∈[－2，2]时，f (x )min ≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2<－2，f （x ）min ＝f （－2）＝7－3a ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－a2≤2，f （x ）min＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝3－a －a 24≥2或⎩⎪⎨⎪⎧－a 2>2，f （x ）min ＝f （2）＝7＋a ≥2，解得a 的取值范围为[－5，－2＋22].2．(变条件)将例题中的条件“f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，x ∈[－2，2]，f (x )≥0恒成立”变为“不等式x 2＋2x ＋a 2－3>0的解集为R ”求a 的取值范围．[解] 法一：∵不等式x 2＋2x ＋a 2－3>0的解集为R ， ∴函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 2－3的图象应在x 轴上方， ∴Δ＝4－4(a 2－3)<0， 解得a >2或a <－2.法二：令f (x )＝x 2＋2x ＋a 2－3，要使x 2＋2x ＋a 2－3>0的解集为R ，则a 满足f (x )min ＝a 2－4>0，解得a >2或a <－2.法三：由x 2＋2x ＋a 2－3>0，得a 2>－x 2－2x ＋3，即a 2>－(x ＋1)2＋4，要使该不等式在R 上恒成立，必须使a 2大于－(x ＋1)2＋4的最大值，即a 2>4，故a >2或a <－2.1．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.2．不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是全体实数(或恒成立) 的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c <0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3．f (x )≤a 恒成立⇔a ≥[f (x )]max ，f (x )≥a 恒成立⇔a ≤[f (x )]min .1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论(1)若f (x )有最大值f (x )max ，则a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)若f (x )有最小值f (x )min ，则a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .1．判断正误(1)不等式1x>1的解集为x <1.( )(2)求解m >f (x )恒成立时，可转化为求解f (x )的最小值，从而求出m 的范围．( )[答案] (1)× (2)×[提示] (1)1x >1⇒1x －1>0⇒x －1x<0⇒{x |0<x <1}．故(1)错．(2)m >f (x )恒成立转化为m >f (x )max ，(2)错．2．不等式5－x x ＋4≥1的解集为 ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－4<x ≤12 [因为5－x x ＋4≥1等价于1－2x x ＋4≥0，所以2x －1x ＋4≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）（x ＋4）≤0，x ＋4≠0，解得－4<x ≤12.]3．若不等式x 2＋mx ＋m2>0恒成立，则实数m 的取值范围是 ．(0，2) [∵不等式x 2＋mx ＋m2>0，对x ∈R 恒成立，∴Δ<0，即m 2－2m <0，∴0<m <2.]4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？[解] 设每盏台灯售价x 元，则x ≥15，并且日销售收入为x [30－2(x －15)]，由题意知，当x ≥15时，有x [30－2(x －15)]>400，解得：15≤x <20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x ∈[15，20).。
高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法教案 高二数学教案
§3.2一元二次不等式及其解法【教学目标】1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
【教学过程】1.课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：教材P76互联网的收费问题教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：250x x-< (1)2.讲授新课1）一元二次不等式的定义象250x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2）探究一元二次不等式250x x -<的解集怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x ==二次函数有两个零点：120,5x x ==于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集画出二次函数25y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即250x x ->； 当0<x<5时，函数图象位于x 轴下方，此时，y<0,即250x x -<； 所以，不等式250x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题。
浙江省临海市第六中学高中数学3.2一元二次不等式及不等式的解法教案(无答案)新人教A版必修5
《一元二次不等式及不等式的解法》导学案教学目的：1、通过函数图象理解一元二次不等式与二次函数及一元二次方程之间关系．2、理解并掌握解一元二次不等式的过程，会求一元二次不等式的解等．教学重点：一元二次不等式及不等式的解法教学难点： 综合应用教学过程：一、知识梳理1．一元一次不等式的解法2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系3．其他常见不等式的解法(1)解分式不等式(2)解绝对值不等式(3)解指数不等式、对数不等式二、课前热身1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1，2)C ．[－1，1]D ．[1，2)2．不等式x －3x －1≤0的解集为( ) A ．{x |x <1或x ≥3} B ．{x |1≤x ≤3} C ．{x |1<x ≤3} D ．{x |1<x <3}3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为{x |－1＜x ＜13}，则ab 的值为( ) A ．－6 B ．－5 C ．6 D ．54．不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________．三、考点剖析：1、考点一：一元二次不等式的解法例1、 解下列不等式：(1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2)12x 2－ax >a 2(a ≠0)．规律方法：随堂练： 1.(1) 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）>0，|x |<1的解集为( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－1<x <0} C ．{x |0<x <1} D ．{x |x >1}2、考点二：含有参数的一元二次不等式问题例2、 (1) 已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是( )A ．13B ．18C ．21D ．26(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．规律方法：练习： 2.(1)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．[34，43)C ．[34，＋∞) D ．(1，＋∞) (2)若不等式 9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________．3、考点三 ：一元二次不等式恒成立问题例3、已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________ .规律方法：练习： 3、由命题“存在x 0∈R ，使x 20＋2x 0＋m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是________．4、考点三 ：其他常见不等式的解法例4、 (1)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) (2) 已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2 }D ．{x |x <－lg 2}(3)不等式|x ＋2|－|x |≤1的解集为________．练习： 4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3，x ≥1，f （x ＋1），0≤x <1，log 3（x 2＋x ＋1），x <0，若f (a )>1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B ．(－3，1)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－2，2)四、课堂小结：画思维导图五、当堂落实：1． 设A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3，4]，则a ＋b 等于( )A ．7B ．－1C ．1D ．－72．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶13． 下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，＋∞)4．若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 对任意x 均成立，则实数m 的取值范围是( )A．(－2，2] B．(－2，2) C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2]。
一元二次不等式及其解法教案
一元二次不等式及其解法教案教学目标1.知识与技能:二次不等式与会解一元二次不等式及含参数的一元二次不等式。
2.过程与方法:通过学案让学生有目的复习，自主预习。
通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，进而探究一元二次不等式和含参数不等式的解法;以函数为载体，突破一元二次不等式恒成立问题。
3.情感态度与价值观:培养探究合作的能力和推证能力及解决问题的能力。
2学情分析本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性.一元二次不等式的解法是一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合、函数等知识的巩固和运用具有重要作用，也与后面的线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。
因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。
我班中等程度的学生占大多数，程度较高与程度较差的学生占少数。
学生数学基础差异不大，但进一步钻研的精神相差较大。
学生已经学习了一元一次不等式(组)的解法和二次函数的零点，会画一元二次函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，初步的数形结合知识可以使学生写出一元二次不等式的解集，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍一元二次不等式的解法，从认知规律上讲，应该是容易理解的。
在教学中加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生让学生观察、讨论，在实践中体验三者的联系，从而直观地归纳、总结、分析出三者的联系成为可能。
3重点难点1.重点:会解一元二次不等式及含参数不等式。
2.难点:一元二次不等式恒成立应用问题。
4教学过程4.1复习课教学活动活动1【活动】一元二次不等式及其解法引入：以高考考点及类型复习引入学生复习学案上的高考考点明确高考考点教学过程：一快速起跑——学案总结明确学习目标，总结学生学案的完成情况题。
二完善学案——自主学习总结1、一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。
高中数学第三章不等式3.2第二课时一元二次不等式的解法及其应用(习题课)高一5数学
解决不等式恒成立问题的2种思路 (1)转化成含有参数的不等式，借助对应函数图象，找到满 足题目要求的条件，构造含参数的不等式(组)，求得参数范围； (2)分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围．
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(2)当a＝1时，2＝2a，原不等式解集为{x|x≠2}；
(3)当a>1时，两根的大小顺序为2>
2 a
，原不等式的解集为
xx<2a或x>2
.
综上所述，
当0<a<1时，原不等式解集为xx>2a或x<2
；
当a＝1时，原不等式解集为{x|x≠2}；
当a>1时，原不等式解集为xx<2a或x>2
.
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不等式的恒成立问题 [典例] 对任意x∈R，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值总 为非负，则m的取值范围为________． [解析] 由题意知Δ＝(m－4)2－4(4－2m)≤0，得m＝0. [答案] {0}
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[一题多变] 1．[变条件]对任意x∈R，函数f(x)＝mx2＋(m－4)x＋4－2m的值恒
解：由题意知(x－2)m＋x2－4x＋4>0，(x－2)m>－x2＋4x
－4，因为x∈[－1,1]，所以x－2<0，所以m<
－x2＋4x－4 x－2
＝－(x－2)，所以m<1.即m的取值范围为(－∞，1)．
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3．[变条件、变设问]对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋ 4－2m的值恒大于零，求x的取值范围． 解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m) ＝(x－2)m＋x2－4x＋4. 由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零， 所以gg－ 1＝1＝x－x－ 2×2× 1＋－x2－1＋4xx＋2－4>40x，＋4>0， 解得x<1或x>3. 故当x<1或x>3时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
高中数学 第三章 不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用学案(含解析)北师大版必修5-北师大版高二
2．2 一元二次不等式的应用知识点一 简单的分式不等式的解法[填一填][答一答]1．请写出分式不等式ax ＋b cx ＋d ≥0，ax ＋bcx ＋d≤0的同解不等式．提示：⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≥0，cx ＋d ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≤0，cx ＋d ≠0.知识点二用穿针引线法解简单的一元高次不等式f(x)>0的步骤[填一填](1)将f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．[答一答]2．“穿针引线法”解不等式所用的数学思想是什么？提示：数形结合的思想方法．解一般分式不等式的方法解分式不等式的关键是先把不等式的右边化为零，再通分把它化成f(x)g(x)>0(或≥0或<0或≤0)的形式，最后通过符号的运算法则，把它转化成整式不等式求解，其中：f(x) g(x)>0⇔f(x)·g(x)>0，f(x)g(x)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)>0g(x)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)<0g(x)<0，f(x) g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x)≥0g(x)≠0⇔f(x)g(x)>0或f(x)＝0，f(x) g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≥0g(x)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≤0g(x)<0.一般地，解分式不等式的过程，体现了分式不等式与整式不等式之间的转化，这种转化必须保证不等式前后的等价性．类型一 根的分布问题【例1】 已知关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0有两实根． (1)如果两实根都大于1，求实数m 的取值范围； (2)如果两实根都在区间(1,3)内，求实数m 的取值范围； (3)如果一个根大于2，另一个根小于2，求实数m 的取值范围．【思路探究】 本题属于一元二次方程根的分布问题，一元二次方程的根就是相应的二次函数的零点，即二次函数与x 轴交点的横坐标．根据方程根的分布情况可知二次函数图像的大致情况，从而转化成不等式(组)的形式，求解即可．【解】 (1)方法一：设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7，作其草图，如右图． 若两实根均大于1，则⎩⎨⎧Δ＝[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，f (1)＝2>0，m －116>1，即⎩⎨⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m >17.所以m ≥25.方法二：设方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m －18，x 1x 2＝m －78，因为两根均大于1，所以x 1－1>0，x 2－1>0，故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，m －18－2>0，m －78－m －18＋1>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m >17，m ∈R .所以m ≥25.(2)设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7.若方程的两根x 1，x 2∈(1,3)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (1)>0，f (3)>0，1<m －116<3，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m <34，17<m <49.所以25≤m <34.(3)若一根大于2，另一根小于2，则f (2)<0， 即27－m <0，解得m >27.规律方法 一元二次方程根的分布问题的处理方法1．若可转化为根的不等关系，则可直接运用根与系数的关系求解． 2．借助相应的二次函数图像，运用数形结合的思想求解，步骤如下： (1)根据题意画出符合条件的二次函数图像，标清交点所在区间； (2)运用判别式、对称轴及区间端点处的函数值的符号来确定图像的位置；(3)解不等式组，即得变量的取值范围．已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0.(1)若方程的一个根大于2、一个根小于2，求实数m 的取值范围； (2)若方程的两个根都在(0,2)内，求实数m 的取值范围．解：(1)令f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，因为关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一个根大于2、一个根小于2，所以f (2)＝4＋(m －3)·2＋m <0，解得m <23.(2)若关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两个根都在(0,2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，0<3－m2<2，f (0)＝m >0，f (2)＝3m －2>0，解得23<m ≤1.类型二 高次不等式的解法【例2】 解下列不等式． (1)x 3－2x 2＋3<0； (2)(x ＋1)(1－x )(x －2)>0； (3)x (x －1)2(x ＋1)3(x ＋2)≥0.【思路探究】 通过因式分解，把高次不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式的积问题，然后再依据相关性质解答．【解】 (1)原不等式可化为(x ＋1)(x 2－3x ＋3)<0，而对任意实数x ，恒有x 2－3x ＋3>0(∵Δ＝(－3)2－12<0)．∴原不等式等价于x ＋1<0， ∴原不等式的解集为{x |x <－1}．(2)原不等式等价于(x －1)(x －2)(x ＋1)<0，令y ＝(x －1)(x －2)(x ＋1)，当y ＝0时，各因式的根分别为1,2，－1，如图所示．可得不等式的解集为{x|x<－1或1<x<2}．(3)∵方程x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)＝0的根依次为0,1，－1，－2，其中1为双重根，－1为三重根(即1为偶次根，－1为奇次根)，如图所示，由“穿针引线法”可得不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．规律方法解高次不等式用穿针引线法简捷明了，使用此法时一定要注意：①所标出的区间是否是所求解的范围，可取特值检验，以防不慎造成失误；②是否有多余的点，多余的点应去掉；③总结规律，“遇奇次方根一穿而过，遇偶次方根只穿，但不过”．解不等式(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0.解：原不等式等价于(x＋4)(x＋5)2(x－2)3>0.在数轴上标出－5，－4,2表示的点，如图所示，由图可知原不等式的解集为{x|x<－5或－5<x<－4或x>2}．类型三分式不等式的解法【例3】解不等式x2－4x＋13x2－7x＋2<1.【思路探究】解分式不等式一般首先要化为f(x)g(x)>0(或<0)的标准形式，再等价转化为整式不等式或化为一次因式积的形式来用“穿针引线法”，借助于数轴得解．【解】 解法一：原不等式可化为2x 2－3x ＋13x 2－7x ＋2>0⇔(2x 2－3x ＋1)(3x 2－7x ＋2)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－3x ＋1>0，3x 2－7x ＋2>0或⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ＋1<0，3x 2－7x ＋2<0.解得原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．解法二：原不等式移项，并因式分解得(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0⇔(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0，在数轴上标出(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)＝0的根，并画出示意图，如图所示．可得原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．规律方法 解分式不等式的思路方法是等价转化为整式不等式，本题的两种解法在等价变形中主要运用了符号法则，故在求解分式不等式时，首先应将一边化为零，再行解决．解不等式x 2－6x ＋512＋4x －x 2<0.解：原不等式化为(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)>0.画数轴，找因式根，分区间，定符号． 在各个区间内，(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)的符号如下：∴原不等式解集是{x |x <－2或1<x <5或x >6}．类型四 一元二次不等式的应用【例4】 当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解是全体实数．【思路探究】 利用函数与不等式之间的关系，问题可转化为函数y ＝(a 2－1)x 2－(a －1)x －1的图像恒在x 轴下方．【解】 ①当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－(a －1)]2＋4(a 2－1)<0， 解得－35<a <1.②当a 2－1＝0，即a ＝±1时，若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立． 若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0， 即x <12，不符合题目要求，舍去．综上所述，当－35<a ≤1时，原不等式的解为全体实数．规律方法 此类问题主要考查二次函数与二次不等式之间关系的应用，可以借助二次函数图像的开口方向以及与x 轴的交点情况解决，一般地有如下结论：(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a >0Δ<0；不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b＝0，c <0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a <0Δ<0.类似地，还有f (x )≤a 恒成立⇔[f (x )]max ≤a .f (x )≥a 恒成立⇔[f (x )]min ≥a .(2)讨论形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式恒成立问题必须对a ＝0或a ≠0分类讨论，否则会造成漏解，切记！已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，求a 的取值范围． 解：关于x 的一元二次不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，所以有⎩⎨⎧a <0a 2－4a (a －1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0a >43或a <0，所以a <0.【例5】 有纯农药液一桶，倒出8 L 后用水补满，然后又倒出4 L 后再用水补满，此时桶中农药液的浓度不超过28%，则桶的容积最大为多少？【思路探究】 如果桶的容积为x L ，那么第一次倒出8 L 纯农药液，桶内还有(x －8) L 纯农药液，用水补满后，桶中农药液的浓度为x －8x ×100%.第二次又倒出4 L 农药液，则倒出的纯农药液为4(x －8)x L ，此时桶内有纯农药液⎣⎡⎦⎤(x －8)－4(x －8)x L.【解】 设桶的容积为x L. 依题意，得(x －8)－4(x －8)x≤28%·x .∵x >0，∴原不等式可化简为9x 2－150x ＋400≤0， 即(3x －10)(3x －40)≤0，∴103≤x ≤403，又x >8，∴8<x ≤403，∴桶的最大容积为403L.规律方法 对于一元二次不等式的实际应用问题，先要读懂题意，找出与实际问题对应的数学模型，转化为数学问题解决．同时，必须注意其定义域要有实际意义．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，如图，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带宽度为x m，则草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m，根据题意，得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理，得x2－700x＋60 000≥0，解得x≥600(舍去)或x≤100，由题意知x>0，所以0<x≤100.即当花卉带的宽度在(0,100]内取值时，草坪的面积不小于总面积的一半.——易错警示系列——解不等式时同解变形出错解不等式的关键是利用不等式的性质进行同解变形，需要注意两个方面：一是注意不等式中所含式子有意义的条件，如解分式不等式、无理不等式、对数不等式时应该注意分母不为零、开偶次方根时被开方数非负、对数的真数大于零，这是转化为整式不等式的过程中进行同解变形容易忽视的问题；二是在解一次不等式的过程中要准确利用不等式的性质进行同解变形，主要是系数化为1的过程中，不等式两边要同时乘以或同时除以同一个数，要注意该数的符号对不等式符号的影响，如果是正数，不等号的方向不变，如果是负数，不等号的方向要改变．【例6】解不等式3x－5x2＋2x－3≥2.【错解】 原不等式化为3x －5≥2(x 2＋2x －3)，∴2x 2＋x －1≤0，∴－1≤x ≤12. 【错解分析】 错用不等式性质，直接将不等式化为3x －5≥2(x 2＋2x －3)，没有等价转化导致错误．【正解】 原不等式化为3x －5x 2＋2x －3－2≥0， 即－2x 2－x ＋1x 2＋2x －3≥0. 整理得(2x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋3)≤0， 不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋3)≤0，(x －1)(x ＋3)≠0， 解得－3<x ≤－1或12≤x <1. 所以原不等式的解集为{x |－3<x ≤－1或12≤x <1}．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是{x |－12≤x ≤3，且x ≠1}．一、选择题1．不等式x x －1<2的解集是( D ) A ．{x |x >1}B ．{x |x <2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}解析：原不等式可化为x x －1－2<0，即x －2x －1>0，等价于(x －1)(x －2)>0，∴x >2或x <1. 2．不等式1x ＋1(x －1)(x －2)2(x －3)<0的解集是( B ) A ．(－1,1)∪(2,3)B ．(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)C ．(－∞，－1)∪(1,3)D ．R解析：利用“穿针引线法”，如图所示．∴不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)．二、填空题3．方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，则实数m 的取值范围是－12<m <1. 解析：因为方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，所以判别式大于零，同时两根之积小于零， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1≠0，4m 2－4(2m ＋1)(m －1)>0，m －12m ＋1<0，解得－12<m <1. 4．不等式2－x x ＋4>0的解集是(－4,2)． 解析：不等式2－x x ＋4>0等价于(x －2)(x ＋4)<0， ∴－4<x <2.5．不等式(x －1)(x ＋2)(x ＋3)<0的解集是{x |x <－3或－2<x <1}．解析：画出数轴，如图，其解集为{x |x <－3或－2<x <1}．。
高中数学 3.2一元二次不等式及其解法三维目标教案 新人教A版必修5
3.2 一元二次不等式及其解法三维目标：1.深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系；2.掌握一元二次不等式的解法，能应用一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系解决综合问题；3.会解高次不等式及分式不等式；4.会解含绝对值的不等式及含参数的一元二次不等式的解法；5.通过对一元二次不等式的解法的学习，使学生了解“函数与方程”、“数形结合”及“等价转换”的数学思想。
重点难点：教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数学结合的思想，熟练地掌握一元二次不等式的解法。
教学难点：深刻理解“三个二次”之间的联系。
课时安排：3课时教学过程：第一课时（一）自主探究：1. 一元二次不等式的定义： 一般表达形式为：2. 一元二次不等式与相应函数、方程的联系：一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式： ①ax 2 + b x + c>0(a>0) ② ax 2 + b x + c<0 (a>0)上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax 2 + b x + c=0的根来确定，设△=ac b 42-，则：（1）当△>0时，方程ax 2 + b x + c=0 有两个 的解21,x x ，设21x x <，则不等式①的解集为 不等式②的解集为 （2）当△=0时，方程ax 2 + b x + c=0有两个 的解，即21x x =，此时不等式①的解集为 不等式②的解集为（3）当△<0时，方程ax 2 + b x + c=0无实数解，则不等式①的解集为 不等式②的解集为方程20(0)a xb xc a ++=> 的判别式及根的情况240b ac ∆=-> 方程有二根x 、x （12x x <）240b a c ∆=-= 方程有一根x （12x x =） 240b ac ∆=-< 方程无实根2(0)y a x b x c a =++> 的图像不等式20(0)a xb xc a ++>> 的解集不等式20(0)a xb xc a ++≥> 的解集不等式20(0)a xb xc a ++<> 的解集不等式20(0)a xb xc a ++≤> 的解集3.一元二次不等式的解法步骤：①化二次项系数为正数；②计算判别式∆，分析不等式对应的方程的解的情况； ③结合图象写出解集。
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一元二次不等式及其解法
【学习目标】
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；
2.掌握一元二次不等式的一般解法； 【学习重点】
一元二次不等式的一般解法 【学习难点】
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 【自主学习】
认真阅读教材，归纳出一元二次不等式的概念.
定义：我们把只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式
称为一元二次不等式．
【自学检测】
已知（m-3)x 2
+mx －3>0是一元二次不等式，则m 的取值范围是 .
【合作探究】
探究一：考察2
50x x -<与二次函数
2
5y x x =-以及一元二次方程250x x -=有如何关
系？阅读并思考完成以下问题
问题1：方程250x x -=的根是什么？二次函数
25y x x =-与X 轴交点的横坐标是什么？它们有什么关系？
问题2：画出二次函数
2
5y x x =-的图像（草图）。
画图要求：确定抛物线的开口方向和抛物线与
x 轴的交点的横坐标
问题3：观察二次函数
25
y x x
=-
的图像，思考：当
x取哪些值时函数的图像位于x轴的上
方（下方）？此时y值又如何？不等式250
x x
->（250
x x
-<）的解集是什么？
解一元二次不等式方法总结：先求出一元二次方程的根，再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集。
探究二：根据二次函数、一元二次方程、一元二次不等式间的关系完成下表
小结：利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是：
(1)化标准：将不等式化成标准形式（右边为0、二次项的系数为正数）；
(2)解方程：若判别式的值为正，则求出相应方程的两根；
(3)下结论：根据函数图象写出不等式解集
例1：求不等式
260x x -->的解：
例2：求不等式2
4410x x -+>的解：
例3：求不等式2
230x x -+->的解：
【当堂检测】：
1.不等式()()0
21≤-+x x 的解集为（ ）. (A)[]1,2- (B)[]2,1- （C ）(][)+∞⋃-∞-,21, （D ）(][)+∞-⋃-∞-,12,
2.函数122
-+=x x y 的x 值的取值范围是 .
3.方程()032
=+-+m x m x 有两个实根，则实数m 的取值范围是 .
1.解下列不等式：
（1）3x2-7x<10; (2)-2x2+x-5<0 ;
(3)-x2+4x-4<0 ; (4)-2x2+x<-3 ;
(5)12x2-31x+20>0 ; (6)3x2+5x<0 ;。