2019年高中数学第四章4.1.3导数的概念和几何意义当堂检测湘教版选修2-2
2019年高中数学湘教版选修2-2讲义+精练：第4章4.2导数的运算含解析
4．2导数的运算[读教材·填要点] 1．求导公式(1)几个幂函数的导数：1 (2)基本初等函数的导数公式：2．求导法则(1)(cf(x))′＝cf′(x)；(2)(f (x )＋g (x ))′＝f ′(x )＋g ′(x )， (f (x )－g (x ))′＝f ′(x )－g ′(x )； (3)(f (x )g (x ))′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (4)⎝⎛⎭⎫1f (x )′＝－f ′(x )(f (x ))2(f (x )≠0)； (5)⎝⎛⎭⎫g (x )f (x )′＝f (x )g ′(x )－g (x )f ′(x )(f (x ))2(f (x )≠0)； (6)若y ＝f (u )，u ＝g (x )，则y x ′＝y u ′·u x ′.[小问题·大思维]1．下面的计算过程正确吗？⎝⎛⎭⎫sin π4′＝cos π4＝22. 提示：不正确．因为sin π4＝22是一个常数，而常数的导数为零，所以⎝⎛⎭⎫sin π4′＝0. 若函数f (x )＝sin x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝22.2．若f (x )，g (x )都是可导函数，且f (x )≠0，那么下列关系式成立吗？ (1)[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )(a ，b 为常数)； (2)⎣⎡⎦⎤a f (x )′＝－af ′(x )[f (x )]2(a 为常数)． 提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确． 3．函数y ＝ln(2x ＋1)的导函数是什么？提示：y ＝ln(2x ＋1)是由函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋1复合而成的， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝1u ·(2x ＋1)′＝2u ＝22x ＋1.求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x －1x 2；(3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22－1. [自主解答] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝⎛⎭⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. (3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝3 44x.(5)∵y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．1．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫1e x； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫110x ；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1e x ′＝⎝⎛⎭⎫1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x . (2)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫110x ′＝⎝⎛⎭⎫110x ln 110＝－ln 1010x＝－10－x ln 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数， ∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3lg 3x ＝lg x ， ∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10. (5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .求下列函数的导数．(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝x ＋3x 2＋3；(4)y ＝x sin x －2cos x ；(5)y ＝e 3x ；(6)y ＝5log 2(2x ＋1)．[自主解答] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x .(2)∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝(x ＋3)′(x 2＋3)－(x ＋3)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2.(4)y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x . (5)函数y ＝e 3x 可以看成函数y ＝e u 和函数u ＝3x 的复合函数． ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(3x )′＝3e u ＝3e 3x .(6)函数y ＝5log 2(2x ＋1)可以看成函数y ＝5log 2u 和函数u ＝2x ＋1的复合函数． ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝5(log 2u )′·(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导． (2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．(3)对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解—求导—回代”，即：①弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；②利用求导法则分层求导；③最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第③步回代的过程．2．求下列函数的导数：(1)y ＝2x cos x －3x log 2x ；(2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；(3)y＝e x＋1e x－1；(4)y＝(x－1)2x；(5)y＝1(1＋3x)4；(6)y＝x·e－x.解：(1)y′＝(2x cos x－3x log2x)′＝(2x)′cos x＋2x(cos x)′－3[x′log2x＋x(log2x)′]＝2x ln 2cos x－2x sin x－3(log2x＋x·1x ln 2)＝2x ln 2cos x－2x sin x－3log2x－3 ln 2.(2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 ＝18x2－8x＋9.法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.(3)y′＝(e x＋1)′(e x－1)－(e x＋1)(e x－1)′(e x－1)2＝－2e x(e x－1)2.(4)法一：y′＝[(x－1)2]′x－(x－1)2·x′x2＝(x2－2x＋1)′x－(x－1)2x2＝(2x－2)x－(x－1)2x2＝1－1x2.法二：∵y＝x2－2x＋1x＝x－2＋1x，∴y′＝1－1x2.(5)函数y＝1(1＋3x)4＝(1＋3x)－4可以看作函数y＝t－4和t＝1＋3x的复合函数，根据复合函数求导法则可得y x′＝y t′·t x′＝(t－4)′·(1＋3x)′＝(－4t－5)·3＝－12(1＋3x)－5.(6)函数y＝e－x可以看作函数y＝e u和u＝－x的复合函数，所以y x′＝y u′·u x′＝(e u)′·(－x)′＝－e u＝－e－x，所以y′＝(x e－x)′＝x′e－x＋x(e－x)′＝e－x＋x(－e－x)＝(1－x)e－x.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h (m)与时间t (s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．[自主解答] 烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度就是h ′(2)． ∵h ′(t )＝－9.8t ＋14.7， ∴h ′(2)＝－4.9.即在t ＝2 s 时，烟花正以4.9 m/s 的瞬时速度下降． 如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：在t ＝1.5 s 附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5 s 之间，曲线在任何点的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 s 后，曲线在任何点的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下落，直到落地．解决此类问题，应在熟悉导数的数学意义的同时熟悉导数的物理意义，建立变量之间的表达式是关键．3．某圆柱形容器的底面半径为1 m ，深度为1 m ，盛满液体后以0.01 m 3/s 的速度放出，求液面高度的瞬时变化率．解：设液体放出t s 后的液面高度为h m ， 则由题意得π·12·h ＝π－0.01t ， 化简得h ＝1－0.01πt ， ∴液面高度的瞬时变化率为 h ′＝⎝⎛⎭⎫1－0.01πt ′ ＝－0.01π(m/s)．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．[解] 法一：设直线l ：x －y ＋m ＝0(m ≠－2)与抛物线y ＝x 2相切， 显然直线l 与直线x －y －2＝0平行．依题意知，l 与直线x －y －2＝0间的距离就是要求的最短距离，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，y ＝x 2，得x 2－x －m ＝0. 由Δ＝1＋4m ＝0，得m ＝－14，∴l 的方程为x －y －14＝0.两平行线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－2＋142＝728.∴抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 法二：依题意知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ， ∴2x 0＝1，∴x 0＝12.∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.切点到直线x －y －2＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B. 2 C ．－1D ．0解析：∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ， 又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1. 答案：A2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：∵f ′(x )＝1＋1x ，∴f ′(1)＝2.答案：B3．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1－1x 2；(3x )′＝3x ln 3； (x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 答案：B4．若函数f (x )＝ln xx ，则f ′(2)＝________.解析：由f ′(x )＝1－ln x x 2，得f ′(2)＝1－ln 24. 答案：1－ln 245．(全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2x －1x2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为 y ′|x ＝1＝2×1－1＝1，所以切线方程为 y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝06．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R.若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．解：f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝a x (x >0)，设两曲线的交点为P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a ln x 0，12x 0＝ax 0， 解得a ＝e2，x 0＝e 2，所以两条曲线交点的坐标为(e 2，e)． 切线的斜率为 k ＝f ′(e 2)＝12e，所以切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.一、选择题1．若指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)满足f ′(1)＝ln 27，则f ′(－1)＝( ) A ．2 B ．ln 3 C.ln 33D ．－ln 3解析：f ′(x )＝a x ln a ，由f ′(1)＝a ln a ＝ln 27， 解得a ＝3，则f ′(x )＝3x ln 3，故f ′(－1)＝ln 33.答案：C2．某汽车的路程函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：由题意知，汽车的速度函数为v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，则v ′(t )＝12t －g ， 故当t ＝2 s 时，汽车的加速度是v ′(2)＝12×2－10＝14 m/s 2. 答案：A3．函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 解析：因为f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以f ′(0)＝1， 即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为1， 所以在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为π4.答案：C 4．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12C ．－22 D.22解析：y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x， 把x ＝π4代入得导数值为12.答案：B 二、填空题5．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′(2)，则m ＝________.解析：∵f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(2)＝－14.又∵g ′(x )＝m ，∴g ′(2)＝m .由g ′(2)＝1f ′(2)，得m ＝－4.答案：－46．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 解析：因为f (e x )＝x ＋e x ，所以f (x )＝x ＋ln x (x >0)，所以f ′(x )＝1＋1x ，所以f ′(1)＝2. 答案：27．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ．∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1. 答案：18．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直， 又y ′＝a e ax ，∴a ＝2. 答案：2 三、解答题9．求下列函数的导数． (1)y ＝(2 018－8x )8；(2)y ＝2x sin x；(3)y ＝x 1＋x 2；(4)y ＝cos x ·sin 3x . 解：(1)y ′＝8(2 018－8x )7·(2 018－8x )′ ＝－64(2 018－8x )7＝64(8x －2 018)7. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫2xsin x ′＝(2x)′·sin x －2x·(sin x )′(sin x )2＝2x ln 2·sin x －2x ·cos xsin 2x . (3)y ′＝1＋x 2＋x [(1＋x 2) 12]′＝1＋x 2＋x ·12·(1＋x 2) -12 (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x ·12·(1＋x 2) -12·2x＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋2x 21＋x 2.(4)y ′＝(cos x )′·sin 3x ＋cos x ·(sin 3x )′ ＝－sin x ·sin 3x ＋cos x ·cos 3x ·(3x )′＝－sin x ·sin 3x ＋3cos x ·cos 3x .10．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3， 解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0，即4a 2＋4a ＋1＞0，∴a ≠－12. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.。
2020年高中数学第四章4.1.3导数的概念和几何意义当堂检测湘教版选修2-2
4．1.3 导数的概念和几何意义1．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim h →0 f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关答案 B2．若f (x 0)－f (x 0－d )＝2x 0d ＋d 2，下列选项正确的是( )A ．f ′(x )＝2B ．f ′(x )＝2x 0C ．f ′(x 0)＝2x 0D ．f ′(x 0)＝d ＋2x 0答案 C3．已知函数y ＝f (x )图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定答案 A4．在曲线f (x )＝x 2＋x 上取一点P (1,2)，则在区间[1,1＋d ]上的平均变化率为________，在点P (1,2)处的导数f ′(1)＝________.答案 3＋d 31．求导数的步骤主要有三步：(1)求函数值的增量：Δy ＝f (x 0＋d )－f (x 0)；(2)求平均变化率：Δy d ＝f x 0＋d －f x 0d； (3)取极限：f ′(x 0)＝ Δy d .2．导数的几何意义(1)对于函数y＝f(x)在x0处的导数是表示在x0处函数值变化快慢的一个量，其几何意义为在x＝x0处的切线的斜率．(2)f′(x)是指随x变化，过曲线上的点(x，f(x))的切线斜率与自变量x之间的函数.。
高中数学第四章导数及其应用章末归纳课件湘教版选修2_2
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编后语
有的同学听课时容易走神，常常听着听着心思就不知道溜到哪里去了；有的学生，虽然留心听讲，却常常“跟不上步伐”，思维落后在老师的讲解后。这两种情况都 不能达到理想的听课效果。听课最重要的是紧跟老师的思路，否则，教师讲得再好，新知识也无法接受。如何跟上老师饭思路呢？以下的听课方法值得同学们学习：
又f(1)＝4＋2＝6，
所以切点的坐标为(1,6)．
所以切线的方程为y－6＝7(x－1)，即7x－y－1＝0.
点评 根据导数的几何意义，可以通过求导数来求 切线的斜率，再根据切点是曲线与切线的公共点， 求出切点的坐标，代入直线方程的点斜式就可以求 出切线的方程．
【例的2图】 象点的P一(2个,0公)是共函点数，f(且x)＝两x条3＋曲a线x与在g点(xP)处＝有bx相2＋同c 的切线，求a，b，c的值．
的导函数恰好是已知的被积函数．
专题一 应用导数解决与切线相关的问题
根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率， 从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．
设函数f(x)＝4x2－ln x＋2，求曲线y＝f(x)在点 【例(11】，f(1))处的切线方程．
解 f′(x)＝8x－1x.
所以在点(1，f(1))处切线的斜率k＝f′(1)＝7，
【例3】 设函数f(x)＝－13x3＋2ax2－3a2x＋b(0<a<1)． (1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若当x∈[a＋1，a＋2]时，恒有|f′(x)|≤a，试确定a的取
值范围；
(3)当a＝
2 3
时，关于x的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相
异的实根，求实数b的取值范围．
第四章 导数及其应用
高中数学选修2-2教学设计4：1.1.3 导数的几何意义教案
导数的几何意义【教学目标】知识与技能目标：本节的中心任务是研究导数的几何意义及其应用，概念的形成分为三个层次：(1) 通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”，解决了平均变化率的几何意义后，明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径。
(2) 借助两个类比的动画，从圆中割线和切线的变化联系，推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线。
(3) 依据割线与切线的变化联系，数形结合探究函数)(x f 在0x x =处的导数0()f x '的几何意义，使学生认识到导数0()f x '就是函数)(x f 的图象在0x x =处的切线的斜率。
即：()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)(lim 0000/＝曲线在0x x =处切线的斜率 在此基础上，通过例题和练习使学生学会利用导数的几何意义解释实际生活问题，加深对导数内涵的理解。
在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法。
过程与方法目标：(1) 学生通过观察感知、动手探究，培养学生的动手和感知发现的能力。
(2) 学生通过对圆的切线和割线联系的认识，再类比探索一般曲线的情况，完善对切线的认知，感受逼近的思想，体会相切是种局部性质的本质，有助于数学思维能力的提高。
(3) 结合分层的探究问题和分层练习，期望各种层次的学生都可以凭借自己的能力尽力走在教师的前面，独立解决问题和发现新知、应用新知。
情感、态度、价值观：(1) 通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值；(2) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。
在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。
高中数学湘教版选修2-2(课件)湘教版选修2-2第四章4.1导数概念
Δs＝ s(t＋ d)－ s(t)＝ 3(1＋ d)2＋ 2－ (3＋ 2)
＝ 6d＋ 3d2，
∴Δs＝6d＋
d
d
3d2＝
6＋
3d.
当 d→0 时，Δds＝6，
当 t＝3 时，s＝29＋3(t－3)2，
Δs＝s(t＋d)－s(t)
＝ 29＋ 3(3＋ d－ 3)2－ 29－ 3(3－ 3)2
＝ 3d2.
【思路点拨】 t＝0 时的速度即为初速度，求平均 速度时先求路程改变量 Δs，再求时间改变量 Δt，最 后求Δs就得到平均速度．
Δt
【解】 (1)由于 v＝st＝3t－t t2＝3－t， 当 t＝0 时，v0＝3，即为物体初速度． (2)Δs＝ 3× 2－ 22－ 0＝ 2， Δt＝2－0＝2，∴ v ＝ΔΔst＝22＝1， ∴从 t＝0 到 t＝2 的平均速度为 1.
(2)计算直线
PQ
的斜率
k(u，d)＝f
u＋
d－ d
fu；
(3)求 d 趋于 0 时，k(u，d)的趋近值．
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考点突破 求平均速度
求函数 s＝s(t)在[t，t＋d]上平均速度的一般步
骤：
(1)先计算函数值的改变量 Δs＝s(t＋d)－s(t)；
(2)再计算自变量的改变量 d；
(3)得平均速度Δds＝s
t＋d－ d
s
t .
例1 一做直线运动的物体，其路程 s 与时间 t 的 关系是 s＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求 t＝0 到 t＝2 时的平均速度．
即切线方程为 3x－y－2 2＝0.
数学同步优化指导(湘教版选修2-2)课件：4.1.3 导数的概念和几何意义
【点评】 求曲线在点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤： (1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
2．曲线y＝x2在点(1,1)处的切线与坐标轴所围成的三角形 的面积为( 1 A.4 C． 1 ) 1 B． 2 D． 2
第四章
导数及其应用
4.1
导数概念
4.1.3 导数的概念和几何意义
学习目标
1.通过实例分析，体会由平均变化率过渡 到瞬时变化率的过程，了解导数的概念建 立的背景． 2.理解瞬时变化率的含义，并知道瞬时变 化率就是导数．
重点难点
1.重点：导数的概
念及其几何意
义． 2.难点：求函数导 数及其几何意义 的应用.
【点评】 的步骤：由导数的定，求函数y＝f(x)在点x0处的导数
①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy fx0＋Δx－fx0 ②求平均变化率Δx＝ ； Δx ③取极限，得导数f′(x0)．
1．函数y＝x2在x＝1处的导数为(
A．2x C．2 B．2＋Δx D．1
)
解析：∵Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2， Δy 2Δx＋Δx ∴Δx＝ ＝2＋Δx. Δx Δy 当Δx→0时，Δx→2.
1 9 故该点坐标为4，8.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， ∴切线的斜率为4， 即f′(x0)＝4x0＝4.解x0＝1. 故该点坐标为(1,3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直， ∴切线的斜率为8，
即f′(x0)＝4x0＝8.解x0＝2.
故该点坐标为(2,9)． 【点评】 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率 是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可 求此点的横坐标．解题时注意解析几何中直线方程知识的应 用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线的平行、垂直等．
高中数学第四章导数及其应用4-2导数的运算4-2-1几个幂函数的导数4-2-2一些初等函数的导数表当堂检测湘教版
A. ∪ B．[0，π)
C. D. ∪
答案 A
解析∵(sinx)′＝cosx，∵kl＝cosx，∴－1≤kl≤1，
∴αl∈ ∪ .
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．
答案 e2
解析∵yห้องสมุดไป่ตู้＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
( )
A．0B．2xC．6D．9
答案 C
解析∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.
2．函数f(x)＝ ，则f′(3)等于
( )
A. B．0C. D.
答案 A
解析∵f′(x)＝( )′＝ ，∴f′(3)＝ ＝ .
3．设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是
即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
∴S△＝ ×1× ＝ e2.
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2 的导数．因为y＝1－2sin2 ＝cosx，
高中数学第四章导数及其应用4-2导数的运算4-2-1几个幂函数的导数4-2-2一些初等函数的导数表当堂检测湘教版选修2-2【2019-2020学年度】
编 辑：__________________
时 间：__________________
4．2.1 几个幂函数的导数
4．2.2 一些初等函数的导数表
1．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝
高中数学湘教版选修2-2：(课件)湘教版 选修2-2 第四章4.1 导数概念
自我挑战 求曲线 y＝1x3 上横坐标为 2的点处的 2
切线方程．
解：将 x＝ 2代入 y＝1x3 得 y＝ 2， 2
∴切点的坐标是( 2， 2)．
1 Δy＝2 d
2＋ d3－ d
2 ＝3＋32 2d＋12d2.
当
d
趋于
0
时，Δy趋于 d
3.
∴( 2， 2)点处的切线斜率为 3.
∴过点( 2， 2)的切线方程为 y－ 2＝3(x－ 2)，
f u＋ d－ fu PQ的_斜__率___k(u，d)＝_______d_________.
(2)在所求得的PQ的斜率的表达式k(u，d)中让d 趋于_0_____，如果k(u，d)趋于_确__定__的__数__值______ k(u)，则k(u)就是曲线在点P处的切线斜率． 思考感悟 d的值一定是正值吗？ 提示：不一定．d可正可负，但不能为零．
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考点突破 求平均速度
求函数 s＝s(t)在[t，t＋d]上平均速度的一般步
骤：
(1)先计算函数值的改变量 Δs＝s(t＋d)－s(t)；
(2)再计算自变量的改变量 d；
(3)得平均速度Δds＝s
t＋d－ d
s
t .
例1 一做直线运动的物体，其路程 s 与时间 t 的 关系是 s＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求 t＝0 到 t＝2 时的平均速度．
(2)计算直线
PQ
的斜率
k(u，d)＝f
u＋
d－ d
fu；
(3)求 d 趋于 0 时，k(u，d)的趋近值．
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即切线方程为 3x－y－2 2＝0.
2020学年高中数学第4章导数及其应用4.1.3导数的概念和几何意义学案湘教版选修2_2
4．1.3 导数的概念和几何意义1.理解导数的概念，能根据定义求y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数． 2.理解导数的几何意义．3．理解函数y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的导数与函数图象在点(x 0，y 0)处的切线的斜率间的关系．1．导数的概念(1)定义：设函数f (x )在包含x 0的某个区间上有定义，如果比值f （x 0＋d ）－f （x 0）d在d 趋于0时(d ≠0)趋于确定的极限值，则称此极限值为函数f (x )在x ＝x 0处的导数或微商，记作f ′(x 0)．(2)记法：上述定义可以简单表述为：f （x 0＋d ）－f （x 0）d→f ′(x 0)(d →0)读作“d 趋于0时，f （x 0＋d ）－f （x 0）d趋于f ′(x 0)．”2．导函数注意到x 0是f (x )的定义区间中的任意一点，所以也可以就是x ，而f ′(x )也是x 的函数，叫作f (x )的导函数(也叫作一阶导数)．导函数f ′(x )也是函数，如果f ′(x )在x 处可导，则它的导数叫作f (x )的二阶导数，记作f ″(x )．类似地，可以定义三阶导数f ′″(x )等．3．平均变化率与导数平均变化率 导数表达式f （u ＋d ）－f （u ）df （x 0＋d ）－f （x 0）d→f ′(x 0)(d →0)几何 意义曲线f (x )上过两点(u ，f (u ))和(u ＋d ，f (u ＋d ))的割线的斜率函数的瞬时变化率1．函数y ＝2x ＋1在x ＝3到x ＝5的平均变化率是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：B2．已知抛物线y ＝2x 2＋1，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x －y －2＝0? 解：设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋d )2＋1－2x 20－1＝4x 0·d ＋2d 2. 所以Δyd＝4x 0＋2d .即f ′(x 0)＝4x 0.(1)因为抛物线的切线的倾斜角为45°， 所以斜率为tan 45°＝1. 即f ′(x 0)＝4x 0＝1， 得x 0＝14，该点为(14，98)．(2)因为抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， 所以斜率为4.即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1，3)．求平均变化率已知函数f (x )＝3x ＋1和g (x )＝2x 2＋1，分别计算在下列区间上f (x )及g (x )的平均变化率．(1)[－3，－1]； (2)[1，1＋d ]．【解】 (1)①对于f (x )＝3x ＋1在区间[－3，－1]上， 因为d ＝－1－(－3)＝2，f (－1)－f (－3)＝[3×(－1)＋1]－[3×(－3)＋1]＝6， 所以f （－1）－f （－3）d ＝62＝3，即函数f (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为3. ②对于g (x )＝2x 2＋1在区间[－3，－1]上， 因为d ＝－1－(－3)＝2，g (－1)－g (－3) ＝[2×(－1)2＋1]－[2×(－3)2＋1]＝－16， 所以g （－1）－g （－3）d ＝－162＝－8，即函数g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为－8.(2)①对于f(x)＝3x＋1在区间[1，1＋d]上，因为f(1＋d)－f(1)＝[3×(1＋d)＋1]－(3×1＋1)＝3d，所以f（1＋d）－f（1）d＝3dd＝3，即函数f(x)在区间[1，1＋d]上的平均变化率为3.②对于g(x)＝2x2＋1在区间[1，1＋d]上，因为g(1＋d)－g(1)＝[2×(1＋d)2＋1]－(2×12＋1)＝4d＋2d2，所以g（1＋d）－g（1）d＝4d＋2d2d＝4＋2d，即函数g(x)在区间[1，1＋d]上的平均变化率为4＋2d.函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量d取值越小，越能准确体现函数的变化情况．求y＝1x2在x0到x0＋d之间的平均变化率(x0≠0)．解：当自变量从x0变到x0＋d时，函数的平均变化率为f（x0＋d）－f（x0）d＝1（x0＋d）2－1x20d＝－2x0＋d（x0＋d）2x20.求瞬时变化率将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．求函数f(x)在x ＝2和x＝6时的瞬时变化率，并说明其意义．【解】因为f(x0＋d)－f(x0)＝(2x0－7)d＋d2，所以f（x0＋d）－f（x0）d＝2x0－7＋d.当d趋于0时，f（x0＋d）－f（x0）d趋于2x0－7，所以f(x)在x＝2和x＝6时的瞬时变化率分别为－3和5.说明在第2 h附近，原油温度大约以3 °C/h的速度下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 °C/h 的速度上升．求瞬时变化率的步骤(1)求函数改变量f (x 0＋d )－f (x 0)； (2)求平均变化率f （x 0＋d ）－f （x 0）d；(3)求d 趋于0时，平均变化率的极限值，即瞬时变化率．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选B.f （32＋d ）－f （32）d＝－d －3，当d 趋于0时，－d －3趋于－3，故选B.利用定义求导数求函数y ＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数． 【解】 令f (x )＝y ＝2x 2＋4x ，f (3＋d )－f (3)＝2(3＋d )2＋4(3＋d )－(2×32＋4×3)＝2d 2＋16d ，所以f （3＋d ）－f （3）d ＝2d 2＋16dd＝2d ＋16，当d 趋于0时，f （3＋d ）－f （3）d趋于16.所以f ′(3)＝16.利用导数定义求导数，“三步法”的模式是固定的，关键是要注意在求f （x 0＋d ）－f （x 0）d时，分式的通分，无理式的分子有理化等常用技巧的使用．求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)在x ＝1处的导数．解：令f (x )＝y ＝x 2＋ax ＋b ，f (1＋d )－f (1)＝(1＋d )2＋a (1＋d )＋b －(12＋a ×1＋b )＝2d ＋d 2＋ad ，所以f （1＋d ）－f （1）d＝2d ＋d 2＋ad d＝2＋a ＋d .当d 趋于零时，f （1＋d ）－f （1）d趋于2＋a .即函数y ＝x 2＋ax ＋b 在x ＝1处的导数为2＋a .1．函数f (x )在x 0处可导，是指d 趋于0时f （x 0＋d ）－f （x 0）d有极限，如果不存在极限，就说函数在点x 0处无导数．2．导数是研究在点x 0处及其附近函数的改变量f (x 0＋d )－f (x 0)与步长d 之比的极限，它是一个局部性的概念，即d 趋于0时，f （x 0＋d ）－f （x 0）d存在表示一个定数，函数f (x )在点x 0处的导数应是一个定数．1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 答案：A2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，d ＝0.1时，f (x ＋d )－f (x )的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44解析：选B.f (x ＋d )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 3．已知f ′(1)＝1，则当d →0时，f （1＋d ）－f （1）d→________．解析：当d →0时，f （1＋d ）－f （1）d→f ′(1)＝1.答案：1[A 基础达标]1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，2)及邻近一点(1＋d ，f (1＋d ))，则f （1＋d ）－f （1）d等于( )A ．4B ．4dC ．4＋2dD ．4＋2d 2解析：选C.f （1＋d ）－f （1）d ＝2（1＋d ）2－4＋2d ＝2d 2＋4dd＝2d ＋4.2．正方体的棱长从1增加到2时，正方体的体积平均膨胀率为( ) A ．8B ．7C.72 D ．1解析：选B.V ＝V （2）－V （1）2－1＝23－13＝7.3．球的半径从a 增加到a ＋h 时，球表面积的平均变化率为( ) A ．π(2a ＋h ) B ．π(a ＋h ) C ．4π(2a ＋h )D ．4π(a ＋h )解析：选C.S ＝S （a ＋h ）－S （a ）h ＝4π（a ＋h ）2－4πa 2h＝4π(2a ＋h )．4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s解析：选C.s （3＋d ）－s （3）d＝1－（3＋d ）＋（3＋d ）2－（1－3＋32）d＝5＋d ，当d 趋于0时，5＋d 趋于5.5．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a ＝________． 解析：根据平均变化率的定义， 可知（2a ＋b ）－（a ＋b ）2－1＝a ＝3.答案：36．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为______．解析：当自变量从－2变化到－2＋d 时，函数平均变化率（－2＋d ）2－2（－2＋d ）＋1－（4＋4＋1）d＝d －6.答案：d －67．质点的运动方程是s (t )＝1t2，则质点在t ＝2时的速度为________．解析：s （2＋d ）－s （2）d ＝1（2＋d ）2－122d ＝－4－d 4（2＋d ）2，当d 趋于0时，－4－d 4（2＋d ）2趋于－14，所以质点在t ＝2时的速度为－14.答案：－148．函数f (x )＝23x 2－2，则f ′(－12)＝________．解析：f （－12＋d ）－f （－12）d＝23×（－12＋d ）2－2－[23×（－12）2－2]d＝－23＋23d ，当d 趋于0时，－23＋23d 趋于－23，所以f ′(－12)＝－23.答案：－239．球半径r ＝a 时，计算球体积相对于r 的瞬时变化率． 解：半径r 从a 增加到a ＋d 时，球体积的平均变化率为： 43π（a ＋d ）3－43πa 3d＝43π（3a 2d ＋3ad 2＋d 3）d＝4πa 2＋4πad ＋43πd 2，当d 趋于0时，4πa 2＋4πad ＋43πd 2趋于4πa 2.即球半径r ＝a 时，球体积相对于r 的瞬时变化率为4πa 2. 10．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数． 解：令f (x )＝y ＝x ，因为f (1＋d )－f (1)＝1＋d －1， 所以f （1＋d ）－f （1）d ＝1＋d －1d ＝11＋d ＋1，当d 趋于0时，11＋d ＋1趋于12.即函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.[B 能力提升]11．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋d ](d >0)上的平均变化率不大于－1，求d 的取值范围．解：因为函数f (x )在[2，2＋d ]上的平均变化率为：f （2＋d ）－f （2）d＝－（2＋d ）2＋（2＋d ）－（－4＋2）d＝－4d ＋d －（d ）2d＝－3－d ，所以由－3－d ≤－1，得d ≥－2.又因为d >0，即d 的取值范围是(0，＋∞)．12．(选做题)甲、乙两人走过的路程s 1(t )、s 2(t )与时间t 的关系如图所示，试比较两人的速度哪个快？解：在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)，但s 1(t 0－d )>s 2(t 0－d )，故s 1（t 0）－s 1（t 0－d ）d <s 2（t 0）－s 2（t 0－d ）d，所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快．。
湘教版(2019)选择性必修第二册课本例题1.1.3 导数的几何意义
湘教版（2019）选择性必修第二册课本例题1.1.3 导数的几何意义一、解答题(共99 分)1.求函数f(x)=x2−3x+c的图象上点P(u,f(u))处切线的斜率．【答案】2u−3【分析】根据导数的几何意义以及导数的定义，即可求解.【详解】根据点P在抛物线上，所以f(u)=u2−3u+c，由导数的定义可知，f′(u)=limΔu→0ΔyΔu=limΔu→0(u+Δu)2−3(u+Δu)+c−u2+3u−cΔulim Δu→0(2u−3)Δu+(Δu)2Δu=2u−3+Δu=2u−3，所以函数f(x)=x2−3x+c的图象上点P(u,f(u))处切线的斜率为2u−3.2.求曲线y=√x在点A(12,√12)处切线的斜率．【答案】√22【分析】根据导数的概念结合导数的几何意义推算即可得答案. 【详解】如图，在曲线上另取一点B(12+d,√12+d)．因为k AB =f(12+d)−f(12)d =√12+d−√12d =√12+d+√12，在所求得的斜率表达式中，当d →0时，k AB →√22． 因此，所求切线的斜率k =√22． 3.若曲线y =x 3存在斜率为1的切线，试求出切线方程．【答案】y =x −2√39和y =x +2√39【分析】设切点为(x 0,x 03)，求导，利用导数的几何意义得3x 02=1，从而求得切点，即可得答案.【详解】解：设曲线y =x 3在点(x 0,x 03)处切线的斜率为1． 因为f(x 0+d)−f(x 0)d =(x 0+d)3−x 03d =3x 02+3x 0d +d 2，所以当d 趋于0时，3x 02+3x 0d +d 2趋于3x 02， 又切线的斜率为1，所以3x 02=1，解得x 0=±√33．所以在点(√33,√39)和(−√33,−√39)处切线的斜率为1．由点斜式方程可得切线方程为y =x −2√39和y =x +2√39．所以切线方程为y =x −2√39和y =x +2√39．。
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4．1.3 导数的概念和几何意义
1．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim h →0 f x 0＋h －f x 0h
( )
A ．与x 0、h 都有关
B ．仅与x 0有关，而与h 无关
C ．仅与h 有关，而与x 0无关
D ．与x 0、h 均无关
答案 B
2．若f (x 0)－f (x 0－d )＝2x 0d ＋d 2，下列选项正确的是
( )
A ．f ′(x )＝2
B ．f ′(x )＝2x 0
C ．f ′(x 0)＝2x 0
D ．f ′(x 0)＝d ＋2x 0
答案 C
3．已知函数y ＝f (x )图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是
( )
A ．f ′(x A )>f ′(x
B )
B ．f ′(x A )<f ′(x B )
C ．f ′(x A )＝f ′(x B )
D ．不能确定
答案 A
4．在曲线f (x )＝x 2＋x 上取一点P (1,2)，则在区间[1,1＋d ]上的平均变化率为________，在点P (1,2)处的导数f ′(1)
＝________.
答案 3＋d 3
1．求导数的步骤主要有三步：
(1)求函数值的增量：Δy ＝f (x 0＋d )－f (x 0)；
(2)求平均变化率：Δy d ＝f x 0＋d －f x 0d
； (3)取极限：f ′(x 0)＝
Δy d
. 2．导数的几何意义 (1)对于函数y ＝f (x )在x 0处的导数是表示在x 0处函数值变化快慢的一个量，其几何意义为在x ＝x 0处的切线的
斜率．
(2)f′(x)是指随x变化，过曲线上的点(x，f(x))的切线斜率与自变量x之间的函数.。