2011高考解析几何
2011年-2017年高考全国卷解析几何试题(文科)
2011年-2015年高考全国课标卷解析几何试题（文科）1.【2017全国1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为（ ） A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 22.【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是( )A. (2,)+∞B. (2,2)C. (1,2)D. (1,2)4.【2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （M在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为( ) A.5 B.22 C. 23 D. 335.【2017课标1，文12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1][9,)+∞U B ．(0,3][9,)+∞U C ．(0,1][4,)+∞UD ．(0,3][4,)+∞U6.【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A ．63B ．33C ．23D ．1311.【2017课标3，文14】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a = .14.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．15.【2017课标II ，文20】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 错误!未找到引用源。
2011年高考文科数学试题汇编__五、解析几何
解析几何（一）选择题（辽宁文）（7）已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为C （A ）34（B ）1 （C ）54（D ）74（重庆文）9．设双曲线的左准线与两条渐近线交于,A B 两点，左焦点在以A B 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为BA ．B ．C ． 2D ．，)+∞（全国新课标文）（4）椭圆221168xy+=的离心率为D（A ）13（B ）12（C 3（D 2（全国新课标文）（9）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则A B P ∆的面积为C（A ）18 （B ）24 （C ） 36 （D ） 48（全国大纲文）11．设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =CA ．4B ．C ．8D ．（福建文）11．设圆锥曲线I 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线I 上存在点P 满足1PF ：12F F ：2P F =4：3:2，则曲线I 的离心率等于A A ．1322或 B ．223或C ．122或D ．2332或（天津文）6．已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】双曲线22215x ya-=的渐近线为b y x a=±，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得22p -==，即4p =，又∵42=+a p ，∴2a =，将（－2，－1）代入b y x a=得1b =，∴c ===即22c =（浙江文）（9）已知椭圆22122:1x y C ab+=（a ＞b ＞0）与双曲线222:14yC x -=有公共的焦点，C 2的一条渐近线与C 1C 2的长度为直径的圆相交于,A B 两点.若C 1恰好将线段AB 三等分，则（A ）a 2=132（B ）a 2=13 （C ）b 2=12(D)b 2=2【答案】C【解析】由双曲线422yx -＝1知渐近线方程为x y 2±=，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为22x b ＋()225y b +＝()225b b +，联立直线与椭圆方程消y 得，()20552222++=b bbx，又∵1C 将线段AB 三等分，∴()3220552212222a b bb=++⨯+，解之得212=b .（四川文）3．圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是（A ）(2，3) （B ）(－2，3) （C ）(－2，－3) （D ）(2，－3)答案：D解析：圆方程化为22(2)(3)13x y -++=，圆心(2，－3)，选D ．（陕西文）2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ ） （A ）28y x =- （B ）24y x =- （C ）28y x = （D ）24y x = 【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键． 【解】选 C 由准线方程2x =-得22p -=-,且抛物线的开口向右（或焦点在x 轴的正半轴），所以228y px x ==．（山东文）9.设M(0x ，0y )为抛物线C ：28x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是(A)(0，2) (B)[0，2] (C)(2，+∞) (D)[2，+∞) 【答案】C【解析】设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心, 抛物线C 的准线方程为2y =-,由圆与准线相切知4<r,因为点M(0x ，0y )为抛物线C ：28x y =上一点，所以有2008x y =,又点M(0x ，0y )在圆222(2)x y r +-= ,所以22200(2)16x y r +-=>,所以2008(2)16y y +->,即有2004120y y +->,解得02y >或06y <-, 又因为00y ≥, 所以02y >, 选C.的距离为02y +,（广东文）8．设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线0y =相切，则C 的圆心轨迹为A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆8．（A ）．依题意得，C 的圆心到点(0,3)的距离与它到直线1y =-的距离相等，则C 的圆心轨迹为抛物线（湖南文）6．设双曲线2221(0)9x ya a-=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。
2011-2017高考全国卷解析几何试题(文科)
2011年-2015年高考全国课标卷解析几何试题〔文科〕1.【2017全国1，文5】F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，那么△APF 的面积为〔 〕 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 22.【2017课标II ，文5】假设1a >，那么双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是( )A. (2,)+∞B. (2,2)C. (1,2)D. (1,2)4.【2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M 〔M 在x 轴上方〕，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,那么M 到直线NF 的距离为( ) A.5 B.22 C. 23 D. 335.【2017课标1，文12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，假设C 上存在点M 满足∠AMB =120°，那么m 的取值范围是( ) A ．(0,1][9,)+∞B ．(0,3][9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．(0,3][4,)+∞6.【2017课标3，文11】椭圆C ：22221x y a b+=，〔a >b >0〕的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，那么C 的离心率为〔 〕A ．63B ．33C ．23D ．1311.【2017课标3，文14】双曲线22219x y a -=〔a >0〕的一条渐近线方程为35y x =，那么a = . 14.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．〔1〕求直线AB 的斜率；〔2〕设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．15.【2017课标II ，文20】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.16.【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答以下问题：〔1〕能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由； 〔2〕证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.1、〔2016年全国I 卷高考〕直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，假设椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，那么该椭圆的离心率为 〔 〕 〔A 〕13 〔B 〕 12 〔C 〕23 〔D 〕346、〔2016年全国II 卷〕设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx〔k >0〕与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，那么k =〔 〕 〔A 〕12 〔B 〕1 〔C 〕32〔D 〕27、〔2016年全国III 卷高考〕O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .假设直线BM 经过OE 的中点，那么C 的离心率为〔 〕〔A 〕13〔B 〕12〔C 〕23〔D 〕344、〔2016年全国I 卷高考〕设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，假设，那么圆C 的面积为 .5、〔2016年全国III 卷高考〕直线l ：360x -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，那么||CD =_____________.7、〔2016年全国I 卷高考〕在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . 〔I 〕求OH ON；〔II 〕除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.8、〔2016年全国II 卷高考〕A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥. 〔Ⅰ〕当AM AN =时，求AMN ∆的面积；〔Ⅱ〕当AM AN =32k <<.9、〔2016年全国III 卷高考〕抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．〔I 〕假设F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；〔II 〕假设PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.2011年 4．椭圆221168x y +=的离心率为〔 〕〔A 〕 13 〔B 〕 12〔C 〕3 〔D 〕220．〔本小题总分值12分〕在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．〔I 〕求圆C 的方程；〔II 〕假设圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．23．〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数〕，M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ． 〔I 〕求2C 的方程；〔II 〕在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C的异于极点的交点为B ，求|AB|．2012年 4．设12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，那么E 的离心率为〔 〕()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 4510．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =那么C 的实轴长为〔 〕()A ()B ()C 4 ()D 8 20．〔本小题总分值12分〕设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点．〔I 〕假设∠90BFD =,△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；〔II 〕假设A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．23．(本小题总分值10分)选修4—4；坐标系与参数方程 曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3) (Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2的取值范围．2013年(新课标Ⅰ卷)4. 双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为25，那么C 的渐近线方程为( )〔A 〕x y 41±= 〔B 〕 x y 31±= 〔C 〕 x y 21±= 〔D 〕x y ±=8. O 为坐标原点，F 为抛物线C ：x y 242=的焦点，P 为C 上一点，假设24||=PF ，那么△POF的面积为〔 〕〔A 〕2 〔B 〕22〔C 〕32〔D 〕421．(本小题总分值12分)圆M ：1)1(22=++y x ,圆N ：9)1(22=+-y x ,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .〔Ⅰ〕求C 的方程；〔Ⅱ〕l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长是，求||AB .23．〔本小题10分〕选修4—4：坐标系与参数方程曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty t x sin 55cos 54 ，〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θρsin 2=.〔Ⅰ〕把C 1的参数方程化为极坐标方程；〔Ⅱ〕求C 1与C 2交点的极坐标〔ρ≥0,0≤θ＜2π〕．2013年(新课标Ⅱ卷)5．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>)的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，那么C 的离心率为( )〔A 〕36 〔B 〕13 .〔C 〕12 〔D 〕3310．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．假设|AF |＝3|BF |，那么l 的方程为( )〔A 〕y ＝x －1或y ＝－x ＋1 〔B 〕y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1)〔C 〕y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) 〔D 〕y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1)20．(本小题总分值12分)在平面直角坐标系xOy 中，圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.〔I 〕求圆心P 的轨迹方程； 〔II 〕假设P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．23．〔本小题总分值10分〕选修4——4；坐标系与参数方程动点P Q 、都在曲线2cos ,:2sin x t C y t=⎧⎨=⎩〔t 为参数〕上，对应参数分别为t=α与t=2α〔02απ<<〕，M 为PQ 的中点．〔Ⅰ〕求M 的轨迹的参数方程；〔Ⅱ〕将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．2014年(新课标Ⅰ卷)4.双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，那么=a 〔 〕 〔A 〕 2 〔B 〕 26 〔C 〕 25〔D 〕 110.抛物线C ：2y x =的焦点为F ,00(,)A x y 是C 上一点，054AF x =，那么0x =〔 〕〔A 〕 1 〔B 〕 2 〔C 〕 4 〔D 〕 8 20.〔本小题总分值12分〕点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.〔I 〕求M 的轨迹方程；〔II 〕当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积．23.〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=ty t x l 222:〔t 为参数〕 （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.2014年〔新课标卷Ⅱ〕10．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，那么│AB │＝〔 〕 〔A 〕330〔B 〕6 〔C 〕12 〔D 〕73 12．设点M 〔x 0，1〕，假设在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，那么x 0的取值范围是〔 〕 〔A 〕［－1，1］ 〔B 〕［－21，21］ 〔C 〕［－2，2］ 〔D 〕［－22，22］20．〔本小题总分值12分〕设F 1，F 2分别是椭圆C ：22ax ＋22b y ＝1〔a ＞b ＞0〕的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．〔Ⅰ〕假设直线MN 的斜率为43，求C 的离心率；〔Ⅱ〕假设直线MN 在y 轴上的截距为2，且│MN │＝5│F 1N │，求a ，b ．23．〔本小题总分值10〕选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈［0，2π］．〔Ⅰ〕求C 的参数方程； 〔Ⅱ〕设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据〔Ⅰ〕中你得到的参数方程，确定D 的坐标．2015年(新课标Ⅰ卷)5．椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，那么AB = 〔 〕〔A 〕 3 〔B 〕6 〔C 〕9 〔D 〕1216．F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ． 20. 〔本小题总分值12分〕过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.〔I 〕求k 的取值范围； 〔II 〕假设12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .23. 〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.〔I 〕求12,C C 的极坐标方程.〔II 〕假设直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.2015年(新课标Ⅱ卷)7.三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，那么ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为〔 〕 〔A 〕35 〔B 〕321 〔C 〕 352 〔D 〕34 15.双曲线过点)3,4(，且渐近线方程为x y 21±=，那么该双曲线的标准方程为 .20、椭圆C ：22221x y a b+=〔0a b >>〕的离心率为2，点(2,在C 上. （I ） 求C 的方程.（II ） 直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.23．〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩〔t 为参数，t ≠0〕其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=.(Ⅰ).求C 2与C 3交点的直角坐标；(Ⅱ).假设C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.。
2011年高考数学最后压轴大题系列--解析几何
2011年高考数学最后压轴大题系列-解析几何1. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）. （Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.解：（I ）由题意，可设所求椭圆的标准方程为22a x +122=by )0(>>b a ，其半焦距6=c 。
||||221PF PF a +=56212112222=+++=， ∴=a 53，93645222=-=-=c a b ，故所求椭圆的标准方程为452x +192=y ； （II ）点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）关于直线y ＝x 的对称点分别为：)5,2(P '、'1F （0，-6）、'2F （0，6）设所求双曲线的标准方程为212a x -1212=b y )0,0(11>>b a ，由题意知半焦距61=c ，|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=， ∴=1a 52，162036212121=-=-=a c b ，故所求双曲线的标准方程为202y -1162=x 。
2. 直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.02222,0)2(8)2(,0222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是解得（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x kk x x ……② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）. 则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③把②式及26=c 代入③式化简得 .566).)(2,2(566566.066252的右焦点为直径的圆经过双曲线使得以可知舍去或解得C AB k k k k k +-=--∉-=+-==-+3. 设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125PB PA =求a 的值. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a aaa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以4. 已知)0,1(,)0,1(21F F -为椭圆C 的两焦点，P 为C 上任意一点，且向量21PF PF 与向量的夹角余弦的最小值为31.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，求OMN ∆（O 为原点）的面积的最大值及相应的直线l 的方程. 解：(Ⅰ)设椭圆的长轴为2a ,a 2=22==c21222124cos PF PF PF PF ⋅-+=θ=2121221242)(PF PF PF PF PF PF ⋅-⋅-+=1244212-⋅-PF PF a又212PF PF ⋅≥∴221a PF PF ≤⋅即31211244cos 222=-=--≥aa a θ ∴32=a ∴椭圆方程为12322=+y x (Ⅱ) 由题意可知NM 不可能过原点,则可设直线NM 的方程为:my x =+1 设),(11y x M ),(22y x N()1111212OMN F OM F ON S S S OF y y ∆∆∆=+=+=2121y y -221,321.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩063)1(222=-+-y my即 044)32(22=--+my y m .由韦达定理得: 324221+=+m m y y 324221+-=⋅m y y ∴212212214)(y y y y y y -+=-= 3216)32(162222+++m m m =222)32()1(48++m m 令12+=m t , 则1≥t∴221y y -=4448)12(482++=+tt t t . 又令tt t f 14)(+=, 易知)(t f 在[1,+∞）上是增函数,所以当1=t ,即0=m 时)(t f 有最小值5.∴221y y -有最大值316 ∴OMN S ∆ 的面积有最大值332. 直线l 的方程为1-=x .5. 椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率eC (-1，0)的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足：CA =BC λ (2λ≥)．(Ⅰ)若λ为常数，试用直线l 的斜率k (k ≠0)表示三角形OAB 的面积． (Ⅱ)若λ为常数，当三角形OAB 的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程．(Ⅲ)若λ变化，且λ= k 2＋1，试问：实数λ和直线l 的斜率()k k ∈R 分别为何值时，椭圆E 的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．解：设椭圆方程为22221+=x y a b(a ＞b ＞0)，由e =c aa 2=b 2+c 2得a 2=3 b 2， 故椭圆方程为x 2＋3y 2= 3b 2． ① (Ⅰ)∵直线l ：y = k (x ＋1)交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，并且CA =BC λ (λ≥2)， ∴(x 1+1，y 1) =λ(-1-x 2，-y 2)， 即12121(1)x x y y λλ+=-+⎧⎨=-⎩ ② 把y = k (x +1)代入椭圆方程，得(3k 2+1)x 2+6k 2x +3k 2-3b 2= 0， 且 k 2 (3b 2-1)+b 2＞0 （*），∴x 1+x 2= -22631k k +， ③x 1x 2=2223331k b k -+， ④∴O AB S ∆=12|y 1-y 2| =12|λ+1|·| y 2| =|1|2λ+·| k |·| x 2+1|．联立②、③得x 2+1=22(1)(31)k λ-+，∴O AB S ∆=11λλ+-·2||31k k + (k ≠0)． (Ⅱ)OAB S ∆=11λλ+-·2||31k k +=11λλ+-·113||||k k +≤11λλ+-(λ≥2)． 当且仅当3| k | =1||k ，即k=OAB S ∆取得最大值，此时x 1+x 2= -1． 又∵x 1+1= -λ( x 2+1)，∴x 1=11λ-，x 2= -1λλ-，代入④得3b 2=221(1)λλ+-．此时3b 2≥5，,k b 的值符合(*) 故此时椭圆的方程为x 2＋3y 2=221(1)λλ+-(λ≥2)． (Ⅲ)由②、③联立得：x 1=22(1)(31)k λλ--+-1，x 2=22(1)(31)k λ-+-1， 将x 1，x 2代入④，得23b =224(1)(31)k λλ-++1． 由k 2=λ-1得23b =24(1)(32)λλλ--+1=432212(1)(1)(32)λλλ⎡⎤+⎢⎥---⎣⎦＋1．易知，当2λ≥时，3b 2是λ的减函数，故当2λ=时，23b 取得最大值3． 所以，当2λ=，k =±1(符合(*))时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x 2 + 3y 2 = 3．6. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=共线. （I ）求椭圆的离心率；（II ）设M 为椭圆上任意一点，且(,)OM OA OB λμλμ=+∈R ，证明22μλ+为定值.解：（I ）设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入.化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a . 令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x ++=+由与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a c ba c a cx x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又 （II ）证明：由（I ）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x μλ+==由已知得设⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由（I ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+222221222121212123.833()()a c ab x xc a b x x y y x x x c x c -∴==+∴+=+-- .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x 又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.7. 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点. （I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 解：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=- 圆过点O 、F ， ∴圆心M 在直线12x =-上。
2011年山东省高考理科解析几何题解法探究_Microsoft_Word_文档_(4)
2011年山东省高考理科解析几何题解法探究原题：已知直线l 与椭圆22:132x y C +=交于11(,)P x y ，12(,)Q x y 两不同点，且OPQ ∆的面积2OPQ S ∆=，其中O 为坐标原点． （Ⅰ）证明：2212x x +和2212y y +均为定值． （Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ·的最大值．（Ⅲ）椭圆C 上是否存在三点D ，E ，G ，使得2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===？若存在，判断DEG ∆的形状；若不存在，说明理由．这个题目关键是做好第（Ⅰ）问，由于第（Ⅰ）问作为起点比前几年第（Ⅰ）问高了些（前几年第（Ⅰ）问多数为求曲线方程，比较简单），所以考生普遍感到较难．事实上，第（Ⅰ）问完全可以通过特殊情况的研究获得正确的结果，做第（Ⅱ），（Ⅲ）问时只要充分利用第（Ⅰ）问的结果，是不难做好的． １．探究第（Ⅰ）问的三种解法： 解法１：从直线方程入手，注意讨论 （1）当l 斜率不存在时，P 、Q 关于x 轴对称，21x x =，21y y =-，因为 11(,)P x y 在椭圆上，所以2211132x y +=，又11||||OPQ S x y ∆==1||x =，1||1y =，此时22123x x +=，22122y y +=． （2）当l 斜率存在时，设:(0)l y kx m m =+≠，代入22132x y +=得222(23)63(2)0k x kmx m +++-=， 其中2222223612(23)(2)24(32)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，122623km x x k -+=+，21223(2)23m x x k -=+，12|||PQ x x =-=， 又O 到直线l 的距离d =，所以1||2OPQS PQ d∆===，所以22322k m+=，满足0∆>，此时2222122263(2)()232323km mx xk k--+=-⨯=++，222212122(1)2(1)233x xy y+=-+-=．评注：（１）这是大多数学生熟悉的解法，特别是从特殊情况讨论的办法，值得同学们重视．一般地，定值问题都可以利用特殊情况确定这个定值，使对一般情况的研究有了方向．（２）若使用面积公式111||||22OPQS m x x∆=-=·，其中112||23x xk-=+，同样能得到22322k m+=，这个办法可以使运算量减小，应该适当考虑这个办法．一般地，用割补法求三角形的面积时，分割线段最好在坐标轴上．解法２：考虑利用三角形的面积公式1sin2S ab C=，于是把点转化为向量，利用向量的夹角公式．证明：OPQS POQ∆=∠∵===2==，21221()6x y x y-=∴，即22221221121262x y x y x x y y+=+，又2211236x y+=，2222236x y+=，22222222222211221212211223)(23)46()9x y x y x x x y x y y y++=+++∴(22221212121243612936x x x x y y y y=+++=，212123)0x x y y+=∴(2，121230x x y y+=∴2，222222121212(26)(26)94x x y y x x--==∴，整理得，22123x x+=，又222212122()3()12x x y y+++=，22122y y+=∴．评注：（１）解法２中12211||2OPQS x y x y∆==-还可以使用割补法（就是解法１评注中提到的方法）论证：先考虑11(,)P x y，12(,)Q x y两点确定的直线与x轴相交的情况，设交点为(,0)R x，则1211210y y yx x x x--=--，解得1121221011212()y x x x y x yx xy y y y--+=-=--，所以021122111||||||22OPQS x y y x y x y∆=-=-·．显然，当PQ 平行于x 轴时，12y y =，仍然有12211||2OPQ S x y x y ∆=-．综上，12211||2OPQ S x y x y ∆=-．这个结论很好记忆．（２）解法２优点是不需要分类讨论，但是计算比较麻烦，变形技巧较高，不容易掌握，若是利用三角换元法对21221()6x y x y -=进行变形，可以避开较高的技巧，于是有下面的解法３． 解法３：推导21221()6x y x y -=的过程同解法２．根据椭圆的标准方程，令1x α=，1y α=，2x β=，2y β=，则2221221()sin cos )6sin ()6x y x y αβαβαβ-==-=，2sin ()1αβ-=∴，cos()0αβ-=∴，2222121cos 21cos 23(cos cos )3()22x x αβαβ+++=+=+∴332cos()cos()32αβαβ=+⨯+-=，又222212122()3()12x x y y +++=，22122y y +=∴．或者由cos()0αβ-=得2k παβπ-=+，k Z ∈，222222123(cos cos )3(cos sin )3x x αβαα+=+=+=∴， 又222212122()3()12x x y y +++=，22122y y +=∴．２．做第（Ⅱ）问应该充分利用第（Ⅰ）问的结论：解法１：直接坐标化可以顺利利用第（Ⅰ）问的结果，但是计算比较复杂：22222212121212||||[()()][()()]22x x y y OM PQ x x y y ++=+-+-· 2222121212121[()()][()()]4x x y y x x y y =+++-+-2222222212121212121212121(22)(22)4x x y y x x y y x x y y x x y y =++++++++--121212121(522)(522)4x x y y x x y y =++--21212125[254()]44x x y y =-+≤， 当且仅当12120x x y y +=时取等号，结合第（Ⅰ）问121230x x y y +=2可得12120x x y y ==，此时1||0x =，2||x =1||0y =，2||y =，符合条件． 因此，||||OM PQ ·的最大值为52． 解法２：若能注意到224||||OM PQ +的结果为定值，则有下面的更简单的解法：222222*********||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+-222212122[()()10x x y y =+++=，所以224||||2||||52OM PQ OM PQ +=·≤，即5||||2OM PQ ·≤，当且仅当2||||OM PQ ==||||OM PQ ·的最大值为52． 评注：上面的解法较好地利用了第（Ⅰ）问的结果，若是不注意这一点，则可能继续使用第（Ⅰ）问的第一种解法的分类讨论，于是有下面的解法：解法３：（1）当l 斜率不存在时，由（Ⅰ）知1||||2OM x ==，12||2PQ y ==，此时||||OM PQ ·． （２）当l 斜率存在时，由（Ⅰ）知：1226322(23)2x x km k k m +-==-+，12121()22y y x x k m m ++=+=， 22222121223111||()()()()(3)2222x x y y k OM m m m++=+=-+=-∴， 22222224(32)1||(1)2(2)23k m PQ k k m -+=+=++·，22222115||||(3)(2))2OM PQ m m =-+·≤(∴，5||||2OM PQ ·≤∴，当且仅当221132m m-=+，即m =时，等号成立．综合（１）（２）得||||OM PQ ·的最大值为52．评注：显然，这种解法事实上利用了第（Ⅰ）问的一些中间结果，而不是最终结果，过程麻烦一些是理所当然的了．3．探究第（Ⅱ）问的独立解法：假如第（Ⅱ）问是独立的一问，也就是如果没有第（Ⅰ）问作为铺垫，那么，我们发现这是一个弦中点问题，很容易用点差法求出直线OM 、PQ 的斜率之间的关系，于是有下面的解法，这个解法不用第（Ⅰ）问的结论．由题意2211132x y +=，2222132x y +=，22221212032x x y y --+=∴， 12121212()()()()032x x x x y y y y +-+-+=∴．（１）当12x x =即当l 斜率不存在时，由（Ⅰ）知1||||OM x ==，12||2PQ y ==，此时||||OM PQ ·（２）当12x x ≠时，可得23OM PQ k k =-， 设OM k k =，23PQ k k=-，直线OM 、PQ 夹角为α，22||||||33tan ||2211133OM PQOM PQk k k k k k k k α++-==+--≥∴=，当且仅当||k =sin α∈∴，又1(||||sin )22OPQ S OM MQ α∆=⨯=·||||OM PQ =·∴ ∴当sin α=||||OM PQ ·的最大值为52． 综合（１）（２）得||||OM PQ ·的最大值为52． 在上面的解法中使用了两条直线的夹角公式，由于现在有些版本的教材没有这个公式，所以我们再提供求sin α的取值范围的向量解法：设OM k k =，23PQ k k=-，于是取OM 的一个方向向量(1,)a k =， 取PQ 的一个方向向量2(1,)3b k=-，,OM PQ α=<>，则1cos ||||a ba bα==·1115==，当且仅当||3k = 1cos (0,]5α∈∴，sin [,1)5α∈∴．4．做第（Ⅲ）问也应该充分利用第（Ⅰ）问的结论：答案：椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===． 证明：假设存在三点11(,)D x y ，22(,)E x y ，33(,)G x y 满足ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===． 由（Ⅰ）得：2222221223313,3,3,x x x x x x +=+=+=2222221223312,2,2y y y y y y +=+=+=，解得22212332x x x ===，2221231y y y ===，因此D ，E ，G 只能在(1)2±±这四点中选取三个不同的点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，不可能有ODE ODG OEG S S S ∆∆∆==．所以椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===评注：本小题很容易让人联想起2004年全国高考卷Ⅰ（当年山东省还没有自主命题，也是用的这套试题）第12题：已知2222221,2,2,a b b c c a +=+=+=则ab bc ca ++的最小值为（ ）．A ．12 B ．12 Ｃ．12-- Ｄ．12+这个题目也是要解出2212a b ==，232c =，从而a =，b =，c =，于是当a b ==，c =ab bc ca ++取到最小值为12决，而不去求出,,a b c 的值．总结：在这个高考题的探究中，涉及到利用四大数学思想方法即函数方程，数形结合，分类讨论，转化化归．从数学工具上看主要利用了直线斜率，向量，三角换元法，基本不等式．。
2011年高考——解析几何
解析几何一、选择题1.（重庆理8）在圆06222=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为A ．25B ．210C ．152D ．220【答案】B2.（浙江理8）已知椭圆22122:1(0)x y C a b ab+=＞＞与双曲线221:14yC x -=有公共的焦点，1C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段A B 三等分，则A ．2132a =B ．213a =C ．212b =D ．22b =【答案】C3.（四川理10）在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x=的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为A ．(2,9)--B ．(0,5)-C ．(2,9)-D ．(1,6)-【答案】C【解析】由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a K a ---=-,设直线方程为(2)y a x b =-+，则223651(2)ba =+-又2564(2,9)(2)y x ax b a y a x b ⎧=+-⇒=-⇒=⇒--⎨=-+⎩4.（陕西理2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是A ．28y x=- B ．28y x= C ．24y x=- D ．24y x=【答案】B5.（山东理8）已知双曲线22221(0b 0)xy a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为A ．22154xy-=B ．22145xy-=C ．22136xy-= D ．22163xy-=【答案】A6.（全国新课标理7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ） 2 （D ） 3 【答案】B7.（全国大纲理10）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=A ．45B ．35C ．35-D ．45-【答案】D8.（江西理9）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m的取值范围是A ．（33-，33） B ．（33-，0）∪（0，33）C ．[33-，33]D ．（-∞，33-）∪（33，+∞）【答案】B9.（湖南理5）设双曲线()222109xya a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C10.（湖北理4）将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A ．n=0B ．n=1C ． n=2D ．n ≥3【答案】C11.（福建理7）设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A ．1322或B ．23或2 C ．12或2 D ．2332或【答案】A 12.（北京理8）设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为A ．{}9,10,11B ．{}9,10,12C ．{}9,11,12D ．{}10,11,12【答案】C13.（安徽理2）双曲线8222=-y x 的实轴长是（A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）42【答案】C14.（辽宁理3）已知F 是抛物线y2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（A ）34 （B ）1 （C ）54 （D ）74【答案】C二、填空题15.（湖北理14）如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系''x O y （其中'y 轴一与y 轴重合）所在的平面为β，'45xOx ∠=︒。
稳中有变 亮点纷呈——2011年数学高考解析几何试题评析
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2011高考数学 解析几何高考真题分类解析素材 新人教版
2011年高三冲刺阶段解答题训练题集4 ——解析几何部分一、理科解析几何解答题及参考答案1、实数m>1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为－.(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)当m＝时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t>0)与曲线C有且只有一个交点？解: (1)设S(x，y)，那么k SA＝，k SB＝.由题意得＝－，即＋y2＝1(x≠±m)．∵m>1，∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.(2)当m＝时，曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±)．由消去y得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.①令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3，∵t>0，∴t＝3.此时直线l与曲线C有且只有一个公共点．②令Δ>0且直线2x－y＋t＝0恰好过点(－，0)时，t＝2.此时直线与曲线C有且只有一个公共点．综上所述，当t＝3或2时，直线l与曲线C有且只有一个公共点．2、椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕假设P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
解： (Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由得，所以椭圆的标准方程为.〔Ⅱ〕设，其中。
由及点在椭圆上可得。
整理得，其中。
〔i〕时,化简得所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。
〔ii〕时，方程变形为，其中当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分.当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆.3、矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．〔I〕求边所在直线的方程；〔II〕求矩形外接圆的方程；〔III〕假设动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．解：〔I〕因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为．即．〔II〕由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为．所以为矩形外接圆的圆心．又．从而矩形外接圆的方程为．〔III〕因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即．故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长．从而动圆的圆心的轨迹方程为．4、菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2＋3y2＝4上，对角线BD所在直线的斜率为1.(1)当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程；(2)当∠ABC＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值．解: (1)由题意得直线BD的方程为y＝x＋1.因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.于是可设直线AC的方程为y＝－x＋n.由得4x2－6nx＋3n2－4＝0.因为A，C在椭圆上，所以Δ＝－12n2＋64>0，解得－<n<.设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么x1＋x2＝，x1x2＝，y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n.所以y1＋y2＝.所以AC的中点坐标为.由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y＝x＋1上，所以＝＋1，解得n＝－2.所以直线AC的方程为y＝－x－2，即x＋y＋2＝0.(2)因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以|AB|＝|BC|＝|CA|.所以菱形ABCD的面积S＝|AC|2.由(1)可得|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，所以S＝(－3n2＋16)3.所以当n＝0时，菱形ABCD的面积取得最大值4.5、在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值X围；(2) 设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.解: (1)由条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0.①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，解得k<－或k>.即k的取值X围为∪.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么由方程①得x1＋x2＝－.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2，③而所以与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝.由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.6、向量，动点M到定直线的距离等于，并且满足，其中O为坐标原点，K为参数；〔1〕求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；〔2〕当k=时，求的最大值和最小值；〔3〕在〔2〕的条件下，将曲线向左平移一个单位，在x轴上是否存在一点P〔m，0〕使得过点P的直线交该曲线于D、E两点、并且以DE为直径的圆经过原点，假设存在，请求出的最小值；假设不存在，请说明理由.解：〔1〕设，那么由，且O为原点得A〔2，0〕，B〔2，1〕，C〔0，1〕从而代入得为所求轨迹方程当K=1时，=0 轨迹为一条直线当K1时，，假设K=0，那么为圆；假设K，那么为双曲线〔2〕当K=时，假设或那么为椭圆方程为，即且从而又∴当时，取最小值，当时，取最大值16故，〔3〕在〔2〕的条件下，将曲线向左平移一个单位后曲线方程为假设存在过P〔m,0〕直线满足题意条件，不妨设过P〔m,0〕直线方程为设D〔x1,y1〕,E(x2,y2)，消去x得：即由韦达定理，得由于以DE为直径的圆都过原点那么,即又因为即显然能满足故当7、椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线y＝x2的焦点．(1)求椭圆C的标准方程；C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，假设求λ1＋λ2的值．解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，抛物线方程为x2＝4y，其焦点为(0,1)，椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b＝1，由e＝＝＝，得a2＝5，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)由(1)得椭圆C的右焦点为F(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，代入＋y2＝1，并整理得：(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.又＝(x1，y1－y0)，＝(x2，y2－y0)，＝(2－x1，－y1)， (2－x2，－y2) 由得(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)，(x2，y2－y0)＝λ2(2－x2，－y2)，∴λ1＝，λ2＝，∴λ1＋λ2＝＋＝＝－10.8、设椭圆E: 〔a,b>0〕过M〔2，〕，N(,1)两点，O为坐标原点，〔I〕求椭圆E的方程；〔II〕是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B, 且？假设存在，写出该圆的方程，假设不存在说明理由。
2011年四川高考理科试题解析几何的另一种思考
2011年四川高考理科试题解析几何的另一种思考2011年四川理科高考试题21题椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ． (I)当|CD | =l 的方程；(II)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P O Q ⋅为定值解析：本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基础知识，考查平面解几何的思想方法及推理运算能力．思想方法容易入手。
从设计的角度来看 (I)解法很多，题目就是求直线的方程，由于有了定点F ，表面上只需求l 的斜率，在这里就设置了陷阱，容易失分，要说明斜率不存在的时候不满足也可以考虑其他技巧回避，能得分，但得不全充分体现了高考试题的选拔性。
(II)P 点的坐标很容易得出1(,0)k-，给了很强的目的性，就是要把Q 点的坐标求出。
但如何算呢？都知道可以强行把AC 与BD 直线方程写出然后再求交点，计算量大吗？直线AC 与BD 如何写？还是像l 一样引入斜率？那点怎么办？这样就会很多变量？可行吗？如果直接设点使用两点式，我们平时很少使用的，能用吗？因此突破心理防线是本题的关键。
下面给出高考中的参考解答以及自己对这个题的思考供大家参考。
解：（Ⅰ） 椭圆顶A(-1，0)、B(1，0)，F(0，1)∴b=1，c=1 ∴∴椭圆方程为2212yx +=若l ⊥轴，则≠..（这一步是容易忘记，从而掉分的）∴l 的斜率存在，设l 的方程为1(0),y k x k -=-为l 的斜率．则1212222222212122242122(2)2101221222k y kx y y x x kk k x kx y k x x x y y k k ⎧⎧=++=⎧+=-⎪⎪⎪⎪⎪++⇒++-=⇒⎨⎨⎨--++=⎪⎪⎪==⎩⎪⎪+⎩+⎩2422221212222288889()()2(2)(2)2k k k x x y y k k k k ++-+-=+=⇒=⇒=++l ∴的方程为1y =+或1y =+为所求．本题既考查了思维的严密性，又考查了计算能力，体现了高考的选拔性。
解析几何06-11高考试题
解析几何06-11试题（一）2011年山东理科：（8）已知双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（A ）22154x y -= （B ）22145x y -=（C ）221x y 36-= （D ）221x y 63-= （22）（本小题满分14分） 已知直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()1x y ⋅.Q ()1x y ⋅两不同点，且△OPQ 的面积S=其中Q 为坐标原点。
（Ⅰ）证明X 12+X 22和Y 12+Y 22均为定值（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得S △ODE =S △ODG =S △OEG 若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由。
（二）2010年山东理科：（10）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-,08,10105,02y x y x y x 则目标函数y x z 43-=的最大值和最小值分别为 （A ）3，-11 （B ）-3，-11 （C ）11，-3 （D ）11，3（16）已知圆C 过点（1，0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线1:-=x y l 被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 。
（21）（本小题满分12分） 如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点21,F F 为顶点的三角形的周长为)12(4+，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于项点的任一点，直线1PF 和2PF与椭圆的交点分别为A 、 B 和C 、D.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF的斜率分别为1k 、2k ，证明：121=⋅k k ； （Ⅲ）是否存在常数λ，使得CD AB CD AB ⋅=+λ恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（三）2009年山东理科：（9）设双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（A ）54 (B) 5 (C)(D) （12）设,x y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数(0,z ax by a b =+＞＞0)的最大值为12，则23a b+的最小值为 （A ）256(B) 83 (C) 113 (D) 4 （22）（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设椭圆E ：22221(,0)x y a b a b+=>M N 在椭圆E 上，O 为坐标原点 （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒在两个交点A ，B 且OA OB ⊥ ？若存在，写出该圆的方程，关求AB 的取值范围；若不存在，说明理由。
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2011年高考解析几何1.过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________． 2. 若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________. 3. 已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________． 4. 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3) 5.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．5 2 B ．102 C ．15 2 D ．20 26.若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－37.[2011·湖南卷] 已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．8.过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为________．9. 若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．10.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________________．11.双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 212.已知双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________13.已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y227＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|＝________.14.[2011·湖南卷] 设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．115.已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．16.椭圆x 216＋y28＝1的离心率为( )A.13B.12C.33D.2217.已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.7418.已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．4819.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x20.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－4521.已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．25C ．4 3D ．4 522..设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上． 23.直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．24.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．25.[2011·湖南卷] 已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．26.已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△P AB 的面积．27.设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．28.过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，椭圆与x 轴交于两点A (a,0)，B (－a,0)．过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；(2)当点P 异于点B 时，求证：OP →·OQ →为定值．答案：1.由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＋2＝k ()x ＋1.又圆的方程为()x －12＋()y －12＝1，圆心为()1，1，半径为1，所以圆心到直线的距离d ＝||k －1＋k －21＋k 2＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22，解得k＝1或177.2.∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0，∴1×2－2×m ＝0，即m ＝1.3. 设圆心坐标为(x,0)，则有(x －5)2＋1＝(x －1)2＋9，解得x ＝2.由两点距离得r ＝(2－5)2＋1＝10，所以圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10.4.圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，选D.5.所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC ||BD |＝10 2.故选B.6. 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线经过圆的圆心(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，得a ＝1.7. (1)圆心到直线的距离为：d ＝||－2532＋42＝5;(2)当圆C 上的点到直线l 的距离是2时有两个点为点B 与点D ，设过这两点的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，同时可得到的圆心到直线4x ＋3y ＋c ＝0的距离为OC ＝3，又圆的半径为r ＝23，可得∠BOD ＝60°，由图1－2可知点A 在弧BD 上移动，弧长l BD ＝16×c ＝c6，圆周长c ，故P (A )＝lBDc ＝16. 8.将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0配方得(x －1)2＋(y －2)2＝1，∴该圆半径为1，圆心M (1,2)． ∵直线与圆相交所得弦的长为2，即为该圆的直径，∴该直线的方程的斜率k ＝2－01－0＝2，∴该直线的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.9. 由题可知过点⎝⎛⎭⎫1，12与圆x 2＋y 2＝1的圆心的直线方程为y ＝12x ，由垂径定理可得k AB ＝－2.显然过点⎝⎛⎭⎫1，12的一条切线为直线x ＝1，此时切点记为A (1,0)，即为椭圆的右焦点，故c ＝1.由点斜式可得，直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，即AB ：2x ＋y －2＝0.令x ＝0得上顶点为(0,2)，∴b ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝5，故得所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1.10. 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为离心率为22，所以22＝1－b2a2，解得b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△ABF 2的周长为||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||BF 2＋||AF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝2a ＋2a ＝4a ，，所以4a ＝16，a ＝4，所以b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 28＝1.11. 双曲线方程可化为x 24－y 281，所以a 2＝4，得a ＝2，所以2a ＝4.故实轴长为4.12. 易知y ＝bx ＝2x ，故b ＝2.13.根据角平分线的性质，||AF 2||AF 1＝||MF 2||MF 1＝12.又||AF 1－||AF 2＝6，故||AF 2＝6.14. 根据双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近的方程得：y ＝±3ax ，即ay ±3x ＝0.因为已知双曲线的渐近线的方程为3x ±2y＝0且a >0，所以有a ＝2，故选C.15.法一：点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2y 2b 2＝1上，则4a 2－9b2＝1.又由于2c ＝4，所以a 2＋b 2＝4.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝4得a ＝1或a ＝4.由于a <c ，故a ＝1.所以离心率为e ＝ca＝2.法二：∵双曲线的焦距为4，∴双曲线的两焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，点(2,3)到两焦点的距离之差的绝对值为2，即2a ＝2，∴a ＝1，离心率e ＝ca＝2.16. 由题意a ＝4，c 2＝8，∴c ＝22，所以离心率为e ＝c a ＝224＝22.17.过A ，B 分别作准线l 的垂线AD ，BC ，垂足分别为D ，C ，M 是线段AB 的中点，MN 垂直准线l 于N ，由于MN 是梯形ABCD 的中位线，所以|MN |＝|AD |＋|BC |2.由抛物线的定义知|AD |＋|BC |＝|AF |＋|BF |＝3，所以|MN |＝32，又由于准线l 的方程为x ＝－14AB中点到y 轴的距离为32－14＝54，故选C .18. 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫p 20，A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p2，－p ，所以||AB ＝2p ＝12，所以p ＝6.又点P 到AB 边的距离为p ＝6，所以S △ABP ＝12×12×6＝36.19. 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，又∵其准线方程为x ＝－p2＝－2，∴p ＝4，所求抛物线方程为y 2＝8x .20. 法一：联立直线与抛物线的方程得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或4，得A (1，－2)，B (4,4)，则|AF |＝2，|BF |＝5，|AB |＝35，由余弦定理得cos ∠AFB ＝－45，故选D.法二：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得x ＝1或x ＝4，所以交点坐标分别为A (1，－2)，B (4,4)，又F (1,0)，∴FB→＝(3,4)，FA →＝(0，－2)，所以cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →||FB →|＝－85×2＝－45.21. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±bax ，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)得－p 2＝－2，即p ＝4.又∵p 2＋a ＝4，∴a ＝2，将(－2，－1)代入y ＝ba x 得b ＝1， ∴c ＝a 2＋b 2＝4＋1＝5，∴2c ＝2 5.22.(1)反证法：假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0.此与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)(方法一)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标(x ，y )为⎩⎨⎧x ＝2k 2－k1，y ＝k 2＋k1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝⎛⎭⎫2k 2－k 12＋⎝⎛⎭⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1. 此即表明交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．(方法二)交点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x ，故知x ≠0，从而⎩⎨⎧k 1＝y －1x，k 2＝y ＋1x .代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0.整理后，得2x 2＋y 2＝1，所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．23.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0.(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0.解得b＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0.解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1，故点A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2.所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.24.(1)将(0,4)代入椭圆C 的方程得16b 2＝1，∴b ＝4.又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0.解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32，y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65.即中点为⎝⎛⎭⎫32，－65.25 设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →)＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB →＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k 2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·EB →取最小值16.26. (1)由已知得，c ＝22，c a ＝63.解得a ＝2 3.又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4.y 0＝x 0＋m ＝m4.因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.27.(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以(a －c )2＋b 2＝2c ，整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0，得ca＝－1(舍)，或c a ＝12，所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c )，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫85c 2＋⎝⎛⎭⎫335c ＋3c 2＝165c .于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝⎛⎭⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16，整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.28. (1)由已知得b ＝1，c a ＝32，解得a ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.椭圆的右焦点为(3，0)，此时直线l的方程为y ＝－33x ＋1，代入椭圆方程化简得7x 2－83x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝837，代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝－17， 所以D 点坐标为⎝⎛⎫837，－17.故|CD |＝⎝⎛⎭⎫837－02＋⎝⎛⎭⎫－17－12＝167. (2)当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1⎝⎛k ≠0且k ≠12.代入椭圆方程化简得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－8k 4k 2＋1，代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝1－4k 24k 2＋1，所以D 点坐标为⎝⎛⎭⎫－8k 4k 2＋1，1－4k 24k 2＋1. 又直线AC 的方程为x2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k (x ＋2)，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝2k ＋1.因此Q 点坐标为(－4k,2k ＋1)．又P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1k ，0， 所以OP →·OQ →＝⎝⎛⎭⎫－1k ，0·(－4k,2k ＋1)＝4.故OP →·OQ →为定值．。