2018届高三数学一轮复习第十章计数原理与概率随机变量及其分布第三节二项式定理课件理

n 3 r
2 · ∴展开式中的常数项为 n . C
3
1 2 · C C 若n=3,则 n =2 · 3 =6≠60,
n 3
n 3
n 3
3 3
∴排除A,同理,将n=6,9,12代入一一验证,得n=6. 故选B.
1-3
2 (2016广东广州模拟)在 3 x 的展开式中,x的非负整数次幂 x
5
,各项系数之和为
.(用数字作答) 答案 10;243
5 解析 x2的系数为 × 2=10; 令 x =1, 得各项系数之和为 (1+2) =243. C1 5
考点突破
考点一 二项展开式中的特定项和特定项的系数 典例1 实数a=
1 5 (1)(2016山东,12,5分)若 ax 2 的展开式中x 的系数是-80,则 x
15
的个数为 答案 2
.
r
5r 5 r r 15-r 2 r r r 3 解析 展开式的通项为Tr+1=(-1) ( x ) · 6 (r=0,1, C15 · 15 x =(-1) 2C x 5 …,15),由题意知5- r为非负整数,解得r=0或6, 6
Cm Cm 解析 (1)由题意得a= 2 m ,b= 2 m 1 ,
m 则13 =7 Cm C 2m 2 m 1 ,
)
.
13 (2m)! 7 (2m 1)! = , m! m! m! (m 1)! 7(2m 1) ∴ =13,解得m=6, m 1
∴
经检验m=6为原方程的解,故选B. (2)令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4=1;令x=0,可得a0=1,所以a1+a2+a3+a4=0.
∴|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=80.
3 1 2 4 变式2-3 在本例(2)的条件下,求 + + 2 3 + 4 的值.
a 2
a 2
a 2
a 2
解析 在(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,
3 1 2 4 令x= ,则左边=0=右边=a0+ +
)
A.32
答案 D
B.34
C.36
4
D.38
解析
8
2 3 2 k k 3 4-k k 12-4k C C x 的展开式的通项为 T = ( x ) · = ,令12-4 k +1 4 4 (-2) x x x
k
k=0,解得k=3,
1 8-r 1 8-2r r r 的展开式的通项为 T = · x · = · x ,令8-2r=0,得r=4, C C x r +1 8 8 x x 4 3 C3 C8 所以所求展开式中的常数项为 =38. 4 (-2) +
7
)
2.已知(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8=( A.180 B.-180 C.45 D.-45
)
8 C10 答案 A 由题意得a8= 22(-1)8=180,故选A.
1 2 3.二项式 2 x的展开式中常数项是 ( x
6
)
A.240
A.3
2 在 x 的展开式中,若常数项为60,则n等于 ( x
n
)
B.6
C.9
r n
D.12
n-r
2 r r x 答案 B 通项Tr+1= C ( x ) · n · 2 . =2 C x n 3r n 令 =0,得r= , 2 3 n
r
6
r
16 3 r 1 1 1 r r C8 ( x )8-r 4 = C8 x 4 (r= (3) x 2 4 x 的展开式的通项为Tr+1= 2 x 2
8
r
r
0,1,2,…,8),为使Tr+1为有理项,r必须是4的整数倍,所以r=0,4,8,故共有3个
要n与r确定,该项就随之确定;(2)Tr+1是展开式中的第r+1项,而不是第r项;
(3)公式中a,b的指数和为n;(4)要将通项中的系数和字母分离开,以便于 解决问题;(5)关于二项式(a-b)n展开式的通项公式,要特别注意符号问题. 1-1 A.-20 答案 A
1 的展开式中x2y3的系数是 ( (2014湖南,4,5分) x 2 y 2
(1-x-5y)5的展开式中不含x的项的系数和为-1 024.
C a
r n
n-r r
b
,它表示第④ (r+1) 项
2.二项式系数的性质
1 1.已知 x 展开式的第4项等于5,则x等于 ( x 1 1 A. B.- C.7 D.-7 7 7 3 1 1 4 C3 答案 B 由T4= x =5 得 x = ,故选B. 7 7 x
5
)
B.-5
C.5
D.20
k1 展开式的通项为Tk+1= C5 x 2
5 k
k 5-k k · (-2y)k=(-1)k· 22k-5C x · y, 5
令5-k=2,得k=3.
C3 则展开式中x2y3的系数为(-1)3· 22×3-5 5=-20,
故选A.
1-2
5-r
r 5
5 10 r 2
5 2 2 所以a3 =-80,解得a=-2. C5
令10- r=5,解之得r=2,
(2)a= sin x d x =(-cos x ) 0 0 =-cos π+cos 0=2,
1 1 r 6-r r 6-r r 3-r x C 二项式 2 x 的展开式的通项为 T = (2 ) · r+1 6 6 x . =(-1) 2 C x x 3 C 6 =-160. 令3-r=0,得r=3,故展开式中常数项为T4=(-1)326-3·
.
(2)设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其展开式中所有项的系数和为f(1)=(a+1)· (1+1)4
=(a+1)×16,
1 ∵奇数次幂项的系数和为 [f(1)-f(-1)], 2
又f(-1)=0,∴ ×(a+1)×16=32, ∴a=3.
1 2
命题角度三 三项展开式中特定项系数问题
典例5 (1)(2015课标Ⅰ,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( A.10 B.20 C.30 D.60 (结果化成最简形 )
8
.(用数字作
答) 答案 -56
r 16-2r r 16-3r 解析 Tr+1= x (-x)-r=(-1)-r x ,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为(-1)-3 C8 C8 3 C8 =-56.
2 2 5.在 x 的展开式中 , x 的系数是 2 x
理数
课标版
第三节 二项式定理
教材研读
1.二项式定理
二项式定理 (a+b)n=① 二项式系数 二项展开式中各项的二项式系数:② 二项展开式的通项 Tr+1=③
C a + Ca
0 n
n
1 n-1 1 n
r n b +…+ Cn an-rbr+…+ Cn bn(n∈N*)
C
r n
(r=0,1,…,n)
r
命题角度二 几个二项式积的展开式中的特定项系数问题
典例4 (1)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a= ( A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 )
(2)(2015课标Ⅱ,15,5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之 和为32,则a= 答案 (1)D (2)3
∴符合要求的项的个数为2.
考点二 二项式系数的问题与各项系数和的问题
典例2 (1)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a, (x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m= ( A.5 B.6 C.7 D.8 (2)若(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a1+a2+a3+a4= 答案 (1)B (2)0
(2)(1-x-5y)5的展开式中不含x的项的系数和为 式). 答案 (1)C (2)-1 024
2 C5 解析 (1)(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有 (x2+x)3y2中含x5y2,易知 2 1 C5 C3=30,故选C. x5y2的系数为
(2)(1-x-5y)5的展开式中不含x的项的系数和等于(1-5y)5的展开式的各项 系数和,在(1-5y)5中,令y=1,得其展开式的各项系数和为(-4)5=-1 024,所以
规律总结
(1)对形如(ax+b)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,常用赋值法, 只需令x=1即可. (2)对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y =1即可. (3)一般地,对于多项式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,则 (a+bx)n展开式中各项的系数的和为g(1),
1 2
a 2