§1.3 三角函数的诱导公式(一)

§1.3三角函数的诱导公式(一) 学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程(难点).3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题(重点、难点)．知识点诱导公式二、三、四1．诱导公式二图示终边关系角π＋α与角α的终边关于原点对称sin(π＋α)＝－sin_αcos(π＋α)＝－cos_α公式tan(π＋α)＝tan_α2．诱导公式三终边关系图示角－α与角α的终边关于x轴对称sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，公式tan(－α)＝－tan α3．诱导公式四终边关系 图示角π－α与角α的终边关于y 轴对称公式sin(π－α)＝sin_αcos(π－α)＝－cos_αtan(π－α)＝－tan_α【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式中角α是任意角．( ) (2)sin(α－π)＝sin α.( ) (3)cos 43π＝－12.( )提示 (1)×，正、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．(2)×，sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α． (3)√，cos 4π3＝cos(π＋π3)＝－cos π3＝－12．题型一 给角求值问题【例1】 (1)sin 750°＝________；cos(－2 040°)＝________.； 解析 sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝12；cos(－2 040°)＝cos 2 040°＝cos(5×360°＋240°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12．答案 12 －12(2)计算：sin(－31π6)－cos(－10π3)＝________．解析 原式＝－sin31π6－cos 10π3＝－sin(4π＋π＋π6)－cos(2π＋π＋π3)＝sin π6＋cos π3＝12＋12＝1．答案 1规律方法 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化．(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【训练1】 求下列各三角函数式的值：(1)sin 1 320°；(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫－31π6；(3)tan(－945°)．解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32． 方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32．(2)方法一 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6 ＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32．方法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32．(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1． 题型二 化简求值问题【例2】 (1)计算：cosπ7＋cos 2π7＋cos 3π7＋cos 4π7＋cos 5π7＋cos 6π7＝________；解析 原式＝cosπ7＋cos 2π7＋cos 3π7＋cos(π－3π7)＋cos(π－2π7)＋cos(π－π7)＝cos π7＋cos 2π7＋cos 3π7－cos 3π7－cos 2π7－cos π7＝0． 答案 0 (2)化简：cosπ＋αcos 3π－αtan π＋αsin π＋αcos －α－π．解 原式＝－cos α·－cos α·tan α－sin α－cos α＝cos αsin α·sin αcos α＝1．规律方法 三角函数式化简的常用方法(1)合理转化：①将角化成2k π±α，π±α，k ∈Z 的形式．②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． 【训练2】 化简下列各式：(1)tan 2π－αsin －2π－αcos 6π－αcos α－πsin 5π－α；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°．解 (1)原式＝-tan α·sin －αcos －αcos π－αsin π－α＝－sin α－sin αcos αcos α－cos αsin α＝－sin αcos α＝－tan α．(2)原式＝1＋2sin 360°－70°cos 360°＋70°sin 180°＋70°＋cos 720°＋70°＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.典例迁移题型三 给值或式求值问题【例3】 (1) 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称 .若sin α＝13，则sin β＝________．解析 α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴β＝π－α＋2k π，k ∈Z .∴sin β＝sin(π－α＋2k π)＝sin α＝13.答案 13(2)已知cos(π6－α)＝33，求cos(5π6＋α)－sin 2(α－π6)的值．解 因为cos(5π6＋α)＝cos[π－(π6－α)]＝－cos(π6－α)＝－33，sin 2(α－π6)＝sin 2(π6－α)＝1－cos 2(π6－α)＝1－(33)2＝23，所以cos(5π6＋α)－sin 2(α－π6)＝－33－23＝－2＋33．【迁移1】 将例3(2)题中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？解 由题意知cos(π6＋α)＝33，求cos(5π6－α)＋sin 2(α＋π6)的值．因为cos(5π6－α)＝cos[π－(π6＋α)]＝－cos(π6＋α)＝－33，sin 2(α＋π6)＝1－cos 2(π6＋α)＝1－(33)2＝23，所以，cos(5π6－α)＋sin 2(α＋π6)＝－33＋23＝2－33．【迁移2】 例3(2)题中的条件不变，求cos(7π6－α)－sin 2(α－13π6)的值．解 cos(7π6－α)－sin 2(α－13π6)＝cos[π＋(π6－α)]－sin 2[(α－π6)－2π]＝－cos(π6－α)－sin 2(π6－α)＝－33－23＝－3＋23．规律方法 解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．课堂达标1．tan 300°＋sin 450°的值是( ) A ．－1＋ 3 B ．1＋ 3 C ．－1－ 3D ．1－3解析 原式＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°) ＝tan(－60°)＋sin 90°＝－tan 60°＋1＝－3＋1． 答案 D2．已知sin 5π7＝m ，则cos 2π7的值等于( )A ．mB ．－mC ．1－m 2D ．－1－m 2解析 cos 2π7＝cos(π－5π7)＝－cos 5π7＝－(－1－sin 25π7)＝1－m 2．答案 C3．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为________． 解析 tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°) ＝tan 60°＝－3a＝3，即a ＝－3． 答案 －34．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________． 解析 cos(212°＋α)＝cos[2×360°－(508°－α)] ＝cos(508°－α)＝1213．答案12135．化简：cos 180°＋αsin α＋360°sin －α－180°cos －180°－α．解 原式＝－cos α·sin α[－sin α＋180°]·cos 180°＋α＝sin αcos αsinα＋180°cos 180°＋α＝sin αcos α－sin α－cos α＝1．课堂小结1．明确各诱导公式的作用诱导公式 作用公式一 将角转化为0～2π之间的角求值公式二 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值 公式三将负角转化为正角求值公式四将角转化为0～π2之间的角求值2．诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．基础过关1．已知sin(π－α)＝13，则sin(α－2 017π)的值为( )A ．223B ．－223C ．13D ．－13解析 由sin(π－α)＝sin α得sin α＝13，所以sin(α－2 017π)＝sin[(α－π)－2 016π]＝sin(α－π)＝－sin(π－α)＝－sin α＝－13．答案 D2．若sin(－110°)＝a ，则tan 70°等于( )A ．a1－a2B ．－a1－a 2C ．a1＋a2D ．－a1＋a 2解析 ∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°)＝－sin 70°＝a ，∴sin 70°＝－a ， ∴cos 70°＝1－－a2＝1－a 2，∴tan 70°＝sin 70°cos 70°＝－a1－a 2． 答案 B3．tan(5π＋α)＝m (m ≠±1)，则sin α－3π＋cos π－αsin －α－cos π＋α的值为( )A ．m ＋1m －1B ．m －1m ＋1C ．－1D ．1解析 ∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，∴原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1．答案 A4．若P (－4,3)是角α终边上一点，则cosα－3π·tan α－2πsin 2π－α的值为________．解析 由题意知sin α＝35，原式＝－cos α·tan αsin 2α＝－sin αsin 2α＝－1sin α＝－53．答案 －535.cos －585°sin 495°＋sin －570°的值是________________．解析 原式＝cos 360°＋225°sin 360°＋135°－sin 360°＋210° ＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos 180°＋45°sin 180°－45°－sin 180°＋30°＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2． 答案2－2 6．化简下列各式：(1)sin(－193π)cos 76π； (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．解 (1)sin(－193π)cos 76π ＝－sin(6π＋π3)cos(π＋π6)＝sin π3cos π6＝34． (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos （-240°）sin(－210°)＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1．7．已知tan(π＋α)＝－12，求下列各式的值：(1)2cos π－α－3sin π＋α4cos α－2π＋sin 4π－α；(2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．解 由tan(π＋α)＝－12，得tan α＝－12，(1)原式＝－2cos α－3－sin α4 cos α＋sin －α＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－124－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－79．(2)原式＝sin(－6π＋α－π)·cos(4π＋α＋π)＝sin(α－π)·cos(α＋π)＝－sin α(－cos α)＝sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25．能力提升8．已知n 为整数，化简sin n π＋αcos n π＋α所得的结果是() A ．tan(nα) B ．－tan(nα)C ．tan αD ．－tan α解析 当n 为偶数时，原式＝sin αcos α＝tan α； 当n 为奇数时，原式＝－sin α－cos α＝tan α.故选C ． 答案 C9．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，其中a ，b ，α，β∈R ，且ab ≠0，α≠k π(k ∈Z )．若f (2 009)＝5，则f (2 017)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5解析 f (2 009)＝－(a sin α＋b cos β)＋4＝5，f (2 017)＝－(a sin α＋b cos β)＋4＝5．答案 D10．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(α－2π)＝________． 解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12， 故sin(α－2π)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1－122＝－32(α为第四象限角)． 答案 －32 11．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析 a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33， b ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22， c ＝－sin33π4＝－sin π4＝－22， ∴b >a >c ．答案 b >a >c12．若cos(α－π)＝－23，求 sin α－2π＋sin －α－3πcos α－3πcos π－α－cos －π－αcos α－4π的值． 解 原式＝－sin 2π－α－sin 3π＋αcos 3π－α－cos α－－cos αcos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α1－cos α－cos α1－cos α＝－tan α． ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23， ∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角． 当α为第一象限角时，cos α＝23， sin α＝1－cos 2α＝53， ∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52． 当α为第四象限角时，cos α＝23， sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52． 综上，原式＝±52． 13．(选做题)在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π． 当A ＝34π时，cos B ＝－32<0， ∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π． 综上所述，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π．。