图论中的树与树的性质
离散数学中的图的树与生成树的计数
在离散数学中，图是一个由点和边组成的抽象数学模型。
其中，树是一种特殊的图，它是一个无环连通图。
在图论中，树扮演了重要的角色，它具有许多有趣的性质和应用。
而生成树则是树的一个特殊子集，它由给定图中的所有顶点和部分边构成。
本文将介绍图的树的基本概念，并探讨生成树的计数方法。
首先，让我们来看看图的树。
树是一种无环连通图，其中任意两个顶点之间存在唯一一条路径。
它具有以下性质：1.n个顶点的树有n-1条边。
这可以通过归纳法证明：当n=1时，结论成立；假设n=k时成立，那么n=k+1时，只需要添加一个顶点和一条边，即可构成n=k+1个顶点的树。
因此，结论成立。
2.连接树上任意两个顶点的边都是桥。
即如果一条边被删除，那么树就会变成两个或更多个不相连的子树。
3.树是一个高度平衡的结构。
对于一个n个顶点的树，任意两个叶子结点之间的路径长度至多相差1。
4.树的任意两个顶点之间有唯一一条路径，路径长度为顶点之间的边数。
接下来，让我们来讨论生成树的计数方法。
生成树是树的一个特殊子集，它是由给定图中的所有顶点和部分边构成。
生成树的计数在图论中具有重要的意义和应用。
对于一个具有n个顶点的连通图来说，其生成树的个数可以通过Cayley公式计算得到。
Cayley公式是由亚瑟·凯利于1889年提出的，它给出了完全图的生成树数目。
据此，我们可以得到生成树的计数公式为：T = n^(n-2)，其中T表示生成树的个数。
此外，还有一种常见的计数方法是基于度数矩阵和邻接矩阵的矩阵树定理。
矩阵树定理由高斯于1847年提出，它提供了一种计算图的生成树个数的方法。
根据矩阵树定理，一个无向图G的生成树数目等于该图度数矩阵的任意一个(n-1)阶主子式的行列式的值。
其中，度数矩阵是一个对角矩阵，它的对角线上的元素为各个顶点的度数。
邻接矩阵则是一个关于顶点间连接关系的矩阵，其中1表示相邻顶点之间存在边，0表示不存在边。
除了数学方法，还存在一种基于图的遍历的计数方法，称为Kirchhoff矩阵树定理。
有向生成树定义
有向生成树定义有向生成树是图论中的一种特殊的生成树，它应用广泛，在许多实际问题中都有重要的应用。
本文将从什么是有向生成树、有向生成树的分类、有向生成树的性质和应用领域等方面进行全面介绍和解析。
一、什么是有向生成树有向生成树是指有向图中的一个生成树，它可以表示原图中一些有向边的方向以及相应的联通性。
在有向生成树中，从一个节点出发只能沿着出边到达下一个节点，不能沿着入边走。
二、有向生成树的分类有向生成树可以分为两种类型：1. 根有向树：指有向图中选定一个根节点，它是唯一的父节点，其余节点只有一个父节点和一个或多个子节点，生成有向树。
2. 连通有向树：树中没有根节点，任意一个节点都有父节点和一个或多个子节点，生成有向树。
三、有向生成树的性质1. 一个有向图如果存在有向生成树，那么这个有向图必须满足是强连通的。
2. 有向生成树必须是树结构，它不能包含有向环。
3. 在有向生成树中，每个节点只有一个父节点，但可以有多个子节点。
4. 有向生成树的节点数必须小于原图中的节点数。
五、有向生成树的应用领域有向生成树是图论中的重要概念，在许多实际问题中都有应用，以下是其中几个领域的应用举例：1. 路径规划：在城市交通、物流运输等领域中，有向生成树技术被广泛应用于路径规划、调度和优化等问题。
2. 电网规划：在电力系统中，有向生成树被用于划分电网，确定输出电路、制定保护策略、优化视线阻挡等方面。
3. 数据挖掘：在数据挖掘中，有向生成树可以用于构建数据流图，提高分类、预测和聚类的准确度。
总之，有向生成树是图论中的重要概念，应用广泛，不仅有助于解决实际问题，也有助于深入理解图论中的其他相关概念。
图论中的树与森林的性质
图论中的树与森林的性质树和森林是图论中常见的概念，它们作为图的特殊结构，在许多实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍树和森林的性质和特点。
一、树的性质树是一种无环连通图，它具有以下特点：1.1 无向树的性质在无向树中，任意两个顶点之间都存在唯一的路径。
换句话说，无向树是连通且无回路的图。
1.2 有向树的性质有向树是有向图中的一种特殊结构，它满足以下条件：- 有向树是连通的，任意两个顶点之间存在有向路径。
- 有向树中不存在自环，即不存在从一个顶点出发经过若干个顶点再回到该顶点的路径。
- 对于任意一个顶点，存在唯一的入度为0的顶点，称之为根节点。
二、森林的性质森林是由若干棵互不相交的树组成的图。
它具有以下特点：2.1 无向森林的性质无向森林是由若干互不相交的无向树组成的，每棵无向树称为无向森林的一棵子树。
2.2 有向森林的性质有向森林是由若干互不相交的有向树组成的，每棵有向树称为有向森林的一棵子树。
三、树和森林的性质3.1 无向树的性质和应用在无向树中，任意两个顶点之间存在唯一的路径，可以用来描述家族关系、计算机网络、组织结构等。
无向树有以下性质：- 无向树的边数等于顶点数减1。
- 对于有n个顶点的无向树，如果度数为1的顶点有k个，那么度数为2的顶点有n-k-1个。
3.2 有向树的性质和应用有向树是有向图中的一种特殊结构，它具有以下性质：- 有向树的边数等于顶点数减1。
- 对于有n个顶点的有向树，如果出度为0的顶点有k个，那么出度为1的顶点有n-k-1个。
有向树可以用来描述有向关系，如亲属关系、流程控制等。
3.3 森林的性质和应用森林是由若干互不相交的树组成的图，它具有以下性质：- 森林的边数等于顶点数减去树的数量。
- 对于有n个顶点的森林，树的数量为s，那么边的数量为n-s。
森林可以用来表示多个无关联子问题的集合，常用于分组、拓扑排序等算法中。
总结：树和森林是图论中重要的概念，它们在许多实际问题中具有广泛的应用。
《离散数学》课件-第16章树
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16.3 根树及其应用
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定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
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平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
图论——树
森林
推论： 具有k个分支的森林有nk条边， 其中n是G的顶点数。
无向树的性质
定理2.2
证明
设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
设T有x片树叶，由握手定理及定理2.1可知，
2(n 1) d (vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
例2.1
例2.1 画出6阶所有非同构的无向树。 解答 设Ti是6阶无向树。
唯一性（反证法）。 若路径不是唯一的，设Г1与Г2都是u到v的路径， 易知必存在由Г1和Г2上的边构成的回路， 这与G中无回路矛盾。
(2)(3)
如果G中任意两个顶点之间存在唯一的路径， 则G中无回路且m＝n-1。 首先证明 G中无回路。 若G中存在长度大于2的圈， 则圈上任何两个顶点之间都存在两条不同的路径， 这也与已知矛盾。
说明
注意：T 不一定连通，也不一定不含回路。
生成树的存在条件
定理2.3 无向图G具有生成树当且仅当G连通。 证明 必要性，显然。 充分性（破圈法）。 若圈，任取一圈，随意地删除圈上的一条边，
若再有圈再删除圈上的一条边，直到最后无圈为止。 易知所得图无圈(当然无回路)、连通且为G的生成子图， 所以为G的生成树。
分支点—— 7个
高度—— 5
家族树
常将根树看成家族树，家族中成员之间的关系如下定义。 定义2.7 设T为一棵非平凡的根树， vi、vj∈V(T)，若vi可达vj，则称vi为vj的祖先，vj为vi的后代。 若vi邻接到 vj（即 <vi,vj>∈E(T)）， 则称vi 为 vj的父亲，而 vj为 vi 的儿子。 若vj、vk的父亲相同，则称vj与vk是兄弟。 定义2.8 设v为根树T中任意一顶点，称v及其后代的导出子图为 以v为根的根子树。
集合论与图论第十章 树
间添加一边，恰得一条回路（称T为最大无回路图）； （5） T是连通图，但删去任一边后，便不连通（称T为
最小连通图）。
（6） T的每一对不同的顶点之间有唯一的一条路。
(n1-1)+(n2-1)+ ……+(n -1) =(n1+n2+……+n )= n-
10.1 树及其性质
定理10.2 在任一棵非平凡树T中，至少有两片树
叶。
证明方法：分而治之/反证法。
证明：
若T中只有一片树叶，则 d(vi)≥2(n1)+1=2n-1。
若T中没有树叶，则d(vi)≥2n。 均与d(vi)=2e=2(n-1)矛盾，所以在任
路与生成树的补必有一公共边，所以在r中
必存在一条边fT’; 对于树T(边集至少为
{ e1 ,…..., ei , f })，若用ei+1 代换f，得一棵新 树T1(边集至少为{e1 ,…..., ei , ei+1 }) 。则T1 的权W(T1)=W(T1)+W(ei+1)-W(f) 。
因为T为最小生成树，所以W(T)≤W(T1)， 则W(ei+1)≥W(f)；又根据T’生成法，自
给出图和生成树，求基本割集组和基本 回路组。
10.2 生成树与割集
四、树的基本变换 图10.4 1 定义10.8（树的基本变换）
设连通图G的生成树T，通过上述加一 弦，再删去一枝得到另一棵生成树，这 种变换称为树的基本变换。
2 定义10.9（距离）
而 记不为设d出连(T现通i, 在T图j)T。Gj的的边生数成称树为Ti和Ti和Tj，Tj的出距现离在，Ti
图论第三章(1)
定理4 定理 若G为有向连通图 Bk为G的一个基 为有向连通图, 的一个基 本关联矩阵, 本关联矩阵 则 秩(Bk) = n-1 . 的各行全部加到第k行 证：将关联矩阵B的各行全部加到第 行， 将关联矩阵 的各行全部加到第 则第k 行为零向量。记新得到的矩阵为B’, 则第 行为零向量。记新得到的矩阵为 则 秩(Bk) = 秩(B’) = 秩(B) = n-1 .
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要证k 要证 1 = k2 = … = kn-1 =0。 。 因为树中总存在树叶， 的一个树叶为v 因为树中总存在树叶，设T 的一个树叶为 i ， 中第i 则B中第 行的非零元素仅一个，故由 式知 中第 行的非零元素仅一个，故由(*)式知 ki= 0。 。 T中删去树叶 i 及相关的一边后得一新树 中删去树叶v 中删去树叶 及相关的一边后得一新树T’, 又有树叶v 又有k 而T’又有树叶 j ，又有 j= 0 ；…; 如此继续下 又有树叶 去， 最后可得 k1 = k2 = … = kn-1 =0， ， 因此a 线性无关。 因此 1, a2, …, an-1线性无关。 于是 秩(B) >= n-1，从而知命题成立。 ，从而知命题成立。
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4. 定理 树中一定有叶子结点。 树中一定有叶子结点。
证明:若无叶子结点存在, 证明:若无叶子结点存在, 则每个结点 的度数不小2,则从任一结点出发， 的度数不小 ,则从任一结点出发，可以一 直往前行走。 直往前行走。 因为结点个数是有限的， 因为结点个数是有限的，故总会遇到 一个已到过的结点，这样就得到一个回路， 一个已到过的结点，这样就得到一个回路， 与树的定义矛盾。 与树的定义矛盾。 若图G的一个支撑子图 的一个支撑子图T是一棵 定义 若图 的一个支撑子图 是一棵 则称树T是 的一棵支撑树或生成树。 的一棵支撑树 树，则称树 是G的一棵支撑树或生成树。 • 图G有支撑树的充要条件是 是连通的。 有支撑树的充要条件是G是连通的 有支撑树的充要条件是 是连通的。
图论 第二章 树(tree)
定义2.2.2 如果在图G中去掉一个顶点（自然同 时去掉与该顶点相关联的所有边）后图的分 支数增加，则称该顶点为G的割点。
定理2.2.1 当且仅当G的一条边e不包含在G 的 圈中时，e才是割边。
u x
e
v
Hale Waihona Puke yCG推论2.2.1 当且仅当连通图G的每一条边均为 割边时，G才是一棵树。
对割边有下面的等价命题：
推论2.1.3 设G的边数为q，顶点数为p,如果 G无圈且q=p-1，则G是一棵树。
推论2.1.4 在树中至少存在两个度为1的顶点。
关于树有下列的等价命题：
（1）G是一棵树 （2）G的任意两个顶点由唯一道路联结 （3）G是连通的，且q=p-1 （4）G是无圈的，且q=p-1 （5）G无圈，且若G的任意两个不邻接的顶点 联一条边e，则G+e中恰有一个圈。
A directed graph is Eulerian if it is connected and can be decomposed into arc-disjoint directed cycles.
An undirected graph is traversable if it is connected and at most two vertices in the graph are of odd degree
条包含G的所有边的闭链； ❖ （4）两个欧拉图的环和仍是欧拉图。
理定3.1.2和推论3.1.1反映了图的一 个重要性质，即图的连绘性。一个连 绘的图是指这个图可以用一笔画成而 没有重复的笔划。换句话说就是在这 个图中存在一条能过每条边的链。
3.3 哈密顿图
1856 年 hamilton 周游世界的游戏，十 二面体，有20个顶点，三十条边，十二 个面
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图论中的树与树的性质
图论是研究图及其性质的数学分支。
在图论中，树是一种特殊的无环连通图，它具有许多重要的性质和应用。
本文将介绍图论中树以及树的性质的相关内容。
一、树的定义与基本性质
树是一个连通且无环的无向图。
具体定义如下：
1. 一个只有一个顶点的图是一个树。
2. 一个连通的图，如果删除任意一条边，则图不再连通，那么该图就是一个树。
树具有以下基本性质：
1. 一棵树有且只有一个连通分量。
2. 在一棵树中，任意两个顶点之间存在唯一路径。
3. 一棵树的边数比顶点数少1。
树的性质使得其在各个领域有着广泛的应用。
下面将介绍树的一些重要性质。
二、树的性质
1. 最小生成树
最小生成树是指在一个带权图中，找到一个树，使得该树的边的权值之和最小。
常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。
最小生成树在网络设计、电力传输等领域有着重要的应用。
2. 无向树与有向树的转化
无向树可以通过给每条边赋予方向而转化为有向树，同样，有向树也可以通过移除边的方向而转化为无向树。
3. 树的直径
树的直径是指树中任意两个顶点之间的最长路径。
求树的直径的算法可以通过两次BFS或DFS来实现。
树的直径问题在网络拓扑、动态规划等领域有重要应用。
4. 中心与半径
树的中心定义为树中顶点到其他所有顶点的距离之和最小的顶点。
树的半径定义为树中顶点到离其最远的顶点的距离。
中心和半径是树中的重要概念，它们在设计网络、发现故障等方面有着重要应用。
5. 树的遍历
树的遍历是指按照一定规则来访问树的所有顶点。
常用的树的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
树的遍历在路径搜索、关系分析等方面有广泛应用。
6. 散射树
散射树是一种特殊的树结构，它是由无向图中一棵以散射点为根的
最小生成树与散射关键路径组成。
散射树在光纤传输等领域有着广泛
的应用。
以上是图论中树的一些性质的简要介绍，树作为图论中的重要概念，具有许多重要的性质和应用。
从最小生成树到树的遍历，树的性质在
各个领域都有着广泛的应用。
研究和利用树的性质能够帮助我们解决
实际问题，并推动科学和技术的发展。
总结：
本文介绍了图论中树的定义与基本性质，以及树的一些重要性质和
应用。
树作为图论中的一个重要概念，具有丰富的性质和广泛的应用。
了解和利用树的性质有助于我们解决实际问题，并促进科学技术的发展。
通过对树的研究与应用，我们可以更好地理解和利用图论。
（本文共计838字，未达到1500字，如需增加字数请继续表述相
关内容。
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