常用分布函数及特征函数
常用分布函数
1常用分布函数11常用分布函数1.1均匀分布X∼U(a,b)U(x|a,b)=xa1b−adt(a≤x≤b),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=a+b 2Var(X)=(b−a)2121.2正态分布X∼N(µ,σ2)标准正态分布X∼N(0,1)：Φ(x)=x−∞φ(t)dt=1√2πx−∞e−t22dt其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=0Var(X)=1正态分布X∼N(µ,σ2)：F(x)=x−∞f(t)dt=1√2πσ2x−∞e−(t−µ)22σ2dt其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=µVar(X)=σ21常用分布函数2 1.3指数分布X∼e(µ,λ)E(x|µ,λ)=xµλe−λ(t−µ)dt(x≥µ)其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=µ+1λVar(X)=1λ21.4Gamma分布X∼Γ(a,b)G(x|a,b)=b aΓ(a)xt a−1e−bt dt(a>0,b>0;x≥0)其中，Γ(a)为Gamma函数：Γ(a)= ∞t a−1e−t dt,且期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=a bVar(X)=a b21.5Beta分布X∼β(a,b)I x(a,b)=1B(a,b)xt a−1(1−t)b−1dt其中，B(a,b)为Beta函数：B(a,b)=1t a−1(1−t)b−1dt=B(b,a)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)1.6χ2分布X∼χ2(n)H(x|n)=12n2Γn2(n为正整数;x>0)其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=nVar(X)=2n1常用分布函数3 1.7t分布X∼t(n)T(x|n)=1√nB12,n2X−∞1+t2n−n+12dt(n为正整数;−∞<x<∞),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=0(n>1时),Var(X)=nn−2(n>2时).1.8F分布X∼F(m,n)F(x|m,n)=mnm2Bm2,n2xt m2−11+mtn−m+n2dt (n,n为正整数;x>0),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=nn−2(n>2),Var(X)=2n2(m+n−2)m(n−2)2(n−4)(n>4).。
特征函数与分布函数的关系
特征函数与分布函数的关系
特征函数和分布函数是概率论中常用的两个概念，它们之间具有一定的关系。
特征函数是概率密度函数在复平面上的傅里叶变换，它描述了一个随机变量的所有矩（包括均值、方差等），因此可以用来表示这个随机变量的特征。
而分布函数描述了随机变量在各个取值处的概率密度，是一种更加直观的表达方法。
通过特征函数和分布函数之间的关系，可以得出如下结论：
1. 一个分布函数的特征函数是唯一的。
2. 一个特征函数对应着唯一的分布函数。
3. 两个分布函数具有相同的特征函数，当且仅当它们对应的随机变量具有相同的分布。
4. 两个特征函数具有相同的分布函数，当且仅当它们对应的随机变量具有相同的分布。
因此，特征函数和分布函数可以互相转化，通过特征函数可以得到分布函数，通过分布函数也可以得到特征函数。
这一点在概率论的研究中是非常有用的，可以帮助我们更好地理解随机变量的性质和行为。
- 1 -。
概率论_特征函数
f ( t ) e dF ( x ) e itx dF ( x ) f ( t ).
- itx
9
【系1】 (唯一性定理) 两分布函数恒等的充要条 件是它们各自的特征函数恒等。
即：分布函数由其特征函数唯一确定
23
三、性质与定理的应用 例1 若X~B(n1 , p)、Y~B( n2 , p)，且X与Y相互独立
性质3：设Y aX b, 这里a, b为常数，则fY (t ) ei bt f X (at ).
29
f ( t ) E (e ) e f ( x )dx
itX itx
这就是密度函数f(x)的傅里叶变换
5
常见分布的特征函数
【单点分布】
f ( t ) pk e
k 1
itxk
e
ita
【二项分布】
f (t ) C p q
k 0 k n k
n
nk
e
itk
C ( p e ) q
k 0 k n it k
n
n k
( pe q)
it
n
【泊松分布】
it k ( e ) itk eit (eit 1) f (t ) e e e e e k! k 0 k ! k 0
6
k
【均匀分布】X~U [a, b]
【注1】 e
itx
cos tx i sin tx （欧拉公式）
3
【注2】 f (t ) cos txdF ( x ) i sin txdF ( x )
【注3】
特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：
常见随机变量的分布函数
常见随机变量的分布函数在概率论和统计学中，随机变量是一个可以取得不同值的变量，其值是按照一定的概率分布规律出现的。
随机变量的分布函数描述了随机变量在不同取值上的概率。
下面是一些常见的随机变量及其分布函数：1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的离散随机变量分布之一、它只有两个可能的取值，例如0和1，成功和失败，正面和反面等。
伯努利分布的分布函数可以表示为：F(x)=1-p,x<0F(x) = 1-p+px, 0<= x < 1F(x)=1,x>=12. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布用于描述一系列独立重复实验中成功的次数。
成功和失败的概率分别为p和q=1-p。
二项分布的分布函数可以表示为：F(x)=Σ(从0到x)[C(n,i)*p^i*q^(n-i)],x为非负整数F(x)=Σ(从0到x)[(e^(-λ)*λ^i)/i!],x为非负整数4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是连续型随机变量的常用分布，也被称为高斯分布。
它具有对称的钟形曲线，其分布函数不具有一个简单的数学表达式。
正态分布的参数是均值μ和标准差σ。
5. 均匀分布（Uniform Distribution）：均匀分布是最简单的连续型随机变量分布之一，它在一个给定的区间上的取值概率是均等的。
F(x)=(x-a)/(b-a),a<=x<=b6. 指数分布（Exponential Distribution）：指数分布用于描述连续时间的等待事件，例如到达一些交叉口的时间间隔。
指数分布的分布函数可以表示为：F(x)=1-e^(-λx),x>=07. 对数正态分布（Log-Normal Distribution）：对数正态分布是正态分布的指数函数，它使用对数尺度来处理正态分布不适用的情况，例如财富分布和人口增长。
标准正态分布的特征函数
标准正态分布的特征函数标准正态分布是统计学中非常重要的一种连续概率分布，它在自然科学、社会科学以及工程技术领域都有着广泛的应用。
而要深入理解标准正态分布，就需要了解其特征函数。
本文将对标准正态分布的特征函数进行详细的介绍，帮助读者更好地理解这一概念。
首先，我们来了解一下标准正态分布。
标准正态分布又称为正态分布或高斯分布，是以数学家高斯命名的一种连续概率分布。
其概率密度函数为：\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\]其中，\(e\) 是自然对数的底，\(\pi\) 是圆周率。
标准正态分布的均值为0，标准差为1，其密度函数呈钟形曲线，左右对称，中心峰较高，两侧逐渐减小，且永远不会 beri为负值。
接下来，我们来讨论标准正态分布的特征函数。
特征函数是概率论中一个非常重要的概念，它可以完全描述一个随机变量的分布特性。
对于随机变量\(X\)，其特征函数定义为：\[\phi(t) = E(e^{itX})\]其中，\(i\) 是虚数单位，\(t\) 是任意实数。
特征函数的存在性是由狄利克雷收敛定理保证的，即对于任意\(t\)，特征函数都是存在的。
对于标准正态分布，其特征函数可以表示为：\[\phi(t) = e^{-\frac{t^2}{2}}\]特征函数的性质有很多，下面我们来介绍几条与标准正态分布相关的性质。
首先，特征函数的实部是一个偶函数，虚部是一个奇函数。
其次，特征函数的绝对值总是不超过1的。
最后，特征函数在原点处的值为1。
特征函数在统计学中有着广泛的应用。
通过特征函数，我们可以方便地求得随机变量的各阶矩。
特征函数还可以用于证明中心极限定理，这是概率论中一个非常重要的定理，指出在适当的条件下，大量独立随机变量的均值的分布会趋近于正态分布。
除此之外，特征函数还可以用于刻画随机变量之间的独立性。
对于独立随机变量，其特征函数的乘积等于它们各自特征函数的乘积。
高斯分布特征函数
高斯分布特征函数高斯分布是概率论和统计学中常用的一种连续概率分布，又称为正态分布。
它的特点是呈钟形曲线，对称分布。
高斯分布的特征函数是指该分布的一些重要特征值，可以通过这些特征值来描述高斯分布的形态和性质。
下面将详细介绍高斯分布的特征函数。
1.均值：高斯分布的均值是该分布的中心点，通过均值可以判断分布的位置。
高斯分布的均值通常用μ表示。
2.方差：高斯分布的方差是该分布的离散程度，也可以理解为分布的扁度。
高斯分布的方差通常用σ^2表示。
3.标准差：高斯分布的标准差是方差的平方根，用于度量观测值与均值之间的偏离程度。
高斯分布的标准差通常用σ表示。
4.峰度：高斯分布的峰度是分布曲线的陡峭度，表达了分布的峰值和尖锐程度。
高斯分布的峰度通常用K表示。
5.偏度：高斯分布的偏度是分布曲线的不对称程度，可以用来判断分布的左右偏离程度。
高斯分布的偏度通常用Sk表示。
除了上述基本特征，高斯分布还有一些其他重要的特性6.中心极限定理：中心极限定理是一个重要的概率论定理，指的是在一定条件下，大量独立同分布的随机变量的和近似服从高斯分布。
7.正态性检验：由于高斯分布的应用广泛，因此对于一组数据，可以通过一些统计方法对其进行正态性检验，判断其是否符合高斯分布。
8.高斯分布的优点：高斯分布在统计学中应用广泛，其主要优点包括对称性、唯一的峰值、可用于描述自然界中的许多现象等。
总之，高斯分布的特征函数是对该分布的一些重要特征值的描述，包括均值、方差、标准差、峰度和偏度等。
掌握和应用这些特征函数，对于理解和分析高斯分布的性质具有重要意义，也有助于进行概率推断和统计分析。
1.4.1特征函数定义与常见分布的特征函数
常用分布函数及特征函数
1 q peit ，方差 2 ，特征函数 p p 1 qeit
k nk CM CN M ， k 1, 2, , min M , N , M N n CN k nk
超几何分布
P X k
nM nM ，方差 数学期望 N N
帕斯卡分布
M 1 N
dx ， p 0, q 0
， n n n 1 n ! ， B p, q B q, p ，
1 2
B p, q
p q q 1 B p, q 1 ， B p, q p q p q 1
1 x x e ,x 0 f x ，数学期望 ，方差 2 0, x 0
常用分布函数/3
特征函数 1
k 1 k 2 it k ， k 阶原点距 EX k
2 2
， x ，数学期望 ，方差 2 ，特征函数 eit
2 2
t /2
对数正态分布
ln x 1 2 e 2 , x 0 2 2 2 2 f x x 2 ，数学期望 e / 2 ，方差 e 1 e x0 0,
2
威布尔分布
2 x 1e x , x 0 1/ 2 / 2 / 1 1/ 1 f x ，数学期望 1/ 1 ，方差 x0 0,
伽马（Gamma）分布 , ，形状参数 ，尺度参数
t 分布 n 1 n 1 x 2 2 n 2 1 f x ,n 3 ，数学期望 0， n 1 ，方差 n n n2 n 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常用分布函数及特征函数
常用的分布函数及特征函数主要包括正态分布、伯努利分布、二项分布、泊松分布、指数分布和卡方分布等。
下面将分别对这些分布函数及其特征函数进行介绍。
1. 正态分布（Normal Distribution）
正态分布是以均值μ和方差σ²为参数的连续概率分布。
其概率密度函数为：
f(x)=1/(σ*√(2π))*e^(-(x-μ)²/(2σ²))
正态分布的特征函数为：
φ(t) = e^(itμ - (σ²t²)/2)，其中i为虚数单位。
2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）
伯努利分布是一种离散概率分布，用于描述只有两种结果（成功或失败）的随机试验。
其概率函数为：
P(X=k)=p^k*(1-p)^(1-k)，k=0或1
伯努利分布的特征函数为：
φ(t) = 1-p + pe^(it)
3. 二项分布（Binomial Distribution）
二项分布是描述n重伯努利试验中成功次数的离散概率分布。
其概率函数为：
P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，k=0,1,...,n
二项分布的特征函数为：
φ(t) = (p*e^(it) + 1-p)^n
4. 泊松分布（Poisson Distribution）
泊松分布是用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生次数的离散概率分布。
其概率函数为：
P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!
泊松分布的特征函数为：
φ(t) = e^(λ*(e^(it)-1))
5. 指数分布（Exponential Distribution）
指数分布是描述连续随机事件发生时间间隔的概率分布。
其概率密度函数为：
f(x)=λ*e^(-λx)，x>=0
指数分布的特征函数为：
φ(t) = λ/ (λ-it)
6. 卡方分布（Chi-square Distribution）
卡方分布是描述标准正态分布随机变量平方和的概率分布。
其概率密度函数为：
f(x)=(1/(2^(k/2)*Γ(k/2)))*x^(k/2-1)*e^(-x/2)，x>=0
卡方分布的特征函数为：
φ(t) = (1-2it) ^ (-k/2)，其中Γ为伽马函数。
这些分布函数及其特征函数是统计学和概率论中重要的基础工具。
通过它们，我们可以计算不同分布下的期望、方差以及其他统计量，从而对随机变量进行更深入的研究和分析。
对于实际问题的建模和预测，选择合适的分布函数是至关重要的一步。