标准常态分布StandardNormalDistribution
标准正态分布的公式
标准正态分布的公式The standard normal distribution is a key concept in statistics and probability theory. It is a special case of the normal distribution with a mean of 0 and a standard deviation of 1. The formula for the standard normal distribution is often denoted as φ(x) = (1/√(2π))e^(-x^2/2). This formula is used to calculate the probability of a random variable falling within a certain range of values.标准正态分布是统计学和概率论中的重要概念。
它是正态分布的一种特殊情况，具有均值为0和标准差为1。
标准正态分布的公式通常表示为φ(x) = (1/√(2π)) e^(-x^2/2)。
这个公式用于计算随机变量落入一定数值范围内的概率。
One perspective to consider when discussing the standard normal distribution is its significance in hypothesis testing. In hypothesis testing, researchers compare sample data to a known distribution, such as the standard normal distribution, to determine the likelihood of observing the data if the null hypothesis is true. The standard normal distribution serves as a reference point for determining the statistical significance of research findings.讨论标准正态分布时可以考虑的一个角度是它在假设检验中的重要性。
正态分布的概念及表和查表方法
正态分布概念及图表正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ= 0,σ= 1时的正态分布是标准正态分布。
目录1历史发展2定理3定义▪一维正态分布▪标准正态分布4性质5分布曲线▪图形特征▪参数含义6研究过程7曲线应用▪综述▪频数分布▪综合素质研究▪医学参考值历史发展正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。
这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
数学分布类型
数学分布类型
1. 均匀分布
在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。
均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U(a,b)。
2. 正态分布
正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution）。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
3. t分布
在概率论和统计学中，t-分布（t-distribution）用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。
如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。
t分布曲线形态与n（确切地说与自由度df）大小有关。
与标准正态分布曲线相比，自由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度df=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线。
standardization和normalization
standardization和normalization
在机器学习和数据分析中，Standardization和Normalization 是两个重要的数据预处理技术。
它们的目的都是将不同特征之间的数值范围统一，使得数据更易于处理和比较。
Standardization（标准化）是指将数据转换为均值为0，方差为1的正态分布。
这种方法可以使得数据更加符合统计假设，利于某些算法的运算和优化。
常见的标准化方法有Z-score标准化，即将每个样本的特征值减去该特征的均值，再除以该特征的标准差。
Normalization（归一化）是指将数据缩放到0-1的范围内，保留原始数据的相对大小关系。
这种方法通常适用于需要将特征值映射到某个固定的区间的场景，如图像处理中灰度值的范围限制。
常见的归一化方法有Min-Max归一化，即将每个样本的特征值减去该特征的最小值，再除以该特征的取值范围（最大值减最小值）。
需要注意的是，在使用这两种方法进行数据预处理时，需要先对训练集进行处理，然后将得到的参数（如均值、标准差、最小值、最大值等）用于测试集的处理，保证训练集和测试集使用的是相同的数据转换方式。
标准正态分布x～n
标准正态分布x～n
标准正态分布（Standard Normal Distribution）又被称为Z分布或标准高斯分布，记作X~N(0,1)。
它是正态分布的一种特殊情况，其均值μ=0，方差σ²=1。
标准正态分布的概率密度函数为：
f(x) = (1/√(2π)) * e^((-x²)/2)，其中e为自然对数的底数。
标准正态分布的特点包括：
1. 曲线呈钟形对称，以x=0为对称轴；
2. 平均值为0，即期望值E(X) = 0；
3. 标准差为1，即标准差σ(X) = 1；
4. 区间[-1,1] 中的概率值为0.6827（约等于68%）；
5. 区间[-2,2] 中的概率值为0.9545（约等于95%）；
6. 区间[-3,3] 中的概率值为0.9973（约等于99.7%）。
标准正态分布在统计学和概率论中广泛应用，可以通过标准正态分布表或计算机软件来获取其相应的概率值和统计量。
正态分布的概念和特征
正态分布的概念和特征正态分布（normal distribution），又称高斯分布（Gaussian distribution），是概率统计学中最为重要和常见的一种连续概率分布。
起初，正态分布是由德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）于18世纪末发现并进行了深入研究，因而得名。
1. 均值（mean）：正态分布的均值决定了其分布的位置，是分布曲线的对称轴。
在正态分布中，均值位于分布的最高峰处，对称地分布于左右两侧。
记作μ。
2. 方差（variance）：正态分布的方差决定了分布的形态宽窄，方差越大，分布曲线越扁平。
方差是各观测值与均值差的平方的平均数，可表示为σ²。
3. 标准差（standard deviation）：标准差是方差的平方根，用于衡量分布的离散程度，即观测值偏离均值的程度。
标准差越大，分布曲线越扁平，表示数据的散布越广。
标准差记作σ。
1.正态分布的曲线是对称的，即分布曲线两侧关于均值对称。
2.曲线的最大值位于均值处，即分布的峰值。
3.正态分布过程的结果是连续的变量，其取值范围无限。
4.正态分布的总体分布是平滑的，没有突变的点。
5.正态分布由两个参数确定，即均值和标准差，均值决定了分布的位置，标准差决定了分布的形态。
正态分布在实际中具有广泛的应用，原因如下：1.中心极限定理：正态分布是中心极限定理的基础。
中心极限定理指出，当独立随机变量的个数足够大时，这些随机变量的均值的分布将近似于正态分布。
因此，正态分布被广泛用于描述各种自然现象和现实生活中的变量。
2.数据分布：许多自然现象和人类行为都可以由正态分布进行描述。
例如，人类身高和体重的分布通常近似于正态分布，许多生物和地理量的测量也遵循正态分布。
3.统计推断：正态分布在统计推断中扮演着重要的角色。
通过对样本数据进行正态分布检验，可以判断样本数据是否服从正态分布，从而决定使用何种统计方法进行推断。
总之，正态分布是概率统计学中最为重要和常见的分布之一、其具有对称、平滑、以及由均值和标准差决定的特征，广泛应用于模型拟合、数据分析和统计推断等领域。
正态分布的概念及表和查表方法
正态分布概念及图表正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
目录1历史发展2定理3定义▪一维正态分布▪标准正态分布4性质5分布曲线▪图形特征▪参数含义6研究过程7曲线应用▪综述▪频数分布▪综合素质研究▪医学参考值历史发展正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。
这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
正态分布的概念及表和查表方法
正态分布概念及图表正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
目录1历史发展2定理3定义▪一维正态分布▪标准正态分布4性质5分布曲线▪图形特征▪参数含义6研究过程7曲线应用▪综述▪频数分布▪综合素质研究▪医学参考值历史发展正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。
这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
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Probability Density Function (pdf)
• To calculate probabilities we define a probability density function f(x).
• The probability that a continuous variable X will assume any particular value is zero. Why?
The probability of each value
1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1
1/3
• The density function satisfies the following
conditions
– f(x) is non-negative,
P(x1<=X<=x2)
Area = 1 x1 x2
– The total area under the curve representing f(x) equals 1.
– Between 2,500 and 3,500 gallons – More than 4,000 gallons – Exactly 2,500 gallons
f(x) = 1/(5000-2000) = 1/3000 for x: [2000,5000] P(2500X3000) = (3000-2500)(1/3000) = .1667
When the number of values approaches infinity (because X is continuous) the probability of each value approaches 0.
The probability of each value
1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1
在隨機實驗中，所觀察的隨機變數，如：人的 身高、體重、家庭所得、地區的氣溫、股票的 價格、工人的工資、醫生看病的時間，都是連 續的隨機變數。這些連續隨機變數具有共同的 特性，其機率分配的形態頗為類似，比如人的 身高，大部份的人都很接近，而且集中在平均 身高左右，只有少部份的人較高或較矮。同樣 的，氣溫、體重也類似此一形態。又如醫生看 病的時間，大部份的人看病時間不長，只有少 數病人需要花較長的時間去診斷，而形成右偏 的分配。
Uniform Distribution
• Example 8.1
– The daily sale of gasoline is uniformly distributed between 2,000 and 5,000 gallons. Find the probability that sales are:
– Between 2,500 and 3,500 gallons – More than 4,000 gallons – Exactly 2,500 gallons
f(x) = 1/(5000-2000) = 1/3000 for x: [2000,5000] P(X4000) = (5000-4000)(1/3000) = .333
1/3000
x
2000
4000 5000
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Uniform Distribution
• Example 8.1
– The daily sale of gasoline is uniformly distributed between 2,000 and 5,000 gallons. Find the probability that sales are:
+
1/2
1/3
+ 1/3 = 1
+
1/2 = 1
0
1/3 1/2 2/3
1
3
8.2 Continuous Probability Distributions
As the number of values increases the probability of each value decreases. This is so because the sum of all the probabilities remains 1.
1/3000x源自2000 2500 3000
5000
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Uniform Distribution
• Example 8.1
– The daily sale of gasoline is uniformly distributed between 2,000 and 5,000 gallons. Find the probability that sales are:
f(x) 1 a x b. ba
– The expected value and the variance are
E(X) a b V(X) (b a)2
2
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6
均等分佈
均等分佈是指隨機變數在某一連 續的區間，有同等的機率密度， 如：等車的時間，顧客排隊買票 時間。
7
• The probability that X falls between x1 and x2 is found by calculating the area under the graph of f(x)
between x1 and x2.
5
Uniform Distribution
– A random variable X is said to be uniformly distributed if its density function is
1
•均等分佈(Uniform Distribution) •常態分佈(Normal Distribution) •指數分佈(Exponential Distribution)
2
8.2 Continuous Probability Distributions
• A continuous random variable has an uncountably infinite number of values in the interval (a,b).