直线与曲线位置关系
解析几何中的曲线与曲线的位置关系的综合考察
解析几何中的曲线与曲线的位置关系的综合考察在解析几何中，曲线与曲线的位置关系是一道综合考察题，要求我们深入理解不同曲线类型及其相互关系，从而准确地描述它们之间的相对位置。
本文将对曲线与曲线的位置关系进行详细解析，并结合具体案例进行说明。
一、直线与直线的位置关系在解析几何中，直线与直线之间可以有三种不同的位置关系：平行、相交和重合。
1. 平行：当两条直线的斜率相等且不相交时，它们被称为平行线。
平行线在坐标平面上永不相交，并且沿着相同的方向延伸。
例如，设直线L₁的斜率为k₁，直线L₂的斜率为k₂，若满足k₁ = k₂，则L₁与L₂平行。
2. 相交：当两条直线在坐标平面上有一个交点时，它们被称为相交线。
相交线可能相交于一点，也可能相交于多个点。
判断两条直线是否相交通常使用代数方法，如联立方程求解。
3. 重合：当两条直线在坐标平面上完全重合时，它们被称为重合线。
两条重合线具有完全相同的方程，即它们表示相同的直线。
二、直线与曲线的位置关系直线与曲线之间的位置关系可以分为两种情况：切线和相交。
1. 切线：当直线与曲线在坐标平面上只有一个交点，并且直线经过该交点的切线与曲线相切时，我们称这条直线是曲线的切线。
切线的斜率等于曲线在该点的导数。
2. 相交：当直线与曲线在坐标平面上有两个或多个交点时，我们称这条直线与曲线相交。
交点的数量取决于直线与曲线的位置关系和性质。
三、曲线与曲线的位置关系曲线与曲线的位置关系可以分为几种常见情况：相离、外切、相交、内切和相切。
1. 相离：当两个曲线在坐标平面上没有任何交点时，我们称它们相离。
相离的曲线可能彼此远离，但也可能存在较远的共同渐近线。
2. 外切：当两个曲线在坐标平面上有且仅有一个交点，并且这个交点是两个曲线的切点时，我们称这两个曲线外切。
外切的曲线在切点的导数相等。
3. 相交：当两个曲线在坐标平面上有两个或多个交点时，我们称它们相交。
交点的数量取决于曲线的类型和方程。
直线与曲线的位置关系
直线与曲线的位置关系直线与曲线在数学中是两个基本概念，它们的位置关系对于理解几何学和解决实际问题都具有重要的作用。
本文将探讨直线和曲线的位置关系，并讨论它们之间可能的相交情况。
一、直线与曲线的定义首先，我们来明确直线和曲线的定义。
直线是最简单的几何图形之一，它由无数个点组成，这些点在同一条直线上。
直线没有开始和结束的点，可以延伸到无限远。
直线可以用数学方程或者两点确定。
曲线则是比直线更为复杂的几何图形，它由一系列点组成，这些点的位置不在同一条直线上。
曲线可以是平滑的弧线，也可以是不规则的路径。
曲线通常可以用函数方程、参数方程或者隐式方程来描述。
二、直线与曲线的相交情况直线和曲线之间的相交情况主要有三种：相离、相切和相交。
1. 相离：直线和曲线没有公共的点，它们永远不会相交。
在平面几何中，如果直线和曲线的图像不重叠，它们就是相离的。
2. 相切：直线和曲线有且只有一个公共的点，它们在这一点处相切。
相切点是直线和曲线的切点，此时切线的斜率与直线相同。
3. 相交：直线和曲线有两个或者更多个公共的点，它们相互穿过或重叠。
相交点是直线和曲线的交点，交点的个数可能有限也可能是无穷多。
三、直线与曲线的位置关系示例接下来，我们通过几个具体的示例来讨论直线与曲线的位置关系。
1. 直线与抛物线考虑一条直线和一个抛物线的情况。
假设直线的方程为y = ax + b，抛物线的方程为y = cx^2 + dx + e。
当直线和抛物线的图像相交时，我们可以通过解方程组得到交点的坐标。
2. 直线与圆考虑一条直线和一个圆的情况。
假设直线的方程为y = mx + n，圆的方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。
当直线和圆的图像相交时，我们可以通过代入方程得到交点的坐标。
3. 直线与椭圆考虑一条直线和一个椭圆的情况。
假设直线的方程为y = mx + n，椭圆的方程为(x - a)^2 / h^2 + (y - b)^2 / k^2 = 1。
直线与曲线的关系
直线与曲线的关系直线与曲线是几何学中基本的图形，它们之间存在着密切的关系。
本文将从不同的角度来探讨直线和曲线之间的关系，包括它们的定义、性质以及它们在数学和现实生活中的应用。
一、直线的定义和性质直线是几何学中最基本的图形之一，它由无限多个点组成，这些点在同一条直线上排列。
直线没有弯曲或者拐点，可以延伸到无穷远处。
直线可以通过两个点唯一确定，而且任意两点之间都可以画出一条直线。
直线具有以下性质：1. 直线上任意两点可以通过直线段相连。
2. 直线上的所有点到两个端点的距离相等。
3. 直线没有起点和终点，可以一直延伸下去。
二、曲线的定义和性质曲线是由一系列连续的点组成的，它们不在同一直线上。
曲线可以是弯曲的，也可以是闭合的。
曲线可以是平滑的，也可以是不连续的。
曲线有很多种类，包括圆、椭圆、双曲线、抛物线等。
曲线具有以下性质：1. 曲线上的点之间没有特定的距离关系，因为曲线可以弯曲。
2. 曲线可以有起点和终点，也可以是无限延伸的。
3. 曲线上的点可以通过曲线段相连，但曲线段不能完全在同一直线上。
三、直线与曲线之间的关系直线和曲线是密切相关的，在几何学、物理学等领域中都有广泛的应用。
下面将介绍几种直线与曲线之间的关系：1. 切线：在曲线上的任意一点，都存在着唯一的切线。
切线是与曲线仅有一个公共点的直线，它与曲线相切于该点，并且在该点处与曲线的切线方向相同。
2. 弦：弦是连接曲线上的两个点的线段。
对于圆来说，弦可以是直径；对于其他曲线来说，弦只是曲线上的一段线段。
3. 渐近线：在曲线两边逐渐靠近并且无限接近曲线的直线称为渐近线。
渐近线与曲线之间的距离越来越小，但它们永远不会相交。
四、直线与曲线的应用直线和曲线的关系在数学和现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 几何学：直线和曲线是几何学中最基本的概念，它们被广泛应用于解决几何问题、构建图形等。
2. 物理学：在物理学中，直线和曲线常用于描述物体的运动轨迹、力的作用线等。
平面的方程直线和曲线的位置关系
平面的方程直线和曲线的位置关系在数学中，平面上的方程可以描述直线和曲线的位置关系。
直线和曲线是几何中常见的图形，它们在平面上可以相互交叉、平行或相切。
在本文中，我们将探讨平面的方程如何描述直线和曲线的位置关系。
1. 直线的方程直线是一种最简单的图形，其方程通常是一次方程。
一条直线可以由两个参数确定：斜率和截距。
一般形式的直线方程为y = mx + c，其中m是斜率，c是截距。
斜率表示直线在平面上的倾斜程度。
当斜率为正数时，直线向上倾斜，斜率为负数时，直线向下倾斜。
斜率为零意味着直线是水平的，斜率不存在则表示直线是竖直的。
截距是指直线与y轴的交点的y坐标。
如果直线不与y轴相交，则截距为无穷大。
2. 曲线的方程曲线的方程要复杂一些，可以是高次方程或者参数方程。
常见的曲线方程包括圆、椭圆、抛物线和双曲线等。
以圆为例，它可以由中心和半径确定。
圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
对于其他曲线，其方程形式通常会有所不同，但同样可以用来描述曲线在平面上的位置关系。
3. 直线和曲线的位置关系直线和曲线在平面上的位置关系有三种可能：相交、平行或相切。
如果一条直线与曲线相交，那么它们在某一点有相同的坐标。
在方程中，我们可以将直线方程代入曲线方程来求解交点的坐标。
如果求解得到的结果存在，那么直线和曲线相交。
如果一条直线与曲线平行，那么它们之间不存在交点。
在方程中，我们可以比较直线和曲线的斜率来判断它们是否平行。
如果斜率相等且截距不同，那么直线和曲线平行。
如果一条直线与曲线相切，那么它们在某一点有相同的切线。
在方程中，我们可以比较直线和曲线的斜率来判断它们是否相切。
如果斜率相等且截距相等，那么直线和曲线相切。
在解决实际问题时，我们可以利用平面的方程来分析直线和曲线的位置关系。
通过确定直线和曲线的参数，我们可以得到它们的方程，并进行相关计算。
直线与双曲线位置关系
直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程知识点1：直线与双曲线的位置关系1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线y=kx+b ，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)联立消去y 得Ax 2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B 2－4AC 。
若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点； 若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点； 若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。
2.弦长问题设直线l:y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x 1,y 1)，P2 (x 2,y 2)， 且由，消去y→ax 2+bx+c=0（a≠0），Δ=b 2－4ac 。
弦长公式：12||PP=1212x y -=-（k 为直线斜率） 例题选讲：例1：直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．求实数k 的取值范围；解 (1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后，整理得(k 2-2)x 2+2kx+2=0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝(2k )2－8(k 2－2)>0，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0.解得k 的取值范围是－2<k <－ 2.例2：已知中心在原点，顶点12,A A 在x的双曲线经过点(6,6)P （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。
试证明你的结论。
例3：已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2 (其中O 为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0.Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2) ＝36(1－k 2)>0.∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，②由①②得13<k 2<1. 故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1.例4：已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，且过点(4,． （1）求双曲线方程；（2）若点()3,M m 在双曲线上，求证：120MF MF ⋅=；（3）对于（2）中的点M ，求21MF F ∆的面积．解：（1）由题意，可设双曲线方程为22x y λ-=，又双曲线过点(4,，解得6λ=∴ 双曲线方程为226x y -=；（2）由（1）可知，a b ==c = ∴ ()1F -，()2F∴ ()13,MF m =--，()23,MF m =-， ∴ 2123MF MF m ⋅=-， 又点()3,M m 在双曲线上， ∴ 296m -=， ∴ 23m =， 即120MF MF ⋅=；（3）121211622S F MF F F m ==⋅ ∴21MF F ∆的面积为6．知识点2：抛物线及其标准方程1．抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈R例1：(1)(2011·辽宁高考)已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74(2)(2012·曲阜师大附中质检)在抛物线C ：y ＝2x 2上有一点P ，若它到点A (1,3)的距离与它到抛物线C 的焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)[自主解答] (1)如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54.(2)由题知点A 在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P ，使得该点到点A 与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P 是直线x ＝1与抛物线的交点，故所求P 点的坐标是(1,2)．[答案] (1)C (2)B练习1：(2012·安徽高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.解析：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又∵|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知，y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．又⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－2， ∴|BF |＝12－(－1)＝32.答案：32题型2：抛物线的标准方程及几何性质例2：(1)(2012·山东高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y(2)(2012·四川高考)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5[自主解答] (1)∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝a 2＋b 2a ＝2，∴b ＝3a ，∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝⎛⎫0，p2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .(2)依题意，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)，则有2＋p2＝3，得p ＝2，故抛物线方程是y 2＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，|OM |＝22＋8＝2 3.[答案] (1)D (2)B练习2：若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程[解析] 设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A 的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或题型3：直线与抛物线的位置关系1．设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，直线Ax ＋By ＋C ＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x 得到关于y 的方程my 2＋ny ＋q ＝0.(1)若m ≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．(2)若m ＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行． 2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据) (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)S △AOB ＝p 22sin θ(θ为AB 的倾斜角)．3||,17||==AF AM 'A A 3|'|=AA 22|'|=MA )23,22(p-py x 22=2=p y x 42=y x 82=(4)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (5)以AB 为直径的圆与准线相切． (6)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． (7)∠CFD ＝90°.例3： (2012·福建高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．[自主解答] (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°. 设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y . (2)证明：由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1. 所以Q 为⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1.设M (0，y 1)，令MP ·MQ ＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立． 由于MP ＝(x 0，y 0－y 1)，MQ ＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP ·MQ ＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．练习3：(2012·泉州模拟)如图，点O 为坐标原点，直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F .(1)若点O 到直线l 的距离为12，求直线l 的方程；(2)设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．点B 是以点F 为圆心，|F A |为半径的圆与x 轴的交点，试判断AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明．解：(1)抛物线的焦点F (1,0)，当直线l 的斜率不存在时，即x ＝1不符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. 所以，|－k |1＋k 2＝12，解得k ＝±33.故直线l 的方程为：y ＝±33(x －1)，即x ±3y －1＝0.(2)直线AB 与抛物线相切，证明如下： 设A (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0.因为|BF |＝|AF |＝x 0＋1，所以B (－x 0,0)． 所以直线AB 的方程为：y ＝y 02x 0(x ＋x 0)， 整理得：x ＝2x 0y y 0－x 0①把方程①代入y 2＝4x 得：y 0y 2－8x 0y ＋4x 0y 0＝0，Δ＝64x 20－16x 0y 20＝64x 20－64x 20＝0，所以直线AB 与抛物线相切．基础练习：1．(2012·济南模拟)抛物线的焦点为椭圆x 24＋y 29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )A ．x 2＝－45yB ．y 2＝－45xC ．x 2＝－413yD ．y 2＝－413x解析：选A 由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝ 5.∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .2．(2012·东北三校联考)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为( )A ．2B ．18C ．2或18D ．4或16解析：选C 设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p2＝10，|y 0|＝6，y 2＝2px 0，∴36＝2p ⎝⎛⎭⎫10－p2，即p 2－20p ＋36＝0，解得p ＝2或18. 3．(2013·大同模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：选A 注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有⎪⎪⎪⎪p 2＋3＝4.又p ＞0，因此有p 2＋3＝4，解得p ＝2.4．(2012·郑州模拟)已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3D.π2解析：选B 由焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2θ得6sin 2θ＝12， 所以sin θ＝22，所以θ＝π4或3π4. 5．(2012·唐山模拟)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．2x －y －1＝0解析：选C ∵点A 在抛物线上，∴4＝2p ，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)，则有y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②由①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2) 得k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.又∵y 1＋y 2＋23＝0，∴y 1＋y 2＝－2，∴k BC ＝－2.又∵x 1＋x 2＋13＝1，∴x 1＋x 2＝2，∴BC 中点为(1，－1)，则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0.6．(2013·湖北模拟)已知直线y ＝k (x －m )与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 于D .若动点D 的坐标满足方程x 2＋y 2－4x ＝0，则m ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 设点D (a ，b )，则由OD ⊥AB 于D ，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1k ，b ＝k (a －m )，则b ＝－km 1＋k 2，a＝－bk ；又动点D 的坐标满足方程x 2＋y 2－4x ＝0，即a 2＋b 2－4a ＝0，将a ＝－bk 代入上式，得b 2k 2＋b 2＋4bk ＝0，即bk 2＋b ＋4k ＝0，－k 3m 1＋k 2－km 1＋k2＋4k ＝0，又k ≠0，则(1＋k 2)(4－m )＝0，因此m ＝4.7．(2012·安徽模拟)已知椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的离心率为32，抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点是椭圆的顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆C 1的长半轴长a ＝2，半焦距c ＝4－b 2.由e ＝c a ＝4－b 22＝32得b 2＝1，∴椭圆C 1的上顶点为(0,1)，即抛物线C 2的焦点为(0,1)， 故抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)由已知可得直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x .∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2.当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1x 2＝－4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 2＝4y得x 2－4kx －4k ＝0，∴Δ＝(4k )2－4×(－4k )＞0，解得k ＜－1或k ＞0.① 且x 1x 2＝－4k ＝－4，即k ＝1，满足①式，∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.。
直线与曲线的位置关系与求交点
直线与曲线的位置关系与求交点直线与曲线是几何学中常见的概念，它们在空间中的位置关系以及求交点的方法在许多应用中都有重要意义。
本文将探讨直线与曲线的位置关系，并介绍如何求解二者的交点。
一、直线与曲线的位置关系在平面几何中，直线与曲线的位置关系包括相离、相切和相交三种情况。
接下来将一一介绍。
1. 相离：当一条直线与一条曲线没有任何交点时，它们被称为相离关系。
这意味着它们在平面上没有任何交点，可以完全没有重叠。
2. 相切：当一条直线与一条曲线有且只有一个公共点时，它们被称为相切关系。
该公共点既在直线上也在曲线上，此时可将直线看作是曲线的一条切线。
3. 相交：当一条直线与一条曲线有两个或更多个公共点时，它们被称为相交关系。
相交可以分为两种情况：部分相交和完全相交。
部分相交指的是直线与曲线有公共点，但不能完全重合；而完全相交则是指直线与曲线完全重合，所有点都相同。
二、求解直线与曲线的交点求解直线与曲线的交点是解析几何中的重要问题之一。
下面介绍两种常见的求交点方法。
1. 代入法：该方法适用于已知曲线方程和直线方程的情况。
假设曲线方程为y=f(x)，其中f(x)为已知函数，直线方程为y=kx+b，其中k和b为已知常数。
将直线方程中的y代入曲线方程中，即可得到关于x的方程。
解这个方程可以求得x的值，再将x代入直线方程中即可求得对应的y值。
这样就找到了直线与曲线的交点坐标。
2. 图解法：该方法适用于已知直线与曲线的图形的情况。
在纸上绘制坐标轴，并画出直线和曲线的图形。
通过观察交点的位置，可以大致估计交点的坐标。
准确求解交点的坐标可以通过选取足够多的点，并进行精确计算来实现。
这种方法适用于没有明确方程的情况，但需要一定的几何直观和计算能力。
总结：直线与曲线的位置关系与求交点是几何学中重要的概念。
通过对直线与曲线的位置关系进行分析，可以判断它们是相离、相切还是相交。
求解交点的方法有代入法和图解法，可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。
直线和圆锥曲线的位置关系
直线和圆锥曲线的位置关系知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系.一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解.1．直线0=++C By Ax 椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 一元二次方程，其判别式为∆.(1)⇔>∆0直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；(2)⇔=∆0直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；(3)⇔<∆0直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点．2．直线0=++C By Ax 和双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程.（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：（1）⇒>∆0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0>∆，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0>∆是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，⇔=∆0直线与双曲线相切；（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；（4）过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 外一点),(00y x P 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；3．直线0=++C By Ax 和抛物线)0(22>=p px y 的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 方程.（一）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和抛物线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和抛物线相离，无公共点.注意：（1）⇒>∆0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0>∆，当直线与抛物线的对称轴重合或平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0>∆也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.（2）当直线与抛物线的对称轴不重合或平行时，⇔=∆0直线与抛物线相切；（3）如说直线和抛物线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（4）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.知识点二：圆锥曲线的弦1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦.当直线的斜率k 存在时，直线b kx y +=与圆锥曲线相交于),(),,(2211y x B y x A ，两点，把直线方程代入曲线方程中，消元后所得一元二次方程为02=++c bx ax .则弦长公式：2121x x k AB -+=其中aa c ab x x x x x x ∆=--=-+=-4)(4)(22122121 当k 存在且不为零时, 弦长公式还可以写成：21211y y k AB -+=. 注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题，21y y AB -=.2.焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦公式α221sin 2p p x x AB =++=，其中α为过焦点的直线的倾斜角.3.通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径.椭圆和双曲线的通径为ab AB 22=，抛物线的通径p AB 2=. 知识点三：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. ①在椭圆12222=+b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k -=；②在双曲线12222=-b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k =； ③在抛物线)0(22>=p px y 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0y p k =. 注意：因为0>∆是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0>∆！知识点四：求曲线的方程1. 定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标),(y x 所满足的方程0),(=y x f 表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.2. 坐标法求曲线方程的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.通过坐标法，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一.用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何对象，然后对坐标和方程进行代数讨论；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”. 3．求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等.规律方法指导1．直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2．直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用.3．当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.4．解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便.。
直线与圆锥曲线位置关系经典总结
3 4
B. 4
3பைடு நூலகம்
C. 3
4
4
D. 3
(3)过点(-1,0)的直线l 与抛物线y2=6x有公共点, 则直
线l 的斜率的范围是_[___26__, _2_6_] __.
(4)已知抛物线y2=4x过焦点F的弦AB被焦点分成
m、n两部分,则 1 1 =_1__.
mn
1 AF
1 BF
2; p
(5)过原点与双曲线 x2 y2 1交于两点的直线 43
斜率的取值范围是_(___,___23__) __(__23__,___).
(6)若焦点是(0,5 2)的椭圆截直线3x-y-2=0所得的
弦的中点的横坐标是
1 2
,则椭圆方程是_2x_52___7y_52___1.
解：(一)依题意知椭圆的焦点在y轴上，且c＝5 2
c2 50
b2 a2 c2 a2 50
x22 y22 1? —(2) b2 a2
(1)-(2)得：x12－b2x22
＝
y12－y22 a2
即
a2 b2
＝( y1 ( x1
y2 x2
)( y1 )( x1
y2 ) x2 )
k
y1 y2 x1 x2
(7)过椭圆3x2+4y2=48的左焦点F引直线交椭圆于A,
B两点,若|AB|=7, 则此直线的方程
4
只有一个公共点的直线有__4_条.
(1)过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点,
这样的直线有( B ) 相切、与x轴平行
A.一条 B.两条 C.三条 D.四条
(2)设椭圆 x2 y2 1的长轴端点为M、N,异于M, N
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22
m2
n2
2m n
1 2
m2 n2 mn 4 (m n)2 3mn 4
y M
42 3mn 4 mn 4
F1 0 F2
x
S F1PF2
1 mns in60o 2
1 2
4
3 2
3
曲线和直线的位置关系
练:直线L:x-y-1=0交椭圆x2+2y2=4于A,B两 点,F1,F2为焦点,求四边形AF1BF2的周长与面 积.
练1:和直线2x+y-1=0垂直直线L与椭圆 x2+2y2=1相切,求直线L方程.
练2:直线L:2x-y-1=0交抛物线y2=8x,于A,B两 点,求AB的中点坐标和AB的长.
答案(1): x - 2y 3 0
(2):中点 (3 ,2), AB 2
2
10
曲线和直线的位置关系---弦长与中点弦问题
圆锥曲线
椭圆,双曲线,抛物线统称圆锥曲线
曲线和直线的位置关系
已知直线L和曲线C,联立方程,消去一 个未知数,得一个一元二次方程,计算其判 别式Δ则:
0 ------直线和曲线有两个不同的交点
------直线和曲线相交
0 ------直线和曲线有两个重合的交点
------直线和曲线相切
0 ------直线和曲线没有交点 ------直线和曲线相离
(yxAA113BB--x中由中2yx点2(2点2))21坐:得2xxx标:1((y-x21,2xx-112)2xx02x)22(3yx1代14-2x入y1xx2(代 点2)122)化入 纵简4直坐(42,x得线标1x1-:x方y4=2x程-21)32有2 32中443300
曲线和直线的位置关系---弦长与中点弦问题
0 8b2 8 0 b 1或b 1
直线和双曲线相交
曲线和直线的位置关系
例1:已知直线L:y=x+b和双曲线x2-2y2=2,则 当b为何值时,直线与双曲线相交?相切?相离?
解:联立方程:
x2 2y2 2.....(1)
y
x
b......(2)
由(2)得: x y b 代入(1)得:
y
x
b......(2)
由(2)得: x y b 代入(1)得:
y2 2by 2 - b2 0
b2 4ac 8b2 8 0 8b2 8 0 1 b 1
直线和双曲线相离
曲线和直线的位置关系---弦长与中点弦问题
例2:已知直线L:x-y-3=0交椭圆x2+2y2=16于 A,B两点,求(1 (x1 x2)2 (y1 y2)2 4 15
曲线和直线的位置关系---弦长与中点弦问题
例2:已知直线L:x-y-3=0交椭圆x2+2y2=16于 A,B两点,求(1)AB中点坐标(2)弦AB的长?
解:联立方程:
x2 x -
y
2y 2 -3
16.....(1) 0......(2)
y2 2by 2 - b2 0
b2 4ac 8b2 8
0 8b2 8 0 b 1或b 1
直线和双曲线相切
曲线和直线的位置关系
例1:已知直线L:y=x+b和双曲线x2-2y2=2,则 当b为何值时,直线与双曲线相交?相切?相离?
解:联立方程:
x2 2y2 2.....(1)
解:联立方程:
x2 x -
y
2y 2 -3
16.....(1) 0......(2)
(
由(2)得:
3x2 12x x1 - x2 )2
y x 3 代入(1)化简得: 2 0 x1 x2 4,x1x2 (x1 x2 )2 4x1x2 42 4
2 3
2
3
y1 - y2 x1 - x2 (y1 - y2 )2 (x1 - x2 )2
例3:直线L交双曲线x2-2y2=1于A,B两点且
P(4,-1)为AB的中点,求直线L的方程.
解:设A(x1,y1),B(x2 ,y2 )
代入双曲线方程:
xx2122
2y12 - 2 y22
1......(1) 1......(2)
(1)-(2)得: (x1 x2)(x1 x2) 2(y1 y2)(y1 y2 )
(1,2)为AB中点,求直线L的方程
答案: x y 3 0
曲线和直线的位置关系
例4:已知点P为椭圆 点,且 F1PF2 60o
x2 4
y2 3
1 上一
求(1) SF1PF2 (2)P点坐标
解:设 PF1 m, PF2 n 有: m n 2a 4...(1)
在 F1PF2 中由余弦定理有:
因点P(4,-1)为AB中点,有 x1 x2 2 4 8
y1 y2 2(1) 2
8 ( x1 - x2 )
- 4 ( y1 - y2 )
y1 y2 x1 x2
2
即kAB=-2,由点斜式得直线AB方程为:y-(-1)=-2(x-4)
化简得:2x+y-7=0
曲线和直线的位置关系---弦长与中点弦问题 练:直线L交椭圆2x2+y2=8于A,B两点,且点P
曲线和直线的位置关系
例1:已知直线L:y=x+b和双曲线x2-2y2=2,则 当b为何值时,直线与双曲线相交?相切?相离?
解:联立方程:
x2 2y2 2.....(1)
y
x
b......(2)
由(2)得: x y b 代入(1)得:
y2 2by 2 - b2 0
b2 4ac 8b2 8
答案:
8,4 5 3