2-8 电容与部分电容

2
2
由对称性得
C10 C20 , C12 C21
线电荷与电位的关系为
1 C101 C12 (1 2 ) 2 C21 ( 2 1 ) C20 2
令
1 1, 2 0,
则
1 C101 C12 (1 2 ) 0 C12 ( 2 1 ) C20 2
（自有部分电容）。
所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及 互有部分电容 Cij C ji ，即 C 为对称阵；
介质的 值有关； •
n( n 1) • (n+1) 个导体静电独立系统中，共应有 个部分电容； 2
• 部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线相连。
q0 (q1 q2 qi qN )
写成矩阵形式为
（非独立方程）


q
—— 电位系数，表明导体电荷对导体电位的贡献；
i ,i ——自有电位系数，表明导体 i 上电荷对导体 i 电位的贡献； i , j ——互有电位系数，表明导体 j上的电荷对导体 i 电位的贡献 ；
ii
i 0 1 2 i 1 i 1 N
qi
ij
j
qi
1 2 j 1 j 1 N 0
Ⅲ 已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容
q1 111 122 1ii 1NN
上所带电荷为 q ,则把比值 q U 叫做这两导体的等效电容或工作电容。
例2.8.2 试计算考虑大地影响时，二线传输线的各部分电容及二线输电线 的等效电容。已知
d a, a h 如图示：
图2.8.3
两线输电线及其电容网络
解:
部分电容个数 n( n 1) 2( 2 1) 3 , 如图所示 。
0.
图2.8.2 三导体静电独立系统
Ⅰ.已知导体的电荷，求电位和电位系数
q1 导体1上的电荷 q2 导体2上的电荷 q0 接地导体上的电荷
C
Q Q U U C
以接地导体为电位参考点,导体的电位与各导体上的电荷的关系
1 a0q0 a1q1 a2q2

2 b0q0 b1q1 b2q2
解：设内导体的电荷为
q
,则
D dS q ,
S
r
q D e , 2 r 4πr
同心导体间的电压
E
q 4π 0 r
2
er
图2.8.1 球形电容器
q 1 1 q ba U E dr ( ) a 4π 0 a b 4π 0 ab

b
球形电容器的电容
q 4 π 0 ab C U ba
如果将电荷与电位的关系表示成电荷与电压的关系，有
q1 ( 11 12 1N )(1 0) 12 (1 2 ) 13 (1 3 ) 1N (1 N )
(1 0) 是1号导体与参考导体之间的电压。令
C10 11 12 1N
综上所述，多导体系统电荷与电位间关系，可以通过三套系数， 即
, , C
来表示。C 可通过 ， 计算，也可直接测定，
其主要优点是可以将场的概念和路的概念联系起来，
即
静电场问题
静电电容的网络问题。
图2.8.7
部分电容与电容网络
工程上，常引入 等效电容的概念，它是指在多导体静电独立系统中， 把两导体作为电容器的两个极板，设在这两个电极间加上已知电压 U ,极板
得方程组
q C U
（矩阵形式）
式中： C —— 部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；
Ci1 i1 ,Ci 2 i 2 , , CiN iN （互有部分电容）；
Ci 0 (i1 i 2 i i iN )
部分电容性质: •
常用电容
无极性电容 电子电容器
极性电容
电力电容器
电容的计算方法
Q C U
电容的计算思路：
a.设
b.设 U
Q(Q) 高斯定律 E
解边值 问题
E d lU U (Q)
Q C U
Q Q(U ) C
E E 分界面
条件
S ds
例2.8.1
试求球形电容器的电容。
2.8.1 电容
2.8 电容与部分电容
单位： ( F 法拉 farad)，
Q 定义： C U
电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关。
F是很大的单位！ 一般用：
μF , pF
迈克尔.法拉第（Michael Faraday，公元1791～公元 1867）英国物理学家
电容的历史
i i1q1 i 2 q2 ii qi iN q N
N N 1q1 N 2 q2 N i qi NN q N
N N 1q1 N 2 q2 N i qi NN q N
ii
i
qi
q1 q 2 qi 1 qi 1 q N 0 , qi q0
ij
i
qj
q1 q2 q j 1 q j 1 q N 0 , q j q0
图2.8.4 两线输电线对大地的镜像
将（3）式代入（2）式得
1 2h 1 2hd 1 C ln C ln 10 12 2 π a 2π 0 a 4h 2 d 2 0 2 2 2 2 1 a 4 h d 1 4 h d 0 C ln C20 ln 21 2π 0 2hd 2π 0 d
则
C12 12 ，C13 13 ，…， C1N 1N
q1 C10U 10 C12U12 C13U13 C1N U 1N
q1 C10U10 C1 iU1 i C1NU1N q1i qi1 qi Ci1U i1 Ci 0U i 0 Ci NU i N qN C N 1U N 1 C N iU N i C N 0U N 0
2. ij 0;
3. ij ji ;
4. i j i i
的值可以通过给定各导体的电位 ，测量各导体的电
荷 q 而得。 q1 111 12 2 1ii 1N N
qi i11 i 2 2 iii iN N q N N 11 N 2 2 Nii NN N
qk 0N源自k 0 q0 (q1 q2 )
1 11q1 12 q2
2 21q1 22 q2
以此类推（n+1)个多导体系统只有 n 个电位线性独立方程，即
1 11q1 12 q2 1i qi 1N q N
作业： 2.20，2.28
：静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献； （单位：库/伏）
ii :
i,j
自有感应系数，表示导体 i
电位对导体 i 电荷的贡献；
: 互有感应系数，表示导体 j 电位对导体 i 电荷的贡献。
的性质；
1. ii 0 ;
自有感应系数大于0 互有感应系数小于0 感应系数矩阵是对称阵 自有感应系数大于互有感应系数的绝对值
图2.8.5
两线输电线及其电容网络
联立解之得
C10 C20
2π 0 2h 4h 2 d 2 ln ad
4h 2 d 2 2π 0 ln d C12 C21 2h 2 4h 2 d 2 2 (ln ) (ln ) a d
二线间的等效电容：
Ceq C12
C10C20 2π 0 d C10 C20 ln( 2h ) 2 2 d 4h d
( 2)
r2 ln , d a) 为 利用镜像法，输电线两导体的电位 ( 2π 0 r1 r1 d
τ1 1 τ2 0
r2
1 2h ln 1 2π a 0 2 2 1 ln 4h d 2 2π d 0
(3)
1 τ1
1745 年与 1746 年，德国科学家 Ewald Georg von Kleist, 荷 兰 科 学 家 Pieter van Musschenbroek 分别独立 的 发 明 了 电 容 器 ， 被 命 名 为 Leyden jar, 根 据 University of Leiden 命 名.
的性质；
1. 0 ;
2. ij ii ;
3. i j j i

的值可以通过给定各导体电荷 q ,计算各导体的电位

而得。
1 11q1 12 q2 1i qi 1N q N
i i1q1 i 2 q2 ii qi iN q N
当 b 时
C 4π 0 a
（孤立导体球的电容）
2.8.2 多导体系统、部分电容 1 多导体系统
•
•
线性、多导体(两个以上导体)组成的系统；
静电独立系统——D线从这个系统中的带电体发出，并终止于该
系统中的其余带电体，与外界无任何联系，即系统中，总净电荷为0。
q
2 部分电容概念
k 0
n
k
Ⅱ 已知带电导体的电位，求电荷和感应系数
Q CU
1
q
1

q1 111 12 2 1ii 1N N qi i11 i 2 2 iii iN N q N N 11 N 2 2 Nii NN N