第九章线性方程组
线性方程组求解及应用
线性方程组求解及应用线性方程组是数学中一种重要的问题，它常常在物理、经济学、工程学等领域中被应用。
线性方程组求解是一种常见的数学方法，其重要性不言而喻。
在本文中，我们将详细介绍线性方程组的定义、求解方法以及其在实际中的应用。
一、线性方程组的定义线性方程组是指由若干个线性方程组成的方程组。
线性方程的一般形式为：a1x1 + a2x2 + … + anxn = b，其中a1, a2, …, an为已知系数，b为已知值，x1, x2, …, xn 为未知数。
线性方程组通常以方程组的形式给出，如下所示：a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2…am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm二、线性方程组的求解方法1. 列主元消去法列主元消去法是线性方程组求解的一种常见方法，其基本思想是利用行变换将线性方程组化为阶梯形或行最简形，然后利用回代的方法求解未知数的值。
下面以一个简单的二元一次方程组为例进行演示。
设有线性方程组：2x + y = 53x - 2y = 8首先将其写成增广矩阵的形式：2 1 | 53 -2 | 8然后通过行变换将其化为阶梯形：2 1 | 50 -7 | 2通过回代的方法求解得到未知数的值：y = -2x = 3继续以上述二元一次方程组为例进行演示。
首先将方程组写成矩阵的形式：| 2 1 | | x | | 5 || 3 -2 | * | y | = | 8 |以上就是线性方程组求解的两种常见方法，实际问题中可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。
三、线性方程组在实际中的应用线性方程组在实际中有着广泛的应用，下面主要介绍其在经济学、物理学和工程学中的应用。
1. 经济学在经济学中，线性方程组常常被用来描述市场供需关系、生产成本等问题。
假设某种商品的市场需求量与价格之间存在线性关系，可以通过观察市场上的实际数据得到一个线性方程。
线性代数Ⅳ—线性方程组
c1 , c2 为任意常数
其中
1 1 1 0 ξ = c1 + c2 为对应齐次线性方程组的通解 0 2 1 0 1 2 0 η = 1 为非齐次线性方程组的特解 2 0
16
例 已知 α1 = (1, 4, 0, 2)T α 2 = ( 2, 7,1, 3)T α 3 = ( 0,1, 1, a)T β = ( 3,10, b, 4)T 问:(1) a,b为何值时,β 不能由 α1 , α 2 , α 3 线性表示 (2) a,b为何值时,β 可以由 α1 , α 2 , α 3 线性表示,并写出 表达式 例 设线性方程组
x1 = 0 , x2 = 0 , , xn = 0 即 x = (0 , 0 , , 0)T 必为方程组的一个解向量
称零解.
有时,齐次线性方程组还有非零解.
4
2 求解齐次线性方程组
2.1 齐次线性方程组有非零解的条件
定理一: 定理一:n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解(仅有零解) A 的列向量 α1 , α 2 , , α n 线性相关(无关)
x = η + k1ξ1 + k 2ξ 2 + + k n rξ n r (k1 , k 2 , , k n r为任意常数)
~
即 非齐次线性方程组的通解=非齐次线性方程组的一个特解 +对应齐次线性方程组的通解
14
3.3 求解非齐次线性方程组 求解非齐次线性方程组——消元法 消元法
通过例题理解 例:求解线性方程组
11
3 求解非齐次线性方程组
3.1 非齐次线性方程组的讨论
非齐次线性方程组 Ax = b ( b ≠ 0 ) 解的情况有三种 (1)无解 (2)有唯一解 (3)有无穷多组解
线性方程组的解
线性方程组的解线性方程组是高中数学中的重要知识点，也是解决实际问题的有力工具。
在此，我将为大家介绍线性方程组的概念和解法，并辅以例题和实际应用，帮助大家更好地理解和运用线性方程组。
一、线性方程组的概念和解法1. 线性方程组的定义线性方程组是由一组线性方程所组成的方程体系，其形式可以表示为：\[\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_2 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m\end{cases}\]其中，\(x_1, x_2, \ldots, x_n\)是未知数，\(a_{ij}\)和\(b_i\)是已知系数。
2. 解的定义解是指满足线性方程组中所有方程同时成立的数的组合。
3. 解的分类根据未知数的个数和方程组的性质，可以将线性方程组的解分为无解、有唯一解和有无穷多解三种情况。
- 无解：当线性方程组中的方程之间存在矛盾时，方程组无解。
- 有唯一解：当线性方程组中的方程数目等于未知数个数，并且方程组没有冗余方程时，方程组有唯一解。
- 有无穷多解：当线性方程组的方程个数小于未知数个数或者方程组中的方程可以通过其他方程表示时，方程组有无穷多解。
二、解线性方程组的方法1. 列主元的高斯消元法列主元的高斯消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
步骤如下：（1）将线性方程组写成增广矩阵的形式。
\[\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & | & b_1 \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & | & b_2 \\ \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} & | & b_m \end{bmatrix}\]（2）找到第一个主元（即第一行中不为零的元素），如果没有非零主元，则方程组无解。
第九章 有限元线性方程组的解法
i ≥ j)
（9-9）
讨论： 1 从式（9—9）看出，在按行列由Kij计算lij时，计算完lij后，Kij 就失去存在的作用，同时所用到lip、ljp和lpp排列顺序都在Kij之前，因 此可将分解后得到的元素lij存贮在Kij单元中，即原来存贮[K]的内存 单元，现在可用来存贮[L]矩阵，以减少对内存贮量的要求。 2 由于这里只存贮下三角形带内元素，所以在利用式（9—9） 由Kij计算lij时，求和号内各元素的列号应从第i行和第j列上第一个非 零元素所在列号（i1和j1）中最大的列号开始。 3 从式（9—8）看出，在分解[K]时，每行的第一个非零元素其 值保持不变，因此在分解总刚时，每行可从第二个非零元素的列号 开始，这样lij的最后递推公式为
2．检查哪些自由度已集成完毕，以集成完毕的自由度i作为主 元对其它行列的元素进行消元修正。 图（b）中，自由度4已等成完毕，是不活动变量，现在作为主 元，用
×
表示。主元行元素 × ，不再变化，对其它行列元素进行
消元修正。 自由度 2 扫描单元① 4 5 波前 Байду номын сангаас前三角形 （a） K × × P × × ×
δ i = ∆i −
讨论：
j =i +1
∑l
n
ji x j
lii
（9-13）
(i = n − 1, n − 2,L,1)
∆ 1．因为 δ i 与 ∆ i 相对应，而且一旦求出 δ i 后， i就失去作用，因
此把求得的 δ i 存贮在 ∆ i 的内存单元中，即存贮在结点荷载的内存 单元中。 2. lij必须是带内元素，因此它的列号i必不小于该行的第一个非 零元素的列号j1。
0 l ij = K ij −
线性方程组的解法线性方程组
线性方程组的解法线性方程组线性方程组是数学中常见的一种方程形式，它由多个线性方程联立而成。
解线性方程组是在给定一组方程的条件下，求出符合这些方程的未知数的取值，从而满足方程组的所有方程。
本文将介绍线性方程组的解法和应用。
一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的一种常用方法。
它通过一系列行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中未知数的系数和常数项构成矩阵的左右两部分。
2. 选取一个主元（即系数不为零的元素）作为基准行，并通过行变换使得该元素为1，同时消去其他行中该列的元素。
3. 重复上述步骤，将矩阵转化为行阶梯形式，即每一行的主元都在前一行主元的右下方。
4. 进行回代，从最后一行开始，逐步求解方程组的未知数。
高斯消元法能够解决大部分线性方程组，但对于某些特殊情况，例如存在无穷解或无解的方程组，需要进行额外的判断和处理。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种解线性方程组的方法。
它通过求解方程组的系数矩阵的逆矩阵，再与常数项的矩阵相乘，得到未知数的解向量。
具体步骤如下：1. 如果线性方程组的系数矩阵存在逆矩阵，即矩阵可逆，那么方程组有唯一解。
2. 计算系数矩阵的逆矩阵。
3. 将逆矩阵与常数项的矩阵相乘，得到未知数的解向量。
需要注意的是，矩阵求逆法只适用于方程组的系数矩阵可逆的情况，对于不可逆的方程组，则无解或者存在无穷解。
三、克拉默法则克拉默法则适用于n个未知数、n个方程的线性方程组。
它利用行列式的性质来求解未知数。
具体步骤如下：1. 构建系数矩阵和常数项的矩阵。
2. 计算系数矩阵的行列式，即主对角线上各元素的乘积减去副对角线上各元素的乘积。
3. 分别用求解一个未知数时的系数矩阵替代系数矩阵中对应列的元素，再计算新矩阵的行列式。
4. 将每个未知数的解依次计算出来。
克拉默法则的优点是理论简单，易于理解，但随着未知数和方程数的增加，计算复杂度呈指数增长，计算效率较低。
线性方程组解PPT课件
VS
详细描述
高斯消元法的基本思想是将线性方程组转 化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解 未知数。在消元过程中，通过行变换将方 程组的系数矩阵变为上三角矩阵，然后通 过回代过程求解未知数。该方法具有较高 的计算效率和精度，适用于大规模线性方 程组的求解。
迭代法
总结词
迭代法是一种求解线性方程组的方法，通过不断迭代逼近解的过程。
在物理领域的应用
力学系统
利用线性方程组描述多体系统的 运动状态，分析系统的平衡点和 稳定性，以及如何通过调整系统
参数实现稳定运动。
电路分析
通过线性方程组表示电路中的电流 和电压关系，分析电路的阻抗、导 纳和转移矩阵等参数，为电路设计 和优化提供依据。
波动方程
利用线性方程组描述波动现象，如 声波、光波和水波等，分析波的传 播规律和特性。
线性方程组解ppt课件
目录 CONTENT
• 线性方程组的基本概念 • 线性方程组的解法 • 线性方程组的解的性质 • 线性方程组的应用 • 线性方程组解的软件实现
01
线性方程组的基本概念
线性方程组的定义
线性方程组
由有限个线性方程组成的方程组，其中每个方程包含一个或多个 未知数。
线性方程
形如 ax + by + c = 0 的方程，其中 a, b, c 是常数，x 和 y 是未 知数。
详细描述
迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近解的过程，最终得到线性方程组的近似解。迭代法有多种形式，如雅可比 迭代法、高斯-赛德尔迭代法和松弛迭代法等。这些方法通过迭代更新解的近似值，最终得到满足精度要求的解。 迭代法适用于大规模线性方程组的求解，但计算效率相对较低。
矩阵求解法
总结词
线性方程组知识点总结
线性方程组知识点总结一、引言线性方程组是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将对线性方程组的基本概念、求解方法和应用进行总结和介绍。
二、基本概念1. 线性方程组的定义：线性方程组是由若干个线性方程组成的方程集合，形式一般为a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b。
2. 线性方程组的解：线性方程组的解是使得所有方程都成立的一组变量值，分为唯一解、无解和无穷多解三种情况。
3. 线性方程组的系数矩阵：系数矩阵是由线性方程组中各个方程的系数构成的矩阵，记作A。
4. 线性方程组的增广矩阵：增广矩阵是将线性方程组的系数矩阵和常数项列向量合并成一个矩阵，记作[A | b]。
三、求解方法1. 列主元消元法：利用行初等变换将线性方程组转化为简单形式，其中列主元消元法是一种常用的方法。
具体步骤包括选主元、消元和回代三个过程。
2. 矩阵法：利用矩阵的逆、转置等性质，可以通过求解矩阵方程来求解线性方程组。
3. 克拉默法则：克拉默法则是一种利用行列式的性质来求解线性方程组的方法，通过计算线性方程组的系数行列式和常数行列式的比值，可以得到方程组的解。
四、应用领域1. 工程学：线性方程组广泛应用于工程学中的结构分析、电路分析、力学运动等问题的求解。
2. 经济学：线性方程组在经济学中的需求分析、均衡分析、成本分析等方面有着重要应用。
3. 计算机科学：线性方程组在图像处理、数据分析、模型建立等计算机科学的领域中起着关键作用。
五、总结线性方程组是数学中的基础概念，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文总结了线性方程组的基本概念、求解方法和应用领域，希望能为读者提供一定的参考和启发。
建议读者在学习线性方程组时，注重理论与实践的结合，加强对各种方法的理解和运用能力，进一步提升问题求解的能力和水平。
线性方程组的解法详细教案(公开课)
线性方程组的解法详细教案(公开课)
前言
本文将详细介绍线性方程组的解法，希望通过此公开课，学生们能更好地掌握这一知识点。
一、什么是线性方程组
线性方程组是由若干个线性方程组成的集合，其中每个线性方程的未知数个数相同。
例如：
2x + 3y = 7
4x - 5y = 1
这就是一个由两个线性方程组成的线性方程组，其未知数个数为2。
二、解线性方程组的方法
1.高斯消元法
高斯消元法是一种基本的线性代数算法，方程组的增广矩阵可
以通过行初等变换来进行化简，从而得到其阶梯形矩阵或行最简阶
梯形矩阵，进而求解线性方程组。
2.克拉默法则
克拉默法则是一种基于行列式的方法，它可以求解规模较小的
线性方程组。
但由于其需要计算多个行列式，某些时候计算量较大，而且稳定性较差。
三、解线性方程组的步骤
1.对系数矩阵进行消元，通过行初等变换将其变为阶梯形矩阵
或行最简阶梯形矩阵。
2.根据阶梯形矩阵或行最简阶梯形矩阵，列出新的线性方程组。
例如：
2x + 3y = 7
0x - 1y = -5
3.反推得到未知数的值，从下往上推导出每个未知数的解。
例如：
y = 5
2x + 3(5) = 7
2x = -8
x = -4
四、总结
通过以上的讲解，我们可以简单地总结如何解一个线性方程组：
1.通过高斯消元法或者克拉默法则将系数矩阵转化为阶梯形矩
阵或行最简阶梯形矩阵
2.由阶梯形矩阵或行最简阶梯形矩阵列出新的线性方程组
3.通过反推的方式得出未知数的解
希望这份详细的教案可以帮助大家更好地掌握线性方程组的解法。
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②9 3 0 2 7 2 13 2
②
2 x1 2 x 2 x3 6 9 3 x 2 x3 0 2 13 x3 13 2
③
2 2 1 6 9 0 3 0 2 13 0 13 0 2
其矩阵形式为 Ax b
其中
a 11 a A 21 ... a m1
a12 a 22 ... am2
... a1n x1 b1 ... a 2 n x2 b2 , x , b ... ... ... ... b ... a mn xn m
对本例，我们还可以利用线性方程组的初等行变换继续 化简线性方程组④:
8 2 x 1 2 x 2 3x2 9 x3 2
⑤
2 0 8 2 0 3 0 9 0 0 1 2
⑤
8 2 x 2 x 2 x2 3 x3 2
设r（A），则在A中应有一个n阶非零式Dn。根据克莱姆 法则，Dn所对应的n个方程 只要零解，与假设矛盾，故r（A）< n。 充分性，设r（A）=s n，则A的行阶梯形矩阵只含有s个 非零行，从而知其有n— s个自由未知量（即可取任意实数的 未知量）任取一个自由未知量为1，其余自由未知量为0，即 可得到方程组的一个非零解。 定理2 设 A (aij ) mn 元非齐次线性方程组Ax=b有解的充要 ~ A 条件是系数矩阵A是秩等于增广矩阵 =(A b)的秩，即 ~）。 r（A）=r（ A ~）,则 ~ 证明 必要性。设方程组Ax=b有解，但r(A)<r( A A 的行阶梯形矩阵中最后一个非零行是矛盾方程，这与方程组 ~）。 有解矛盾，因此r（A）=r（ A
~ ⑴r(A)=r( A )=n当且仅当Ax=b有唯一解； ~ ⑵r(A)=r( A )<n当且仅当Ax=b有无穷多解； ~ ⑶r(A) r( A )当且仅当Ax=b无解； ⑷r（A）=n当且仅当Ax=0只有零解； ⑸r（A）<n当且仅当Ax=0有非零解。 ~ A 对非奇次个方程组，将增广矩阵 化为行阶梯形矩阵，
到 x1 1 ，因此，所求方程组的解为 x1 2 ， x2 3 ， x3 2
通常把方程①—④称为消元方程，矩阵 ④ 行阶梯形矩 阵, 与之对应的方程组④则称为行阶梯形方程组。 从上述解题过程可以看出，用消元法求解线性方程组的具体 做法就是对方程组反复实施以下三种： ⑴交换某两个方程的位置； ⑵用一个非零数乘某一个方程的两边； ⑶将一个方程的倍数加到另一个方程上去。
③
2 x1 2 x 2 x 3 6 9 3 x 2 x3 0 2 x3 2
④
2 2 1 6 9 0 3 0 ④ 2 0 0 1 2
从最后一个方程得到 x2 2，利用代入第二个方程可
得到 x2 3 ，可将 x1 2 与 x2 3 一起代入第一个方程得
解 对增广矩阵（A b）施行初等行变换。
5 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 2 1 3 3 0 7 2 4 4 A b 3 8 1 1 1 0 7 2 4 4 1 9 7 7 7 0 14 4 8 8
1 0 0 0 1 2 1 2 0 p2 0 0 3 1 1 1 2 4 3 t 5
x1 2 x3 5 3x4 0 , x2 2 x3 4 3x4 0
即
x 1 2 x3 5 3x 4 （x3,x4为任意实数） x 2 2 x3 4 3x 4
令x3=c1，x4=c2，将其写成向量形式为
x1 2 53 x2 2 4 3 c c x 1 1 2 0 3 0 1 x 4
因为r（A b）=r（A）=2<4,故方程组有无穷多解，利用上 面最后一个矩阵进行回代得到
1 0 0 0
0 3 7 13 7 13 7 1 2 7 4 7 4 7 0 0 0 0 0 0 0 0
该矩阵对应的方程组为
13 3 13 x x 1 7 7 3 7 x2 4 2 4 x 2 x 3 x 4 7 7 7
（c1.，c2为任意实数）
它表达了方程组的全部解
例2 解线性方程组
x1 5 x 2 x3 x 4 1 x 2 x x 3x 3 1 2 3 4 3 x1 8 x 2 x3 x 4 1 x1 9 x 2 3 x3 7 x 4 7
x 1 2 x 2 2 x3 x 4 0 求解奇次线性方程组 2 x1 x2 2 x3 2 x 4 0 x x 4 x 3x 0 2 3 4 1
2 1 2 1 1 2 1 2 r2 2 r1 A 2 1 2 2 0 3 6 4 r3 r1 1 1 4 3 0 3 6 4
2 x 1 2 x 2 x3 6 x1 2 x 2 4 x3 3 5 x 7 x x 28 2 3 1
①
2 2 1 6 1 2 4 3 5 7 1 28
①
2 x 1 2 x 2 x 3 6 9 3 x 2 x3 0 2 7 2 x 2 x3 13 2
便可直接判断其是否有解，若有解，化为行最简形矩阵， ~ ）= 便可直接写出其全部解。其中要注意，当r（A）=r（A ~ s<n时， A 的行阶梯形矩阵中含有s个非零行，把这s行的第一 个非零元所对应的未知量作为非自由量，其余n—s个作为自 由未知量。 对奇次线性方程组，将其系数矩阵化为行最简形矩阵。 便可直接写出其余全部解。
第九章
线性方程组
第9章 线性方程组
ξ9.1消 元 法 引例 用消元法求解线性方程组：
2 x 1 2 x 2 x3 6 x1 2 x 2 4 x3 3 5 x 7 x x 28 2 3 1
解 为观察消元过程，我们将消元过程中每个步骤的 方程组与其对应的矩阵一并列出；
取x3=C1,X4=C2(其中C1,C2为任意常数)，则方程组的全 部解为
x1 x 2 x 3 x4 13 3 13 c1 c 2 7 7 7 4 2 4 c1 c 2 7 7 7 c1 c2
例3 讨论线性方程组
x1 x 2 2 x3 3x 4 1 x 3x 6 x x 3 1 2 3 4 3x1 x 2 px3 15x 4 3 x1 5 x 2 10x3 12x 4 t
a 11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 , .......... .......... .......... ..... a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n bm
例1
解 对系数矩阵A施行初等变换
1 2 2 1 1 0 2 5 3 r3 r2 r1 2 r2 0 1 2 4 3 0 1 2 43 r2 （3） 0 0 0 0 0 0 0 0
即得与原方程组同解的方程组
1 1 1 5 1 1 1 1 5 1 0 7 2 4 4 0 1 2 7 4 7 4 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
⑦
1 x1 x2 3 x3 2
⑧
⑧
从方程组⑧,我们可以一目了然地看出x1 1, x2 3, x3 2 通常把过程 称为回代方程。 从引例我们可得到如下启示：用消元法解三元线性方程 组的过程,相当于对该方程组的系数与右端常数项按对应位置 构成的矩阵作初等行变换。对一般线性方程组是否有同样的 结论？答案是肯定的，以下就是一般线性方程组求解的问题。 设有线性方程组
~ 称矩阵（A b）（有时记为A ）为线性方程组（1.1）
的增广矩阵。 当 时，线性方程组（1.1）称为奇次的，否 则称为非齐次的。显然，奇次线性方程组的矩阵形式为
Ax 0
定理1 设 A (aij ) mn 元奇次线性方程组 Ax 0 有非零解的 充要条件是系数矩阵A的秩 A (aij ) mn 证明 必要性，设方程组 Ax 0 有非零解，
2 x1 2 x2 3 x3 2
⑥
2 0 0
2 0 0
1 0 0
2 1 0
0 1 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1
0 0 1
8 3 2
2 3 2
1 3 2
⑥
⑦
~ A
~ 充分性，设r（A）=r（ A）=s（s n），则的行阶梯形矩 阵中含有s个非零行，把这s行的第一个非零元所对应的未知量 作为非自由量，其余n—s个作为自由未知量，并令这n—s个自 由未知量全为零，即可得到方程组的一个解。 注：定理2的证明实际上给出了求解线性方程组（1.1）的 方法。此外，若记 =（A b），则上述定理的结果可简要总结 如下：
以上这三种变换称为线性方程组的初等变换。而消元法 的目的就是利用方程组的初等变换将原方程组化为梯形方程 组。显然这个阶梯形方程组与原线性方程组同解，解这个阶 梯形方程组得原方程组的解。如果用矩阵表示其系数及常数 项，则将原方程组化为行阶梯形方程组的过程就是将对应矩 阵化为行阶梯形矩阵的过程。 将一个方程组化为星界梯形方程组的步骤并不是唯一的, 所以，同一个方程组的行阶梯形方程组也不是唯一的，特别 地，我们还可以将一个一般的行阶梯形方程组化为行最简形 方程组，从而使我们能直接“读”出该线性方程组的解。