高考数学测试卷三角形“四心”的一种向量表示
三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下：一． 知识点总结 1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4）O 是心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA OB ACAC |AB |AB OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二． 例(一)．将平面向量与三角形心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）BCHA图6（A ）外心（B ）心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为ABAB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB 是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
三角形“四心”的向量表示
uuu uuu r r uuu uuu r r uuu r uuu r | BC | ⋅ | AB | cos(π − B) | BC | ⋅ | AC | cosC uuu r r = + uuu =− | BC | + | BC |= 0 | AB | cos B | AC | cosC uuu r uuur uuu r AB AC r BC ⊥ ( uuu + uuur ) ∴ | AB | cos B | AC | cos C
等边三角形(即正三角形)的 外心、垂心、 注: 等边三角形 即正三角形 的“外心、垂心、 重心、内心、 五心合一！ 重心、内心、中心 ” 五心合一！
三、重心 三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。 三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。 重心 证明重心定理
证明:(同一法)设中线BE,CF交于点G,连结EF,
A
F G E
则EF//BC,且EF:BC=FG:GC=EG:GB=1:2. 同理中线AD,BE交于G′ ,连结DE,则: DE//AB,且EG′:G′B=DG′:G′A=DE:AB=1:2, 故G,G′重合.
新新新新 源 源源源新源源源源 新新源新 源 源源源源源源源源 特特特特特 特 特 新特新 王特王王特王特 特 王 新王新王 王 新新新新 新新源新 源 源源源新源源源源 源 源源源源源源源源 特特特特特 特 特特特王特王特 王 王特新 新 王 新王新王 王
P的轨迹一定通过△ABC的垂心 的轨迹一定通过△ 的轨迹一定通过 的垂心.
a OA + b OB + c OC = 0
A c O B a C b
2. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点， 是平面上一定点， 、 、 是平面上不共线的三个点 是平面上不共线的三个点， 是平面上一定点
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔=++; 若O 是ABC ∆的重心，则A BC A OB A OC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++uu u r uu r uu r uu u r⇔G 为ABC ∆的重心. 2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔||||||==(或222O C O B O A ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOCsin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA ||BC ||BA |AC|AB |=-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e (O )e e (O )e e (O 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是c b a =++。
若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S A O B A O C B O C ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u r u u r u u r r是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠uu u r uu u ruu u r uu u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又=-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅得.即0,0)(=⋅=-⋅即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中=+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31++=. 证明 +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴++=0⇒++=0，即++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由0OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u r，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=uu u r uu u r uuu r，由平行四边形性质知12OE OD =uu u r uuu r ，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
高中数学三角形的“四心”的向量表示
高中数学三角形的“四心”的向量表示
三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分，你知道它们的向量表示吗？你能证明吗？
结论1：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的垂心。
证明：由
，得，即，所以。
同理可证。
故O为△ABC的垂心。
结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的垂心。
证明：由
，得
，所以。
同理可证。
容易得到
由结论1知O为△ABC的垂心。
结论3：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足，则点G为△ABC的重心。
证明：由，得。
设BC边中点为M，
则，所以，即点G在中线AM上。
设AB边中点为N，同理可证G在中线CN上，故点G为△ABC的重心。
结论4：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点G为△ABC的重心。
证明：由，得
，得。
由结论3知点G为△ABC的重心。
结论5：若点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足
，则点P为△ABC的内心。
证明：由于
，可得。
设与同方向的单位向量为，与同方向的单位向量为，则。
因为为单位向量，所以向量在∠A的平分线上。
由，知点P在∠A的平分线上。
同理可证点P在∠B的平分线上。
故点G为△ABC的内心。
结论6：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的外心。
证明：因为，所以
同理得
由题意得
，所以，得。
故点O为△ABC的外心。
高中数学高考数学专题复习三角形四心的向量问题
三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
● 与“重心”有关的向量问题【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的重心．如图⑴.A'A【命题2】已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.【解析】由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.● 与“垂心”有关的向量问题【命题3】P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0P B P A P C ⋅-=，即0P B C A ⋅=，所以PB CA ⊥．同图⑴图⑵理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.【命题4】已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭， 由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭， 即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB BAC C⋅⋅+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.【命题5】若H 为ABC △所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC △的垂心 证明:2222HA HB CA BC -=-()()HA HB BA CA CB BA ∴+∙=+∙得()0HA HB CA CB BA +--∙= 即()0HC HC BA +∙= AB HC ∴⊥图⑶ 图⑷A同理,AC HB BC HA ⊥⊥， 故H 是△ABC 的垂心 与“内心”有关的向量问题【命题6】已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的内心．【解析】∵IB IA AB =+，IC IA AC =+，则由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+ ⎪⎝⎭， ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+ ⎪++⎝⎭．∵AB AB 与AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.【命题7】已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭uu u r uuu r uu u r uu r uu u r uuu r ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心． 【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，∴当(0)λ∈+∞，时，AP 表示BAC ∠的平分图⑸图⑹B。
【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)[1]2
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三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下：一． 知识点总结1）O 是ABC ∆的重心⇔=++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故C tan B tan A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==) 若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故C 2sin B 2sin A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA ||BC ||BA |AC|AB |(=-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成：0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二． 范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
高中数学：三角形“四心”的向量表示
高中数学：三角形“四心”的向量表示
平面向量是历年高考必考的热点与重点，一般为中档偏易的选择题或填空题，命题突出考查向量的基本运算与工具性，并渗透对数学运算和数学建模等核心素养的考查。
在解答题中常和三角函数、直线与圆锥曲线的位置关系等问题相结合，主要以已知条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等。
例题
解题反思
该题中利用了三角形重心的性质——到顶点的距离等于其到对边中点距离的2倍.在求解最值时，根据已知和目标代数式的结构特征直接利用了基本不等式。
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方法总结
三角形“四心”的向量表示
▍ 来源：综合网络。
三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下：一． 知识点总结 1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4）O 是心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA OB ACAC |AB |AB OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二． 例(一)．将平面向量与三角形心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）BCHA图6（A ）外心（B ）心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为ABAB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB 是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
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三角形四心嘚一种向量表示几个记法：在△ABC 中，O 是其内部（不包括边界）一点，连结AO 并延长交BC 于D ，连结BO 并延长交CA 于E ，连结CO 并延长交AB 于F 。
记：AB AF t FB =，BC BD t DC =，CA CE t EA =；AC AE t EC =，CB CD t DB =，AC AE t EC =；且有：1AB BA AC CA BC CB t t t t t t ⋅=⋅=⋅= 记：A AO AD λ=，B BO BE λ=，C CO CF λ= 引理1.线段嘚定比分点嘚向量关系式 （1）111BC BC BCt AD AB ACt t =+++(1.1.1)；111CA CA CAt BE BC BAt t =+++；(1.1.2)111AB AB ABt CF CA CBt t =+++。
(1.1.3)（2）若AB AF AB λ=，BC BD BC λ=，CA CE CA λ=，则有：(1)BC BC AD AB AC λλ=-+ (1.2.1)； (1)CA CA BE BC BA λλ=-+； (1.2.2) (1)AB AB CF CA CB λλ=-+。
(1.2.3)证明：只证明（1.1.1），其它同理。
∵BC BD t DC = ∴1BCBCt BD BC t =+则有FDECABO图11()1111BC BCBCBCBC BC BCAD AB BDtAB BCt t AB AC AB t t AB AC t t =+=++=+-+=+++引理2.11AC ABABAC AB AC t t AO AB AC t t t t =+++++(2.1.1)1AB ACA AB AC t t t t λ+=++(2.1.2)11BC BABCBA BC BA t t BO BC BA t t t t =+++++(2.2.1)1BC BAB BC BA t t t t λ+=++(2.2.2)11CA CBCA CB CA CB t t CO CA CB t t t t =+++++(2.3.1)1CA CBC CA CB t t t t λ+=++(2.3.2)且有2A B C λλλ++=(2.4)证明：∵点B 、O 、E 共线，且B BO BE λ=∴(1)(1)1ACB B B B ACt AO AB AE AB AC t λλλλ=-+=-+⋅+………………①同理，∵点C 、O 、F 共线，且C CO CF λ= ∴(1)(1)(1)11AB AB C C C C C C AB ABt tAO AC AF AC AB AB AC t t λλλλλλ=-+=-+⋅=⋅+-++ ………………②∴1111AB B C AB AC B C AC t t t t λλλλ⎧-=⎪+⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：1111AC B AB AC AB CAB AC t t t t t t λλ+⎧=⎪++⎪⎨+⎪=++⎪⎩………………③③代入①得：11(1)111AC AC AC AB AC AB AC ACt t tAO AB AC t t t t t ++=-+⋅+++++11AC ABABAC AB AC t t AB AC t t t t =+++++又由引理1：111BC BC BCt AD AB ACt t =+++AO AD 与共线得：1(1)111ABAB AC AB BC AAB AC BCt t t t t t t t λ+++==+++ 由塞瓦定理得：1ACBC CA AB ABt t t t t ==⋅代入上式得：1AB AC A AB AC t t t t λ+=++………………④由③④得112111AB AC AC ABA B C AB AC AB AC AB ACt t t t t t t t t t λλλ+++++=++=++++++式(2.2.1)、(2.2.2)、(2.3.1)、(2.3.2)可同理证明。
定理 1. 若O 是三角形ABC 嘚重心，则1133AO AB AC =+，且23AO AD =.当O 为三角形ABC 嘚重心时，有1AB AC t t ==，代入引理2可得。
定理2. 若O 是三角形ABC 嘚内心，则b c AO AB AC a b c a b c=+++++，且b c AO ADa b c+=++.当O 为三角形ABC 嘚内心时，内三角形嘚内角平分线定理，有,AB AC b ct t a a==，代入引理2可得。
定理3. 若O 是三角形ABC 嘚垂心，则：cot (cot cot )AO A C AB B AC =⋅⋅+⋅.(3.1)且cos sin sin A AO ADB C=⋅.证明：当三角形不为直角三角形时O 为三角形ABC 嘚垂心时，有：cos cos ,cos cos AB AC b A c A t t a B a C==，代入引理2有：cos cos cos cos cos cos cos cos 11cos cos cos cos b A c A a B a C AO AB AC b A c A b A c A a B a C a B a C=+++++= cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos b A C c A B AB AC a B C b A C c A B a B C b A C c A B+++++再由正弦定理得：2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R c === 代入上式，分子、分母同除以2RsinAsinBsinC ， 可得：cot cot cot cot AO A C AB A B AC =⋅⋅+⋅⋅。
把cos cos ,cos cos AB ACb Ac A t t a B a C ==，代入引理2整理得：cos sin sin A AO AD B C=⋅ 若三角形为直角三角形，当A 为直角时，△ABC 嘚垂心即为点A ，所以0AO =，而cotA=0，故（3.1）成立 当B 为直角时，△ABC 嘚垂心即为点B ，AO AB =，cotB=0，（3.1）成立； 当C 为直角时，△ABC 嘚垂心即为点C ，AO AC =，cotC=0，（3.1）成立。
引理3.0AB AC OA t OB t OC ++= 证明：由引理2：11AC ABABAC AB AC t t OA AB AC t t t t =--++++11BC BABCBA BC BA t t OB BC BA t t t t =--++++=()11BC BABCBA BC BA t t AC AB AB t t t t --+++++=()11BA BC BCBC BA BC BA t t t AB AC t t t t +-++++由前边嘚记法及由塞瓦定理得：1BAABt t =，1ACBC CA AB ABt t t t t ==代入上式得：111AC ACAB AC AB AC t t OB AB AC t t t t +=-++++同理：111AB AB ABAC AB AC t t OC AB AC t t t t +=-+++++由平面向量嘚基本定理，可设OA xOB yOC =+于是有：11111111AC AB ABABAC AB AC AB AC AC AC AB ABAC AB AC AB AC t t t x y t t t t t t t t t x y t t t t t t +⎧-=⋅-⋅⎪++++++⎪⎨+⎪-=-⋅+⋅++++++⎪⎩即：(1)(1)AB AC AB AC AC AB t x t y t t x t y t -=⋅+-⋅⎧⎨-=-⋅+⋅+⎩解得：ABAC x t y t =-⎧⎨=-⎩∴0AB AC OA t OB t OC ++=定理4. O 是三角形ABC 嘚重心嘚充要条件是：0OA OB OC ++=。
证明：必要性：若O 是△ABC 嘚重心，则1AB AC t t ==，由引理3得0OA OB OC ++= 充分性：由0OA OB OC ++=得：2OA OB OF OC +==-（其中F 是AB 嘚中点） ∴点O 、C 、F 共线，即点O 在中线CF 上； 同理，点O 在中线AD 、BE 上， ∴O 为△ABC 嘚重心。
定理5. O 是三角形ABC 嘚内心嘚充要条件是：0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=(其中a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 嘚对边)。
证明：必要性：∵O 是三角形ABC 嘚内心，由内角平分线定理 ∴,AB AC b ct t a a==，由引理3得：0b c OA OB OC a a++=即：0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= 充分性：由0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=变形得：()()0a OA b OA AB c OA AC ⋅+⋅++⋅+= ∴()()||||AB AC a b c AO b AB c AC bc AB AC ++⋅=⋅+⋅=+∴由向量加法嘚平行四边形法则，点O 在角A 嘚平分线上； 同理，点O 在角B 和角C 嘚平分线上， ∴点O 是△ABC 嘚内心。
定理6. O 是三角形ABC 嘚垂心嘚充要条件是：tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=。
（6.1） 注：当三角形不为直角三角形时成立。
若三角形为直角三角形，可把结论改为：sin cos cos cos sin cos cos cos sin A B COA A B COB A B COC ++=0。
(6.2)事实上，此时，垂心为直角三角形嘚直角顶点。
证明：必要性：当三角形不为直角三角形时 ∵O 是三角形ABC 嘚垂心∴cos cos ,cos cos AB AC b A c A t t a B a C==，由引理3可得cos cos 0cos cos b A c A OA OB OC a B a C++=即：cos cos cos cos cos cos 0a B COA b A COB c A BOC ++= 再由正弦定理得：2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R c === 代入上式，然后两边同除以2RcosAcosBcosC 得：tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= 当三角形为直角三角形时，经验证，(6.2)成立。
充分性：若三角形不为直角三角形由tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=变形得：(tan tan tan )tan tan A B C AO B AB C AC ++⋅=⋅+⋅ 即：tan tan tan tan tan tan tan tan B C AO AB AC A B C A B C=⋅+⋅++++由引理1得：111BC BCBCt AD AB AC t t =+++=cos 1cos cos cos 11cos cos c Bb C AB ACc B c B b C b C+++ =cos cos cos cos cos cos b C c B AB AC b C c B b C c B+++由正弦定理得：2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R c === 上式化为sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos B C C B AB AC B C C B B C C B+++=sin cos sin cos sin sin B C C B AB ACA A+而tan sin tan tan tan sin cos (tan tan tan )cos cos sin BA ABC B C A B C B C A ++=++tan sin tan tan tan sin cos (tan tan tan )cos cos sin CA ABC C B A B C B C A++=++∴AO AD 与共线，即点O 在BC 边嘚高线上； 同理，点O 也在CA 、AB 边嘚高线上， ∴O 为O 是三角形ABC 嘚垂心。