中考必会几何模型：手拉手模型
经典手拉手模型12个结论，你知道几个？
经典手拉手模型12个结论，你知道几个？展开全文初中经典几何模型--手拉手模型说明手拉手模型是学习初中几何模型中的第3个（第1个模型是三线八角模型、第2个是内外角平分线模型），手拉手算是最常见的模型了，在很多全等或者相似的题目当中都会用到，大家对这个模型并不陌生，但大家对构造手拉手模型的应用却不是很熟练（如费马点问题），今天我们就手拉手的结论进行总结，以及以中考压轴题为例讲解手拉手模型的应用。
1手拉手-全等手拉手的12个结论，我以等边三角形为母题进行解析（因为等边最特殊）第1、2个结论：△AOD≌△COB、AD=CB第3个结论：∠AGC=60°（定值）第4、5个结论：OM=ON、△OMN是等边三角形第6个结论：MN//AB第7个结论：PO是∠APB的角平分线第8个结论：存在多组三角形相似注：三角形相似在这里由非常多，就不一一例举了，在这个模型中考相似居多的是母子型、8字形、A字形，且省略了证明的思路。
第9个结论：存在3组4点共圆注：四点共圆的方法证明方式是利用对角互补第10个结论：存在3组的线段和数量关系注：在四边形OMGN中，满足的线段关系是：GO=GM+GN;在四边形OGDB中，满足的线段关系是：GB=GO+GD。
第11结论：OG平方=DG·CG第12个结论：注：两个等边三角形在运动时，有些结论是能够保持不变的~~~ 2手拉手-相似经典模型注：（图1-15-3的类型可以等腰直角三角形）一定得记住以上3种手拉手-相似模型，只有对这3种类型熟练掌握，对于一些压轴题才能更好的突破，下面我会通过2道小例题进行介绍和说明：例1-2018宁德二模例2-孙超老师出题3手拉手-练习例1-2016年广东解：例2-2017年淮安坚持是一种品质，优秀是一种习惯；不忘初心，成就学生梦想；为孩子们节约更多的时间成本；通过《课前导学》,帮助学生养成预习的习惯；通过《精彩课堂》,帮助学生高效复习和总结；初中的学习生活很短，也很有意义；希望能够陪着你慢慢成长，畅游知识海洋。
中考必会几何模型：手拉手模型(含答案)
1 手拉手模型
模型 手拉手
如图，△ABC 是等腰三角形、△ADE 是等腰三角形，AB ＝AC ，AD
＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝α．
结论：连接BD 、CE ，则有△BAD ≌△CAE ．
模型分析
如图①，
∠BAD ＝∠BAC －∠DAC ，∠CAE ＝∠DAE －∠DAC ．
∵∠BAC ＝∠DAE ＝α，
∴∠BAD ＝∠CAE ．
在△BAD 和△CAE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
﹐﹐
﹐ 图②、图③同理可证．
（1）这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．
（2）如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型．
（3）手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现．
模型实例
例1 如图，△ADC 与△EDG 都为等腰直角三角形，连接AG 、CE ，相交于点H ，问：
（1）AG 与CE 是否相等？
（2）AG 与CE 之间的夹角为多少度？
解答：
C D E A B 图① C D E A B 图② C
D E A B 图③ C D E G H A O。
中考必会几何模型：手拉手模型
D
由（4）得，△AGB≌△DFB． ∴BG＝BF． 又∵∠5＝60°， ∴△BGF 是等边三角形． ∴∠3＝60°． ∴∠3＝∠4． ∴GF∥AC．
பைடு நூலகம்
1 A
2
E H
F
G
3 5
4
B
C
图①
（7）如图②所示，过点 B 作 BM⊥DC 于 M，过点 B 作 BN⊥AE 于点 N．
∵△ABE≌△DBC，
∴S△ABE＝S△DBC．
角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型．
（3）手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现．
模型实例
例 1 如图，△ADC 与△EDG 都为等腰直角三角形，连接 AG、CE，相交于点 H，问：
（1）AG 与 CE 是否相等？
C
（2）AG 与 CE 之间的夹角为多少度？
Wang
模型 手拉手 A E
D
手拉手模型
AE D
E
A
D
B
C
B
C
B
C
图①
图②
图③
如图，△ABC 是等腰三角形、△ADE 是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE
＝ ．
结论：连接 BD、CE，则有△BAD≌△CAE．
模型分析
如图①，
∠BAD＝∠BAC－∠DAC，∠CAE＝∠DAE－∠DAC．
∴∠DAG＝∠DCE．
∵∠COH＝∠AOD，
∴∠CHA＝∠ADC＝90°．
∴AG 与 CE 之间的夹角是 90°．
例 2 如图，在直线 AB 的同一侧作△ABD 和△BCE，△ABD 和△BCE 都是等边三角形，
模型11 手拉手模型(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型介绍共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。
寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。
两等边三角形两等腰直角三角形两任意等腰三角形*常见结论：连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论：（1）BCD ACE≅△△（2）AE BD=（3）AFB DFE∠=∠（4）FC BFE∠平分【专题说明】两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。
【知识总结】【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等图1图2图3图4二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；图1图2图3图4手拉手模型的定义：两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。
手拉手模型特点：“两等腰，共顶点”模型探究：例题精讲考点一：等边三角形中的手拉手模型【例1】．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．有下列结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③∠AOB＝60°；④DC＝DP；⑤△CPQ为正三角形．其中正确的结论有_____________.解：∵△ABC和△DCE是正三角形，∴AC＝BC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∴①正确；∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠CAD，∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°＝∠ACB，在△ACP和△BCQ中∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP＝BQ，∴②正确；PC＝QC，∴△CPQ为正三角形∴⑤正确∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∠DCE＝60°＝∠CAD+∠ADC，∴∠CAD+∠BEC＝60°，∴∠AOB＝∠CAD+∠BEC＝60°，∴③正确；∵△DCE是正三角形，∴DE＝DC，∵∠AOB＝60°，∠DCP＝60°，∠DPC＞∠AOB，∴∠DPC＞∠DCP，∴DP＜DC，即DP＜DE，∴④错误；所以正确的有①②③⑤变式训练【变式1-1】．如图，ABD∆，AEC∆都是等边三角形，则BOC∠的度数是()A．135︒B．125︒C．120︒D．110︒解：ABD，AEC∆∆都是等边三角形，∴=，AE ACAD AB∠=∠=︒，60∠==︒，ADB DBADAB CAE=，60∴∠=∠，DAB BAC CAE BAC∴∠+∠=∠+∠，DAC BAE∴∆≅∆，ADC ABE()DAC BAE SAS∴∠=∠，∴∠=∠+∠+∠BOC BDO DBA ABE=∠+∠BDO DBA ADC=∠+∠+∠ADB DBA∴∠的度数是120︒=︒，BOC=︒+︒1206060故选：C．【变式1-2】．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有（）A．②④B．①②③C．①②④D．①②③④解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，BC＝CE，∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△DCB，①正确由①得∠AEC＝∠CBD，∴△BCN≌△ECM，∴CM＝CN，②正确假使AC＝DN，即CD＝CN，△CDN为等边三角形，∠CDB＝60°，又∵∠ACD＝∠CDB+∠DBC＝60°，∴假设不成立，③错误；∵∠DBC+∠CDB＝60°∠DAE+∠EAC＝60°，而∠EAC＝∠CDB，∴∠DAE＝∠DBC，④正确，∴正确答案①②④故选：C．【变式1-3】．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，DE与AC交于点F，若AB＝5，BD＝3，则＝．解：连接CE，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥CE于点N，∵△ABC和△ADE为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE＝3，∠ABD＝∠ACE＝60°，∵AB＝BC＝5，∴DC＝2，∵∠ACB＝∠ACE＝60°，FM⊥BC，FN⊥CE，∴FM＝FN，＝DC•FM，S△FCE＝CE•FN，∵S△DFC∴，∴，故答案为：．考点二：等腰直角三角形中的手拉手模型【例2】．如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，90ACB ECD ∠=∠=︒，D 为AB 边上一点，若5AD =，12BD =，则DE 的长为__________解：ACB ∆ 和ECD ∆都是等腰直角三角形，CD CE ∴=，AC BC =，90ECD ACB ∠=∠=︒，ACE BCD ∴∠=∠，在ACE ∆和BCD ∆中，CE CD ACE BCD AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE BCD SAS ∴∆≅∆，12BD AE ∴==，45CAE CBD ∠=∠=︒，90EAD ∴∠=︒，222212513DE AE AD ∴=+=+=．变式训练【变式2-1】．如图，3AB =，2AC =，连结BC ，分别以AC 、BC 为直角边作等腰Rt ACD ∆和等腰Rt BCE ∆，连结AE 、BD ，当AE 最长时，BC 的长为()A ．22B ．3C ．11D ．17解：90ACD BCE ∠=∠=︒ ，ACD ACB BCE ACB ∴∠+∠=∠+∠，即ACE DCB ∠=∠，在ACE ∆和DCB ∆中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE DCB SAS ∴∆≅∆，AE BD ∴=，AC CD == ，90ACD ∠=︒，2AD ∴==，3AB = ，∴当点A 在BD 上时，BD 最大，最大值为325+=，如图，过C 作CE AD ⊥于E ，由等腰三角形“三线合一”得1DE AE ==，314BE AB AE ∴=+=+=，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得1DE =，BC ∴=．故选：D ．【变式2-2】．如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，点D 为BC 中点，点E 在AB 边上，连接DE ，过点D 作DE 的垂线，交AC 于点F ．下列结论：①AED CFD ∆≅∆；②EF AD =；③BE CF AC +=；④212AEDF S AD =四边形，其中正确的结论是（填序号）．解：AB AC = ，90BAC ∠=︒，点D 为BC 中点，12BD CD AD BC ∴===，45BAD CAD C ∠=∠=∠=︒，AD BC ⊥，BC =，DF DE ⊥ ，90EDF ADC ∴∠=∠=︒，ADE CDF ∴∠=∠，AD CD = ，BAD C ∠=∠，()AED CFD ASA ∴∆≅∆，故①正确；当E 、F 分别为AB 、AC 中点时，12EF BC AD ==，故②不一定正确；ADE CDF ∆≅∆ ，AE CF ∴=，BE AE AB += ，BE CF AC ∴+=，故③正确；ADE CDF ∆≅∆ ，ADE CDF S S ∆∆∴=，212ADF CDF ADC AEDF S S S S AD ∆∆∆∴=+==⨯四边形，故④正确；故答案为：①③④．【变式2-3】．如图，△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形，E 在△ABC 内，∠CAE +∠CBE ＝90°，连接BF ．（1）求证：△CAE ∽△CBF ．（2）若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．（1）证明：∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，∴＝＝，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF；（2）解：∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，＝＝，又∵＝＝，AE＝2∴＝，∴BF＝，又∵∠CAE+∠CBE＝90°，∴∠CBF+∠CBE＝90°，∴∠EBF＝90°，∴EF2＝BE2+BF2＝12+（）2＝3，∴EF＝，∵CE2＝2EF2＝6，∴CE＝．考点三：任意等腰三角形中的手拉手模型【例3】．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD ＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论是_____．解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；∵∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，则∠OGA＝∠OHB＝90°，∵△AOC≌△BOD，∴OG＝OH，∴MO平分∠AMD，故④正确；法二：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∴A、B、M、O四点共圆，∴∠AMO＝∠ABO＝72°，同理可得：D、C、M、O四点共圆，∴∠DMO＝∠DCO＝72°＝∠AMO，∴MO平分∠AMD，故④正确；假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，在△AMO与△DMO中，，∴△AMO≌△DMO（ASA），∴AO＝OD，∵OC ＝OD ，∴OA ＝OC ，而OA ＜OC ，故③错误；变式训练【变式3-1】．如图，等腰ABC ∆中，120ACB ∠=︒，4AC =，点D 为直线AB 上一动点，以线段CD 为腰在右侧作等腰CDE ∆，且120DCE ∠=︒，连接AE ，则AE 的最小值为()A ．23B ．4C ．6D ．8解：连接BE 并延长交AC 延长线于F ，120ACB ∠=︒ ，AC BC =，30CAB CBA ∴∠=∠=︒，120DCE ACB ∠=︒=∠ ，ACD BCE ∴∠=∠，AC BC = ，CD CE =，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，30CBE CAD ∴∠=∠=︒，CB 为定直线，30CBE ∠=︒为定值，∴当D 在直线AB 上运动时，E 也在定直线上运动，当AE BE ⊥时，AE 最小，30CAB ABC CBE ∠=︒=∠=∠ ，90AFB ∴∠=︒，∴当E 与F 重合时，AE 最小，在Rt CBF ∆中，90CFB ∠=︒，30CBF ∠=︒，122CF CB ∴==，6AF AC CF ∴=+=，AE ∴的最小值为6AF =，故选：C ．【变式3-2】．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，∠BAC ＝120°，以CA 为边在∠ACB 的另一侧作∠ACM ＝∠ACB ，点D 为边BC （不含端点）上的任意一点，在射线CM 上截取CE ＝BD ，连接AD ，DE ，AE ．设AC 与DE 交于点F ，则线段CF 的最大值为．解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°．∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝30°．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝120°．即∠DAE＝120°．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝30°；∵∠ADE＝∠ACB＝30°且∠DAF＝∠CAD，∴△ADF∽△ACD．∴＝．∴AD2＝AF•AC．∴AD2＝5AF．∴AF＝．∴当AD最短时，AF最短、CF最长．∵当AD⊥BC时，AF最短、CF最长，此时AD＝AB＝．∴AF最短＝＝．∴CF最长＝AC﹣AF最短＝5﹣＝．故答案为：．【变式3-3】.【问题背景】（1）如图1，等腰ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AQ BC ⊥于点Q ，则BC AB =；【知识应用】（2）如图2，ABC ∆和ADE ∆都是等腰三角形，120BAC DAE ∠=∠=︒，D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．求证：ADB AEC ∆≅∆．（3）请写出线段AD ，BD ，CD之间的等量关系，并说明理由．（1）解：AB AC = ，120BAC ∠=︒，AQ BC ⊥，30B C ∴∠=∠=︒，BQ QC =，12AQ AB ∴=，由勾股定理得：2BQ AB ===，BC ∴=，∴BC AB ==（2）证明：BAC DAE ∠=∠ ，BAC BAE DAE BAE ∴∠-∠=∠-∠，即DAB EAC ∠=∠，在ADB ∆和AEC ∆中，AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB AEC SAS ∴∆≅∆；（3）解：CD BD =+，理由如下：由（1）可知：DE =，ADB AEC ∆≅∆ ，EC BD ∴=，CD DE EC BD ∴=+=+．实战演练1.风筝为中国人发明，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知AB AD =，B D ∠=∠，BAE DAC ∠=∠，那么AC 与AE 相等．小飞直接证明ABC ADE ∆≅∆，他的证明依据是()A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS证明：BAE DAC ∠=∠ ，BAE EAC DAC EAC ∴∠+∠=∠+∠，BAC DAE ∴∠=∠，AB AD = ，B D ∠=∠，()ABC ADE ASA ∴∆≅∆，AC AE ∴=，故选：C ．2．如图，ABD ∆，AEC ∆都是等边三角形，则BOC ∠的度数是()A ．135︒B ．125︒C ．120︒D ．110︒解：ABD ∆ ，AEC ∆都是等边三角形，AD AB ∴=，AE AC =，60DAB CAE ∠=∠=︒，60ADB DBA ∠==︒，DAB BAC CAE BAC ∴∠+∠=∠+∠，DAC BAE ∴∠=∠，()DAC BAE SAS ∴∆≅∆，ADC ABE ∴∠=∠，BOC BDO DBA ABE∴∠=∠+∠+∠BDO DBA ADC =∠+∠+∠ADB DBA=∠+∠6060=︒+︒120=︒，BOC ∴∠的度数是120︒，故选：C ．3．如图，点A 是x 轴上一个定点，点B 从原点O 出发沿y 轴的正方向移动，以线段OB 为边在y 轴右侧作等边三角形，以线段AB 为边在AB 上方作等边三角形，连接CD ，随点B 的移动，下列说法错误的是()A ．BOA BDC∆≅∆B ．150ODC ∠=︒C ．直线CD 与x 轴所夹的锐角恒为60︒D ．随点B 的移动，线段CD 的值逐渐增大解：A ．OBD ∆ 和ABC ∆都是等边三角形，60ABC OBD ODB BOD ∴∠=∠=∠=∠=︒，BO BD =，BC AB =，ABC DBA OBD DBA ∴∠-∠=∠-∠，CBD ABO ∴∠=∠，()BOA BDC SAS ∴∆≅∆，故A 不符合题意；B ．BOA BDC ∆≅∆ ，90BDC BOA ∴∠=∠=︒，6090150ODC BDO BDC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故B 不符合题意；C ．延长CD 交x 轴于点E ，150ODC ∠=︒ ，18030ODE ODC ∴∠=︒-∠=︒，90BOA ∠=︒ ，60BOD ∠=︒，30DOA BOA BOD ∴∠=∠-∠=︒，60DEA DOA ODE ∴∠=∠+∠=︒，∴直线CD 与x 轴所夹的锐角恒为60︒，故C 不符合题意；D ．BOA BDC ∆≅∆ ，CD OA ∴=，点A 是x 轴上一个定点，OA ∴的值是一个定值，∴随点B 的移动，线段CD 的值不变，故D 符合题意；故选：D ．4．如图，3AB =，2AC =BC ，分别以AC 、BC 为直角边作等腰Rt ACD ∆和等腰Rt BCE ∆，连结AE 、BD ，当AE 最长时，BC 的长为()A ．22B ．3C ．11D ．17解：90ACD BCE ∠=∠=︒ ，ACD ACB BCE ACB ∴∠+∠=∠+∠，即ACE DCB ∠=∠，在ACE ∆和DCB ∆中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE DCB SAS ∴∆≅∆，AE BD ∴=，2AC CD == ，90ACD ∠=︒，222AD AC CD ∴=+=，3AB = ，∴当点A 在BD 上时，BD 最大，最大值为325+=，如图，过C 作CE AD ⊥于E ，由等腰三角形“三线合一”得1DE AE ==，314BE AB AE ∴=+=+=，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得1DE =，2217BC CE BE ∴=+=．故选：D ．5．如图，线段OA 绕点O 旋转，线段OB 的位置保持不变，在AB 的上方作等边PAB ∆，若1OA =，3OB =，则在线段OA 旋转过程中，线段OP 的最大值是()A 10B ．4C ．5D ．5解：如图，以AO 为边，在AO 的左侧作等边AOH ∆，连接BH ，AOH ∆ ，ABP ∆是等边三角形，1AO AH OH ∴===，AB AP =，60OAH BAP ∠=∠=︒，OAP HAB ∴∠=∠，在OAP ∆和HAB ∆中，AO AH OAP HAB AP AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OAP HAB SAS ∴∆≅∆，OP BH ∴=，在OPH ∆中，BH OH OB <+，∴当点H 在BO 的延长线上时，BH 的最大值4OH OB =+=，OP ∴的最大值为4，故选：B ．6．如图，O 是等边△ABC 内一点，OA ＝3，OB ＝4，OC ＝5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO ′，则∠AOB ＝150°．解：连接OO ′，如图，∵线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO ′，∴BO ′＝BO ＝4，∠O ′BO ＝60°，∴△BOO ′为等边三角形，∴∠BOO ′＝60°，∵△ABC 为等边三角形，∴BA ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴∠O ′BO ﹣∠ABO ＝∠ABC ﹣∠ABO ，即∠O ′BA ＝∠OBC ，在△O ′BA 和△OBC中，∴△O ′BA ≌△OBC （SAS ），∴O ′A ＝OC ＝5，在△AOO ′中，∵OA ′＝5，OO ′＝4，OA ＝3，∴OA 2+OO ′2＝O ′A 2，∴∠AOO ′＝90°，∴∠AOB ＝60°+90°＝150°，故答案为：150°．7．如图，△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，AB＝AC＝2，AD＝AE＝3，∠BAC＝∠DAE＝90°，则CD＝﹣．解：∵AB＝AC＝2，AD＝AE＝3，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴BC＝AB＝2，DE＝AE＝3，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝45°＝∠ACB，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴EC＝BD，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠ECB＝∠ECD＝90°，∴DE2＝EC2+CD2，∴18＝（2+CD）2+CD2，解得：CD＝﹣，CD＝﹣﹣（不合题意舍去），故答案为：﹣．8．如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，连接CD、BE，点F、G分别为DE、BE 的中点，连接FG．在△ADE旋转的过程中，当D、E、C三点共线时，若AB＝3，AD＝2，则线段FG的长为．解：连接BD，∠BAD＝90°﹣∠BAE，∠CAE＝90°﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE．又AD＝AE，AB＝AC，∴△ADB≌△AEC（SAS）．∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝135°，∴∠BDC＝135°﹣45°＝90°．∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，AB＝3，AD＝2，∴DE＝2，BC＝3．设BD＝x，则DC＝2+x，在Rt△BDC中，利用勾股定理BD2+DC2＝BC2，所以x2+（2+x）2＝18，解得x1＝﹣﹣（舍去），x2＝﹣+．∵点F、G分别为DE、BE的中点，∴FG＝BD＝．故答案为．9．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．解：猜测AE＝BD，AE⊥BD；理由如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，又∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC＝CD，CE＝CB，在△ACE与△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB；∵∠AFC＝∠DFH，∠FAC+∠AFC＝90°，∴∠DHF＝∠ACD＝90°，∴AE⊥BD．故线段AE和BD的数量相等，位置是垂直关系．10．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．11．已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在射线BF上，连接CE．（1）如图1，BD与CE是否相等？请说明理由；（2）如图1，求∠BCE的度数；（3）如图2，当D在BC延长线上时，连接BE，△ABE、△CDE与△ADE的面积有怎样的关系？并说明理由．解：（1）BD＝CE，理由如下：∵△ABC和△ADE是都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∴∠BCE＝120°；+S△CDE＝S△ADE，理由如下：（3）S△ABE∵△ABC和△ADE是都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），＝S△ACE，∠ABC＝∠ACE＝60°，∴S△ABD∴∠ECD＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝60°，∴∠ABC＝∠ECD，∴AB∥CE，＝S△ABC，∴S△ABE+S△CDE＝S△ADE+S△ACD，∵S△ACE+S△CDE＝S△ADE+S△ACD，∴S△ABD+S△ACD+S△CDE＝S△ADE+S△ACD，∴S△ABC+S△CDE＝S△ADE．∴S△ABE12．如图，在△ABC中，分别以AB、AC为腰向外侧作等腰Rt△ADB与等腰Rt△AEC，∠DAB＝∠EAC＝90°，连接DC、EB相交于点O．（1）求证：BE⊥DC；（2）若BE＝BC．①如图1，G、F分别是DB、EC中点，求的值．②如图2，连接OA，若OA＝2，求△DOE的面积．（1）证明：∵∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠EAB＝∠CAD，在△BAE和△DAC中，，∴△BAE≌△DAC（SAS），∴∠ABE＝∠ADC，∵∠BAD＝90°，∴∠DOB＝90°，即BE⊥DC；（2）解：①取DE的中点H，连接GH、FH，∵点G是BD的中点，∴GH∥BE，GH＝BE，同理，FH∥CD，FH＝CD，∵BE＝CD．BE⊥DC，∴GH＝FH，GH⊥FH，∴△HGF为等腰直角三角形，∴GF＝GH，∵GH＝BE，∴GF＝BE，∵BE＝BC，∴＝；②作AM⊥BE于M，AN⊥CD于N，在△BAE和△BAC中，，∴△BAE≌△BAC（SSS），∴∠BAE＝∠BAC＝135°，∴∠DAE＝135°﹣90°＝45°，即∠OAD+∠OAE＝45°，∵△BAE≌△DAC，∴AM＝AN，又AM⊥BE，AN⊥CD，∴OA平分∠BOC，∴∠BOA＝∠COA＝45°，∴∠DOA＝∠EOA＝135°，∴∠ODA+∠OAD＝45°，∴∠OAE＝∠ODA，∴△ODA∽△OAE，∴＝，即OD•OE＝OA2＝4，∴△DOE的面积＝×OD•OE＝2．13．如图（1），在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD 为一边在AD的右侧作等腰直角△ADF，∠ADE＝∠AED＝45°，∠DAE＝90°，AD＝AE，解答下列问题：（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图（2），线段CE、BD之间的数量关系为CE＝BD；位置关系为CE⊥BD；（不用证明）②当点D在线段BC的延长线上时，如图（3），①中的结论是否仍然成立，请写出结论并说明理由．（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外）？请写出条件，并借助图（4）简述CE⊥BD成立的理由．解：（1）①CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE＝BD．理由：如图（2），∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．又BA＝CA，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°且CE＝BD．∵∠ACB＝∠B＝45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即CE⊥BD．故答案为：CE＝BD；CE⊥BD．②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．如图（3），∵∠DAE＝90°，∠BAC＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，又AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴CE＝BD，且∠ACE＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD；（2）如图（4）所示，当∠BCA＝45°时，CE⊥BD．理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC＝AG，∠AGC＝45°，即△ACG是等腰直角三角形，∵∠GAD+∠DAC＝90°＝∠CAE+∠DAC，∴∠GAD＝∠CAE，又∵DA＝EA，∴△GAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠AGD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD．14．（注意：本题中的说理过程中的每一步必须注明理由，否则不得分）如图1，在△ABC 中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°；①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为CF⊥BD，线段CF、BD的数量关系为CF＝BD；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由；（2）如图4，如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．解：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．故答案为：CF⊥BD，CF＝BD；②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．理由如下：由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD；（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD．理由如下：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，∵∠DAG＝∠FAC（同角的余角相等），AD＝AF，∴△GAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．15．背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．（1）证明：∵四边形AEFG为正方形，∴AE＝AG，∠EAG＝90°，又∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠EAB＝∠GAD，∴△AEB≌△AGD（SAS），∴BE＝DG；（2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG，理由如下：∵∠EAG＝∠BAD，∴∠EAB＝∠GAD，又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，∴AE＝AG，AB＝AD，∴△AEB≌△AGD（SAS），∴BE＝DG；（3）解：方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M，过点G作GN⊥AB交AB于点N，由题意知，AE＝4，AB＝8，∵＝，∴AG＝6，AD＝12，∵∠EMA＝∠ANG，∠MAE＝∠GAN，∴△AME∽△ANG，设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b，∴ED2＝（2a）2+（12+2b）2＝4a2+144+48b+4b2，GB2＝（3a）2+（8﹣3b）2＝9a2+64﹣48b+9b2，∴ED2+GB2＝13（a2+b2）+208＝13×4+208＝260．方法二：如图2，设BE与DG交于Q，BE与AG交于点P，∵，AE＝4，AB＝8∴AG＝6，AD＝12．∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形，∴∠EAG＝∠BAD，∴∠EAB＝∠GAD，∵，∴△EAB∽△GAD，∴∠BEA＝∠AGD，∴A，E，G，Q四点共圆，∴∠GQP＝∠PAE＝90°，∴GD⊥EB，连接EG，BD，∴ED2+GB2＝EQ2+QD2+GQ2+QB2＝EG2+BD2，∴EG2+BD2＝42+62+82+122＝260．。
初中几何模型之手拉手模型
∠1=25°,∠2=30°,则∠3=_______.
A
1
E
3
D
2
C
B
模型练习5
模型练习6
如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AD,BE分别为BC,AC边上的高,AD,BE相交
于点F,连结CF,则有下列结论:①BF=AC;②∠FCD=45°.③若BF=2EC,则
①②③
△FDC的周长等于AB的长.其中正确的有_______.
C
模型练习8
2
2
已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形(
∠AOB=∠MON=90°.
(1)如图1,连结AM,BN,求证:△AOM≌△BON.
A
A
N
N
O
O
B
M
M
图1
图1
B
< = ),
(2)若将△MON绕点O顺时针旋转.
①如图2,当点N恰好在AB边上时,求证: 2 + 2 = 2 2 .
A
E
F
B
D
模型练习6
C
模型练习7
如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=36°.
连结AC,BD交于点M,连结OM.有下列结论:①∠AMB=36°.②AC=BD.③OM
①②④
平分∠AOD.④MO平分∠AMD.其中正确的结论有________.
O
A
B
D
M
模型练习7
∴∠1+∠3=∠2+∠3(等角共点推等角)
∴∠ABE=∠CBD
=
在△ABE和△CBD中, ቐ∴∠ABE=∠CBD
=
中考数学常考模型之手拉手模型
变式：（河南省2019年中考数学试卷第22题）
在△ABC中，CA＝CB,∠ACB = α, 点P是平面内不与点A，C重
合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到
线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当α=60°时，BD 的值是 1
CP
交所成的较小角的度数是 60°．
，直线BD与直线CP相
模型分析
模型二 相似型“手拉手”模型
模型展示
△AOB∽△COD，且绕公共顶点O旋转， 模型特点
简记为：共顶点，非等腰，顶角相等，旋转得相似
结论
①△AOC∽△BOD；
② AC ＝ OA ＝ OC
BD OB OD
③两条“拉手线”AC，BD所在直线的夹角与∠AOB相等或互补
直击中考
例题（河南省2018年中考数学第22题）
（2）类比探究 如图2，当α=90°时，请写出 BD 的值及直线BD与直线CP相交所
CP 成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
课堂小结 模型一 全等型“手拉手”模型
模型二 相似型“手拉手”模型
共顶点，双等腰，顶角相等，旋转得全等
共顶点，非等腰，顶角相等，旋转得相似
作业布置：
1. 如图，△ADC与△EDG都为等腰直角三角形，连接AG、CE，相交于点H， 交CD于点O. (1)求证：AG＝CE； (2)求∠CHA的度数．
2.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，连接BD、CE，∠EAC＝ ∠DAB.(1)求证：△ABC∽△ADE；
问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，
∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：
初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型一、手拉手模型-———旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】:①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED（2）等腰直角三角形【条件】:△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】:①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形OAB C DE图 1OABCD E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OCDEOD E【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB; ③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型——-—旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB, 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD; ②延长AC 交BD 于点E,必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ；OAB COABCDEOB CDEOCD③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC; ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】:①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直,如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC,如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE —OD=2OC;③2△OCD △OCE OC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=AOBCDE 图 1A OBCDEM N图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
中考必会几何模型：手拉手模型
手拉手模型模型讲解【结论】如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，则(1)△ABD≌△ACE；(2)BD和CE的夹角∠BFE=∠BAC=∠DAE.【证明】（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.∴∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中，{AB=AC,∠BAD=∠CAE, AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS).（2）△ABD≌△ACE，可看成△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE 的位置，BA和CA的夹角为∠BAC，AD和AE的夹角为∠DAE，BD和CE的夹角为∠BFE，根据旋转的性质容易得到对应边的夹角等于旋转角，故∠BFE=∠BAC=∠DAE.手拉手模型的变形【结论1】如图所示，等边△ABC和等边△CDE.则△BCD≌△ACE，AE=BD，∠BFA=60°.【结论2】如图所示，等腰Rt△ABC 和等腰Rt△CDE.则△BCD≌△ACE，∠BFA=90°.典例秒杀典例1如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数是( ).A.30°B.45°C.60°D.75°典例2如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M.则BD与CE的数量关系为（）.A.BD= 12CE B.BD=23CE C.BD=CE D.BD=32CE典例3如图，△ABC中，AB=AC. ∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE.连接BD、CE交于点F，则BD与(E 的数量关系为( ).A.BD= 12CE B.BD= 23CE C.BD=CED.BD=32CE小试牛刀1.如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE.若∠CAE=25°.则∠EBC的度数是（）.8A.35°B. 30°C.25°D.20°2.如图所示，B，D，E在同一条直线上，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=( ).A.60°B.55°C.50°D.无法计算3.如图，在△ABC中，∠ABC=45°.AD，BE分别为BC，AC边上的高，AD，BE相交于点F.连接CF，则有下列结论：①BF=AC；②∠FCD=45°；③若BF=2EC，则△FDC的周长等于AB的长，其中正确的有( ).A.0个B.1个C.2个D.3个直击中考1.(2020湖北鄂州中考真题)如图，在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,OA<CC, ∠AOB=∠COD=36°.连接AC,BD交于点M.连接OM.有下列结论: ∠AMB=36DU3：②AC=BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD.其中正确的结论个数为( ).A.4B.3C.2D.12.(2020辽宁锦州中考真题）已知△AOB和△MON都是等腰直角三OA<OM=ON),∠AOB=∠MON=90°.角形（√22(1)如图1.连接AM，BN.求证：△AOM≌△BON.(2）若将△MON绕点O顺时针旋转.①如图2，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2 =2ON2；②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB=4.ON=3.请直接写出线段BN的长.典例1【答案】C【解析】∵△ACB和△DCE均为等边三角形，且△ACB与△DCE 共点，形成了手拉手模型。
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∴∠BAD＝∠CAE．
在△BAD 和△CAE 中，
AB AC﹐ BAD CAE﹐ AD AE﹐
图②、图③同理可证．
（1）这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，
始终存在一对全等三角形．
（2）如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三
HE
F G
（5）△EGB≌△CFB；
A
B
C
（6）连接 GF，GF∥AC；
（7）连接 HB，HB 平分∠AHC．
证明：（1）∠ABE＝120°，∠CBD＝120°，
在△ABE 和△DBC 中，
BA BD﹐ ABE DBC﹐ BE BC﹐
∴△ABE≌△DBC．
（2）∵△ABE≌△DBC，
∴AE＝DC．
∴∠BAE＝45°－30°＝15°．
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°．
∴∠ACF＝∠BCF＋∠BCA＝15°＋45°＝60°．
2．如图，△ABD 与△BCE 都为等边三角形，连接 AE 与 CD，延长 AE 交 CD 于点 H．
求证：（1）AE＝DC； （2）∠AHD＝60°； （3）连接 HB，HB 平分∠AHC．
Wang
模型 手拉手 A E
D
手拉手模型
AE D
E
A
D
B
C
B
C
B
C
如图，△图A①BC 是等腰三角形、△AD图E②是等腰三角形，AB＝AC图，③AD＝AE，∠BAC＝∠
DAE＝ ．
结论：连接 BD、CE，则有△BAD≌△CAE．
模型分析
如图①，
∠BAD＝∠BAC－∠DAC，∠CAE＝∠DAE－∠DAC． ∵∠BAC＝∠DAE＝ ，
（3）△ABE≌△DBC，
∴∠1＝∠2．
∴∠DGH＝∠AGB．
∴∠DHA＝∠4＝60°．
2
Wang
（4）∵∠5＝180°－∠4－∠CBE＝60°，
∴∠4＝∠5．
∵△ABE≌△DBC，
∴∠1＝∠2．
又∵AB＝DB，
∴△AGB≌△DFB（ASA）．
（5）同（4）可证△EGB≌△CFB（ASA）．
（6）如图①所示，连接 GF．
（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF 度数．
答案： （1）证明：∠ABC＝90°．
在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中，
E
FC
A
3
Wang
CF AE﹐
AB
CB﹐
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．
∴BE＝BF．
（2）∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°．
∴∠CAE＝30°．
O HG
解答：
A
D
1
E
Wang
（1）AG＝CE．理由如下：
∵∠ADG＝∠ADC＋∠CDG，∠CDE＝∠GDE＋∠CDG，∠ADC＝∠EDG＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE．
在△ADG 和△CDE 中，
AD CD﹐ ADG CDE﹐ DG DE﹐
∴△ADE≌△CDE．
∴AG＝CE．
（2）∵△ADG≌△CDE，
（1）如图②，求明：BD＝CE，BD⊥CE；
5
Wang
（2）如图③，在旋转的过程中，当 AD⊥BD 时，求 CP 长．
B B
B
D
C
E
A
图①
D
C
A
P E
图②
D
C
A
P
E
图③
答案： （1）∵等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． ∵∠DAB＝90°－∠CAD，∠CAE＝90°－∠CAD， ∴∠DAB＝∠CAE． ∴△ABD≌△ACE． ∴BD＝CE． ∴∠DBA＝∠ECA． ∴∠CPB＝∠CAB．（8 字模型） ∴BD⊥CE． （2）由（1）得 BP⊥CE． 又∵AD⊥BD，∠DAE＝90°，AD＝AE， ∴四边形 ADPE 为正方形． ∴AD＝PE＝2． ∴∠ADB＝90°，AD＝2，AB＝4， ∴BD＝CE＝ 2 3 ．
角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型．
（3）手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现．
模型实例
例 1 如图，△ADC 与△EDG 都为等腰直角三角形，连接 AG、CE，相交于点 H，问：
（1）AG 与 CE 是否相等？
C
（2）AG 与 CE 之间的夹角为多少度？
∴BP＝AM．
在△BCP 和△ACM 中，
BC AC﹐ CBE CAD﹐ BP AM ﹐
∴△BCP≌△ACM．
∴PC＝MC，∠BCP＝∠ACM．
∴∠PCM＝∠ACB＝60°．
∴△CPM 是等边三角形．
4． 将等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE 按图①方式放置，∠A＝90°，AD 边与 AB 边重合， AB＝2AD＝4．将△ADE 绕 A 点逆时针方向旋转一个角度 （0°＜ ＜180°），BD 的延 长线交 CE 于 P．
BE 和 AD 的中点． 求证：△CPM 是等边三角形．
B C
D P
答案：
A
E
证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE．
∴∠ACB＝∠ECD＝60°．
∴∠BCE＝∠ACD．
∴△BCE≌△ACD．
∴∠CBE＝∠CAD，BE＝AD．
又∵点 P 与点 M 分别是线段 BE 和 AD 的中点，
∴CP＝CE－PE＝ 2 3 2 ．
6
∴∠DAG＝∠DCE．
∵∠COH＝∠AOD，
∴∠CHA＝∠ADC＝90°．
∴AG 与 CE 之间的夹角是 90°．
例 2 如图，在直线 AB 的同一侧作△ABD 和△BCE，△ABD 和△BCE 都是等边三角形，
连接 AE、CD，二者交点为 H． D
求证：（1）△ABE≌△DBC；
（2）AE＝DQ； （3）∠DHA＝60°； （4）△AGB≌△DFB；
∴ 1 ×AE×BN＝ 1 ×CD×BM．
2
2
∵AE＝CD，
HE M
N
∴BM＝BN．
∵点 B 在∠AHC 的平分线上．
A
∴HB 平分∠AHC．
B
C
图②
跟踪练习：
1． 在△ABC 中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE
＝CF．
B
（1）求证：BE＝BF；
D
由（4）得，△AGB≌△DFB． ∴BG＝BF． 又∵∠5＝60°， ∴△BGF 是等边三角形． ∴∠3＝60°． ∴∠3＝∠4． ∴GF∥AC．
1 A
2
HE
F G 35
4
B
C
图①
（7）如图②所示，过点 B 作 BM⊥DC 于 M，过点 B 作 BN⊥AE 于点 N．
∵△ABE≌△DBC， D
∴S△ABE＝S△DBC．
D H C
E
答案：
A
B
（1）∵∠ABE＝∠ABD－∠EBD，∠DBC＝∠EBC－∠EBD，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC．
在△ABE 和△DBC 中，
AB DB﹐ ABE DBC﹐ BE BC﹐
∴△ABE≌△DBC．
∴AE＝DC．
（2）∵△ABE≌△DBC ，
∴∠EAB＝∠CDB．
又∵∠OAB＋∠OBA＝∠ODH＋∠OHD，
∴∠AHD＝∠ABD＝60°．
（3）过 B 作 AH、DC 的垂线，垂足分别为点 M、N．
∵△ABE≌△DBC，
4
Wang
∴S△ABE＝S△DBC．
即 1 AE·BM＝ 1 CD·BN．
2
2
又∵AE＝CD，
∴BM＝BN．
∴HB 平分∠AHC．
3．在线段 AE 同侧作等边△ABC 和等边△CDE（∠ACE＜120°），点 P 与点 M 分别是线段