【猿辅导几何模型】中考必会几何模型：相似模型

中考必考几何模型（猿辅导）

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讲

义

相似模型

模型1：A、8模型

已知∠1＝∠2

结论：△ADE∽△ABC

模型分析

如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A型或8型相似．在做题使，我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形．

模型实例

【例1】如图，在ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O，求证：

1

2 OF OE OD

OA OC OB

===．

解答：证法一：如图①，连接DE．∵D、E是中点，∴

1

2

DE

BC

=．，DE//BC

∴△EOD∽△COB（8模型）∴

1

2

OE DE

OC BC

==．同理：

1

2

OF

OA

=，

1

2

OD

OB

=．

∴

1

2 OF OE OD

OA OC OB

===．

证法二：如图②，过F作FG//AC交BD于点G，∵F是中点，∴

1

2 GF BF

AD BC

==．

∵AD＝CD，

∴

1

2

GF

AD

=．∵FG//AD，∴△GOF∽△DOA（8模型）

∴

1

2

OF GF

OA AD

==．同理

1

2

OE

OC

=，

1

2

OD

OB

=．∴

1

2

OF OE OD

OA OC OB

===．

【例2】如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，

延长BF交CD的延长线于H，若AF

DF

＝2，求

HF

BG

的值．

解答：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD．

设DF＝a，则DF＝AE＝a，AF＝EB＝2a．∵HD//AB，∴△HFD∽△BF A

∴

1

2

HD DF HF

AB AF FB

===，∴HD＝1．5a，

1

3

FH

BH

=，∴FH＝

1

3

BH

∵HD//EB，∴△DGH∽△EGB，∴

1.53

24

HG HD a

GB EB a

===，∴

4

7

BG

HB

=

∴BG＝4

7

HB，∴

1

7

3

412

7

BH

HF

BG BH

==

跟踪练习：

1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25．则S△BD E与S△CDE的比是____________．

解答：∵DE//AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，∴

1

5 DE AC

=

∵DE//AC，∴

1

5

BE DE

BC AC

==，∴

1

4

BE

BC

=，∴的比是1：4.

2．如图所示，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有___________对．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD

∴（1）△ABD∽△CDB；（2）△ABE∽△FDE；（3）△AED∽△GEB；

（4）△ABG∽△FCG∽△FDA，可以组成3对相似三角形.∴图形中一共有6对相似三角形.

3．如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，连接AO并延长，交BC于点F，求证：F是BC的中点．

证明：连接DE交AF于点G，则DE//BC，DE=1

2

BC，∴G为AF中点

∴

1

2

EG

BF

=，

1

2

EG OE DE

FC OC BC

===，∴BF=FC，即点F是BC的中点

4．在△ABC中，AD是角平分线，求证：AB AC BD CD

=．

方法一：过点C CE//AB 交AD 延长线于点E ，∴∠1=∠3，∴△ABD ∽△ECD

，∴AB BD

CE CD

=

∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，AC=CE

，∴

AB BD

AC CD

=

方法二：设ABC 中BC 边上的高为h ，则，12ABD S BD h =V g ，1

2ACD S CD h =V g 过D 分别作DEAB ，于E ，DFAC 于F ，则12ABD

S AB DE =V g ，1

2

ACD S AC DF =V g 1122

1122

ABD

ACD

BD h AB DE

S S CD h AC DF ==V V g g g g ，又∵1=2，∴DE=DF ，∴AB BD

AC CD =

5．如图，△ABC 为等腰直角三角形，D 是直角边BC 的中点，E 在AB 上，且AE ：EB ＝2:1，求证：CE ⊥AD ．

证明：过点B 做BF//AC ，交CE 延长线于点F ，则∠CBF=90°，△AEC ∽△BEF