《概率论与数理统计》第三版,科学出版社_课后习题答案.,

Y ~ B(282, e −5 ) 。
因为 n=282 较大，p 较小， 所以 Y 近似服从参数为 λ = 282 × e −5 ≈ 1.9 的泊松分布。 所求的概率为
P(Y ≥ 2) = 1 − P(Y = 0) − P(Y = 1)
= 1 − e −1.9 − 1.9e −1.9 = 1 − 2.9e −1.9 = 0.56625
查泊松分布表，得，当 m+1=7 时上式成立，得 m=6。 故应至少配备 6 名设备维修人员。
2.10 解：一个元件使用 1500 小时失效的概率为
P(1000 ≤ X ≤ 1500) = ∫
1000 1000 1 dx = − = 2 1000 x x 1000 3
1500 1500
设 5 个元件使用 1500 小时失效的元件数为 Y，则 Y ~ B(5, ) 。 所求的概率为
第二章 随机变量 2.1 X 2 P 1/3 6 3 1/1 8 4 1/1 2 5 1/ 9 6 5/3 6 7 1/ 6 8 5/3 6 9 1/ 9 10 1/1 2 11 1/1 8 12 1/3 6
−1 ∞ ∞ 2.2 解：根据 ∑ P( X = k ) = 1 ，得 ∑ ae −k = 1 ，即 ae −1 = 1 。
2 2 2 2 2 2
0
0
2
0
0
2
1
1
1
1
1
1
2
2
0
2
2
0
= 0.3124
(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=
C 0.7 0.3 × C 0.4 0.6 + C 0.7 0.3 × C 0.4 0.6 + C 0.7 0.3 × C 0.4 0.6
Y
qi
1 0.8
2
2 0.2
x − 2.22Q X ~ N (0,1) ∴ f X ( x) = 1 e 2 2π
（1）设 FY(y)， fY ( y) 分别为随机变量 Y 的分布函数和概率密度函 数，则
y +1 y +1 1 − x2 FY ( y ) = P{Y ≤ y} = P{2 X − 1 ≤ y} = P{ X ≤ }= ∫ 2 e dx −∞ 2 2π
2.17 解：(1) P( X ≤ 105) = Φ(105 − 110 ) = Φ(−0.42) = 1 − Φ(0.42)
12
= 1 − 0.6628 = 0.3372
(2) P(100 ≤ X ≤ 120) = Φ(120 − 110 ) − Φ(100 − 110 )
12 12 = Φ(0.83) − Φ (−0.83) = 2Φ (0.83) − 1 = 2 × 0.7967 − 1 = 0.5934
C 42 6 = = 0.6 ； 3 C 5 10 P( X = 3) =
1 1 = = 0.1 ； 3 C 5 10
P ( X = 2 ) = 1 − 0 .6 − 0 .1 = 0 .3
所以 X 的分布律为
X
1
2
3
P X 的分布函数为
0.6
0.3
0.1
x <1 ⎧ 0 ⎪ 0.6 1 ≤ x < 2 ⎪ F ( x) = ⎨ ⎪0.9 2 ≤ x < 3 ⎪ ⎩ 1 x≥3
1 2 80 P(Y = 2) = C 52 ( ) 2 × ( ) 3 = 5 = 0.329 3 3 3
1 3
2.11 解：(1) P( X < 2) = F (2) = ln 2
P(0 < X < 3) = F (3) − F (0) = 1 − 0 = 1 P(2 < X ≤ 2.5) = F (2.5) − F (2) = ln 2.5 − ln 2 = ln 1.25
1.50 −1.5 −1.5 e =e 0!
λ)=P(0.5×4)= P(2) P(λ （2）X～P(
P{ X ≥ 2} = 1 − P{ X = 0} − P{X = 1} = 1 −
20 −2 21 −2 e − e = 1 − 3e −2 0! 1!
2.9 解：设应配备 m 名设备维修人员。又设发生故障的设备数为
2.6 解：设 Ai 表示第 i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为 0， 1，2
P{ X = 0} = P{ A1 A2 A3 A4 } = P ( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A4 | A1 A2 A3 ) =
18 17 16 15 12 × × × = 20 19 18 17 19
1 1 1 3 300 − − x 300 − − （3） P{100 ≤ X ≤ 300} = ∫100 1 e 200 dx = e 200 |100 = e 2 − e 2
200
P{ X ≤ 100,100 ≤ X ≤ 300} = P{X ≤ 100}P{100 ≤ X ≤ 300} = (1 − e )(e
2 2 2 2 2 2
1
1
1
0
0
2
2
2
0
0
0
2
2
2
0
1
1
1
= 0.5628 5
2.4 解:（1）P{1≤X≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}= 1 + 2 + 3 = 2
15 15 15
P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}= 1 + 2 = 1 (2) (2)P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+
P{0.8 < X ≤ 1} = ∫ 12 x(1 − x) 2 dx = (6 x 2 − 8 x 3 + 3 x 4 )| = 0.0272
0.8 0.8 1 1
（2 ） 假设该地区每天的用电量仅有 90 万千瓦时， 则该地区每天 供电量不足的概率为：
P{0.9 < X ≤ 1} = ∫ 12 x(1 − x) 2 dx = (6 x 2 − 8 x 3 + 3 x 4 )| = 0.0037
k =0
k =0
1− e
故
a = e −1
2.3 解：用 X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用 Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=
C 0.7 0.3 × C 0.4 0.6 + C 0.7 0.3 × C 0.4 0.6 + C 0.7 0.3 × C 0.4 0.6
X，则 X ~ B(180,0.01) 。
依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于 0.99，即
P( X ≤ m) ≥ 0.99 ，也即 P( X ≥ m + 1) ≤ 0.01
因为 n=180 较大，p=0.01 较小，所以 X 近似服从参数为
λ = 180 × 0.01 = 1.8 的泊松分布。
2.18 解：设车门的最低高度应为 a 厘米，X~N(170,62)
P{ X ≥ a} = 1 − P{ X ≤ a} ≤ 0.01 a − 170 P{ X ≤ a} = Φ( ) ≥ 0.99 6 a − 170 = 2.33 6
a ≈ 184 厘米
2.19 解：X 的可能取值为 1,2,3。 因为 P( X = 1) =
−
1 2
−
1 2
−e )
−
3 2
2.16 解：设每人每次打电话的时间为 X，X~E(0.5)，则一个人打 电话超过 10 分钟的概率为
P( X > 10) = ∫ 0.5e −0.5 x dx = −e − 0.5 x
10 +∞ +∞ 10
= e −5
又设 282 人中打电话超过 10 分钟的人数为 Y，则
0.9 0.9 1 1
2.14 解:要使方程 x2 + 2 Kx + 2 K + 3 = 0 有实根则使
∆ = (2K ) − 4(2 K + 3) ≥ 0
2
解得 K 的取值范围为 [−∞,−1] U [4,+∞] ,又随机变量 K~U(-2,4)则有实 根的概率为
p=
[−1 − (−2) + 4 − 3] 1 = 4 − (−2) 3
2
a=1,b=-1.
(2)
x≥0 x<0
(3) P( ln 4 < X < ln 16 ) = F ( ln 16 ) − F ( ln 4 )
= (1 − e
− ln 16 2
) − (1 − e
−
ln 4 2
)=
1 = 0.25 4
2.13（1） 假设该地区每天的用电量仅有 80 万千瓦时，则该地区每天供电 量不足的概率为：
Y
qi
-1 0.7
1 0.3
2.21（1）
当 −1 ≤ x < 1 时， F ( x) = P{ X = −1} = 0.3 当 1 ≤ x < 2 时， F ( x) = P{X = −1} + P{X = 1} = 0.3 + P{X = 1} = 0.8
P{ X = 1} = 0.8 − 0.3 = 0.5
P{ X = 1} = P{ A1 A2 A3 A4 } + P{ A1 A2 A3 A4 } + P{A1 A2 A3 A4 } + P{A1 A2 A3 A4 } 2 18 17 16 18 2 17 16 18 18 2 16 18 17 16 2 32 = × × × + × × × + × × × + × × × = 20 19 18 17 20 19 18 17 20 19 18 17 20 19 18 17 95 P{ X = 2} = 1 − P{ X = 0} − P{X = 1} = 1 −
2.20(1)
π P{Y = 0} = P{ X = } = 0.2 2 2 P{Y = π } = P{ X = 0} + P{X = π } = 0.3 + 0.4 = 0.7 3π P{Y = 4π 2 } = P{ X = } = 0.1 2
Y
qi
0 0.2
π2
4π 2 0.1
0.7
(2)
P{Y = −1} = P{X = 0} + P{X = π } = 0.3 + 0.4 = 0.7 π 3π P{Y = 1} = P{X = } + P{X = } = 0.2 + 0.1 = 0.3 2 2
2.15 解：X~P( λ)= P( 1 ) X~P(λ
200
(1) P{ X ≤ 100} = ∫0
100
1 1 1 − x 100 − 1 − 200 e dx = e 200 | = 1 − e 2 0 200
（2） P{ X ≥ 300} = ∫300
∞
1 1 3 − x ∞ − 1 − 200 e dx = e 200 | = e 2 300 200
12 32 3 − = 19 95 95
2.7 解： (1)设 X 表示 4 次独立试验中 A 发生的次数， 则 X~B(4,0.4)
P( X ≥ 3) = P( X = 3) + P( X = 4) = C 40.430.61 + C 40.44 0.60 = 0.1792
3 4
wk.baidu.com(2)设 Y 表示 5 次独立试验中 A 发生的次数，则 Y~B(5,0.4)
P ( X ≥ 3) = P( X = 3) + P( X = 4) + P ( X = 5) = C 50.430.62 + C 5 0.44 0.61 + C 50.450.60 = 0.31744
3 4 5
λ)=P(0.5×3)= P(1.5) 2.8 （1）X～P( P(λ
P{ X = 0} =
当 x ≥ 2 时， F ( x) = P{ X = −1} + P{X = 1} + P{X = 2} = 0.8 + P{X = 2} = 1
P{ X = 2} = 1 − 0.8 = 0.2
X P （2 ）
-1 0.3
1 0.5
2 0.2
P{Y = 1} = P{ X = −1} + P{X = 1} = 0.3 + 0.5 = 0.8 P{Y = 2} = P{X = 2} = 0.2
15 15
5
1 1 1 1 2.5 解：（1）P{X=2,4,6,…}= 2 + 4 + 6 + L 2 k 2 2 2 2
1 1 [1 − ( ) k ] 4 4 =1 = klim →∞ 1 3 1− 4 1 2 1 4 1 4
（2）P{X≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}= 1 − − =
⎧ x −1 1 ≤ x < e f ( x) = F ′( x) = ⎨ 其它 ⎩0 ⎧ a =1 ，故 ⎩a + b = 0
(2)
2.12 解：(1)由 F (+∞) = 1 及 lim F ( x) = F (0) ，得 ⎨ x →0
⎧ −x ⎪ 2 f ( x) = F ′( x) = ⎨ xe ⎪ ⎩ 0