n阶行列式
第一章n阶行列式的定义
an1bn1 an2bn2 ann
1 a a a b t p1 p2pn 1 p1 2 p2
12n p1 p2 pn
npn
p1 p2 pn
由于 p1 p2 pn 1 2 n, 所以
D2
1 a a a b t p1 p2pn 1 p1 2 p2
12n p1 p2 pn
5、 a1 p1a2 p2 anpn 的符号为 1t .
特殊行列式：
a 11
(1) 主对角行列式：
a 22
a a a
11 22
nn
(2) 副对角行列式：
a nn a 1n
a 2 n1
a n1
n n1
(1) 2 a a
a
1n 2 n1
n1
a11
(3)
下三角行列式：
a21
a22
a11a22 ann
一、概念的引入
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
（3）每一项的三个元素，行标标准、列标非标准．
a1 p1a2 p2a3 p3
(其中
p 1
p 2
p 3
是由123组成的所有三级排列
)
（4）每一项的符号由列标的逆序数确定，列标
偶数取正，列标奇数取负。
(1)t a a a 1 p1 2 p2 3 p3
a11 a12 a13
n阶行列式的定义及性质
推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零
证 把这两行互换，有 D D , 故D 0
推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面
推论2 若行列式中有两行(列)成比例，则此行列 式等于零.
推论3 若行列式中某一行(列)的元素全为零，则 此行列式等于零.
证 设行列式
a11 D1 kai1 an1
a12 kai 2 an 2
a1n kain ann
是由行列式 D det(aij ) 的第i行中所有的元素都乘以同一数 k得到的. 由行列式的定义知 ( p1 p2 pn ) ( 1) a1 p1 D1
p1 p2 pn
ai 1 pi1 (kaipi )ai 1 pi1
因此 当
n 4k
或者 n
4k 1
时，该排列是偶排列；
当n
4k 2
或者
n 4k 3 时，该排列是奇排列。
6
定义 在一个排列中，把某两个数的位置互换，而保持其余的 数不动，这种对一个排列作出的变动叫做对换. 将相邻两个数 对换，叫做相邻对换.
例 五级偶排列21354经过2，3对换变成排列31254，容易计算
(21354)=2，所以21354是偶排列.
(2) 在六级排列135246中，共有逆序32，52，54，即
(135246)=3，所以135246是奇排列.
二、排列的逆序数
2. 逆序数计算法：
(q1q2 qn ) ( qi前边的比它
i 1
n
大的数字的个数 )
.例如
(64823517 ) 0 1 0 3 3 2 6 1 16
线性代数课件1-1n阶行列式的定义
行列式在数学和工程领域的应用
在数学中，行列式是矩阵和 线性方程组的重要工具。
在物理学中，行列式用于描 述物体的形状、结构等。
在计算机科学中，行列式用于 计算矩阵的逆、转置等操作。
在工程学中，行列式用于解决各 种实际问题，如结构分析、控制 系统等。
02
n阶行列式的定义
二阶行列式
01
二阶行列式表示为2x2矩阵，其计算公式为：(D = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21})
02
其中，(a_{11})、(a_{12})、(a_{21})和(a_{22})是矩阵中的元 素。
03
二阶行列式可用于计算向量叉积和点积。
三阶行列式
三阶行列式表示为3x3矩阵，其计算公式为：(D = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33})
行列式的代数余子式
代数余子式定义
对于一个n阶行列式，去掉某行和 某列后得到的(n-1)阶行列式称为 原行列式的代数余子式。
代数余子式的性质
代数余子式的符号由其所在的行 和列的元素符号决定，具体为 “+”或“-”。
代数余子式的计算
方法
通过展开法则计算代数余子式， 即行列式等于其所有代数余子式 的乘积之和。
解的求解
行列式也可以用来求解线性方程组。通过高斯消元法或LU分解等算法，我们可以利用行列式来求解线 性方程组。
在矩阵运算中的应用
矩阵的逆
行列式与矩阵的逆有密切关系。如果一个矩阵的行列式不为零，那么这个矩阵就有逆矩 阵。
09级第1章行列式n阶行列式
证
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
= (−1)τ (123) a11a22a33 +(−1)τ(132) a11a23a32
+(−1)
τ (213)
τ (312)
a12a21a33 +(−1)
τ (231)
τ (321)
a12a23a31
a13a22a31
+(−1)
τ(i1 i L in )+τ(j1 j L jn )
2 2
τ(i1i L in ) 奇->偶
2
τ(i1i L in ) 偶->奇
2
τ(j1 j L jn )
2
奇->偶 偶->奇
偶->偶 奇->奇
奇->奇 偶->偶
τ(j1 j L jn )
2
则 τ(i1 i 2 L in )+τ(j1 j 2 L jn )的奇偶性不改变，于是
= ( −1 )
τ ( 12Ln )
1 ⋅ 2L ⋅ n
= n!
例2
计算行列式 (1) 计算行列式
6
跳转到第一页
1 2 3 4 D=
解
0 4 2 1 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 3 4 0 4 2 1 D= 0 0 5 6 0 0 0 8
= ( −1 )
τ ( 1234 )
1 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 8 = 160.
22
跳转到第一页
*证 证
由定理二
τ ( i1i2 Lin ) +τ ( j1 j2L jn )
D = ∑ ( −1 )
n阶行列式展开式
n阶行列式展开式n阶行列式的展开式是指将n阶行列式按照某一行或某一列进行展开，将其展开为一系列元素相乘的和的形式。
设A是一个n阶方阵，行列式展开式可以表示为：D = a1j1A1j1 + a2j2A2j2 + a3j3A3j3 + ... + anjnAnjn其中，a1j1，a2j2，a3j3，...，anjn是行列式中的元素，分别对应于第1行，第2行，第3行，...，第n行的元素。
A1j1，A2j2，A3j3，...，Anjn是去掉第i行第j列的矩阵的行列式。
展开式的计算方法是通过对于某一行或某一列进行展开，逐步递归地计算较低阶行列式的展开式，最终得到行列式的值。
为了更好地理解和计算行列式的展开式，可以参考以下内容：1. 行列式的性质：了解行列式的基本性质，如行列式转置不变性、行列式互换性等，可以帮助理解行列式的展开式。
2. 代数余子式与代数余子式矩阵：代数余子式是行列式中任意元素的余子式加上相应的符号因子。
代数余子式矩阵是由行列式的元素的代数余子式按照对应位置组成的矩阵。
3. 余子式展开法与行列式按行展开法：余子式展开法是通过计算各元素的代数余子式来展开行列式，而行列式按行展开法是通过递归地计算较低阶行列式的展开式来计算行列式。
4. 基于拉普拉斯定理的行列式展开：拉普拉斯定理是一种常用的展开行列式的方法，根据该定理，可以将n阶行列式按照任意一行或一列展开为n个n-1阶行列式的代数余子式相乘的和。
以上内容是行列式展开式的基本概念和计算方法的相关参考内容，理解和掌握这些内容可以帮助更好地进行行列式展开式的计算。
在实际计算中，可以根据具体情况选择合适的展开方法，如拉普拉斯展开、按行展开等，进一步简化计算过程。
第一章 第一节 n阶行列式的定义和性质
第一章 行列式行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。
特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。
§1.1 n 阶行列式定义和性质1.二阶行列式定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）2112221122211211a a a a a a a a -=称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数ij a 称为行列式的元素,它的第一个下标i 称为行标,表明该元素位于第i 行,第二个下标j 称为列标, 表明该元素位于第j 列.位于第i 行第j 列的元素称为行列式的),(j i 元。
2阶行列式由22个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!2=项，且正负项的各数相同。
应用：解线性方程例1：二阶线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a且021122211≠-a a a a . 解：2112221122211211a a a a a a a a D -==，2122212221211b a a b a b a b D -==，2112112211112a b b a b a b a D -==得 .,2211DD x DD x ==例2：解方程组.328322121⎩⎨⎧-=-=+x x x x 解 D 2132-=13)2(2⨯--⨯=,7-=1D 2338--=)3(3)2(8-⨯--⨯=,7-=2D 3182-=18)3(2⨯--⨯=.14-=因,07≠-=D 故所给方程组有唯一解1x D D 1=77--=,1=2x DD 2=714--=.2=2.三阶行列式定义2由23个数排成3行3列所组成下面的式子（符号） 333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 称为三阶行列式。
第2节n阶方阵的行列式
-18-
推论 如果行列式有一行（列）为零，则行列式 等于零。 例如
000 0
0 0 0 0
-19-
性质５ 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之 和，则可把这两个数拆开，其它元素不变写成两个行列 式的和。
例如
103 100 204 100 3 100 204 199 200 395 200 1 200 395 301 300 600 300 1 300 600
a22
0
0
a11a22 ann
an1 an2 ann
证明： 1) 当n 2时,可得 A a11a22
2)假设n k时，以上结论成立(k 3) 即 A a11a22 akk
a22
0 0
当n k 1时，A a11(1)11
a32
a33
上两式相加求得(设分母不为零)
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
同理可求得
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
-3-
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
1 2 1 4 r2 r1 1 2 1 4 1 2 1 0 r3 r1 0 0 2 4 D
1 1 0 2 r4 2r1 0 1 1 2
2 1 10
0 5 3 8
-21-
1 2 1 4
1 2 1 4
0 0 2 4 r2 r3 0 1 1 2
n阶行列式的定义
n阶行列式的定义 n阶行列式的定义
问题：如何定义n阶行列式？ 一、二阶与三阶行列式的构造
a11 a12 a21 a22 = a11a22 − a12 a21 = ∑ ( −1)
j1 j2
τ ( j1 j2 )
a1 j1 a2 j2
特点： （1）二阶行列式是一个含有 2! 项的代数和； （2）每一项都是两个元素的乘积，这两个元 素既位于不同的行，又位于不同的列， 并且展开式恰好是由所有这些可能的乘 积组成； （3）任意项中每个元素都带有两个下标，第 一个下标表示元素所在行的位置，第二 个下标表示该元素所在列的位置。当把
第二章 行列式
的奇偶性互化，
τ (i1 L is L it L in ) + τ ( j1 L js L jt L jn ) —(3)
+ τ ( j1 L jt L js L jn ) 有相同的奇偶性
2、逐次交换（1）中的元素的次序，可以把（1）化为
—（4） 而（4）的行下标与列下标所成排列和
τ (12L n ) + τ ( k1k2 L kn ) = τ ( k1k2 L kn )
a23 a12 a41a34 , 是，取符号：-1
第二章 行列式
a g 例2.3.5：设 D2 = s w
b c d h p q t u v x y z
问：（1）dhsy与ptaz是否为 D2 的项？应取何符号？ （6项） （2） D2 含有t的项有多少？ 注： 在一个行列式中，通常所写的元素本身不一定有下标， 即使有下标，其下标也不一定与这个元素本身所在的行 与列的位置完全一致。因此要确定一项的符号，必须按 照各元素在行列式中实际所在的行与列的序数计算。 在一般情况下，把n阶行列式中第i行与第j列交叉位置上的元 素记为 aij 在行列式 D 中，从左上角到右下角这条对时考虑该项行排列与列排列的反序数之和，而不一定要 把行下标排成自然顺序。 例2.3.6：试确定四阶行列式中项 a31a24 a12 a43 的符号，写出四阶 行列式中包含 a24 且取正号的所有项。 解 所带符号是:
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n 阶行列式
一、一些知识
1.定义：n 阶行列式
11
121212221
2
n n n n nn
a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
是所有取自不同行、不同列的n 个数的乘积
123123n
j j j nj a a a a ⋅⋅⋅的代数和，其中12n j j j ⋅⋅⋅是一个n 级排列，当12n j j j ⋅⋅⋅是偶排列时，乘积项1
2
3
123n
j j j nj a a a a ⋅⋅⋅前取正号；当123n j j j j ⋅⋅⋅是奇排列时，乘积项1
2
3
123n
j j j nj a a a a ⋅⋅⋅前取负号.
2.n 阶行列式
11
121212221
2n n n n nn
a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 可以写成某一行（或某一列）各元素与其代数余子式
的积的和，即
1112121222112211221
2
n n i i i i in in j j j j nj nj n n nn
a a a a a a a A a A a A a A a A a A a a a ⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
.
3.行列式的若干性质：
（1）行列式
11121212221
2
n n n n nn
a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
与它的转置行列式
112111222212n n n
n
nn
a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
相等.
（2）互换行列式的两行（列），行列式变号，即
111111111121222212221
1
i j n j i n i j n j i n n ni
nj
nn
n nj
ni
nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
.
推论：若行列式有两行（列）完全相同，则此行列式的值为零.
（3）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数λ，等于用数λ乘以此行（列），
即
11
111111212221221
1
i n i n i
n i n n ni
nn
n ni
nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλ
λ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
.
推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因数，可以提到行列式的符号外面.
（4）若行列式有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式的值为零.
（5）
11
1111111111121222122212221
1
1
i n i n i i n i n i n i i
n n ni
nn
n ni
nn
n ni ni
nn
a b a a c a a b c a a b a a c a a b c a a b a a c a a b c a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
.
二、两个例题
4.已知关于x y z w 、、
、的方程组11111222223333344444a x b y c z d w e a x b y c z d w e a x b y c z d w e a x b y c z d w e +++=⎧⎪
+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩，
，，.可以证明：x y z w D x D D y D D z D D w D =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩
，，
，，
其中系数行列式1111222233334
4
44a b c d a b c d D a b c d a b c d =
，1111222233334
4
4
4
x e b c d e b c d D e b c d e b c d =
，1111222233334
4
4
4
y a e c d a e c d D a e c d a e c d =
，
1
111222233334
4
4
4
z a b e d a b e d D a b e d a b e d =
，1
111222233334
4
4
4
w a b c e a b c e D a b c e a b c e =
.
说明：更一般地，对于一个n 元一次不等式组，都有类似的结论.
5.计算：
（1）
000000000000a b c d ； （2）
00000000a b a b a b b a ；
（3）
1
111120010301
4
； （4）
1
234234134124
1
2
3
.。