n阶行列式的定义
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3. 每一项可以写成 a1 p1 a2 p2 a3 p3（正负号除外），其中 p1 p2 p3 是
1、2、3的某个排列． 4. 当 p1 p2 p3 是偶排列时，对应的项取正号；
当 p1 p2 p3 是奇排列时，对应的项取负号．
所以，三阶行列式可以写成
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11 0
a a
D 21
22
0
0 a a a
11 22
nn
an1 an2 ann
思考题
x1 1 2
已知 f x 1 x 1 1 ，求 x3的系数．
32 x 1 1 1 2x 1
解： 含x3 的项有两项，即
x1 1 2
f x 1 x 1 1
32 x 1 1 1 2x 1
对应于
(1)t(1234) a11a22a33a44 (1)t1243 a11a22a34a43
a11 a12 L a1n
D a21 a22 L MM an1 an2 L
a2n
M (1) a a L a p1 p2L pn
t ( p1 p2L pn )
1 p1 2 p2
npn
ann
简记作 det(aij)，
1. 等号的右边一共有 n! 项． 其中 aij 为行列式 D 的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
a11 a12 a13 a14
0 D3 0
a22 0
a23 a33
a24 a34
a11a22a33a44
0 0 0 a44
a11 0 0 0
D4
a21 a32
a22 a32
0 a33
0 0 a11a22a33a44
a41 a42 a43 a44
四个结论： (1) 对角行列式
a11
D
a22
O
(1)t(1234) a11a22a33a44 x3 ,
(1)t1243 a11a22a34a43 2 x3
故 x3 的系数为－1．
注意：当n = 1时，一阶行列式 |a| = a，注意不要与绝对值的
记号相混淆．例如：一阶行列式 1 1．
例：写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项．
解： a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 .
例：计算行列式
a11 0 0 0
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0
0 0 0 a44
§3 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
规律： 1. 等号的右边一共有 6 项，即 3! 项． 2. 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0 a11a22a33a44
0 0 0 a44
0 0 0 a14
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0 (1)t(4321) a14a23a33a41 a14a23a33a41
a41 0 0 0
其中 t(4321) 0 1 2 3 3 4 6. 2
a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
(1) a a a t( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
p1 p2 p3
其中 表示对1、2、3的所有排列求和． p1 p2 p3
二阶行列式有类似规律．下面将行列式推广到一般的情形．
二、n 阶行列式的定义
0 0 0 a14
0 D2 0
0 a23 a32 0
来自百度文库0 0
a41 0 0 0
a11 a12 a13 a14
0 D3 0
a22 a23 a24 0 a33 a34
0 0 0 a44
a11 0 0 0
D4
a21 a32
a22 a32
0 a33
0 0
a41 a42 a43 a44
解：
a11 0 0 0
a a11 22 ann
(2)
D
ann
由列标排列的奇偶性
决定符号
a1n
a2,n1 N
n( n1)
(1) 2 a1na2,n1 L an1
an1
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为 0）
a11 a12
0a
D
22
a1n
a 2n
a a11 22 ann
0 0 ann
(4) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为 0）
3. 每一项可以写成 a1 p1 a2 p2 L anpn（正负号除外），
其中 p1 p2 … pn 是1, 2, … , n 的某个排列． 4. 当 p1 p2 … pn 是偶排列时，对应的项取正号；
当 p1 p2 … pn 是奇排列时，对应的项取负号．
思考题： 1 1 成立吗？ 答：符号 1 可以有两种理解： ✓若理解成绝对值，则 1 1 ； ✓若理解成一阶行列式，则 1 1．
1、2、3的某个排列． 4. 当 p1 p2 p3 是偶排列时，对应的项取正号；
当 p1 p2 p3 是奇排列时，对应的项取负号．
所以，三阶行列式可以写成
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11 0
a a
D 21
22
0
0 a a a
11 22
nn
an1 an2 ann
思考题
x1 1 2
已知 f x 1 x 1 1 ，求 x3的系数．
32 x 1 1 1 2x 1
解： 含x3 的项有两项，即
x1 1 2
f x 1 x 1 1
32 x 1 1 1 2x 1
对应于
(1)t(1234) a11a22a33a44 (1)t1243 a11a22a34a43
a11 a12 L a1n
D a21 a22 L MM an1 an2 L
a2n
M (1) a a L a p1 p2L pn
t ( p1 p2L pn )
1 p1 2 p2
npn
ann
简记作 det(aij)，
1. 等号的右边一共有 n! 项． 其中 aij 为行列式 D 的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
a11 a12 a13 a14
0 D3 0
a22 0
a23 a33
a24 a34
a11a22a33a44
0 0 0 a44
a11 0 0 0
D4
a21 a32
a22 a32
0 a33
0 0 a11a22a33a44
a41 a42 a43 a44
四个结论： (1) 对角行列式
a11
D
a22
O
(1)t(1234) a11a22a33a44 x3 ,
(1)t1243 a11a22a34a43 2 x3
故 x3 的系数为－1．
注意：当n = 1时，一阶行列式 |a| = a，注意不要与绝对值的
记号相混淆．例如：一阶行列式 1 1．
例：写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项．
解： a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 .
例：计算行列式
a11 0 0 0
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0
0 0 0 a44
§3 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
规律： 1. 等号的右边一共有 6 项，即 3! 项． 2. 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0 a11a22a33a44
0 0 0 a44
0 0 0 a14
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0 (1)t(4321) a14a23a33a41 a14a23a33a41
a41 0 0 0
其中 t(4321) 0 1 2 3 3 4 6. 2
a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
(1) a a a t( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
p1 p2 p3
其中 表示对1、2、3的所有排列求和． p1 p2 p3
二阶行列式有类似规律．下面将行列式推广到一般的情形．
二、n 阶行列式的定义
0 0 0 a14
0 D2 0
0 a23 a32 0
来自百度文库0 0
a41 0 0 0
a11 a12 a13 a14
0 D3 0
a22 a23 a24 0 a33 a34
0 0 0 a44
a11 0 0 0
D4
a21 a32
a22 a32
0 a33
0 0
a41 a42 a43 a44
解：
a11 0 0 0
a a11 22 ann
(2)
D
ann
由列标排列的奇偶性
决定符号
a1n
a2,n1 N
n( n1)
(1) 2 a1na2,n1 L an1
an1
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为 0）
a11 a12
0a
D
22
a1n
a 2n
a a11 22 ann
0 0 ann
(4) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为 0）
3. 每一项可以写成 a1 p1 a2 p2 L anpn（正负号除外），
其中 p1 p2 … pn 是1, 2, … , n 的某个排列． 4. 当 p1 p2 … pn 是偶排列时，对应的项取正号；
当 p1 p2 … pn 是奇排列时，对应的项取负号．
思考题： 1 1 成立吗？ 答：符号 1 可以有两种理解： ✓若理解成绝对值，则 1 1 ； ✓若理解成一阶行列式，则 1 1．