n阶行列式的定义
第1节 n阶行列式的定义(全)
表达式 a11a22 − a12 a21 称为由该 数表所确定的二阶行列式 二阶行列式， 数表所确定的二阶行列式，即
a11 D= a21
a12 = a11a22 − a12 a21 a22
a 其中， 称为元素 元素. 其中， ij ( i = 1, 2; j = 1, 2) 称为元素.
i 为行标，表明元素位于第 行； 行标，表明元素位于第i j 为列标，表明元素位于第 列. 列标，表明元素位于第j
= a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例1 计算行列式
3 2 3 D = 2 -3 4 4 -5 2
p 个奇排列均变成偶排列，故 p ≤ q ； 个奇排列均变成偶排列，
同理，对每个偶排列做同一变换， 同理，对每个偶排列做同一变换，则
q 个偶排列均变成奇排列，故 q ≤ p 。 个偶排列均变成奇排列，
从而， 从而，
n! p=q= 2
三、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
a11 D = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a33 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
解 按对角线法则，有 按对角线法则，
D = 3 × ( −3) × 2 + 2 × 4 × 4 + 2 × ( −5) × 3
−3 × ( −3) × 4 − 2 × 2 × 2 − 3 × 4 × ( −5)
n阶行列式的定义
§1·2 n 阶行列式的定义1、二、三阶行列式定义对二元线性方程组:11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩11221122221222112122122212a a x a a xb a a a x a a x b a +=⎧⇒⎨+=⎩122221121122211)(a b a b x a a a a −=−⇒112212210a a a a −≠若:11112212112222,a x a b a a b +=⎧⎨+=⎩对122212111221221211121211221221b a b a x a a a a b a b a x a a a a −⎧=⎪−⎪⎨−⎪=⎪−⎩则：112212210a a a a −≠若211222111222211a a a a a b a b x −−=22211211a a a a =222121a b a b 令：211222112111122,a a a a a b a b x −−22211211a a a a =221111b a b adc ba 二阶行列式＋－bc ad −=3213−如11=1112112111112212211221221121212122222212,,a ab a a b a a a a ba a b a b ba a a b a a b =−=−=−例1, 求方程组的解。
12122233x x x x +=⎧⎨+=⎩解: 因为0121313211≠=×−×=所以方程组有唯一解：121333311123x ===212231111123x −===−⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111ba x a x ab a x a x a b x a x a a 同理，对三元线性方程组：111213212223313233a a a a a a a a a 三阶行列式112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−仿照二阶行列式，引入三阶行列式：112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−＋－333231232221131211a a a a a a a a a ＋＋－－aa aD 111111=问：（1）当a 为何值时，D ≠0（2）当a 为何值时，D =0【例1】设：解:aa aD 111111=311a a a a=++−−−显然：当a ≠1且a ≠-2时，D ≠0当a =1或a =-2时，D =0332a a =−+2(1)(2)a a =−+⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a bx a x a x a b x a x a x a 对三元线性方程组：0333231232221131211≠a a a a a a a a a 若：则方程组有唯一解，且唯一解为：333231232221131211332312222111211333323123222113121133331232211311123332312322211312113332323222131211,,a a a a a a a a a b a a b a a b a a x a a a a a a a a a a b a a b a a b a x a a a a a a a a a a a b a a b a a b x ===2、n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a """""""212222111211称为n 阶行列式.a ij ———位于行列式中第i 行第j 列的元素.例如, a 32 ——位于行列式中第3行第2列的元素.定义：由n 2个数a ij (i , j =1、2、3…n )组成的符号二阶行列式其中{}{}211221=j j 为两项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的两个元素的乘积1112112212212122a a a a a a a a =−121212()12(1)j j j jj j a a τ=−∑121212()1122211212(1)j j j j j j a a a a a a τ=−=−∑112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−111213212223313233a a a a a a a a a {}{123123,231,312,321,213,132j j j =三阶行列式六项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的三个元素的乘积123123123()123(1)j j j j j j j j j a a a τ=−∑123123123()123(1)j j j j j j j j j a a a τ=−∑{}123123123111213()212223123313233(1)j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a τ=−∑=不同行不同列的两个元素的乘积=不同行不同列的三个元素的乘积2！3！11122122a a a a {}121212()12(1)j j j j j j a a τ=−∑()()121212111212122212121n nnn j j j nj j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=−∑""""""""""nj j j "21n 级排列(由1、2…n 组成，共n!个))(21n j j j "τn 级排列的逆序数n j j j "21nnj j j a a a "2121行列式中n 个不同行不同列的元素的乘积=n!项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的n 个元素的乘积nn nj j j j j j a a a ""212121)()1(τ−行列式的一般项：一般我们称()()nn nnj j j j j j j j j a a a """212121211τ∑−nnn n nna a a a a a a a a """""""212222111211为n 阶行列式的展开式。
n 阶行列式的定义与性质
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明 根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于 是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性 质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元 素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基 本思路是根据性质把行列式化成为上三角形 行列式，它等于变换后的行列式的主对角元 素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10
n阶行列式的定义及性质
推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零
证 把这两行互换，有 D D , 故D 0
推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面
推论2 若行列式中有两行(列)成比例，则此行列 式等于零.
推论3 若行列式中某一行(列)的元素全为零，则 此行列式等于零.
证 设行列式
a11 D1 kai1 an1
a12 kai 2 an 2
a1n kain ann
是由行列式 D det(aij ) 的第i行中所有的元素都乘以同一数 k得到的. 由行列式的定义知 ( p1 p2 pn ) ( 1) a1 p1 D1
p1 p2 pn
ai 1 pi1 (kaipi )ai 1 pi1
因此 当
n 4k
或者 n
4k 1
时，该排列是偶排列；
当n
4k 2
或者
n 4k 3 时，该排列是奇排列。
6
定义 在一个排列中，把某两个数的位置互换，而保持其余的 数不动，这种对一个排列作出的变动叫做对换. 将相邻两个数 对换，叫做相邻对换.
例 五级偶排列21354经过2，3对换变成排列31254，容易计算
(21354)=2，所以21354是偶排列.
(2) 在六级排列135246中，共有逆序32，52，54，即
(135246)=3，所以135246是奇排列.
二、排列的逆序数
2. 逆序数计算法：
(q1q2 qn ) ( qi前边的比它
i 1
n
大的数字的个数 )
.例如
(64823517 ) 0 1 0 3 3 2 6 1 16
n阶行列式的定义及性质
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
n阶行列式的定义全
02 行列式的性质
代数余子式
01
代数余子式
在n阶行列式中，去掉元素所在的行和列后，剩下的元素按照原来的排
列顺序构成的n-1阶行列式称为该元素的代数余子式。
02
代数余子式的计算
代数余子式等于(-1)^(i+j) * (n-1)阶行列式，其中i和j分别为元素所在
的行号和列号。
03
代数余子式的性质
代数余子式与元素所在的行和列的顺序无关，但与元素的位置有关。
n阶行列式的定义全
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的展开 • 行列式的计算方法 • 行列式的应用
01 行列式的定义二阶行Fra bibliotek式总结词
二阶行列式是2x2矩阵的行列式值 ，由其主对角线上的元素相乘减 去副对角线上的元素相乘得到。
详细描述
对于2x2矩阵[a, b; c, d]，其行列 式值为ad-bc，即主对角线元素a 和d相乘减去副对角线元素b和c相 乘。
n阶行列式
总结词
n阶行列式是nxn矩阵的行列式值，由其主对角线上的元素相乘减去副对角线上 的元素相乘得到。
详细描述
对于nxn矩阵，其行列式值的计算方法可以归纳为Laplace展开，即从n阶行列式 中任取k行和k列，形成一个k阶行列式，然后乘以相应的代数余子式，并求和。 最终得到的值即为n阶行列式的值。
线性方程组的求解
行列式可以用来求解线性方程组，通过对方程组的系数矩阵进行行 列式变换，可以求解方程组的解。
向量空间
行列式可以用来定义向量空间的一组基，以及基之间的变换关系。
在微积分中的应用
微分学
行列式在微分学中用于计算多元函数的偏导数和 全微分。
3-1 n阶行列式的概念
行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 近代,被广泛应用于数学, 近代,被广泛应用于数学,物理以及工程技术等 许多领域. 许多领域. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 定义
(a , b)
证明: 证明 (1)相邻对换
AabB → AbaB
A,B中的每一个数的逆序数都没有发生改变, 所以只需考虑a ,b的逆序数 若 a > b a的逆序数不变, b 的逆序数减少1 若
a < b a 的逆序数增加1,b 的逆序数不变, 所以, AabB, AbaB 的奇偶性不同
7
(2)一般对换
Aak1k2 kmbB → Abk1k2 kmaB
情况太复杂,改变思考角度 不是通过一次性得到结果,而是作如下过程:
(a , b)
Aak1k2 kmbB
m+1 +1次相邻对换 作m+1次相邻对换 作m次相邻对换 次相邻对换
→
由(1)知, 改变了2m+1(奇数) 次奇偶性 奇偶性当然改变.
8
→
Ak1k2 kmbaB Abk1k2 kmaB
1
第一节 n阶行列式的概念 阶行列式的概念
2
一,排列及其逆数 由n个自然数组成的一个有序数组, 定义3.1.1 定义3.1.1 称为由这n个自然数的一个全排列 全排列,简称排列 全排列 排列 记作: i1i2 in 例
自然数 1,2 1,2,3 1,2,3,4 123 1234 132 12 213 231 …… …… 312 4321 n(n-1) 321 ( -1)…321
n阶行列式
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
a1 j1 a2 j2 anjn 的符号为 1N . 5、
例1
计算上三角行列式
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 0 0 ann
定义
由 n 2 个数组成的 n 阶行列式等于所有 取自不同行不同列的n 个元素的乘积 的代数和
a11 a21 an1
( 1 ) N a1 j1 a2 j2 anjn . a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
记作
D
其中 j1 j2 jn 为自然数 1， ，n 的一个排列， 2， N 为这个排列的逆序数．
4 ( 41 ) 2
1 2 3 4 24.
三、小结
1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需 要而定义的. 2、 n 阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同 行、不同列 的 n个元素的乘积,正负号由下标排 列的逆序数决定.
思考题
x
已知
例如a14a23a31a42
行标排列为1234，元素取自不同的行， 列标排列为4312，元素取自不同的列， 因为N(4312)=5，所以该项取负号，
即a14a23a31a42
是上述行列式中的一项．
a11a24a33a44 有两个元素取自第4列，
所以它不是行列式中的一项．
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
0
0
1
3 2 5 1 4
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0 = (-1)t a1na2,n−1 "an1
其中t为n(n-1)……21的逆序数，因此由第一节的例2
可知t＝n(n－1)/2。
例2 证明下三角行列式
a11 0 "
D
=
a21 #
a22 #
" #
0
0 #
= a11a22 "ann
an1 an2 " ann
证： 由于当j > i时，aij = 0，因此行列式的求和
对行列式中元素 ，cij第一个下标i表示元素所在
的行，称为行标；第二个下标j表示元素所在的列， 称为列标。从上述表达式可以发现三阶行列式有如下 特点：
（1）表达式共有3!＝6项求代数和。且每项均为
不同行不同列的三个元素的乘积；
（2）6项中有3项的代数符号为正，3项的代数符 号为负；
（3）如果把每一项元素的行标按1、2、3依次排 列，则每一项元素的列标排列分别为123, 231, 312以 及321, 213, 132, 恰好是1、2、3这三个数的所有可能 的排列。
d krk k +1 rk+1
0，因此
" r1,
dr2k,+"n rk+,nrk,，只有
在1, 2，…，k中选取时，该项才可能不为0。而根据
行列式的定义，当 r1, r2 ,", rk 在1, 2，…，k中选取时， rk+1, rk+2 ,", rk+n只能在k+1, k+2项可以记为
(−1)t d1r1 " dkrk d k +1 rk+1 " dk +n rk+n = (−1)t a1r1 " akrk b1 p1 "bnpn
这的里逆，序p数i =。rk+以i −sk、，m而分t为别排表列示rr11,,rr22""rkr(kk和+
p1)"(k + pn ) p1 " pn的逆序
角线。
例1 证明主对角行列式（其中对角线上的元素为 aii (i = 1,2,", n)其余的元素为0）的值为
a11 0 " 0 a22 " # ##
0
0 #
= a11a22 "ann
0 0 " ann
次对角行列式（其中对角线上的元素为 aij,i + j = n +1,
i = 1,2,", n ，其余的元素为0）的值为
列共有n! 个, 因此形如（1）式的项共有n!项。所有
这n!项的代数和
∑ (-1)t a a 1p1 2 p2 "anpn
p1 p2"pn
称为n阶行列式（determinant），记为
a11 a12 " a1n
D
=
a21 #
a22 #
" a2n ##
an1 an2 " ann
或数者aij简(i记=作1,2Δ,"（a, ni）j ; 或j =者1d,2e,t"( ai,j)n。) 称为行列式Δ (aij )的元素。
c11 c12 c13
∑ c21 c22 c23 =
(−1)t c1p1c2 p2 c3 p3 .
c31 c32 c33
p1 p2 p3
其中p1p2p3是1、2、3这三个数的一个排列，t是这 个排列的逆序数，共有3!＝6项求和。其中求和符号 Σ表示连加。
完全类似，我们可以定义n阶行列式。 定义1 设有 n2 个数，排成n行n列的数表
r1 " rk
∑ = D 2
( − 1) s a1r1 " a krk
r1 " rk
= D1D2 。
0 " 0 a1n
0 #
" a2,n−1 ##
0 #
= (−1)n(n−1)/ 2 a1na2n−1 "an1
an1 " 0
0
证：第一式是显然的。下面我们只证明第二个结
果。
根据行列式的定义
0 " 0 a1n
0 " a2,n−1 ## #
an1 " 0
∑ 0
#
= (-1)t
p1 p2"pn
a1p1 a2 p2 "anpn
数 ，则显然有t ＝s＋m。因此
∑ ∑ D =
( − 1) s + m a1 r1 " a kr k b1 p1 " b np n
r1 " rk p1 " p n
∑ ∑ =
( − 1) s a1r1
r1 " rk
"
a kr k
⎡ ⎢ ⎣
p1"
(
pn
−
1)
m
b1
p1
"
b np n
⎤ ⎥ ⎦
∑ =
( − 1) s a1r1 " a krk D 2
a11 a12 " a1n a21 a22 " a2n # ###
an1 an2 " an3
作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以 符号 (−1)t, 得到形如
的项，其中
p1
(-1) t
p2 "
a1 p1
pn
a2 p2 "anpn
(1)
为自然数1，2，……，n的
一个全排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排
（4）排列123, 231, 312的逆序数分别为0, 2, 2, 而排列321, 213, 132的逆序数分别为3, 1, 1, 即在6项 求和中，取行标为标准顺序的排列时，其列标排列为 偶排列时，则该项的代数符号为正；当列标排列为奇 排列时，则该项的代数符号为负 。
因此，我们可以把三阶行列式的定义写成
表达式中可能不为0的项的n个因子的下标 ipi 应有pi ≤ i
即 p1 ≤ 1, p2 ≤ 2,", pn ≤ n而在所有排列 p1 p2 " pn 中，
能满足上述关系的排列只有一个，即1,2……n，所以 行列式中可能不为0的项只有一项，即 (-1)t a11a22 "ann, 这一项的符号显然为正（因为t＝0），所以
第二节 n 阶行列式的定义
为给出n阶行列式的定义，让我们来分析前面所 讲的三阶行列式的定义。在§1中的（6）我们定义
c11 c12 c13 c 21 c 22 c 23 = c11c 22c33 + c12c 23c31 + c13c 21c32 c31 c32 c33
− c13c 22c31 − c12c 21c33 − c11c 23c32 ,
D = a11a22 "ann
例3 设
a11 " a1k 0 " 0 ### ###
D = a1k c11 #
" akk " c1k ##
0"0
b11 " b1n ###
a11 D1 = #
ak1
ck1 " ckk
" a1k ##
" akk
bn1 " bnn
b11 " b1n
D2 = # # #
bn1 " bnn
显然，按此定义给出的二阶行列式和三阶行列
式与我们前面所说的定义是一致的。 以后为方便起见，我们称行列式中 a11, a22 ,", ann
为行列式的主对角线，
a11 a12 " a1n a21 a22 " a2n # ###
an1 an2 " ann
而称 a1n , a2n−1, an1的线段为行列式的次对角线或副对
证明 D = D1D2
记 D = det(dij )，其中 dij = aij , (i = 1,2,", k; j = 1,2,", k)
dk+i,k+ j = bij , (i = 1,2,", n; j = 1,2,", n)
考察D的一般项(−1)t d1r1 "d
由于当i ≤ k，j > k时，dij =