江苏省南通市如东县2019-2020学年高一下学期期末数学试卷 含答案
F C
A
B
19．（本小题满分 12 分）
（第 18 题）
为检验学生上网课的效果，高三年级进行了一次网络模拟考试．全年级共 1500 人，现从中抽取了
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
由上表可得线性回归方程 yˆ = bˆx + 0.08 ，若规定当维修费用 y＞12 时该设备必须报废，据此模型预
报该设备使用的年限不超过（ ）年．
A．7
B．8
C．9
D．10
ห้องสมุดไป่ตู้
9. 已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，AD 为角 A 的角平分线，交 BC 于 D， B = ， 4
A．16
B．7
C．﹣4
D．﹣7
12. 如图，在三棱锥 P − ABC 中， D 、 E 、 F 分别为棱 PC 、 AC 、 AB 的中点， PA ⊥ 平面 ABC ，
ABC = 90 ， AB = PA = 6 ， BC = 8 ，则
A．三棱锥 D − BEF 的体积为18 B．平面 DEF 截三棱锥 P − ABC 所得的截面面积为12 C．点 P 与点 A 到平面 BDE 的距离相等 D．直线 PB 与直线 DF 垂直
A． π 6
B． π 4
C． 2π 3
D． 3π 4
4. 已知直线 l1 : mx + y −1 = 0 ， l2：(3m − 2) x + my − 2 = 0 ，若 l1∥l2 ，则实数 m 的值为
A．2
B．1
C．1 或 2
D．0 或 1 3
5. 已知 l，m 为两条不同直线， ， 为两个不同平面，则下列命题为真命题的是
定为 ▲ ． （用“直角三角形”“等边三角形”“等腰直角三角形”填空）
2
15. 设长方体的长、宽、高分别为 3 、 2 、1 ，其顶点都在同一个球面上，则该球的半径为 ▲ ．
16. 已知凸四边形 ABCD（指把四边形的任意一条边向两端无限延长
B
成一直线时，其他各边都在此直线的同旁）中，边 BC = 2 3 ，
△ABC 的内角 A，B，C 的对边为 a，b，c，acosC+ccosA＝2bcosA．
（1）求 A；
（2）若 B＝45°，a＝2，求 b，c．
P
18．（本小题满分 12 分）
在正四棱锥 P − ABCD 中，E，F 分别为棱 PA，PC 的中点．
E
（1）求证：EF∥平面 ABCD；
D
（2）求证：EF⊥平面 PBD ．
A．若 l //m ， m ，则 l //
B．若 l ⊥ m ， m ，则 l ⊥
C．若 // ， m ，则 m//
D．若 ⊥ ， m ，则 m ⊥
6. 圆 x2 + y2 − 2x − 8y + 13 = 0 截直线 ax + y −1 = 0 所得的弦长为 2 3 ，则实数 a =
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答 题卡相应位置上． 13. 若 x1，x2，…，xn 的方差为 2 ，则 2x1+3，2x2+3，…，2xn+3 的方差为 ▲ ．
14. △ABC 中，角 A ，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 2a = b + c ，sin2 A = sin B sin C ，则△ABC 一
,
3
2
二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
11. 若圆 C1： (x −1)2 + y2 = 1 与圆 C2： x2 + y2 − 8x + 8y + m = 0 相切，则 m 的值可以是
AD = 2 2 ，BD＝2，则 b＝
A． 2 2
B． 2
C． 3
D． 6
10. 已知锐角△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 且 b = 2a sin B ， 则 cos B + sin C 的取值 范围为
A． (0, 3]
B． (1, 3]
C．
3 2
,
3 2
D．
1 2
A．
−
4 3
B． − 3 4
C． 3
D．2
7. 在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中，AB = BC = 2 ， AA1 = 1 ，则直线 BC1 与平面 BB1DD1 所成角的正弦值为
1
A． 6 3
B． 10 2
C．
15 5
D． 10 5
8. 关于某设备的使用年限 x（单位：年）和所支出的维修费用 y（单位：万元）有如下表的统计资料：
1. 若直线 ax + 3y − 5 = 0 经过点 A(2，1) ，则实数 a 的值
A．1
B．2
C．3
D．4
2. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 的正方体玩具)先后抛掷两次， 则向上的点数之和为 4 的概率为
A． 1 18
B． 1 12
C． 1 9
D． 1 3
3. 在△ ABC 中，已知 a2 + b2 + 2ab = c2 ，则角 C 等于
对角线 AC = 4 ，且 ACB = 90O ,又顶点 D 满足 AD2 + CD2 16 ， C
A
则凸四边形 ABCD 的对角线 BD 长的范围是 ▲ ．
D
（第 16 题）
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用 2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。 3．答题时请用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。 4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。
一、单选题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
江苏省南通市如东县 2019-2020 学年度第二学期期末学情检测
高一数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，包含［选择题（1~12））填空题（第 13 题～第 16 题，共 80 分）、解答题（第
17～22 题，共 70 分）。本次考试时间 120 分钟，满分 150 分、考试结束后，请将答题卡交回。 2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用 0.5 毫米的黑色签字
2019-2020年高一下学期期末考试 数学试卷 含答案
绝密★启用前2019-2020年高一下学期期末考试数学试卷含答案A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3. 若a=（2，3），b=（-4，7），则a在b方向上的投影为（）A. B. C. D.4. 若，则的取值范围是______．5. 在空间四边形ABCD中，设，，M点是BD的中点，则下列对应关系正确的是（）A．B．C．D．6. 设α∈(0，)，若sinα＝，则cos(α＋)等于()A. B. C．－D．－7. 已知，则（）A．B．C．D．8. 函数y=2cos2x+1(x∈R)的最小正周期为（）A．B．C．D．9. 已知函数的图象关于直线对称,且,则的最小值是( )A.2 B.4 C.6 D.810. 使得函数既是奇函数又是偶函数的实数的值是（）A． B． C． D．不存在的11. 已知下列四个命题:①把y=2cos(3x+)的图象上每点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍,再把图象向右平移单位,所得图象解析式为y=2sin(2x)②若m∥,n∥,⊥,则m⊥n③在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,点P在AM上且满足等于.④函数=xsinx在区间上单调递增,在区间函数f上单调递减.其中是真命题的是( )A.①②④B.①③④C.③④D.①③12. 函数y=2sin(ωx+φ)，|φ|<的图象如图所示，则( )A．ω=,φ= B．ω=,φ= -C．ω=2,φ= D．ω=2,φ= -第II卷（非选择题）请修改第II卷的文字说明二、填空题13. 当k=___________时，向量a=e1-4e2，b=2e1+k e2共线（其中向量e 1，e 2不共线）.14. 已知向量m 与n 满足,且,则向量m 与n 的夹角为 .15. 已知直线与圆交于A 、B 两点, 且,其中为原点,则实数=16. 设是两个不共线的向量，且向量与向量是共线向量，则实数_______________．三、解答题17. 向量，．设函数．求函数的最小正周期及时的最大值．18. 若角的终边经过点，则的值为______________．19. 已知函数, 其中,(cos sin ,2sin ),0,()n x x x f x ωωωω=->其中若相邻两对称轴间的距离不小于(1)求的取值范围;(2)在,3,3,,,,,,=+=∆c b a C B A c b a ABC的对边分别是角中 的面积.20. 已知：，． （1）证明； （2）求向量的夹角．21. 已知2()2sin cos 62x f x x πα⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭， 且. （1）求；（2）当时，求函数的值域.22. 已知.（Ⅰ）求sin x －cos x 的值； （Ⅱ）求的值参考答案一、单项选择1.【答案】D【解析】∵由平移到，即右移了个单位，上移了个单位∴故选D；2.【答案】B3.【答案】C【解析】a在b方向上的射影为.4.【答案】5.【答案】C【解析】在△ABD中M是BD边的中点，∴1()22b a MD MA AD a b b-=+=-++=，可得正确选项为C.6.【答案】B【解析】因为α∈(0，)，sinα＝，所以cosα＝＝. 所以cos(α＋)＝(cosαcos－sinαsin)＝(cosα－sinα)＝cosα－sinα＝－＝7.【答案】C8.【答案】B。
2019-2020年高一下学期期末考试数学试题含答案(V)
2019-2020年高一下学期期末考试数学试题含答案(V)一、选择题（每小题5分，共50分）1．求值：sin（﹣）=（）A．B．C．D．2．为了解800名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A． 50 B． 40 C． 25 D． 20 3．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（）A．B．C．D． 44．下列各式中值为的是（）A． sin45°cos15°+cos45°sin15°B． sin45°cos15°﹣cos45°sin15°C． cos75°cos30°+sin75°sin30°D．5．右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）6．函数y=sin（x+）的一个单调增区间是（）A． [﹣π，0] B． [0，] C． [，] D． [，π]7．如图是求样本x1，x2，…，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（）A． S=S+xn B． S=S+ C． S=S+n D． S=S+8．如图是某青年歌手大奖赛是七位评委为甲、乙两名选手打分的茎叶图（其中m是数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分之后，甲、乙两名选手的方差分别是a1和a2，则（）9．函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ϕ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位10．菱形ABCD边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别别在BC，CD上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）B二、填空题（每小题5分，共25分）11．若，则=_________．12．某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为_________h．13．已知向量=﹣（），则向量和的夹角为_________．14．在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，使邻边长分别等于线段AC、CB 的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为_________．15．有下列说法：（1）函数y=﹣cos2x的最小正周期是π；（2）终边在y轴上的角的集合是{α|α=，k∈Z}；（3）函数y=4sin（2x﹣）的一个对称中心为（，0）（4）设△ABC是锐角三角形，则点P（sinA﹣cosB，cos（A+B））在第四象限则正确命题的序号是_________．三、解答题（共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）已知cos（π+α）=，α为第三象限角．（1）求sinα，tanα的值；（2）求sin（α+），tan2α的值．17．（12分）已知=（2，3），=（﹣1，2）当k为何值时，（Ⅰ）k+与﹣3垂直？（Ⅱ）k+与﹣3平行？平行时它们是同向还是反向？18．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）19．（12分）甲、乙二人参加知识竞赛活动，组委会给他们准备了难、中、易三种题型，其中容易题两道，分值各10分，中档题一道，分值20分，难题一道，分值40分，二人需从4道题中随机抽取一道题作答（所选题目可以相同）（Ⅰ）求甲、乙所选题目分值不同的概率；（Ⅱ）求甲所选题目分值大于乙所选题目分值的概率．20．（13分）扇形AOB中心角为60°，所在圆半径为，它按如下（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式有内接矩形CDEF．（Ⅰ）矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设∠EOB=θ；（Ⅱ）点M是圆弧AB的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM 对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设∠EOM=φ；试研究（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式下矩形面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积最大？21．（14分）已知=（sinωx，sinωx），=（sinωx，sin（+ωx）），（ω＞0），f（x）=•﹣且f（x）的最小正周期是π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若f（α）=（≤a≤π），求sin2α值；（Ⅲ）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称，且方程g（x）﹣k=0在区间[﹣π，﹣π]上有解，求k的取值范围．，==；=；cos sin=（﹣）×（﹣×﹣=…+=k，3+与+﹣）+与﹣平行，kk=（﹣﹣=）的人数为：）的人数为：）的人数为：=20. 解：如图，在Rt△OD中，设∠EOD=θ，则OD=cosθ，ED=sinθ又CD=OD﹣OC==，∴S CDEF=ED•CD=sinθ（cosθ﹣sinθ）=3sinθcosθ﹣sin2θ=sin2θ﹣=sin（2θ+）﹣．当2θ+=，即时，S最大=．（Ⅱ）令ED与OM的交点为N，FC与OM的交点为P，则EN=sinφ，于是ED=2sinφ，又CD=PN=ON﹣OP=cosφ﹣=﹣3sinφ，∴S CDEF=ED•CD=2sinφ（）=3sin2φ﹣3（1﹣cos2φ）=6sin（2φ+）﹣3．当22φ+=，即φ=时，y取得最大值为：6﹣3．∵6﹣3，（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式下矩形面积的最大值为方式（Ⅱ）．21. 解：（Ⅰ）由题意可得f（x）=•﹣=sin2ωx+sinωx•cosωx=+sin2ωx﹣=sin（2ωx﹣），且f（x）的周期为π=，求得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin（2x﹣），根据f（α）=sin（2α﹣）=（≤α≤π），可得2α﹣∈[，π]，∴cos（2α﹣）=﹣．∴sin2α=sin[（2α﹣）+]=sin（2α﹣）cos+cos（2α﹣）sin=+（﹣）×=．（Ⅲ）由于函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称，区间[﹣π，﹣π]关于直线x=﹣的对称区间是[0，]，故本题即求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．令t=2x﹣，∵x∈[0，]，可得t∈[﹣，]，∴sint∈[﹣，1]，即k的范围为[﹣，1]．。
江苏省南通市如东县2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
f
11
f
2 即可求
得 x 的取值范围.
【详解】 函数
f
x 是定义在
R
上的偶函数，且
f
x
在区间
[0,
)
上是减函数，
函数 f x在区间 , 0上是增函数
f x f 2
f x f 2
x 2 x 2 或 x ≤ 2
解集为 , 2 2, 故答案为： , 2 2,
【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题，直观想象能力，属于中等题 型.
2
，
B
3,
4 ，则与
AB
共线的单位向量为（
）
A.
2, 2
2 2
B.
2 , 2
2 2
C.
2, 2
2 2
或
2 , 2
2 2
2, 2
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
AB
由题意写出
2,
2.可设与
AB
e
共线的单位向量
m, m ，由
e
1
，即可求解.
AB
2,
2
【详解】由题意
设与
AB
共线的单位向量
2
1 2
sin
3 2
cos
2
cos2
2
1 4
sin 2
3 4
cos2
cos2
1 sin2 3 cos2 cos2
2
2
1 sin2 1 cos2
2
2
1 2
故选： B
【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，三角函数的化简与求值，考察计算能力，属于中
江苏省南通市如东高级中学2019_2020学年高一数学下学期6月第二次阶段测试试题含解析
江苏省南通市如东高级中学2019-2020学年高一数学下学期6月第二次阶段测试试题（含解析）一、选择题1.在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于xOy 平面的对称点的坐标是 A. (－2，1，－4) B. (－2，－1，－4) C. (2，－1，4) D. (2，1，－4)【答案】A 【解析】过点P 向xOy 平面作垂线，垂足为N ，则N 就是点P 与它关于xOy 平面的对称点P′连线的中点，又N (－2，1，0)，所以对称点为P′(－2，1，－4)，故选A.2.圆222210x y x y +--+=的点到直线4x y -=距离的最小值是（ ）A. 1+B. 2C. 1D. 1【答案】C 【解析】分析】将圆的方程化为标准方程，利用点到直线的距离公式，判断直线与圆的位置关系，即可得答案；【详解】圆的方程可化为()()22111x y -+-=，圆心()1,1C ，1r =，圆心C 到直线40x y --=的距离为d r ==>，故圆与直线2x y -=相离，所以圆222210x y x y +--+=上的点到直线4x y -=的距离的最小值是1-. 故选：C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.3.已知三棱柱111ABC A B C -的体积为120，点,P Q 分别在侧棱11,AA CC 上，且1PA QC =，则三棱锥1B BPQ -的体积为（ ）A. 20B. 30C. 40D. 60【答案】C 【解析】 【分析】利用B ACQP V -与11B ACC A V -，11B ACC A V -与111B A B C V -，111B AB C V -与棱柱的体积V 的关系求解，得到答案.【详解】设三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，则V =120，如图所示，由四边形APQC 的面积为11ACC A 面积的12，则B ACQP V -12=11B ACC A V - 又11113B A BC V V -=，又11111B A B C B ACC A V V V --+=，得1123B ACC A V V -= 得13B ACQPV V -=，同理，11113B AC QP V V -=，故三棱锥1B BPQ -的体积为13V即三棱锥1B BPQ -的体积为40. 故选：C.【点睛】本题考查了三棱锥的体积，根据体积公式得到棱锥间的体积关系，棱锥的体积与棱柱的体积的关系，还考查了学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题.4.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下： 零件数x （个） 2 3 4 5 加工时间y （分钟） 30a4050根据上表可得回归方程y 811x ∧=+，则实数a 的值为（ ） A. 34B. 35C. 36D. 37【答案】C 【解析】 【分析】求出(),x y ，代入回归方程，即可得到实数a 的值． 【详解】根据题意可得：23453.54x +++==,30405012044a a y ++++==，根据回归方程过中心点(),x y 可得：1208 3.5114a+=⨯+，解得：36a =； 故选：C【点睛】本题主要考查线性回归方程中参数的求法，熟练掌握回归方程过中心点(),x y 是关键，属于基础题．5.已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）A.3【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据其表面积为3π，得到23rl r +=，再由它的侧面展开图是一个半圆，得到r l 2π=π，联立求得半径和高，利用体积公式求解. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ， 因为其表面积为3π， 所以23rl r πππ+=， 即23rl r +=，又因为它的侧面展开图是一个半圆， 所以r l 2π=π， 即2l r =，所以1,2,r l h ====所以此圆锥的体积为2113333V r h πππ==⨯=. 故选：A【点睛】本题主要考查圆锥的表面积和体积的计算以及侧面展开图问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.在四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，6AD =，4BC =，2EF =，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为（ ） A.34B.56C.910D.1112【答案】D 【解析】 【分析】取CD 的中点G ，连接EG ，FG ， 则EGF ∠为异面直线AD 与BC 所成的角（或补角），再利用余弦定理求解可得.【详解】取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则//FG BC ，//EG AD ， 则EGF ∠为异面直线AD 与BC 所成的角（或补角），因为122FG BC ==，132EG AD ==， 所以49211cos 22312EGF +-∠==⨯⨯， 故异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为1112.故选：D【点睛】本题考查异面直线所成角，考查运算求解能力与空间想象能力. 用平移法求异面直线所成的角的步骤一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角二证：即证明作出的角是异面直线所成的角三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角7.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A.23B.13C. 1 2D.56【答案】A 【解析】 【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A 和事件B 发生的概率，又通过列举可得事件A 和事件B 为互斥事件，进而得出事件A 或事件B 至少有一个发生的概率即为事件A 和事件B 的概率之和．【详解】事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”， ∴P (A )2163==，P (B )2163==， 又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6， 所以事件A 和事件B 为互斥事件，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为P （A ∪B ）＝P (A )+P (B )112333=+=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题． 8.在平面直角坐标系中，已知圆22:4O x y +=，过点()1,1P 的直线l 交圆O 于,A B 两点，且2AP PB =，则满足上述条件的所有直线斜率之和为（ ） A. 83- B. 83C. 38-D. 38【答案】A 【解析】 【分析】设弦AB 的中点为E ，连OP ，OE ，OA ，先根据2AP PB =及垂径定理推出274OE =，再由点斜式设出直线l 的方程：1(x 1)y k -=-，根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离OE ，列式得出23830k k ++=，然后由韦达定理即可得出所有直线斜率之和． 【详解】解：设弦AB 的中点为E ，连OP ，OE ，OA ，如图所示： 根据垂径定理得：OE AB ⊥，2AP PB =，E 为AB 的中点．所以16PE AB =，在Rt OEP △中222||||||PE OP OE =-， 221()2||6AB OE ∴=-，∴2212||36AB OE =-① 在Rt OEA 中，222||||||AE OA OE =-，221()4||2AB OE ∴=-②由①②消去AB 得：274OE =， 设直线l 的方程为：1(x 1)y k -=-，即10kx y k -+-=， 所以O 到直线l 的距离21OE k =+，∴22(1)714k k -=+，整理得：23830k k ++=，1283k k ∴+=-，所以所有直线斜率之和为83-. 故选：A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程、直线方程、直线与圆的弦长、点到直线距离公式和垂径定理的应用，考查数形结合思想和运算能力. 9.在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosCa b c==，则∠B 的大小是（ ） A.12πB.6π C.4π D.3π 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理，可得111tan tan tan 235A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，再结合公式tan tan()B A C =-+，列出关于k 的方程，解出k 后，进而可得到B 的大小.【详解】解：∵2cosA 3cosB 5cosCa b c ==，∴sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B CA B C ==，即111tan tan tan 235A B C ==， 令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >， ∵tan tan tan tan()tan tan 1A CB AC A C +=-+=-，∴273101k k k =-，解得3k =，∴tan 3B k ==，B ＝3π． 故选：D .【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k 表示tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =是本题关键10.如图所示，三棱锥S ABC -中，ABC 与SBC 都是边长为1的正三角形，32SA =，若S ，A ，B ，C 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A.73π B.133π C.43π D. 3π【答案】A 【解析】 【分析】设BC 中点为D ，连接,SD AD ，则可推出SDA ∠即为二面角S BC A --的平面角，设,M N 分别为等边ABC 与SBC 的中心，在平面SAD 内，过点,M N 分别作直线垂直于,AD SD ，则两条垂线的交点即为球心O ，球O 的半径为OA ，最后结合数据求出OA 即可求出球的表面积.【详解】如图所示，设BC 中点为D ，连接,SD AD ，则3SD AD ==,SD BC AD BC ⊥⊥, 故SDA ∠即为二面角S BC A --的平面角， 又32SA =，由余弦定理可得23SDA π∠=. 设,M N 分别为等边ABC 与SBC 的中心，则3DM DN ==在平面SAD 内，过点,M N 分别作直线垂直于,AD SD ， 则两条垂线的交点即为球心O ， 连接OD ，则3ODM π∠=,在Rt ODM 中，1tan32OM DM π=⋅=，设球O 的半径为R ，则22221372312R OA ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以球O 的表面积为2743S R ππ==.故选：A.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，考查学生的空间思维和想象能力，解题关键是作出外接球的球心. 二、多选题11.如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2EF =，则下列结论正确的是（ ）A. AC ⊥平面BEFB. ,AE BF 始终在同一个平面内C. //EF 平面ABCDD. 三棱锥A BEF -的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，依次分析：如图可知1D D AC ⊥，连接BD 交AC 于点O ，则AC BD ⊥，通过线面垂直的判定定理可证出AC ⊥平面11BB D D ，即可证出AC ⊥平面BEF ，可判断A 正确；根据A ，B ，E ，F 不在一个平面进而断定B 错误；由于//EF BD ，根据线面平行的判定，即可判断出C 正确；可分别求得BEFS和AO ，且AO ⊥平面BEF ，则求出三棱锥A BEF-的体积，且为定值，即可判断D 项正确.【详解】解：由题可知，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1， 则1D D ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，1D D AC ∴⊥，连接BD 交AC 于点O ，则AC BD ⊥， 而1D D BD D ⋂=，1,D D BD ⊂平面11BB D D ，AC ∴⊥平面11BB D D ，由于是,E F 线段11B D 上的两个动点，则AC ⊥EF ，BE ⊂平面11BB D D ，AC BE ∴⊥，又BEEF E =，所以AC ⊥平面BEF ，故选项A 正确；B ，E ，F 同在平面11BB D D 上，而A 不在平面11BB D D 上， AE ∴，BF 不在同一个平面内，故选项B 错误；//EF BD ，BD ⊂面ABCD ，EF ⊂/面ABCD ， //EF ∴平面ABCD ，故选项C 正确；由于EF =，11B B =，且1BB EF ⊥，11112224BEF S EF B B ∴=⋅=⨯⨯=△，由于AC ⊥平面BEF ，则AO ⊥平面BEF ，2AO =111334212A BEF BEF V S AO -∴=⋅=⨯=△，由于底面积和高都不变，则体积为定值，故选项D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，线面平行的判定，以及空间中直线与平面的位置关系和棱锥的体积公式，考查推理证明能力. 12.在三角形ABC 中，下列命题正确的有（ ） A. 若30A =︒，4b =，5a =，则三角形ABC 有两解 B. 若0tan tan 1A B <⋅<，则ABC ∆一定是钝角三角形C. 若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC ∆一定是等边三角形D. 若cos cos a b c B c A -=⋅-⋅，则ABC ∆的形状是等腰或直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理可得A 错误，由0tan tan 1A B <⋅<可推出cos cos sin sin 0A B A B ->，然后可得B正确，由()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，然后可推出C正确，由cos cos a b c B c A -=⋅-⋅可得sin sin sin cos sin cos A B C B C A -=-，然后可推出D 正确. 【详解】因为30A =︒，4b =，5a = 所以由正弦定理得sin 2sin 5b A B a ==，b a < 所以B 角只有一个解，故A 错误 由0tan tan 1A B <⋅<，即 sin sin 01cos cos A BA B<<所以cos cos sin sin 0A B A B ->，即cos()0A B +> 所以2A B π+<，所以2C A B ππ=-->，故ABC ∆一定是钝角三角形 故B 正确因为()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=所以()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-= 所以60A B C ===︒，故C 正确 因为cos cos a b c B c A -=⋅-⋅所以sin sin sin cos sin cos A B C B C A -=- 所以sin sin cos sin sin cos A C B B C A -=- 因为sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=所以sin cos sin cos B C A C =，所以cos 0C =或sin sin A B = 所以2C π=或A B =，所以ABC ∆的形状是等腰或直角三角形故选：BCD【点睛】本题考查的是正弦定理及三角形的和差公式在解三角形中的应用，属于中档题. 三、填空题13.若一组数据3，x ，2，4，5的平均数为3，则该组数据的方差是________. 【答案】2 【解析】 【分析】通过平均数求出x ，再利用方差公式求出方差得解. 【详解】由已知可得：()1324535x ++++=，解得1x =. 则该组数据的方差是()()()()()222221331323435325⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦. 故答案为：2【点睛】本题考查了平均数和方差的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.14.过点(1,1)P 作圆22210x y x ++-=的切线，切点为A ，则PA =________.【解析】 【分析】先求出圆C 的圆心为(1,0)-，半径为2，再利用勾股定理求解.【详解】由题得22(1)2x y ++=，所以圆C 的圆心为(1,0)-，半径为2. 所以22||(11)15PC =++=， 所以22||523PA =-=.故答案为：3【点睛】本题主要考查圆的一般方程，考查切线长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，若记→→=AB a ，AD b →→=，AC c →→=，则AG →=______.【答案】111244a b c →→→++【解析】 【分析】利用三角形加法运算法则得出AG AB BG →→→=+，再根据平行四边形运算法则和向量减法运算，即可化简求出结果.【详解】解：在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点， 则AG AB BG →→→=+12AB BE →→=+11()22AB BC BD →→→=+⨯+1()4AB AC AB AD AB →→→→→=+-+-111442AB AC AD AB →→→→=++-111244AB AD AC →→→=++. 故答案为：111244a b c →→→++.【点睛】本题考查空间向量的加减法运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．16.从正方体1111ABCD A B C D -上截下一个角，得三棱锥A EFG -.如果该三棱锥的三个侧面面积分别为1,2,4，则该三棱锥的底面EFG 的面积是______. 【答案】21 【解析】 【分析】根据棱锥的三个侧面面积分别为1,2,4，可求出,,AE AF AG ，从而求出,,EF EG FG ，再根据三边边长，求出EFG 的面积.【详解】如图所示，三棱锥的三个侧面面积分别为1,2,4，不妨设AEF ，AGF ，AEG △的面积分别为1,2,4，则2AE AF ⋅=，4AG AF ⋅=，8AG AE ⋅=，则8AE AF AG ⋅⋅=， 得4,2,1AG AE AF ===，得5,20,17EF GE GF ===，2222cos 25EF EG GF FEG EF EG +-∠==⋅⋅，则221sin 1cos 5FEG FEG ∠=-∠=故底面EFG 的面积1121sin 52021225S EF EG FEG =⋅⋅⋅∠==. 21【点睛】本题考查了三棱锥侧面积的概念，解直角三角形，由三角形三边长求三角形的面积，余弦定理，是立体几体与解三角形的综合题，属于中档题.三、解答题17.锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若b =且()2cos cos cos +=B a C c A b .（1）求ABC 的外接圆直径； （2）求a c +的取值范围. 【答案】（1）1；（2）32⎛+∈ ⎝a c . 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角函数化简题中等式可得1cos 2B =，从而求出3B π=，然后再利用正弦定理求出外接圆直径即可；（2）由正弦定理将a c +变形为sin sin A C +，然后利用三角函数即可求出取值范围. 【详解】（1）因为()2cos cos cos ⋅+=B a C c A b ，由正弦定理可得，()2cos sin cos sin cos sin +=B A C C A B ， 即()2cos sin sin +=B A C B ，所以2cos sin sin B B B =， 因为sin 0B ≠，故1cos 2B =， 又()0,B π∈，故3B π=，由正弦定理得21sin ===bR B ，即ABC 的外接圆直径为1； （2）由正弦定理可得，21sin sin a cR A C===，∴3sin sin sin sin sin cos 3226a c A C A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又由题意可得022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<，所以2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥⎪⎝⎭⎝⎦，∴32⎛+∈ ⎝a c . 【点睛】本题综合考查了三角函数与解三角形的应用，属于中档题，综合性较强.在解三角形题中，常利用基本不等式或者三角函数求最值，本题也可考虑用基本不等式结合三边关系求范围.18.在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O为圆心的圆与直线40x -=相切． (1)求圆O 的方程．(2)直线:3l y kx =+与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由． 【答案】（1）x 2+y 2=4.（2）直线l 的斜率为±. 【解析】试题分析：（1）先根据圆心到切线距离等于半径求r ，再根据标准式写圆方程（2）由题意得OM 与AB 互相垂直且平分,即得原点O 到直线l 的距离，再根据点到直线距离公式求直线斜率试题解析：（1）设圆O 的半径长为r ,因为直线x-4=0与圆O 相切,所以r=2.所以圆O 的方程为 x 2+y 2=4.（2）假设存在点M ,使得四边形OAMB 为菱形,则OM 与AB 互相垂直且平分,所以原点O 到直线l :y =kx +3的距离d =12|OM|=1.=1,解得k 2=8,即k =±经验证满足条件.所以存在点M ,使得四边形OAMB 为菱形，此时直线l 的斜率为±. 19.某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月（5-10）月）的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示.（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y（单位：百万元）与月份代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并据此预测该公司2020年5月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表）.若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？使用寿命1个月2个月3个月4个月总计材料类型A 20 35 35 10 100 B10 30 40 20 100参考数据：6196 iiy==∑，61371 i iix y==∑.参考公式：回归直线方程y bx a=+，其中()()()()1122211====---==--∑∑∑∑n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxybx x x nx，=-a y bx.【答案】（1）29y x =+，35百万元；（2）采购B 新型材料. 【解析】 【分析】（1）通过折线图得到统计数据(),x y ，然后分别求得x ，y ，b ，a ，写出回归方程，然后将13x =代入求预测值.（2）由频率估计概率，分别得到A 型，B 型材料使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率，然后利用均值公式求解，再根据其大小下结论. 【详解】（1）由折线图可知统计数据(),x y 共有6组，即（1，11），（2，13），（3，16），（4，15），（5，20），（6，21）. 计算可得()1123456 3.56x =+++++=，()1111315162021166=+++++=y ， 616222163716 3.5162916356==--⨯⨯===-⨯⋅-∑∑i ii i i x y xyb x x， 162 3.59a y bx =-=-⨯=.∴月度利润x 与月份代码x 之间的线性回归方程为29y x =+，当13x =时，213935y =⨯+=.故预计甲公司2020年5月份的利润为35百万元； （2）由频率估计概率，A 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，∴A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为110.220.3530.3540.1 2.35=⨯+⨯+⨯+⨯=x ；B 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，∴B 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为210.120.330.440.2 2.7=⨯+⨯+⨯+⨯=x .∵12x x <，∴应该采购B 新型材料.【点睛】本题主要考查线性回归直线方程的求法及应用以及均值的求法及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是线段AB 上的动点.（1）线段AB 上是否存在点D ，使得1//AC 平面1B CD ？若存在，请写出ADDB值，并证明此时，1//AC 平面1B CD ；若不存在，请说明理由； （2）已知平面11ABB A ⊥平面1CDB ，求证：CD AB ⊥.【答案】（1）存在，1=ADDB，证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）在线段AB 上存在点D ，当1=ADDB时，1//AC 平面1B CD ，连接1BC ，交1B C 于点E ，连接DE ，则点E 是1BC 的中点，证明1//DE AC 即可；（2）过B 作1⊥BP DB 并交1DB 于点P ，由平面11ABB A ⊥平面1CDB 可得BP ⊥平面1CDB ，从而得到CD BP ⊥，然后再证明1CD BB ⊥，然后可得CD ⊥平面11ABB A ，可得CD AB ⊥.【详解】（1）在线段AB 上存在点D ，当1=ADDB时，1//AC 平面1B CD .证明如下：连接1BC ，交1B C 于点E ，连接DE ，则点E 是1BC 的中点，又当1=ADDB，即点D 是AB 的中点，由中位线定理得1//DE AC ， ∵DE ⊂平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ， ∴1//AC 平面1B CD .（2）证明：过B 作1⊥BP DB 并交1DB 于点P ，又∵平面11ABB A ⊥平面1CDB ，BP ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A 平面11=CDB DB ，∴BP ⊥平面1CDB ，又∵CD ⊂平面1CDB ，∴CD BP ⊥.在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， ∴1CD BB ⊥，又∵1BB ⊂平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，1=BB BP B ，∴CD ⊥平面11ABB A . 又∵AB平面11ABB A ，∴CD AB ⊥.【点睛】本题主要考查的是立体几何中的平行和垂直关系，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.21.为了贯彻落实中央､省､市关于新型冠状病毒肺炎疫情防控工作要求，积极应对新型冠状病毒疫情，切实做好2020年春季开学工作，保障校园安全稳定，普及防控知识，确保师生生命安全和身体健康.某校开学前，组织高三年级800名学生参加了“疫情防控”网络知识竞赛(满分150分).已知这800名学生的成绩均不低于90分，将这800名学生的成绩分组如下：第一组[)90,100，第二组[)100,110，第三组[)110,120，第四组[)120130,，第五组[)130140,，第六组[]140,150，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求a 的值并估计这800名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；（2）该校“群防群控”督查组为更好地督促高三学生的“个人防控”，准备从这800名学生中取2名学生参与督查工作，其取办法是：先在第二组､第五组､第六组中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生.记这2名学生的竞赛成绩分别为x ､y .求事件20x y -≤的概率.【答案】（1）0.035a =，120；（2）715 【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可知a 值，从而可由公式求出这800名学生的平均成绩；（2）由分层抽样得出这三组抽取的人数分别为2，3，1，然后用列举法求出从这6名学生中随机抽取2名学生的所有可能情况，利用古典概率公式求出事件20x y -≤的概率.【详解】（1）由频率分布直方图可知0.01020.0250.0150.00511)0(a ⨯++++⨯=， 解得0.035a =，这800名学生数学成绩的平均数为：950.010101050.010101150.02510⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯1250.035101350.015101450.00510120+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；（2）由题意可知：第二组抽取2名学生，其成绩记为A ，B ，则100A ≤，110B <； 第五组抽取3名学生，其成绩记为C ，D ，E ，则130140，，C D E ≤<；第六组抽取1名学生，其成绩记为F ，则140150F ≤≤；现从这6名学生中抽取2名学生的成绩的基本事件为：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ， (),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共15个. 其中事件20x y -≤包含的基本事件为：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7个；记“这2名学生的竞赛成绩分别为x ､y ，其中20x y -≤”为事件M ，则()715P M =. 【点睛】本题主要考查了分层抽样方法，古典概型及其概率公式的计算，频率分布直方图中平均数的估计等知识.22.平行四边形ABCD 中，,2,2AB BD AB BD ⊥==，沿BD 将BCD 折起，使二面角A BD C --是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ．（1）当α为何值时，三棱锥C OAD-的体积最大？最大值为多少？（2）当AD BC ⊥时，求α的大小． 【答案】(1) 当45α=︒时，三棱锥-O ACD 的体积最大，最大值为23;(2) 60α=︒. 【解析】【分析】（1）由题意可得BD ⊥OD ，可得12AOD S OD BD =⋅△，OC ⊥平面ABDO ，利用三棱锥的体积计算公式和正弦函数的单调性即可得出； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，由0AD BC AD BC ⊥⇔⋅=，即可得出．【详解】（1）由题知OD 为CD 在平面ABD 上的射影，∴CO ⊥平面ABD ，CO BD ∴⊥，∵,,BD CD OC CD C BD ⊥=∴⊥平面OCD ，∴BD ⊥OD ，ODC ∴∠二面角A BD C --的平面角∴α∠=ODC ，则sin ,cos OC CD OD CD αα==． ∴111332-=⋅=⋅⋅⋅⋅△C AOD AOD V S OC OD BD OC 2222sin cos 2OD OC CD CD ααα=⋅=⋅⋅⋅=≤当且仅当sin21α=，即45α=︒时取等号，∴当45α=︒时，三棱锥C AOD -的体积最大，最大值为23．（2）过O 作OE ⊥AB 于E ，则OEBD 为矩形，以O 为原点，OE ，OD ，OC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2cos ,0),(2,2cos 2,0),(2,2cos ,0),O A B D ααα-(0,0,2sin ),(2,2,0),(2,2cos ,2sin )C AD BC ααα=-=--由AD BC ⊥，得0AD BC ⋅=，∴(2)(2)2(2cos )02sin 0αα-⨯-+⨯-+⨯=，得1cos 2α=，又α为锐角，∴60α=︒．【点睛】本题考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做.。
江苏省如东高级中学2019-2020学年高一下学期第二次阶段测试数学试题
江苏省如东高级中学第二学期第二次阶段性测试高一数学试题考试时间：120分钟 2020.06一．选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．在空间直角坐标系中，点(2P -，1，4)关于xOy 平面对称点的坐标是 ( ) A ．(2-，1，4)-B ．(2-，1-，4)-C ．(2，1-，4)D ．(2，1，4)-2．圆222210x y x y +--+=的点到直线4x y -=距离的最小值是 ( )A ．1+B ．2C ．1D ．1+3．已知三棱柱111ABC A B C -的体积为120，点P ，Q 分别在侧棱1AA ，1CC 上，且1PA QC =，则三棱锥1B BPQ -的体积为 () A ．20 B ．30 C ．40 D ．604．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得数据如表：根据上表可得回归方程ˆ811y x =+，则实数a 的值为 ( )A ．34B ．35C ．36D ．375．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 ( )A B C D6．在四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点,6AD =，4BC =，EF =，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为 ( ) A ．34B ．56C ．910D ．11127．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为 ( )A ．23 B ．13C ．12D ．568．在平面直角坐标系中，已知圆22:4O x y +=，过点(1,1)P 的直线l 交圆O 于,A B 两点，且2AP PB =，则满足上述条件的所有直线斜率之和为 ( )A ．83-B ． 83C ． 38-D ． 389．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cos 3cos 5cos a b cA B C==，则B ∠的大小是 ( ) A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 10．如图所示，三棱锥S ABC -中，ABC ∆与SBC ∆都是边长为1的正三角形，32SA =，若S ，A ，B ，C 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为( ) A ．73πB ．133π C ．43πD ．3π二．多选题（本题共2小题，每小题5分，共10分，选对得5分，漏选得3分，选错得0分） 11．如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论正确的是 ( ) A ．AC ⊥平面BEFB ．AE ，BF 始终在同一个平面内C ．//EF 平面ABCDD ．三棱锥A BEF -的体积为定值12．在三角形ABC 中，下列命题正确的有( ) A ．若30A =︒，4b =，5a =，则三角形ABC 有两解B ．若0tan tan 1A B <<，则ABC ∆一定是钝角三角形C ．若cos()cos()cos()1A B B C C A ---=，则ABC ∆一定是等边三角形D ．若cos cos a b c B c A -=-，则ABC ∆的形状是等腰或直角三角形 三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若一组数据3，x ，2，4，5的平均数为3，则该组数据的方差是 ． 14．过点(1,1)P 作圆22210x y x ++-=的切线，切点为A ，则||PA = ．15．在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点， 若记,,AB a AD b AC c ===，则AG = ．16．从正方体1111ABCD A B C D -上截下一个角，得三棱锥A EFG -．如果该三棱锥的三个侧面面积分别为1，2，4，则该三棱锥的底面EFG 的面积是 ．四．解答题（本大题共6小题，计70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3b =且2cosB(a cosC+ccosA)=b ． （1）求ABC ∆的外接圆直径； （2）求ac +的取值范围． 18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线340x y --=相切．(1)求圆O 的方程．(2)直线:3l y kx =+与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由． 19．（本小题满分12分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月(510-月）的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示． （1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y （单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测该公司2020年5月份的利润； （2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A ，B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对A ，B 两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表)．若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？使用寿命 材料类型1个月 2个月 3个月 4个月 总计A 20 35 35 10 100 B10304020100参考数据：196i i y ==∑，1371i i i x y ==∑．参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中1122211()()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x y nxyb xx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆˆay bx =-． 20．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是线段AB 上的动点． （1）线段AB 上是否存在点D ，使得1//AC 平面1B CD ？若存在，请写出ADDB值，并证明此时，1//AC 平面1B CD ；若不存在，请说明理由； （2）已知平面11ABB A ⊥平面1CDB ，求证：CD AB ⊥． 21．（本小题满分12分）为了贯彻落实中央、省、市关于新型冠状病毒肺炎疫情防控工作要求，积极应对新型冠状病毒疫情，切实做好2020年春季开学工作，保障校园安全稳定，普及防控知识，确保师生生命安全和身体健康．某校开学前，组织高三年级800名学生参加了“疫情防控”网络知识竞赛（满分150分）．已知这800名学生的成绩均不低于90分，将这800名学生的成绩分组如下：第一组[90，100)，第二组[100，110)，第三组[110，120)，第四组[120，130)，第五组[130，140)，第六组[140，150]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a 的值并估计这800名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）该校“群防群控”督查组为更好地督促高三学生的“个人防控”，准备从这800名学生中选取2名学生参与督查工作，其选取办法是：先在第二组、第五组、第六组中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生．记这2名学生的竞赛成绩分别为x 、y ．求事件||20x y -的概率．22．（本小题满分12分）平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，2AB =，2BD =，沿BD 将BCD ∆折起，使二面角A BD C --是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ．（1）当α为何值时，三棱锥C-OAD 的体积最大？最大值为多少？ （2）当AD BC ⊥时，求α的大小．江苏省如东高级中学第二学期第二次阶段性测试高一数学参考答案1．A ． 2．C ． 3．C ． 4．C ． 5．A ． 6．D ． 7．A ． 8．A ． 9．D ． 10．A ． 11．ACD ． 12．BCD ． 13．2． 1415．111244a b c =++ 1617．解：（1）因为2cos (cos cos )B a C c A b +=， 由正弦定理可得，2cos (sin cos sin cos )sin B A C C A B +=， 即2cos sin()sin B A C B +=，所以2cos sin sin B B B =， 因sin 0B ≠，故1cos 2B =且(0,)B π∈，故3B π=， ……3分由正弦定理21sin bR B ===，即外接圆直径1， ……5分 （2）由正弦定理可得，2sin sin a cR A C==，1sin sin sin sin()sin sin 32a c A C A A A A A π∴+=+=++=+3sin 2A A =)6A π=+， 7分 由题意可得，022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解可得62A ππ<<，所以2(,)633A πππ+∈，sin()6A π∴+∈，∴3(2a c +∈． ……10分18．（1）设圆O 的半径长为r ,因为直线xy -4=0与圆O 相切,所以 r=2.所以圆O 的方程为 x 2+y 2=4. ……5分 （2）假设存在点M ,使得四边形OAMB 为菱形,则OM 与AB 互相垂直且平分,所以原点O 到直线l :y =kx +3的距离d =12|OM|=1.=1,解得k 2=8,即k =±, 经验证满足条件.所以存在点M ,使得四边形OAMB 为菱形，此时直线l 的斜率为±. ……12分 19．解：（1）由折线图可知统计数据(,)x y 共有6组， 即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)．计算可得1(123456) 3.56x =+++++=，1(111315162021)166y =+++++=，616222163716 3.516ˆ2916356i ii ii x yxybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑， ……2分ˆˆ162 3.59ay bx =-=-⨯=． ……4分 ∴月度利润x 与月份代码x 之间的线性回归方程为ˆ29y x =+， ……5分 当13x =时，ˆ213935y=⨯+=．故预计甲公司2020年5月份的利润为35百万元； ……6分（2）由频率估计概率，A 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，A ∴型新材料对应产品的使用寿命的平均数为110.220.3530.3540.1 2.35x =⨯+⨯+⨯+⨯=；……9分B 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， B ∴型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为210.120.330.440.2 2.7x =⨯+⨯+⨯+⨯=．12x x <，∴应该采购B 新型材料． ……12分20．（1）解：在线段AB 上存在点D ，当1ADDB=时，1//AC 平面1B CD ． 证明如下：连接1BC ，交1B C 于点E ，连接DE ，则点E 是1BC 的中点， 又当1ADDB=，即点D 是AB 的中点，由中位线定理得1//DE AC ， DE ⊂平面1B CD ，1AC ⊂/平面1B CD ， 1//AC ∴平面1B CD ． ……6分（2）证明：过B 作1BP DB ⊥并交1DB 于点P ，又平面11ABB A ⊥平面1CDB ，BP ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A ⋂平面11CDB DB =，BP ∴⊥平面1CDB ，又CD ⊂平面1CDB ，CD BP ∴⊥．在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 1CD BB ∴⊥，又1BB ⊂平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，1BB BP B =，CD ∴⊥平面11ABB A ．又AB ⊂平面11ABB A ，CD AB ∴⊥． ……12分21．解：（1）由频率分布直方图可知(0.01020.0250.0150.005)101a ⨯++++⨯=，解得0.035a =． ……2分 这800名学生数学成绩的平均数为：950.010101050.010101150.025101250.035101350.015101450.00510120⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．……5分（2）由题意可知：第二组抽取2名学生，其成绩记为A ，B ，则100A ，110B <， 第五组抽取3名学生，其成绩记为C ，D ，E ，则130C ，D ，140E <， 第六组抽取1名学生，其成绩记为F ，则140150F ， 现从这6名学生中抽取2名学生的成绩的基本事件为：(,)A B ，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)A F ，(,)B C ，(,)B D ，(,)B E ， (,)B F ，(,)C D ，(,)C E ，(,)C F ，(,)D E ，(,)D F ，(,)E F 共15个．其中事件||20x y -包含的基本事件为：(,)A B ，(,)C D ，(,)C E ，(,)C F ，(,)D E ，(,)D F ，(,)E F 共7个，记“这2名学生的竞赛成绩分别为x 、y ，其中||20x y -”为事件M ， 则事件||20x y -的概率为7()15P M =．……12分22．(1) 当45α=︒时，三棱锥O ACD -的体积最大，最大值为2;(2) 60α=︒. 【解析】（1）由题意可得BD ⊥OD ，可得1.2AODSOD BD =，OC ⊥平面ABDO ，利用三棱锥的体积计算公式和正弦函数的单调性即可得出；（2）由AD ⊥BO ，即可得出． 解：（1）由题知OD 为CD 在平面ABD 上的射影， ∵BD ⊥CD ，CO ⊥平面ABD ，∴BD ⊥OD ， ∴∠ODC=α，则OC=CDsin α，OD=CDcos α． ∴ -------3分==，当且仅当sin2α=1，即α=45°时取等号，∴当α=45°时，三棱锥O﹣ACD的体积最大，最大值为． --------6分（2）连接OB，分面面面面面9---,OCBDBOCOCBOCADBOCBCCOCBCCOBCADCOADABDADABDCO⊥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥，又因为BD⊥OD2,2ππ=∠+∠=∠+∠OBDABHABHDABBDORtABDRt∆∆∴相似于1,222,=∴=∴=ODODABBDBDOD中，的平面角，在为二面角）知由（ODCRtCBDAODC∆--∠121cos==∠CDODODC分12----3πα=∴。
2019-2020学年江苏省南通市如东县高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省南通市如东县高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．若直线ax+3y﹣5＝0经过点A（2，1），则实数a的值（）A．1B．2C．3D．42．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷两次，则向上的点数之和为4的概率为（）A．B．C．D．3．在△ABC中，已知，则角C等于（）A．B．C．D．4．已知直线l1：mx+y﹣1＝0，l2：（3m﹣2）x+my﹣2＝0，若l1∥l2，则实数m的值为（）A．2B．1C．1或2D．0或5．已知l，m为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题中真命题的是（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β6．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0截直线ax+y﹣1＝0所得的弦长为，则实数a＝（）A．﹣B．﹣C．D．27．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则直线BC1与平面BB1DD1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．8．已知关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如表的统计资料：x23456y 2.2 3.8 5.5 6.57.0由上表可得线性回归方程，若规定当维修费用y＞12时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用的年限不超过为（）A．7B．8C．9D．109．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为角A的角平分线，交BC于D，，，BD＝2，则b＝（）A．B．C．D．10．已知锐角三角形△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且b＝2a sin B，则cos B+sin C 的取值范围为（）A．（0，]B．（1，]C．（，）D．（，）二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．11．若圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x+8y+m＝0相切，则m的值可以是（）A．16B．7C．﹣4D．﹣712．如图，在三棱锥P﹣ABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝PA＝6，BC＝8，则（）A．三棱锥D﹣BEF的体积为18B．平面DEF截三棱锥P﹣ABC所得的截面面积为12C．点P与点A到平面BDE的距离相等D．直线PB与直线DF垂直三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13．若x1，x2，…，x n的方差为2，则2x1+3，2x2+3，…，2x n+3的方差为．14．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2a＝b+c，sin2A＝sin B sin C，则△ABC一定为．（用“直角三角形”“等边三角形”“等腰直角三角形”填空）15．设长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其顶点都在同一个球面上，则该球的半径为．16．已知凸四边形ABCD（指把四边形的任意一条边向两端无限延长成一直线时，其他各边都在此直线的同旁）中，边，对角线AC＝4，且∠ACB＝90°，又顶点D满足AD2+CD2＜16，则凸四边形ABCD的对角线BD长的范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，a cos C+c cos A＝2b cos A．（1）求A；（2）若B＝45°，a＝2，求b，c．18．在正四棱锥P﹣ABCD中，E，F分别为棱PA，PC的中点．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）求证：EF⊥平面PBD．19．某校疫情期间“停课不停学”，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三年级进行了一次网络模拟考试．全年级共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）．已知这100人中[110，120）分数段的人数比[100，110）分数段的人数多6人．（1）根据频率分布直方图，求a，b的值；并估计抽取的100名同学数学成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；（2）现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数恰在同一组内的概率．20．如图，在长方体ABCD﹣HKLE中，底面ABCD是边长为3的正方形，对角线AC与BD相交于点O，点F为线段AH上靠近点A的三等分点，BE与底面ABCD所成角为．（1）求证：AC⊥BE；（2）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．21．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）与直线l：3x+4y+12＝0相切．（1）求圆C的标准方程；（2）若动点M在直线y+6＝0上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A，B．①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值；②证明直线AB恒过定点．22．已知函数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）设g（x）＝f（x）+a，若函数g（x）在（1，2）上有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围；（3）设，是否存在正实数m，使得函数y＝h（x）在[1，2]内的最大值为4？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线ax+3y﹣5＝0经过点A（2，1），则实数a的值（）A．1B．2C．3D．4【分析】把点A（2，1）代入直线方程即可得出．解：∵直线ax+3y﹣5＝0经过点A（2，1），∴2a+3﹣5＝0，解得a＝1．故选：A．2．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷两次，则向上的点数之和为4的概率为（）A．B．C．D．【分析】分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．解：所有的基本事件共6×6＝36个，其中，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，∴出现向上的点数之和为4的概率是＝，故选：B．3．在△ABC中，已知，则角C等于（）A．B．C．D．【分析】由已知可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，利用余弦定理可求cos C＝﹣，结合范围C∈（0，π），可求C的值．解：∵，即a2+b2﹣c2＝﹣ab，∴cos C＝＝＝﹣，∵C∈（0，π），∴C＝．故选：D．4．已知直线l1：mx+y﹣1＝0，l2：（3m﹣2）x+my﹣2＝0，若l1∥l2，则实数m的值为（）A．2B．1C．1或2D．0或【分析】根据直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出m的值．解：当m＝0时，直线l1：y﹣1＝0，l2：x＝1，不满足l1∥l2．当m≠0时，∵直线l1：mx+y﹣1＝0，l2：（3m﹣2）x+my﹣2＝0，若l1∥l2，则＝≠，则实数m＝1，故选：B．5．已知l，m为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题中真命题的是（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β【分析】由直线与平面的位置关系判断选项A；由线面垂直的判定定理判断选项B；由面面平行的定义判断选项C；由面面垂直的性质定理判断选项D．解：对于A，若l∥m，m⊂α，则l∥α或者l⊂α，错误；对于B，l⊥m，m⊂α，l只与平面α内的一条直线垂直，根据线面垂直的判定定理，不能得到l垂直平面α，错误；对于C，若α∥β，m⊂α，则m∥β，正确；对于D，α⊥β，m⊂α，根据面面垂直的性质定理，若m不垂直于平面α和β的交线，则不能得到m垂直平面β，错误；故选：C．6．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0截直线ax+y﹣1＝0所得的弦长为，则实数a＝（）A．﹣B．﹣C．D．2【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．解：圆的方程可化为（x﹣1）2+（y﹣4）2＝4，所以圆心坐标为（1，4），由点到直线的距离公式得：d＝＝1，解得a＝﹣，故选：A．7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则直线BC1与平面BB1DD1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC1与平面BB1DD1所成角的正弦值．解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，2，0），C1（0，2，1），D（0，0，0），D1（0，0，1），＝（﹣2，0，1），＝（2，2，0），＝（0，0，1），设平面BB1DD1的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，0），设直线BC1与平面BB1DD1所成角为θ，则直线BC1与平面BB1DD1所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．故选：D．8．已知关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如表的统计资料：x23456y 2.2 3.8 5.5 6.57.0由上表可得线性回归方程，若规定当维修费用y＞12时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用的年限不超过为（）A．7B．8C．9D．10【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，再由＞12求得x 的范围得答案．解：，．则样本点的中心的坐标为（4，5.0），代入，得5.0＝4+0.08，即．∴线性回归方程为．由1.23x+0.08＝12，解得x＝9.69．∴据此模型预报该设备使用的年限不超过9年．故选：C．9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为角A的角平分线，交BC于D，，，BD＝2，则b＝（）A．B．C．D．【分析】利用正弦定理以及三角形的内角和结合三角形的形状忙着求解即可．解：因为，BD＝2，，，所以，，所以，，又因为，所以△ADC为等腰三角形，所以．故选：A．10．已知锐角三角形△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且b＝2a sin B，则cos B+sin C 的取值范围为（）A．（0，]B．（1，]C．（，）D．（，）【分析】由已知结合正弦定理进行化简可求sin A，进而可求A，结合锐角三角的条件可求B的范围，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质即可求解．解：因为b＝2a sin B，由正弦定理可得，sin B＝2sin A sin B，因为sin B≠0，故sin A＝，因为A为锐角，故A＝，由题意可得，，解可得，，则cos B+sin C＝cos B+sin（），＝cos B+cos B+，＝＝sin（B+）．故选：C．二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．11．若圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x+8y+m＝0相切，则m的值可以是（）A．16B．7C．﹣4D．﹣7【分析】化圆C2为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由圆心距与半径的关系列式求解m值．解：圆C2可化简为（x﹣4）2+（y+4）2＝32﹣m（m＜32）．由两圆相切，可得，解得m＝16或﹣4．故选：AC．12．如图，在三棱锥P﹣ABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝PA＝6，BC＝8，则（）A．三棱锥D﹣BEF的体积为18B．平面DEF截三棱锥P﹣ABC所得的截面面积为12C．点P与点A到平面BDE的距离相等D．直线PB与直线DF垂直【分析】A，由S△BEF＝．即可判定B，取PB中点M，连接DM、FM，可得平面DEF截三棱锥P﹣ABC所得的截面为矩形MFED，求得面积即可．C，由PA面DBE，即可判断，D，假设直线PB与直线DF垂直，就可得PB⊥面BDE，由AB⊥面BDE，根据过平面外一点只能作一条直线垂直某平面即可判断．解：对于A，可得DE＝，S△BEF＝．∴三棱锥D﹣BEF的体积为＝＝6，故错．对于B，如图，取PB中点M，连接DM、FM，可得平面DEF截三棱锥P﹣ABC所得的截面为矩形MFED，面积为MF•FE＝12，故正确．对于C，由已知可得PA面DBE，故点P与点A到平面BDE的距离相等，故正确，对于D，易得EF⊥PB，假设直线PB与直线DF垂直，就可得PB⊥面BDE，由AB⊥面BDE，根据过平面外一点只能作一条直线垂直某平面，故错．故选：BC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13．若x1，x2，…，x n的方差为2，则2x1+3，2x2+3，…，2x n+3的方差为8．【分析】根据数据mx1+a，mx2+a，…，mx n+a的方差为数据x1，x2，…，x n的方差的m2倍，代入数值即可求得结论．解：∵x1，x2，…，x n的方差为2，∴2x1+3，2x2+3，…，2x n+3的方差为x1，x2，…，x n的方差的22倍，即22×2＝8．故答案为：814．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2a＝b+c，sin2A＝sin B sin C，则△ABC一定为等边三角形．（用“直角三角形”“等边三角形”“等腰直角三角形”填空）【分析】利用正弦定理化简sin2A＝sin B sin C，得到a2＝bc，与2a＝b+c联立得到a＝b ＝c，可得出三角形ABC为等边三角形．解：由正弦定理化简sin2A＝sin B sin C，得到a2＝bc，又2a＝b+c，即a＝，∴a2＝＝bc，即（b+c）2＝4bc，∴（b﹣c）2＝0，即b＝c，∴2a＝b+c＝b+b＝2b，即a＝b，∴a＝b＝c，则△ABC为等边三角形．故答案为：等边三角形15．设长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其顶点都在同一个球面上，则该球的半径为．【分析】由长方体的对角线与其外接球的直径之间的关系，求出外接球的半径．解：由长方体的对角线等于其外接球的直径2R可得：（2R）2＝32+22+12，解得：R＝，故答案为：．16．已知凸四边形ABCD（指把四边形的任意一条边向两端无限延长成一直线时，其他各边都在此直线的同旁）中，边，对角线AC＝4，且∠ACB＝90°，又顶点D满足AD2+CD2＜16，则凸四边形ABCD的对角线BD长的范围是（）．【分析】将该四边形置于平面直角坐标系内，然后由AD2+CD2＜16可知，D点在以AC 直径的圆的下半圆内，数形结合即可解决问题．解：因为，对角线AC＝4，且∠ACB＝90°，如图建立平面直角坐标系．则C（0，0），A（4，0），B（0，），以AC为直径的圆M的圆心M（2，0），半径r＝2，故．因为AD2+CD2＜16＝AC2∴，∴∠ADC是钝角，所以D在半圆M内，可见：当D点与C重合时，BD的最小值为；当BD过圆心M，且D与Q重合时，BD取最大值BM+2＝6．因D在半圆M内，故．故答案为：（）．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，a cos C+c cos A＝2b cos A．（1）求A；（2）若B＝45°，a＝2，求b，c．【分析】（1）先利用正弦定理边化角，然后化简成关于A的一个角的三角函数形式，解方程即可；（2）结合（1）的结论，先求出C，然后利用正弦定理求另两边．解：（1）因为：a cos C+c cos A＝2b cos A由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A＝2sin B cos A．即sin（A+C）＝2sin B cos A＝sin B，显然sin B≠0．故cos A＝，∵A∈（0，π），∴．（2）结合（1）知A＝60°，B＝45°，∴C＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°cos45°+cos30°sin45°＝．∴，解得．18．在正四棱锥P﹣ABCD中，E，F分别为棱PA，PC的中点．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）求证：EF⊥平面PBD．【分析】（1）由已知利用中位线的性质可证EF∥AC，进而根据线面平行的判定即可证明EF∥平面ABCD．（2）连结AC，BD交于点O，连结PO，由已知可证PO⊥平面ABCD．利用线面垂直的性质可证PO⊥AC，由BD⊥AC，EF∥AC可证EF⊥PO，结合EF⊥BD利用线面垂直的判定即可证明EF⊥平面PBD．【解答】证明：（1）因为E，F分别为棱PA，PC的中点，所以EF∥AC，……………………又因为EF⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD．……………………（2）连结AC，BD交于点O，连结PO．因为P﹣ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD．又AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC．又因为BD⊥AC，EF∥AC，所以EF⊥PO，在正方形ABCD中AC⊥BD，EF∥AC，EF⊥BD．……………………又PO，BD⊂平面PBD，PO∩BD＝O，所以EF⊥平面PBD，……………………19．某校疫情期间“停课不停学”，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三年级进行了一次网络模拟考试．全年级共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）．已知这100人中[110，120）分数段的人数比[100，110）分数段的人数多6人．（1）根据频率分布直方图，求a，b的值；并估计抽取的100名同学数学成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；（2）现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数恰在同一组内的概率．【分析】（1）由频率分布直方图能求出a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的平均数．（2）设“抽取的2名同学的分数恰在同一组内”为事件A，在分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用a1，a2，a3，a4表示，在分数为[140，150]的同学中抽取2人，分别用b1，b2表示，从这6名同学中抽取2人，利用列举法能求出抽取的2名同学的分数恰在同一组内的概率．解：（1）依题意a+b＝0.046，1000（b﹣a）＝6，解得a＝0.020，b＝0.026，平均数为：75×0.02+85×0.08+95×0.14+105×0.2+115×0.26+125×0.15+135×0.1+145×0.05＝112．（2）设“抽取的2名同学的分数恰在同一组内”为事件A，由题意，在分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用a1，a2，a3，a4表示，在分数为[140，150]的同学中抽取2人，分别用b1，b2表示，从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）共15种，抽取的2名同学的分数恰在同一组内的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），a2，a3），（a2，a4），（a3，a4），（b1，b2），共7种，所以抽取的2名同学的分数恰在同一组内的概率为．20．如图，在长方体ABCD﹣HKLE中，底面ABCD是边长为3的正方形，对角线AC与BD相交于点O，点F为线段AH上靠近点A的三等分点，BE与底面ABCD所成角为．（1）求证：AC⊥BE；（2）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．【分析】（1）证明DE⊥AC，AC⊥BD，然后证明AC⊥平面BDE．推出AC⊥BE；（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，∠DBE为直线BE与平面ABCD所成的角，求出平面BEF的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角F﹣BE﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：因为在长方体ABCD﹣HKLE中，有DE⊥平面ABCD，因为AC⊂平面ABCD所以DE⊥AC，因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩DE＝D，从而AC⊥平面BDE．而BE⊂平面BDE，所以AC⊥BE；（2）解：因为在长方体ABCD﹣HKLE中，有DA、DC、DE两两垂直，以点D为坐标原点，DA、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，由（1）知∠DBE为直线BE与平面ABCD所成的角，又因为BE与平面ABCD所成角为，所以，所以．由AD＝3，得，可知，所以，因为，故，则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，，设平面BEF的法向量为，则，即，令，可得，因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，即，所以．根据法向量方向与二面角半平面的位置关系，可知二面角F﹣BE﹣D为锐二面角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．21．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）与直线l：3x+4y+12＝0相切．（1）求圆C的标准方程；（2）若动点M在直线y+6＝0上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A，B．①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值；②证明直线AB恒过定点．【分析】（1）根据题意，求出圆心C到直线l的距离，由直线与圆相切的性质可得r＝d，由圆的标准方程的形式分析可得答案；（2）①根据题意，先求出S的表达式，分析可得要使S最小，只要|MC|最小即可；由直线与圆的位置关系可得|MC|min＝8，计算即可得答案；②根据题意，分析可得M、A、C、B四点共圆．且以MC为直径，进而可得该圆的方程，与C的方程联立，计算可得直线AB的方程，进而分析可得答案．解：（1）由题意知，圆心C：（0，2）到直线l：3x+4y+12＝0的距离，圆C：x2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）与直线l：3x+4y+12＝0相切，则r＝d＝4，故圆C的标准方程为x2+（y﹣2）2＝16；（2）①圆C的圆心为（0，2），半径r＝4，因为MA、MB是⊙C的两条切线，所以CA⊥MA，CB⊥MB，故又因为，根据平面几何知识，要使S最小，只要|MC|最小即可；易知，当点M坐标为（0，﹣6）时，|MC|min＝8．此时，②设点M的坐标为（a，﹣6），因为∠MAC＝∠MBC＝90°，所以M、A、C、B四点共圆．且以MC为直径．该圆方程为：x（x﹣a）+（y+6）（y﹣2）＝0又圆C的方程为x2+（y﹣2）2＝16两圆方程相减得：﹣ax+8y＝0即直线AB的方程为﹣ax+8y＝0，所以直线AB恒过定点（0，0）．22．已知函数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）设g（x）＝f（x）+a，若函数g（x）在（1，2）上有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围；（3）设，是否存在正实数m，使得函数y＝h（x）在[1，2]内的最大值为4？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据对数函数定义可求得其定义域；（2）由（1）可得g（x），则由条件可知其单调递增，则g（1）g（2）＜0，解得a的取值范围即可；（3）换元得，易得h（t）的单调区间，分类讨论得到m的值．解：（1）由题意，函数有意义，则满足3x﹣1＞0，解得x＞0，即函数f（x）的定义域为{x|x＞0}；（2）由g（x）＝f（x）+a，且，可得，且g（x）为单调递增连续函数，又函数g（x）在（1，2）上有且仅有一个零点，所以g（1）•g（2）＜0，即（a+1）•（a+3）＜0，解得﹣3＜a＜﹣1，所以实数a的取值范围是（﹣3，﹣1）；（3）由，设t＝f（x），x∈[1，2]，则，易证h（t）在为单调减函数，在为单调增函数，当时，函数h（t）在[1，3]上为增函数，所以最大值为，解得m＝3，不符合题意，舍去；当时，函数h（t）在[1，3]上为减函数，所以最大值为，解得m＝3，不符合题意，舍去；当时，函数h（t）在上增函数，在上为减函数，所以最大值为h（1）＝4或h（3）＝4，解得m＝3，符合题意，综上可得，存在m＝3使得函数y＝h（x）的最大值为4．。
江苏省南通市如东县2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
【点睛】本题考查平面上两点间距离，考查余弦定理，解题关键是确定 点所在平面区域，然后由点到圆的位置关系求得结论．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.△ABC的内角A，B，C的对边为 ，
（1）求A；
（2）若B=45°，a=2，求b，c.
【详解】由题意，圆 可化简为 ，
所以，圆 的圆心坐标 ，半径 ，
圆 的圆心坐标 ，半径 ，
所以， ，
所以， 或 ，解得 或 .
故选：AC.
【点睛】本题考查两圆 位置关系的判定，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
12.如图，在三棱锥 中， 、 、 分别为棱 、 、 的中点， 平面 ， ， ， ，则（ ）
因此其面积为 ，故B正确；
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因此点 与点 到平面 的距离相等，故C正确；
取 中点为 ，连接 ， ，
则 ， ，且 ，
即等于直线 与直线 所成的角，
又 ， ，
因此 ，
所以直线 与直线 不垂直，即D错；
故选：BC.
【点睛】本题主要考查立体几何的综合，涉及棱锥体积，线面垂直，线面平行，异面直线所成角的求法等，属于常考题型.
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知表格得： ， ，
由于线性回归直线恒过样本中心点 ，所以有： ，解得： ，
所以线性回归方程 ，
由 得： 解得： ，
由于 ，
所以据此模型预报该设备使用年限的最大值为9.
故选C.
考点：线性回归．
9.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为角A的角平分线，交BC于D， ， ，BD＝2，则b＝（ ）
2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (33)-720(解析版)
2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (33)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.不等式x2−x−2>0的解集是()A. (−12,1) B. (1,+∞)C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (−∞,−12)∪(1,+∞)2.点(0,5)到直线2x−y=0的距离是()A. √52B. √5 C. 32D. √543.某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为()A. 5B. 6C. 7D. 84.在△ABC中，若(a+c)(a−c)=b(b−c)，则∠A=()A. 300B. 600C. 1200D. 15005.已知圆C：x2+y2−2x−4y−4=0，则其圆心坐标与半径分别为()A. (1,2)，r=2B. (−1,−2)，r=2C. (1,2)，r=3D. (−1,−2)，r=36.已知：△ABC中，a=2，∠B=60°，∠C=75°，则b=()A. √6B. 2C. √3D. √27.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2015=S2015=2015，则首项a1=()A. 2015B. −2015C. 2013D. −20138.若直线过P(2,1)点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条()A. 1条B. 2 条C. 3条D. 以上都有可能9.某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积为()A. 2π+8B. π+8C. 2π+83D. π+8310.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则n//mC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，n//m，n//β，则α⊥β11.点P(1,−2)关于点M(3,0)的对称点Q的坐标是()A. (1,2)B. (2,−1)C. (3,−1)D. (5,2)12.已知等差数列{a n}，a1=1，a3=3，则数列{1a n a n+1}的前10项和为()A. 1011B. 911C. 910D. 1110二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设变量x，y满足约束条件： {x+y⩾3x−y⩾−12x−y⩽3，则目标函数z=3x−2y的最小值为______．14.直线l过点A(−1,3)，B(1,1)，则直线l的倾斜角为______ ．15.平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°，那么二面角A1−AD−B的余弦值为______ ．16.已知等比数列{a n}的公比为正数，且a1⋅a7=2a32，a2=2，则a1的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求倾斜角为直线y=−√3x+1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(−4,1)；(2)在x轴上的截距为−10．18.已知：△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B−cos(A+C)=0．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若sinA=3sinC，△ABC的面积为3√3，求b边的长．419.已知等差数列{a n}满足：a5=9，a2+a6=14．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+120.如图，圆x2+y2=8内有一点P(−1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦，(1)当α=135°时，求|AB|(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．(3)求过点P的弦的中点的轨迹方程．21.在等差数列{a n}中，a1=10，d=−2，求数列的前n项和S n的最大值．22.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D，点E，F分别是BB1，A1B1的中点。
2019-2020学年江苏省南通市如东高中高一(下)4月段考数学试卷
2019-2020学年江苏省南通市如东高中高一（下）4月段考数学试卷试题数：22.满分：01.（单选题.3分）经过点P（1.3）.并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（）A.0条B.1条C.2条D.3条2.（单选题.3分）在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c.若A=π4，a=√2，b=√3 .则B=（）A. π6B. π3C. 2π3D. π3或2π33.（单选题.3分）已知圆C：x2+y2=4.直线l：y-1=k（x+1）.则直线l与圆C的位置关系（）A.相离B.相切C.相交D.以上皆有可能4.（单选题.3分）在△ABC中.A=60°.b=1.S△ABC= √3 .则asinA的值为（）A. 8√381B. 26√33C. 2√393D. 2√75.（单选题.3分）若直线x+ay=2与直线ax+y=a+1平行.则a的值为（）A.1B.-1C.±1D.06.（单选题.3分）已知圆C的圆心与点（1.0）关于直线y=x对称.直线4x-3y-2=0与圆C相交于A.B两点.且AB=6.则圆C的半径长为（）A. √10B. 2√2C.3D. √137.（单选题.3分）圆心为C（2.0）的圆C与圆x2+y2+4x-6y+4=0相外切.则圆C的方程为（）A.x2+y2-4x=0B.x2+y2-4x+2=0C.x2+y2+4x+2=0D.x2+y2+4x=08.（单选题.3分）在△ABC中.角A.B.C所对的边分别为a.b.c.若a-c=bcosC-bcosA.则△ABC的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形9.（多选题.3分）在△ABC中.根据下列条件解三角形.其中有一解的是（）A.b=7.c=3.C=30°B.b=5.c=4.B=45°C.a=6.b=3 √3 .B=60°D.a=20.b=30.A=30°10.（多选题.3分）已知点A是直线l：x+y−√2=0上一定点.点P、Q是圆x2+y2=1上的动点.若∠PAQ的最大值为90°.则点A的坐标可以是（）A. (0，√2)B. (1，√2−1)C. (√2，0)D. (√2−1，1)11.（多选题.3分）下列命题中.正确的是（）A.在△ABC中.A＞B.则sinA＞sinBB.在锐角△ABC中.不等式sinA＞cosB恒成立C.在△ABC中.若acosA=bcosB.则△ABC必是等腰直角三角形D.在△ABC中.若B=60°.b2=ac.则△ABC必是等边三角形12.（多选题.3分）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A（-4.0）.B（0.4）.其欧拉线方程为x-y+2=0.则顶点C的坐标可以是（）A.（2.0）B.（0.2）C.（-2.0）D.（0.-2）13.（填空题.3分）直线xsinα-y+2=0的倾斜角的取值范围是___ ．14.（填空题.3分）如图.某数学学习小组要测量地面上一建筑物CD的高度（建筑物CD垂直于地面）.设计测量方案为先在地面选A.B两点.其距离为200米.然后在A处测得∠DAB=60°.在B处测得∠DBA=75°.∠DBC=30°.则此建筑物CD的高度为___ 米．的最大值是 ___ ．15.（填空题.3分）已知P（a.b）为圆C：x2+y2-2x-4y+4=0上任意一点.则b−1a+1的取值范围是___ ．16.（填空题.3分）在锐角三角形ABC中.A=2B.则ABAC17.（问答题.0分）在△ABC中.内角A.B.C所对的边分别为a.b.c.已知asin2B= √3 bsinA．（1）求B；.求sinC的值．（2）已知cosA= 1318.（问答题.0分）在平面直角坐标系中.已知菱形ABCD的顶点A（-1.2）和C（5.4）.AB所在直线的方程为x-y+3=0.（1）求对角线BD所在直线的方程；（2）求AD所在直线的方程．19.（问答题.0分）如图.在O 处有一港口.两艘海轮B.C 同时从港口O 处出发向正北方向匀速航行.海轮B 的航行速度为20海里/小时.海轮C 的航行速度大于海轮B ．在港口O 北偏东60°方向上的A 处有一观测站.1小时后在A 处测得与海轮B 的距离为30海里.且A 处对两艘海轮B.C 的视角为30°．（1）求观测站A 到港口O 的距离；（2）求海轮C 的航行速度．20.（问答题.0分）已知圆O ：x 2+y 2=16.直线 l ：x −√3y +t =0(t ＞0) 与圆O 相交于A.B 两点.且 AB =2√7 ．（1）求直线l 的方程；（2）已知点D （2.0）.E （-4.0）.F （4.0）.点M 是圆O 上任意一点.点N 在线段MF 上.且存在常数λ∈R 使得 DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDE ⃗⃗⃗⃗⃗ +23DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求点N 到直线l 距离的最小值．21.（问答题.0分）如图.已知圆C ：x 2+y 2=4与x 轴的左右交点分别为A.B.与y 轴正半轴的交点为D.（1）若直线l 过点（2.4）并且与圆C 相切.求直线l 的方程；（2）若点M.N 是圆C 上第一象限内的点.直线AM.AN 分别与y 轴交于点P.Q.点P 是线段OQ 的中点.直线MN || BD.求直线AM 的斜率．22.（问答题.0分）在直角△ABC中. ∠BAC=π.延长CB至点D.使得CB=2BD.连接AD．2（1）若AC=AD.求∠CAD的值；（2）求角D的最大值．2019-2020学年江苏省南通市如东高中高一（下）4月段考数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.3分）经过点P（1.3）.并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（）A.0条B.1条C.2条D.3条【正确答案】：C【解析】：对截距分类讨论.可得直线方程．【解答】：解：直线经过原点时.可得直线方程为：y=3x．直线不经过原点时.可设直线方程为：x+y=a．把点P（1.3）代入可得：1+3=a.可得a=4．可得直线方程为：x+y=4．综上可得：满足条件的直线方程有两条．故选：C．【点评】：本题考查了直线的截距式、分类讨论方法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．2.（单选题.3分）在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c.若A=π4，a=√2，b=√3 .则B=（）A. π6B. π3C. 2π3D. π3或2π3【正确答案】：D【解析】：由已知利用正弦定理可求sinB的值.结合B的范围可求B的值．【解答】：解：∵ A=π4，a=√2，b=√3 .∴由正弦定理asinA =bsinB.可得：√2√22=√3sinB.解得：sinB= √32.∵b＞a.B∈（π4.π）.∴B= π3 .或2π3．故选：D．【点评】：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用.熟练掌握正弦定理是解题的关键.属于基础题．3.（单选题.3分）已知圆C：x2+y2=4.直线l：y-1=k（x+1）.则直线l与圆C的位置关系（）A.相离B.相切C.相交D.以上皆有可能【正确答案】：C【解析】：利用直线l经过圆内的定点可得相交．【解答】：解：因为直线l过定点（-1.1）.且定点（-1.1）在圆C：x2+y2=4内.所以直线l与圆C相交．故选：C．【点评】：本题考查了直线与圆的位置关系.属基础题．4.（单选题.3分）在△ABC中.A=60°.b=1.S△ABC= √3 .则asinA的值为（）A. 8√381B. 26√33C. 2√393D. 2√7【正确答案】：C【解析】：根据题意和三角形的面积公式求出c.再由余弦定理求出a的值.代入asinA化简即可．【解答】：解：因为A=60°.b=1.S△ABC= √3 .所以12bcsinA=√3 .解得c=4.由余弦定理得.a2=b2+c2-2bccosA=1+16-2×1×4× 12=13.则a= √13 .所以asinA = √13√32= 2√393.故选：C．【点评】：本题考查了余弦定理.以及三角形的面积公式.熟练掌握定理和公式是解题的关键．5.（单选题.3分）若直线x+ay=2与直线ax+y=a+1平行.则a的值为（）A.1B.-1C.±1D.0【正确答案】：B【解析】：由a2-1=0.解得a．经过验证即可得出．【解答】：解：由a2-1=0.解得a=±1．经过验证：a=1时两条直线重合.舍去．∴a=-1．故选：B．【点评】：本题考查了直线平行与斜率之间的关系.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．6.（单选题.3分）已知圆C的圆心与点（1.0）关于直线y=x对称.直线4x-3y-2=0与圆C相交于A.B两点.且AB=6.则圆C的半径长为（）A. √10B. 2√2C.3D. √13【正确答案】：A【解析】：根据对称可得圆心C的坐标.利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离.再根据勾股定理可求得半径．【解答】：解：∵圆C的圆心与点（1.0）关于直线y=x对称.∴圆心C（0.1）. 圆心C到直线4x-3y-2=0的距离d=√42+32=1.∴圆C的半径r= √d2+(AB2)2= √1+32 = √10．故选：A．【点评】：本题考查了直线与圆的位置关系.属基础题．7.（单选题.3分）圆心为C（2.0）的圆C与圆x2+y2+4x-6y+4=0相外切.则圆C的方程为（）A.x2+y2-4x=0B.x2+y2-4x+2=0C.x2+y2+4x+2=0D.x2+y2+4x=0【正确答案】：A【解析】：根据两圆关系求出圆C的半径.从而得出圆C的方程．【解答】：解：圆x2+y2+4x-6y+4=0的圆心为M（-2.3）.半径为r=3.CM= √(2+2)2+(−3)2 =5.∴圆C的半径为5-3=2.∴圆C的标准方程为：（x-2）2+y2=4.即x2+y2-4x=0．故选：A．【点评】：本题考查了圆与圆的位置关系.属于中档题．8.（单选题.3分）在△ABC中.角A.B.C所对的边分别为a.b.c.若a-c=bcosC-bcosA.则△ABC的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【正确答案】：C【解析】：利用正弦定理.三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosBsinC=sinAcosB.从而可求cosB=0.或sinA=sinC.进而可得B为直角.或A=C.即可判断得解三角形的形状．【解答】：解：∵a-c=bcosC-bcosA.∴由正弦定理可得：sinA-sinC=sinBcosC-sinBcosA.可得：sinA-sinAcosB-cosAsinB=sinBcosC-sinBcosA.∴sinA-sinAcosB=sinBcosC.可得：sinA=sinBcosC+sinAcosB.∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinAcosB.可得：cosBsinC=sinAcosB.∴cosB=0.或sinA=sinC.∴B为直角.或A=C.∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．故选：C．【点评】：本题主要考查了正弦定理.三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用.考查了分类讨论思想和转化思想.属于基础题．9.（多选题.3分）在△ABC中.根据下列条件解三角形.其中有一解的是（）A.b=7.c=3.C=30°B.b=5.c=4.B=45°C.a=6.b=3 √3 .B=60°D.a=20.b=30.A=30°【正确答案】：BC【解析】：利用正弦定理.结合三角形个数的判断.判断选项的正误．【解答】：解：对于A.∵b=7.c=3.C=30°.∴由正弦定理可得：sinB= bsinCc = 7×123= 76＞1.无解；对于B.b=5.c=4.B=45°.∴由正弦定理可得sinC= csinBb = 4×√225= 2√25＜1.且c＜b.有一解；对于C.∵a=6.b=3 √3 .B=60°.∴由正弦定理可得：sinA= asinBb = 6×√323√3=1.A=90°.此时C=30°.有一解；对于D.∵a=20.b=30.A=30°.∴由正弦定理可得：sinB= bsinAa = 30×1220= 34＜1.且b＞a.∴B有两个可能值.本选项符合题意．故选：BC．【点评】：本题考查三角形的解法.正弦定理的应用.是基本知识的考查．10.（多选题.3分）已知点A是直线l：x+y−√2=0上一定点.点P、Q是圆x2+y2=1上的动点.若∠PAQ的最大值为90°.则点A的坐标可以是（）A. (0，√2)B. (1，√2−1)C. (√2，0)D. (√2−1，1)【正确答案】：AC【解析】：利用直线与圆的方程画出图图形.利用排除法判断A的位置即可得到选项．【解答】：解：设点A坐标为（t. √2 -t）.当AP、AQ均为圆切线时.∠PAQ=90°.此时四边形PAQO为正方形.则|OA|= √2 .即t2+（√2 -t）2=2.解得t=0.t= √2 .故A（0. √2）.B（√2 .0）.故选：AC．【点评】：本题考查直线与圆的方程的应用.考查转化思想以及数形结合思想的应用．11.（多选题.3分）下列命题中.正确的是（）A.在△ABC中.A＞B.则sinA＞sinBB.在锐角△ABC中.不等式sinA＞cosB恒成立C.在△ABC中.若acosA=bcosB.则△ABC必是等腰直角三角形D.在△ABC中.若B=60°.b2=ac.则△ABC必是等边三角形【正确答案】：ABD【解析】：A．在△ABC中.由正弦定理可得sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B.即可判断出正误；B．在锐角△ABC中.由π2＞A＞π2-B＞0.可得sinA＞sin（π2-B）=cosB.即可判断出正误；C．在△ABC中.由acosA=bcosB.利用正弦定理可得：sin2A=sin2B.得到2A=2B或2A=2π-2B 即可判断出正误；D．在△ABC中.利用余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosB.代入已知可得a=c.又B=60°.即可得到△ABC的形状.即可判断出正误．【解答】：解：对于A.由A＞B.可得：a＞b.利用正弦定理可得：sinA＞sinB.正确；对于B.在锐角△ABC中.A.B∈（0. π2）.∵A+B＞π2.∴ π2＞A＞π2-B＞0.∴sinA＞sin（π2-B）=cosB.因此不等式sinA＞cosB恒成立.正确对于C.在△ABC中.由acosA=bcosB.利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB.∴sin2A=sin2B.∵A.B∈（0.π）.∴2A=2B或2A=2π-2B.∴A=B或A+B=π2.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.因此是假命题.C错误．对于D.由于B=600.b2=ac.由余弦定理可得：b2=ac=a2+c2-ac.可得（a-c）2=0.解得a=c.可得A=C=B=60°.故正确．故选：ABD．【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理解三角形、三角函数的单调性、诱导公式、简易逻辑的判定.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．12.（多选题.3分）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A（-4.0）.B（0.4）.其欧拉线方程为x-y+2=0.则顶点C的坐标可以是（）A.（2.0）B.（0.2）C.（-2.0）D.（0.-2）【正确答案】：AD【解析】：利用重心与三个顶点的关系代入欧拉线方程可得C的横坐标与纵坐标的关系.即可得结果．【解答】：解：设C（a.b）.由欧拉线的定义知重心在x-y+2=0上.重心可以有三角形三个顶点坐标表示.即为(−4+a3，4+b3) .∴ −4+a3−4+b3+2=0 .∴a-b-2=0.故选：AD．【点评】：本题考查三角形的五心.属于基础题．13.（填空题.3分）直线xsinα-y+2=0的倾斜角的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][0. π4 ]∪[ 3π4 .π）【解析】：由题意先求出直线的斜率的范围.可得倾斜角的范围．【解答】：解：直线xsinα-y+2=0的斜率为sinα∈[-1.1].设它的倾斜角为θ.θ∈[0.π）. 则tanθ∈[-1.1].∴θ∈[0. π4 ]∪[ 3π4 .π）. 故答案为：[0. π4 ]∪[ 3π4 .π）．【点评】：本题主要考查直线的倾斜角和斜率.属于基础题．14.（填空题.3分）如图.某数学学习小组要测量地面上一建筑物CD 的高度（建筑物CD 垂直于地面）.设计测量方案为先在地面选A.B 两点.其距离为200米.然后在A 处测得∠DAB=60°.在B 处测得∠DBA=75°.∠DBC=30°.则此建筑物CD 的高度为___ 米．【正确答案】：[1]50 √6【解析】：根据题意.利用正弦定理求得BD 的长.再由直角三角形的边角关系求出CD 的值．【解答】：解：△ABD 中.AB=200.∠DAB=60°.∠DBA=75°. 所以∠ADB=45°. 由正弦定理得 BD sin60° = 200sin45°. 解得BD=200×√32√22=100 √6 ；在Rt△BCD 中.∠DBC=30°. 所以CD= 12 BD=50 √6 . 即建筑物的高CD 为50 √6 米． 故答案为：50 √6 ．【点评】：本题考查了解三角形的实际应用问题.是基础题15.（填空题.3分）已知P （a.b ）为圆C ：x 2+y 2-2x-4y+4=0上任意一点.则 b−1a+1 的最大值是 ___ ．【正确答案】：[1] 43【解析】：化圆的方程为标准方程.求出圆心坐标与半径.再由 b−1a+1 的几何意义.即圆C 上的动点与定点（-1.1）连线的斜率求解．【解答】：解：化圆C ：x 2+y 2-2x-4y+4=0为（x-1）2+（y-2）2=1. 可得圆心坐标为（1.2）.半径为1． 又P （a.b ）为圆C 上任意一点.则 b−1a+1 的几何意义为圆C 上的动点与定点（-1.1）连线的斜率． 如图.设过（-1.1）与圆（x-1）2+（y-2）2=1相切的直线方程为y-1=k （x+1）. 即kx-y+k+1=0. 由√k 2+1=1 .解得k=0或k= 43．∴ b−1a+1 的最大值是 43 ． 故答案为： 43 ．【点评】：本题考查直线与圆位置关系的应用.考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法.考查运算求解能力.是中档题．16.（填空题.3分）在锐角三角形ABC 中.A=2B.则 ABAC 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]（1.2）【解析】：确定B 的范围.利用正弦定理化简表达式.求出范围即可．【解答】：解：在锐角△ABC 中.∠A=2∠B .∠B∈（30°.45°）. cosB∈（ √22 . √32 ）.cos 2B∈（ 12 . 34 ）.所以由正弦定理可知： AB AC=c b = sinC sinB = sin3B sinB = 3sinB−4sin 3B sinB=3-4sin 2B=4cos 2B-1∈（ 1.2）．故答案为：（1.2）．【点评】：本题是中档题.考查正弦定理在解三角形中的应用.注意锐角三角形中角的范围的确定.是本题解答的关键.考查计算能力.逻辑推理能力．17.（问答题.0分）在△ABC 中.内角A.B.C 所对的边分别为a.b.c.已知asin2B= √3 bsinA ． （1）求B ；（2）已知cosA= 13 .求sinC 的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB ； （2）求出sinA.利用两角和的正弦函数公式计算．【解答】：解：（1）∵asin2B= √3 bsinA. ∴2sinAsinBcosB= √3 sinBsinA. ∴cosB= √32 .∴B= π6 ．（2）∵cosA= 13 .∴sinA= √1−cos 2A =2√23. ∴sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB= 2√23×√32+12×13 =2√6+16．【点评】：本题考查了正弦定理解三角形.两角和的正弦函数.属于基础题．18.（问答题.0分）在平面直角坐标系中.已知菱形ABCD 的顶点A （-1.2）和C （5.4）.AB 所在直线的方程为x-y+3=0.（1）求对角线BD 所在直线的方程； （2）求AD 所在直线的方程．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意画出图形.结合图形求出AC 的中点和斜率. 从而求得BD 的斜率和直线方程；（2）由直线AB 和BD 求点B.再根据对称求出点D. 利用两点式写出直线AD 的方程．【解答】：解：（1）如图所示.菱形ABCD 的顶点A （-1.2）和C （5.4）.所以AC 的中点M （2.3）. 直线AC 的斜率为k AC = 4−25−(−1) = 13 . BD 的斜率为k BD =-3.所以直线BD 的方程为：y-3=-3（x-2）. 即3x+y-9=0；（2）由直线AB 的方程和直线BD 的方程联立.得 {x −y +3=03x +y −9=0.解得 {x =32y =92 .即点B （ 32 . 92）； 设点D （a.b ）.则 a+322=2.b+922=3.解得a= 52 .b= 32 . 所以点D （ 52 . 32）；又A （-1.2）.则AD 的直线方程为 y−232−2= x+152+1.化为一般形式是x+7y-13=0．【点评】：本题考查了直线方程的求法与应用问题.是基础题．19.（问答题.0分）如图.在O 处有一港口.两艘海轮B.C 同时从港口O 处出发向正北方向匀速航行.海轮B 的航行速度为20海里/小时.海轮C 的航行速度大于海轮B ．在港口O 北偏东60°方向上的A 处有一观测站.1小时后在A 处测得与海轮B 的距离为30海里.且A 处对两艘海轮B.C 的视角为30°．（1）求观测站A 到港口O 的距离； （2）求海轮C 的航行速度．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意利用余弦定理列方程求得OA的值；（2）△AOB中由正弦定理求得sin∠OAB.再求出sin∠ACB.利用正弦定理求出BC的值.从而求出OC.即船C的速度．【解答】：解：（1）因为海轮B的速度为20海里/小时.所以1小时后.OB=20海里；又AB=30海里.∠AOB=60°；所以△AOB中.由余弦定理知.AB2=OA2+OB2-2•OA•OB•cos∠AOB.即302=OA2+202-2•OA•20•cos60°.即OA2-20•OA-500=0.解得OA=10+10 √6（海里）；（2）△AOB中.由正弦定理知. OBsin∠OAB = ABsin∠AOB.即20sin∠OAB = 30sin60°.解得sin∠OAB= √33；△ABC中.∠BAC=30°.∠ABC=60°+∠OAB.所以∠ACB=90°-∠OAB.所以sin∠ACB=sin（90°-∠OAB）=cos∠OAB= √1−sin2∠OAB = √63；在△ABC中.由正弦定理知. BCsin∠BAC = ABsin∠ACB.即BC12 =√63.解得BC= 15√62；所以OC=OB+BC=20+ 15√62. 即船C 的速度为（20+ 15√62）海里/小时．【点评】：本题考查了正弦、余弦定理的应用问题.也考查了解三角形的应用问题.是中档题． 20.（问答题.0分）已知圆O ：x 2+y 2=16.直线 l ：x −√3y +t =0(t ＞0) 与圆O 相交于A.B 两点.且 AB =2√7 ． （1）求直线l 的方程；（2）已知点D （2.0）.E （-4.0）.F （4.0）.点M 是圆O 上任意一点.点N 在线段MF 上.且存在常数λ∈R 使得 DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDE ⃗⃗⃗⃗⃗ +23DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求点N 到直线l 距离的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知弦长求出圆心O 到直线的距离.再由点到直线的距离公式列式求解t 值.则直线方程可求；（2）设M （m.n ）.N （x.y ）.由已知向量等式可得M 与N 的坐标的关系.由M 是圆O 上的点可得M 的轨迹.进一步得到N 的轨迹.再求出N 的轨迹上的点到直线l 的距离.减去半径可得点N 到直线l 距离的最小值．【解答】：解：（1）由圆O ：x 2+y 2=16.得圆心O （0.0）.半径r=4. ∵直线 l ：x −√3y +t =0 （t ＞0）与圆O 相交于A.B 两点.且 AB =2√7 . ∴圆心O 到直线l 的距离 d =√16−7=3 . 又 d =√12+(−√3).t ＞0.解得t=6.∴直线l 的方程为 x −√3y +6=0 ；（2）设M （m.n ）.N （x.y ）.则 DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2，y) . DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6，0) . DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −2，n) .∵ DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDE ⃗⃗⃗⃗⃗ +23DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴ y =23n .即 n =32y ．又∵点N 在线段MF 上.即 FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，FN ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.而 FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −4，n) . FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −4，y) . ∴（m-4）y=n （x-4）.得 m =32x −2 . ∵点M 是圆O 上任意一点.∴m 2+n 2=16.∴将m.n代入上式.可得 (32x−2)2+(32y)2=16 .即 (x −43)2+y 2=649． 即点N 在以 R (43，0) 为圆心.半径为 83 的圆R 上． 圆心R 到直线 l ：x −√3y +6=0 的距离 d =|43+6|√12+(−√3)2=113＞83.∴ d −83=1 ．∴点N 到直线 l ：x −√3y +6=0 距离的最小值为1．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系.训练了向量在求解直线与圆问题中的应用.考查运算求解能力.是中档题．21.（问答题.0分）如图.已知圆C ：x 2+y 2=4与x 轴的左右交点分别为A.B.与y 轴正半轴的交点为D.（1）若直线l 过点（2.4）并且与圆C 相切.求直线l 的方程；（2）若点M.N 是圆C 上第一象限内的点.直线AM.AN 分别与y 轴交于点P.Q.点P 是线段OQ 的中点.直线MN || BD.求直线AM 的斜率．【正确答案】：【解析】：（1）根据相切得d=r.即√k 2+1=2.可得．（2）联立方程组解得M.N 的坐标.再根据平行得斜率相等.可解得k ．【解答】：解：（1）当斜率不存在时.直线x=2满足要求； 当斜率存在时.设切线方程为y-4=k （x-2）.即kx-y+4-2k=0. 则由相切得d=r.√k 2+1=2.解得k= 34综上得：切线方程为x=2或3x-4y+10=0．（2）显然直线AM 的斜率存在.故设直线AM 的方程为y=k （x+2）.（k ＞0）.由 {y =k (x +2)x 2+y 2=4 消去y 得（1+k 2）x 2+4k 2x+4k 2-4=0.因为x A =-2.所以 x M =2−2k 21+k 2 . 代入y=k （x+2）.得 y M =4k 1+k 2 .所以 M (2−2k 21+k 2，4k 1+k 2) ． 在y=k （x+2）中.令x=0.得y P =2k.而点P 是线段OQ 的中点.所以y Q =4k ． 所以直线AN 的斜率 k AN =k AQ =4k−00−(−2)=2k ．在 M (2−2k 21+k 2，4k1+k 2) 点中.用2k 代k.得 N (2−8k 21+4k 2，8k1+4k 2) ．所以 k MN =8k 1+4k 2−4k1+k 22−8k 21+4k 2−2−2k 21+k 2 =4k(1−2k 2)−12k 2.因为MN || BD.所以k BD =-1.即 4k(1−2k 2)−12k 2=−1 .即2k 2+3k-1=0.又k ＞0.所以解得 k =√17−34．【点评】：本意考查了直线与圆的位置关系.属中档题．22.（问答题.0分）在直角△ABC 中. ∠BAC =π2 .延长CB 至点D.使得CB=2BD.连接AD ． （1）若AC=AD.求∠CAD 的值； （2）求角D 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）设∠BAD=α.利用正弦定理可得 BDsinα=BCsinCsinD.然后由CB=2BD.可得求出 sinα .进而得到∠CAD 的值；（2）应用正弦定理得到sinD.然后根据三角函数有界性得 √tan 2D+1≤1 .进一步得到tanD 的范围.从而求出D 的最大值．【解答】：解：（1）设∠BAD=α.在△ABD中.由正弦定理得. BDsinα=ABsinD.而在直角△ABC中.AB=BCsinC.∴ BDsinα=BCsinCsinD.∵AC=AD.∴C=D.又∵CB=2BD.∴ sinα=12 .∴ α=π6.∴ ∠CAD=2π3；（2）设∠BAD=α.在△ABD中.由正弦定理得. BDsinα=ABsinD.而在直角△ABC中.AB=BCcos∠ABC=BCcos（α+D）.∴ BD sinα=BCcos(α+D)sinD=BC(cosαcosD−sinαsinD)sinD.∵CB=2BD.∴sinD=2sinαcosαcosD-2sin2αsinD.即tanD=2sinαcosα1+2sin2α = sin2α2−cos2α2tanD=tanDcos2α+sin2α= √tan2D+1sin(2α+φ) .根据三角函数有界性得.√tan2D+1≤1及D∈(0，π2) .解得0＜tanD≤√33.∴角D的最大值为π6．【点评】：本题考查了正弦定理的应用和三角函数的有界性.考查了转化思想和运算能力.属基础题．。
2019-2020年高一下学期期末考试 数学 含答案
2019-2020年高一下学期期末考试 数学 含答案一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1.的值是 ．2.化简 .3.函数的定义域是 ．4.函数的最小正周期是 .5.若，则点位于第 象限.6.函数取最大值时的值是 .7.若函数的零点则_________.8.函数的递增区间是 .9.为了得到函数)的图象，只需把函数的图象向右平移个___长度单位.10.若，且，则向量与的夹角为 ．11.已知扇形的周长为，则该扇形的面积的最大值为 ．12.设若函数在上单调递增，则的取值范围是________.13.如图，在△中，则________.14.在直角坐标系中, 如果两点在函数的图象上，那么称为函数的一组关于原点的中心对称点（与看作一组）.函数关于原点的中心对称点的组数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计80分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．A 、B 是单位圆O 上的点，点A 是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限.记且.（1）求点坐标；（2）求的值.C16.平面内给定三个向量．（1）若，求实数k；（2）若向量满足，且，求向量．17．已知函数（为常数），．（1）若在上是单调增函数，求的取值范围；（2）当时，求的最小值．18.已知的顶点坐标为,,, 点P的横坐标为14，且，点是边上一点,且. （1）求实数的值与点的坐标；（2）求点的坐标；（3）若为线段（含端点）上的一个动点，试求的取值范围.（2）求函数的单调递增区间与对称中心坐标；（3）当时，函数的图像与轴有交点，求实数的取值范围．20.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界.已知函数，.（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.二、解答题。