东城区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
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所求的体积为 V＝1（S 矩形 AGHD＋S 矩形 MBCN） ·EP＋S△EGH·EF＝1×（2×3） ×1＋1×3×1×2＝5 立方丈，故选 B. 3 3 2 6． 【答案】C 【解析】解 ： 由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧 ， 由以上各视图的描述可知其俯视图符合 C 选项． 故选：C． 【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义． 7． 【答案】D 【解析】解：∵2Sn=an+ 当 n=2 时，2（1+a2）= 同理可得 猜想 验证：2Sn= = 因此满足 2Sn=an+ ∴ ∴Sn= ∴S2015= 故选：D． 【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方 法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 8． 【答案】A 【解析】解：∵sinB+sin（A﹣B）=sinC=sin（A+B）， ∴sinB+sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB， ∴sinB=2cosAsinB， ∵sinB≠0， ． ． ， ． ， ． ． …+ = ， = ，∴ ，化为 ，解得 a1=1． =0，又 a2＞0，解得 ，
2 ，求线段 AM 的长. 6
B
B1
C
A
E
C1 A1
D
D1
22．如图所示，在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中． （1）求 A1C1 与 B1C 所成角的大小；
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（2）若 E 、 F 分别为 AB 、 AD 的中点，求 A1C1 与 EF 所成角的大小．
23．已知
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∴cosA= ， ∴A= ∴sinA= 当 sinA= ∴A= ， ， ， ， 的充分非必要条件，
或 A=
故在△ABC 中，sinB+sin（A﹣B）=sinC 是 sinA= 故选：A 9． 【答案】D 【解析】解：由题意得： ， 解得：x≥﹣1 或 x≠3， 故选：D．
6． 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为 （ ）
A．
B．
C．
D．
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7． 已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 2Sn=an+ A． C．2015 D． 8． 在△ABC 中，sinB+sin（A﹣B）=sinC 是 sinA= A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 B．
，且
．
（1）求 sinα，cosα 的值； （2）若 ，求 sinβ 的值．
24．（本小题满分 12 分）
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如图四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面为菱形，AA1⊥底面 ABCD，M 为 A1A 的中点，AB＝BD＝2，且△BMC1 为 等腰三角形． （1）求证：BD⊥MC1； （2）求四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的体积．
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A．4
B．8
C．10
D．13
二、填空题
13．如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面 ABC，此图形中有 个直角三角形．
14．设全集 U=R，集合 M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，若 N⊆M，则实数 a 的取值范围是 ． 15．在（x2﹣ ）9 的二项展开式中，常数项的值为 ． 16．分别在区间 [0,1] 、 [1, e] 上任意选取一个实数 a、b ，则随机事件“ a ln b ”的概率为_________. 17．若全集 ，集合 +α）= ，则 sin（ ，则 ﹣α）= ． 。
18．已知 α 为钝角，sin（
三、解答题
19．（本小题满分 12 分）某市拟定 2016 年城市建设 A, B, C 三项重点工程，该市一大型城建公司准备参加这 三个工程的竞标，假设这三个工程竞标成功与否相互独立，该公司对 A, B, C 三项重点工程竞标成功的概率分
1 1 3 (a b) ，已知三项工程都竞标成功的概率为 ，至少有一项工程竞标成功的概率为 ． 4 24 4 （1）求 a 与 b 的值；
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题． 10．【答案】D 【解析】解：由函数 f（x）=sin2（ωx）﹣ =﹣ cos2ωx （ω＞0）的周期为 故 f（x）=﹣ cos2x． 若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位（a＞0），可得 y=﹣ cos2（x﹣a）=﹣ cos（2x﹣2a）的图象； 再根据所得图象关于原点对称，可得 2a=kπ+ 则实数 a 的最小值为 故选：D 【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数 y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数 、余弦函数的奇偶性，属于基础题． 11．【答案】D 【解析】解：根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数的图象，如图 则不等式 xf（x）＜0 的解为： 或 ． ，a= + ，k∈Z． =π，可得 ω=1，
11．已知函数 f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当 x＜0 时，函数的部分图象如图所示，则不等 式 xf（x）＜0 的解集是（ ）
A．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
B．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞） 12．定义某种运算 S=a⊗b，运算原理如图所示，则式子+的值为（ ）
东城区高中 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
A． 1,3
座号_____
2
姓名__________
） C． 1,
分数__________
1． 集合 A x | ln x 0 , B x | x 9 ,则 A B （ B． 1,3
20．（本小题满分 12 分）已知圆 C : x 1 y 2 25 ,直线
2 2
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பைடு நூலகம்
L : 2m 1 x m 1 y 7 m 4 0 m R .
（1）证明: 无论 m 取什么实数, L 与圆恒交于两点; （2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时 L 的方程.
，则 S2015 的值是（
）
的（
）
C．充要条件 D．既不充分也非必要条件 9． 函数 y= + 的定义域是（ ） D．{x|x≥﹣1 且 x≠3}
A．{x|x≥﹣1} B．{x|x＞﹣1 且 x≠3}
C．{x|x≠﹣1 且 x≠3}
10．已知函数 f（x）=sin2（ωx）﹣ （ω＞0）的周期为 π，若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位（a＞0），所 得图象关于原点对称，则实数 a 的最小值为（ A．π B． C． D． ）
D． e,3
2． “互联网 ”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为 50 的样本进行调 查，已知该小区有老年人 600 人，中年人 600 人，青年人 800 人，则应从青年人抽取的人数为（ A．10 B．20 ） B． N P M ） 5． 《九章算术》 是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题 ： “今 丈， 袤四丈， 上袤二丈，无广，高一丈。问积几何？”意思为 ： “今 有刍甍，下广三 有底面为矩形的 屋脊形状的多面 体（如图）” ，下 底面 宽 AD＝3 丈，长 AB＝4 丈，上棱 EF＝2 丈，EF∥平面 ABCD.EF 与平面 ABCD 的距离为 1 丈，问它的体积 是（ ） B．5 立方丈 D．8 立方丈 A．4 立方丈 C．6 立方丈 C．36 D．72 C． M N P D． M P N C．30 ） D．40
21．（本小题满分 12 分）如图，四棱柱 ABCD－A1 B1C1 D1 中，侧棱 A1 A ^ 底面 ABCD ， AB / / DC ，
AB ^ AD ， AD＝CD＝1 ， AA1＝AB＝2 ， E 为棱 AA1 的中点.
（Ⅰ）证明： B1C1 ^ 面 CEC1 ； （II）设点 M 在线段 C1 E 上，且直线 AM 与平面 ADD1 A1 所成角的正弦值为
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东城区高中 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B 【解析】 试题分析：因为 A x | ln x 0 A x | x 1 , B x | x 9 B x | 3 x 3 ,所以 A B
别为 a ， b ， （2）公司准备对该公司参加 A, B, C 三个项目的竞标团队进行奖励， A 项目竞标成功奖励 2 万元， B 项目竞 标成功奖励 4 万元， C 项目竞标成功奖励 6 万元，求竞标团队获得奖励金额的分布列与数学期望． 【命题意图】本题考查相互独立事件、离散型随机变量分布列与期望等基础知识，意在考查学生的运算求解能 力、审读能力、获取数据信息的能力，以及方程思想与分类讨论思想的应用．
）﹣1=（
∴+=0+10=10．
二、填空题
13．【答案】 4 【解析】解：由 PA⊥平面 ABC，则△PAC，△PAB 是直角三角形，又由已知△ABC 是直角三角形，∠ ACB=90°所以 BC⊥AC，从而易得 BC⊥平面 PAC，所以 BC⊥PC，所以△PCB 也是直角三角形， 所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB． 故答案为：4 【点评】本题考查空间几何体的结构特征，空间中点线面的位置关系，线面垂直的判定定理和性质定理的熟练 应用是解答本题的关键． 14．【答案】 [ ，1] ． 【解析】解：∵全集 U=R，集合 M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，N⊆M， ∴2a﹣1≤1 且 4a≥2，解得 2≥a≥ ，故实数 a 的取值范围是[ ，1]，
桥东区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(1)
桥东区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 数列﹣1，4，﹣7，10，…，（﹣1）n （3n ﹣2）的前n 项和为S n ，则S 11+S 20=（ ）A ．﹣16B ．14C ．28D ．302． 设a 是函数x 的零点，若x 0＞a ，则f （x 0）的值满足（）A ．f （x 0）=0B ．f （x 0）＜0C ．f （x 0）＞0D ．f （x 0）的符号不确定3． 设m ，n 是正整数，多项式（1﹣2x ）m +（1﹣5x ）n 中含x 一次项的系数为﹣16，则含x 2项的系数是（）A ．﹣13B ．6C ．79D ．374． 在如图5×5的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z的值为（ ）120.51xyzA ．1B ．2C ．3D ．45． 已知双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点，是两曲线的一个公共点，若4sinπ21F F 、P ，则双曲线的离心率等于（ ）21cos 21=∠PF F A ． B ．C ．D ．2526276． 已知a ∈R ，“函数y=log a x 在（0，+∞）上为减函数”是“函数y=3x +a ﹣1有零点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7． 已知集合，则A0或B0或3C1或D1或38． 已知x ，y 满足约束条件，使z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（）A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．19． 函数f （x ）=2x ﹣的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|=4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．24D ．4811．已知圆方程为，过点与圆相切的直线方程为（ ）C 222x y +=(1,1)P -C A ． B ．C ．D ．20x y -+=10x y +-=10x y -+=20x y ++=12．设集合是三角形的三边长，则所表示的平面区域是（）(){,|,,1A x y x y x y =--}AA ．B ．C ．D ．13．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且)0,0(12222>>=-b a by a x 21F F 、2F Q P ,，若，，则双曲线离心率的取值范围为（ ）.1PF PQ ⊥||||1PF PQ λ=34125≤≤λe A. B. C. D. ]210,1(]537,1(210,537[),210[+∞第Ⅱ卷（非选择题，共100分）14．若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假15．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：由算得2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯附表：参照附表，则下列结论正确的是（ ）3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001P K k ≥①有以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”； 99%②有以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”；99%③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好；④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好；A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题16．定积分sintcostdt= ．17．如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，则P ABC -PA PB PC ==PA PB ⊥PA PC ⊥PBC △PC 与平面所成角的正弦值为______________.ABC 【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．18．已知点A （2，0），点B （0，3），点C 在圆x 2+y 2=1上，当△ABC 的面积最小时，点C 的坐标为 ． 19．如图所示，正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E 、F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ′、DD ′交于M 、N ，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′；②当且仅当x=时，四边形MENF 的面积最小；③四边形MENF 周长l=f （x ），x ∈0，1]是单调函数；④四棱锥C ′﹣MENF 的体积v=h （x ）为常函数；以上命题中真命题的序号为 ．三、解答题20．已知函数f （x ）=1+（﹣2＜x ≤2）．（1）用分段函数的形式表示函数；（2）画出该函数的图象；（3）写出该函数的值域．21．【常州市2018届高三上武进区高中数学期中】已知函数，．()()221ln f x ax a x x =+--R a ∈⑴若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；()y f x =()()1,1f ()2,11a ⑵若函数在区间上单调，求实数的取值范围；()f x ()2,3a ⑶设，若对，，使得成立，求整数的最小值．()1sin 8g x x =()10,x ∀∈+∞[]20,πx ∃∈()()122f x g x +≥a22．已知集合A={x|x＜﹣1，或x＞2}，B={x|2p﹣1≤x≤p+3}．（1）若p=，求A∩B；（2）若A∩B=B，求实数p的取值范围．23．全集U=R，若集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，（1）求A∪B，（∁U A）∩（∁U B）；（2）若集合C={x|x＞a}，A⊆C，求a的取值范围．24．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点（，）在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点P（2，1）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点恰好为点P，求直线l的方程．25．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．（Ⅰ）求证：平面A1BC⊥平面A1DC；（Ⅱ）若CD=2，求BD与平面A1BC所成角的正弦值；（Ⅲ）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．桥东区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：∵a n=（﹣1）n（3n﹣2），∴S11=（）+（a2+a4+a6+a8+a10）=﹣（1+7+13+19+25+31）+（4+10+16+22+28）=﹣16，S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）=﹣（1+7+...+55）+（4+10+ (58)=﹣+=30，∴S11+S20=﹣16+30=14．故选：B．【点评】本题考查数列求和，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用． 2．【答案】C【解析】解：作出y=2x和y=log x的函数图象，如图：由图象可知当x0＞a时，2＞log x0，∴f（x0）=2﹣log x0＞0．故选：C．3． 【答案】 D 【解析】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】由含x 一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m 、n 为正整数，可得m=3、n=2，从而求得含x 2项的系数．【解答】解：由于多项式（1﹣2x ）m +（1﹣5x ）n 中含x 一次项的系数为（﹣2）+（﹣5）=﹣16，可得2m+5n=16 ①．再根据m 、n 为正整数，可得m=3、n=2，故含x 2项的系数是（﹣2）2+（﹣5）2=37，故选：D ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．4． 【答案】A【解析】解：因为每一纵列成等比数列，所以第一列的第3，4，5个数分别是，，．第三列的第3，4，5个数分别是，，．又因为每一横行成等差数列，第四行的第1、3个数分别为，，所以y=，第5行的第1、3个数分别为，．所以z=．所以x+y+z=++=1．故选：A ．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力． 5． 【答案】C 【解析】试题分析：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，，，且不妨设1a 2a c 2m PF =1n PF =2，由，得，，又，由余弦定理可知：n m >12a n m =+22a n m =-21a a m +=21a a n -=21cos 21=∠PF F ∴，，，设双曲线的离心率为，则，解mn n m c -+=22242221234a a c +=∴432221=+∴c a c a 4322122=+e）（得.故答案选C ．26=e 考点：椭圆的简单性质．【思路点晴】本题主要考查圆锥曲线的定义和离心率.根据椭圆和双曲线的定义，由为公共点，可把焦半径P 、的长度用椭圆的半长轴以及双曲线的半实轴来表示，接着用余弦定理表示1PF 2PF 21,a a ，成为一个关于以及的齐次式，等式两边同时除以，即可求得离心率.圆锥曲线问题21cos 21=∠PF F 21,a a 2c 在选择填空中以考查定义和几何性质为主.6． 【答案】A【解析】解：若函数y=log a x 在（0，+∞）上为减函数，则0＜a ＜1，若函数y=3x +a ﹣1有零点，则1﹣a ＞0，解得：a ＜1，故“函数y=log a x 在（0，+∞）上为减函数”是“函数y=3x +a ﹣1有零点”的充分不必要条件，故选：A ． 7． 【答案】B 【解析】，，故或，解得或或，又根据集合元素的互异性，所以或。
2018-2019学年北京市人大附中高二(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相应位置上.）1．（5分）下列导数公式错误的是（）A．（sin x）'＝﹣cos x B．C．D．（e x）'＝e x2．（5分）双曲线x2﹣＝1的焦点坐标是（）A．（0，），（0，﹣）B．（，0），（﹣，0）C．（0，2），（0，﹣2）D．（2，0），（﹣2，0）3．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝，＝，＝，则＝（）A．+﹣B．++C．﹣﹣D．﹣++4．（5分）若＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），则＝＝是∥的（）A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．充分不必要条件5．（5分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）＝，则（）A．x＝，f（x）取得最大值B．x＝，f（x）取得最小值C．x＝2，f（x）取得最大值D．x＝2，f（x）取得最小值7．（5分）如果把二次函数f（x）＝ax2+bx+c与其导函数f′（x）的图象画在同一个坐标系中．则下面四组图中一定错误的是（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）＝x3+kx2﹣7x在区间[﹣1，1]上单调递减，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，+∞）D．[2，+∞）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把结果填在答题纸中，）9．（5分）已知函数f（x）＝x2，则＝．10．（5分）已知函数，则f′（1）＝．11．（5分）已知空间向量＝（0，1，1），＝（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为．12．（5分）直线y＝a与函数f（x）＝x3﹣3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是．13．（5分）电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为，为使耗电量最小，则其速度应定为．14．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为体对角线BD1上动点．则（1）M到CC1距离的最小值为；（2）M位于BD1三等分点处时，M到各顶点的距离的不同取值有种．三、解答题（共3小题，满分30分）15．（10分）已知抛物线C方程：y2＝2px（p＞0），点（1，2）在C上，F为焦点．（Ⅰ）求抛物线C的方程和焦点F坐标；（Ⅱ）若抛物线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|AF|＝2，|BF|＝5，求原点O到直线AB的距离．16．（10分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx，其导函数为f′（x）的部分值如表所示：根据表中数据，回答下列问题：（Ⅰ）实数c的值为；当x＝时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．（Ⅱ）求实数a，b的值．（Ⅲ）求f（x）的单调区间．17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC＝1，AB＝2，，E为P A中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”的相应位置上.）18．（6分）过抛物线y2＝2x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝5，则AB的中点M 到y轴的距离等于（）A．2B．25C．3D．419．（6分）如图，已知直线y＝kx与曲线y＝f（x）相切于两点，设函数g（x）＝kx+m（m ＞0），则函数F（x）＝g（x）﹣f（x）（）A．有极小值，没有极大值B．有极大值，没有极小值C．至少有两个极小值和一个极大值D．至少有一个极小值和两个极大值20．（6分）如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°，D点在棱AA1上且AD＝2DA1，P点在棱C1C上，则的最小值为（）A．B．C．D．21．（6分）已知集合R n＝{X|X＝（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2）．对于A＝（a1，a2，…，a n）∈R n，B＝（b1，b2，…，b n）∈R n，定义A与B之间的距离为d（A，B）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|a n﹣b n|＝．若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为（）A．4B．5C．6D．8二、解答题（本大题共2小题，每个小题13分，满分26分，请把结果填在答题纸中）.22．（13分）已知离心率为的椭圆C：+＝1（a＞b＞0）与直线x＝2相交于P，Q 两点（点P在x轴上方），且|PQ|＝2．点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，且∠APQ＝∠BPQ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ面积的取值范围．23．（13分）对于函数f（x），若存在实数x0满足f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R（Ⅰ）当a＝0时，（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2均为f （x）的不动点？证明你的结论．2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相应位置上.）1．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、（sin x）'＝cos x，故A错误；对于B、（lnx）′＝，故B正确；对于C、（）′＝x﹣1＝（﹣1）×x﹣2＝﹣，故C正确；对于D、（e x）'＝e x，故D正确；故选：A．2．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣＝1，其中a＝1，b＝，则c＝＝2，又由双曲线的焦点在x轴上，则其焦点坐标为（2，0）（﹣2，0）；故选：D．3．【解答】解：═＝故选：C．4．【解答】解：∵＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），∴当＝＝时，向量∥成立．当＝（1，0，0），＝（2，0，0），满足∥，但＝＝不成立，∴＝＝是∥的充分不必要条件．故选：D．5．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB＝a，AA1＝2a，∴A1B＝C1B＝a，A1C1＝a，∠A1BC1的余弦值为，故选：D．6．【解答】解：∵f（x）＝，（x＞0）∴f′（x）＝﹣+＝，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故x＝2时，f（x）取最小值，故选：D．7．【解答】解：二次函数f（x）＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣，故其导函数f′（x）＝2ax+b＝0的根是﹣，二次函数的顶点和导函数的解均在直线x＝﹣上，故对于选项B是错误的，故选：B．8．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x3+kx2﹣7x，其导数f′（x）＝3x2+2kx﹣7，若函数f（x）＝x3+kx2﹣7x在区间[﹣1，1]上单调递减，则f′（x）＝3x2+2kx﹣7≤0在[﹣1，1]上恒成立，则有，解可得﹣2≤k≤2，即k的取值范围为[﹣2，2]；故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把结果填在答题纸中，）9．【解答】解：∵f（x）＝x2，∴f′（x）＝2x，∴＝f′（0）＝0，故答案为：0．10．【解答】解：∵函数，∴f'（x）＝，∴f′（1）＝，故答案为：0．11．【解答】解：已知，则：，由于，则：解得：x＝1或﹣1故答案为：1或﹣112．【解答】解：令f′（x）＝3x2﹣3＝0，得x＝±1，可求得f（x）的极大值为f（﹣1）＝2，极小值为f（1）＝﹣2，如图所示，当满足﹣2＜a＜2时，恰有三个不同公共点．故答案为：（﹣2，2）13．【解答】解：由题设知y'＝x2﹣39x﹣40，令y'＞0，解得x＞40，或x＜﹣1，故函数在[40，+∞）上增，在（0，40]上减，当x＝40，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40；故答案为：40．14．【解答】解：（1）M到CC1距离的最小值是异面直线BD1和CC1间的距离，连结AC，BD，交于点O，则AC⊥BD，AC∥DD1，∴AC⊥平面BDD1，∴OC⊥BD1，且OC⊥CC1，∴M到CC1距离的最小值为|OC|＝＝．故答案为：．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），M位于BD1三等分点处时，设M（），∴AM＝＝，BM＝＝，CM＝＝，DM＝＝1，A1M＝＝1，B1M＝＝，C1M＝＝1，D1M＝＝．∴M到各顶点的距离的不同取值有4种．故答案为：4．三、解答题（共3小题，满分30分）15．【解答】解：（Ⅰ）将（1，2）代入抛物线方程可得4＝2p，解得p＝2，即抛物线的方程为y2＝4x，F（1，0）；（Ⅱ）若抛物线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|AF|＝2，|BF|＝5，由抛物线的定义可得x A+1＝2，x B+1＝5，即有x A＝1，x B＝4，即为A（1，2），B（4，﹣4），AB的斜率为﹣2，AB的方程为2x+y﹣4＝0，O到直线AB的距离为d＝＝．16．【解答】解：（Ⅰ）6，3（Ⅱ）：f'（x）＝3ax2+2bx+c，由已知表格可得解得（Ⅲ）：由（Ⅱ）可得f'（x）＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣3）（x+1），因为x∈（﹣∞，﹣1）和x∈（3，+∞）时f'（x）＜0，x∈（﹣1，3）时f'（x）＞0，所以f（x）的单调增区间为（﹣1，3），单调减区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）．17．【解答】（共14分）证明：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．在△P AC中，由已知E为P A中点，所以EF∥PC．又EF⊂平面BFD，PC⊄平面BFD，所以PC∥平面BED．…（5分）（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，所以PO⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．…（1分）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（1，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，﹣1，0），B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．＝（﹣1，2，0），＝（0，1，﹣1）．设平面P AC的法向量为＝（x，y，z），则，令z＝1，得＝（2，1，1）．平面PCD的法向量为＝（1，0，0）．设的夹角为α，所以cosα＝＝．由图可知二面角A﹣PC﹣D为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（10分）（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．因此点M（0，λ，1﹣λ），＝（﹣1，λ﹣1，1﹣λ），＝（﹣1，2，0）．由，得1+2（λ﹣1）＝0，解得．因为∈[0，1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，＝．…（14分）一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”的相应位置上.）18．【解答】解：由抛物线为y2＝2x，可得p＝1．设A、B两点横坐标分别为x1，x2，设线段AB中点的横坐标为m，则＝m，即x1+x2＝2m，由|AB|＝x1+x2+p＝2m+1＝5，解得m＝2，可得AB的中点M到y轴的距离为2．故选：A．19．【解答】解：设y＝kx与f（x）的切点横坐标分别为x1，x2，（x1＜x2），设f（x）的另一条斜率为k的切线与f（x）图象的切点横坐标为x3，如图所示：而F（x）＝kx+m﹣f（x）表示直线g（x）的点（x，g（x））与f（x）上的点的（x，f（x））的纵坐标的差，显然，F（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，x3）上单调递增，在（x3，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，∴x1，x2为F（x）的极小值点，x3为F（x）的极大值点．∴F（x1），F（x2）为F（x）的极小值，F（x3）为F（x）的极大值．故选：C．20．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则D（1，0，2），B1（0，1，3），设P（0，0，z），则＝（1，0，2﹣z），＝（0，1，3﹣z），∴•＝0+0+（2﹣z）（3﹣z）＝﹣，故当z＝时，•取得最小值为﹣，故选：B．21．【解答】解：由n元子集个数得：R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以M＝或M＝，（1，1，1），故集合M中元素个数最大值为4，故选：A．二、解答题（本大题共2小题，每个小题13分，满分26分，请把结果填在答题纸中）. 22．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得e＝，则＝，设椭圆方程为：+＝1（b＞0）由题意可知点P（2，1）在椭圆上，所以．解得b2＝2．故椭圆C的标准方程为．…（4分）（Ⅱ）由题意可知，直线P A，直线PB的斜率都存在且不等于0．因为∠APQ＝∠BPQ，所以k P A＝﹣k PB．设直线P A的斜率为k，则直线P A：y﹣1＝k（x﹣2）（k≠0）．由，得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+16k2﹣16k﹣4＝0…（1）．依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式△＞0成立．即△＝64k2（1﹣2k）2﹣4（1+4k2）（16k2﹣16k﹣4）＞0，化简得16（2k+1）2＞0，解得k．因为2是方程（1）的一个解，所以2x A＝．所以x A＝．当方程（1）根的判别式△＝0时，k＝，此时直线P A与椭圆相切．由题意，可知直线PB的方程为y﹣1＝﹣k（x﹣2）．同理，易得x B ＝＝．由于点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，∠APQ＝∠BPQ，且能存在四边形APBQ，则直线P A的斜率k需满足|t |．设四边形APBQ面积为S，则＝＝＝由于|t |，故S ＝＝当|t|时，，可得，即0＜S＜4．（此处另解：设t＝|k|，讨论函数f（t ）＝在t ∈时的取值范围．f′（t）＝4﹣＝，则当t时，f′（t）＞0，f（t）单调递增．则当t时，f（t）∈（4，+∞），即S∈（0，4）．所以四边形APBQ面积S的取值范围是（0，4）．…（14分）23．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且f′（x）＝3x2+2ax+b．[（1分）]当a＝0时，f′（x）＝3x2+b；（ⅰ）①当b≥0时，显然f（x）在R上单调递增，无极值点．[（2分）]②当b＜0时，令f′（x）＝0，解得：x ＝±．[（3分）]f（x）和f′（x）的变化情况如下表：）（﹣）（，所以，x＝﹣是f（x）的极大值点；x＝是f（x）的极小值点．[（5分）]（ⅱ）若x＝x0是f（x）的极值点，则有3+b＝0；若x＝x0是f（x）的不动点，则有+bx0+3＝x0，从上述两式中消去b，整理得：2+x0﹣3＝0．[（6分）]设g（x）＝2x3+x﹣3．所以g′（x）＝6x2+1＞0，g（x）在R上单调递增．又g（1）＝0，所以函数g（x）有且仅有一个零点x＝1，即方程2+x0﹣3＝0的根为x0＝1，所以b＝﹣3＝﹣3．[（8分）]（Ⅱ）因为f（x（有两个相异的极值点x1，x2，所以方程3x2+2ax+b＝0有两个不等实根x1，x2，所以△＝4a2﹣12b＞0，即a2﹣3b＞0．[（9分）]假设存在实数a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点，则x1，x2是方程x3+ax2+（b﹣1）x+3＝0的两个实根，显然x1，x2≠0．对于实根x1，有+a+（b﹣1）x1+3＝0．①又因为3+2ax1+b＝0．②①×3﹣②×x1，得a+（2b﹣3）x1+9＝0．同理可得a+（2b﹣3）x2+9＝0．所以，方程ax2+（2b﹣3）x+9＝0也有两个不等实根x1，x2．[（11分）]所以x1+x2＝﹣．对于方程3x2+2ax+b＝0，有x1+x2＝﹣，所以﹣＝﹣，即a2﹣3b＝﹣，这与a2﹣3b＞0相矛盾！所以，不存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点．[（13分）]。
北京市东城区2018-2019学年高二上学期期末检测数学试题(解析版)
北京市东城区2018-2019学年高二上学期期末检测数学试题（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知复数为虚数单位，在复平面内对应的点在第二象限，那么x的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：复数为虚数单位，在复平面内对应的点在第二象限，则，解得．那么x的取值范围是．故选：A．利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知，，那么下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：若，，则，则，故A错误，不一定成立，，则C不成立，，，则，成立，故D正确，故选：D．根据a，b飞符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可．本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键比较基础．3.已知等差数列的前15项和，那么等于A. 6B. 10C. 12D. 15【答案】A【解析】解：等差数列的前15项和，，解得．故选：A．推导出，由此能求出的值．本题考查等差数列中两项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.i是虚数单位，复数等于A. B. C. D.【答案】B【解析】解：．故选：B．直接利用复数的除法运算进行化简计算．本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．5.已知椭圆的一个焦点是，那么实数A. B. C. 3 D. 5【答案】D【解析】解：因为椭圆的一个焦点是，所以，所以，．故选：D．通过椭圆的焦点，确定，利用a，b，c的关系，求出k的值即可．本题考查椭圆的标准方程及简单性质，属于基础题．6.已知为数列的前n项和，，，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】解：时，，，可得：，化为．时，．数列从第二项起为等比数列，公比为2，首项为．那么．故选：C．利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.“直线平面”是“直线在平面外”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：“直线l与平面平行”“直线l在平面外”“直线l在平面外”则直线l与平面平行或相交，故“直线l在平面外”不能推出“直线l与平面平行”故“直线l与平面平行”是“直线l在平面外”的充分非必要条件故选：A．根据直线l在平面外则直线l与平面平行或相交可判定“直线l与平面平行”与“直线l在平面外”的关系．本题主要考查了线面的位置关系，以及充要条件的判定，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．8.已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量不重合那么下列说法中：；；；正确的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：平面，不重合；平面，的法向量平行垂直等价于平面，平行垂直；正确；直线l的方向向量平行垂直于平面的法向量等价于直线l垂直平行于平面；都错误．故选：B．可以想象图形即可判断每个说法的正误．考查平面法向量的概念，直线方向向量的概念．9.三棱柱的侧棱与底面垂直，，，N是BC的中点，点P在上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，的值为A.B.C.D.【答案】A【解析】解：如图，以AB，AC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则0，，，平面ABC的一个法向量为0，，当时，，此时角最大为．故选：A．建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN与平面ABC所成的角，即可求得结论．本题考查使线面角的最大值的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推那么该数列的前50项和为A. 1044B. 1024C. 1045D. 1025【答案】A【解析】解：将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：，第二组：，，第三组：，，，第k组：，，，，，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：，，，，，每项含有的项数为：1，2，3，，k，总共的项数为，当时，，故该数列的前50项和为．故选：A．将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：，第二组：，，第三组：，，，第k组：，，，，，根据等比数列前n项和公式，能求出该数列的前50项和．本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.命题，的否定是______．【答案】，【解析】解：原命题为：，原命题为全称命题其否定为存在性命题，且不等号须改变原命题的否定为：，故答案为：，根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定本题考查命题的否定的写法，常见的命题的三种形式写否定：“若A，则B”的否定为“若￢，则￢”；全称命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称命题；切命题的否定为或命题，或命题的否定为切命题本题考查第二种形式，属简单题12.当且仅当______时，函数取得最小值．【答案】【解析】解：由于，由基本不等式可得，当且仅当，即当时，等号成立．故答案为：．利用基本不等式时，等号成立，即时，得出x的值．本题考查基本不等式的应用，使用基本不等式注意三个条件“一正、二定、三相等”，考查计算能力，属于基础题．13.已知抛物线C的顶点在原点，准线方程为，则抛物线C的标准方程为______．【答案】【解析】解：由题意可设抛物线C的方程为，，准线方程为，，解得．抛物线C的标准方程为．故答案为：．由题意可设抛物线C的方程为，，由已知准线方程为可解得p，则抛物线方程可求．本题考查抛物线标准方程的求法，是基础的计算题．14.不等式的解集为______．【答案】【解析】解：不等式等价为，即，即，则不等式的解集为，故答案为：．将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可．本题主要考查分式不等式的求解，利用转化转化为一元二次不等式是解决本题的关键．15.已知，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若是等边三角形，则这个椭圆的离心率是______．【解析】解：是正三角形，，直线AB与椭圆长轴垂直，是正三角形的高，，中，设，，，因此，椭圆的长轴，焦距椭圆的离心率为．故答案为：根据是正三角形，且直线AB与椭圆长轴垂直，得到是正三角形的高，在中，设，可得，所以，用勾股定理算出，得到椭圆的长轴，焦距，所以椭圆的离心率为．本题给出椭圆过焦点垂直于长轴的弦和另一焦点构成直角三角形，求椭圆的离心率着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．16.如图所示，四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为时，那么线段PM的长度是______．【答案】【解析】解：如图建立空间直角坐标系，则0，，0，，2，，，是棱PB的中点，1，，设m，，则，，解得，，故答案为：．建立空间直角坐标系，易得各点坐标，设出点M的坐标，可得向量，代入异面直线所成角公式可得点M 的坐标，问题得解．此题考查了异面直线所成角，空间坐标系等，难度适中．三、解答题（本大题共4小题，共36.0分）17.等差数列中，，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若，分别是等比数列的第4项和第5项，试求数列的通项公式．【答案】解：Ⅰ在等差数列中，由，，得，；Ⅱ在等比数列中，有，，公比，则．【解析】Ⅰ在等差数列中，由已知求得d，代入等差数列的通项公式即可；Ⅱ在等比数列中，分别求得第4项和第5项，进一步求得公比，代入等比数列的通项公式得答案．本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础的计算题．18.已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C经过点．Ⅰ求抛物线C的标准方程；Ⅱ经过抛物线C的焦点且斜率为2的直线l交抛物线C于A，B两点，求线段AB的长．【答案】解：Ⅰ由题意设抛物线C的标准方程为，其图象经过点，则，解得，抛物线C的标准方程为；Ⅱ抛物线C的标准方程为，焦点，准线方程为；过焦点且斜率为2的直线l方程为，由，消去y，整理得，由根与系数的关系得，线段AB的长为．【解析】Ⅰ利用待定系数法求出p的值，写出抛物线C的标准方程；Ⅱ写出抛物线C的焦点坐标和准线方程，写出过焦点且斜率为2的直线方程，与抛物线方程联立，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系求得的值，再求线段AB的长．本题考查了抛物线的标准方程与弦长问题，是中档题．19.如图，在三棱锥中，底面ABC，点D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，，．Ⅰ求证：平面BDE；Ⅱ求直线MN到平面BDE的距离；Ⅲ求二面角的大小．【答案】证明：Ⅰ在三棱锥中，底面ABC，点D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，，．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，0，，0，，4，，2，，0，，0，，2，，2，，0，，2，，设平面BDE的法向量y，，则，取，得0，，，平面BDE，平面BDE．Ⅱ，0，，直线MN到平面BDE的距离：．Ⅲ平面BDE的法向量0，，平面DEP的法向量0，，设二面角的大小为，则．．二面角的大小为．【解析】Ⅰ以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面BDE．Ⅱ求出0，，利用向量法得直线MN到平面BDE的距离．Ⅲ求出平面BDE的法向量和平面DEP的法向量，利用向量法能求出二面角的大小．本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为，离心率为．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ若过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且P点平分线段AB，求直线AB的方程；Ⅲ一条动直线l与椭圆C交于不同两点M，N，O为坐标原点，的面积为求证：为定值．【答案】解：Ⅰ设椭圆方程为，即有，即，，即，由，可得，则椭圆方程为；Ⅱ设，，点为AB的中点，可得，，由，，相减可得，可得，即有直线AB的方程为，化为；Ⅲ证明：设，，则，当直线l的斜率不存在时，M，N关于x轴对称，即，，由，的面积为，可得，即有，，可得；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，代入椭圆方程，可得，可得，，，可得，，O到直线l的距离为，则，化为，即有，，则，综上可得，为定值5．【解析】Ⅰ设椭圆方程为，由题意可得b，运用离心率公式和a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；Ⅱ设，，运用中点坐标公式和点满足椭圆方程，作差，由直线的斜率公式可得AB的斜率，进而得到所求直线方程；Ⅲ设，，则，分别讨论直线MN的斜率是否存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，化简整理即可得到所求定值．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线方程的求法和两点距离的平方和为定值的证明，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式和点差法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
北京市东城区2018-2019学年高二上学期期末检测数学试题(解析版)
北京市东城区2018-2019学年高二上学期期末检测数学试题（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知复数z=(1+x)+i(i为虚数单位，x∈R)在复平面内对应的点在第二象限，那么x的取值范围是()A. x<−1B. −1<x<0C. x<0D. 0<x<1【答案】A【解析】解：复数z=(1+x)+i(i为虚数单位，x∈R)在复平面内对应的点在第二象限，则1+x<0，解得x<−1．那么x的取值范围是x<−1．故选：A．利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知a<0，b>0，那么下列不等式中一定成立的是()A. b−a<0B. |a|>|b|C. a2<abD. 1a <1b【答案】D【解析】解：若a<0，b>0，则−a>0，则b−a>0，故A错误，|a|>|b|不一定成立，a2>ab，则C不成立，1 a <0，1b>0，则1a<1b，成立，故D正确，故选：D．根据a，b飞符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可．本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键.比较基础．3.已知等差数列{a n}的前15项和S15=45，那么a4+a12等于()A. 6B. 10C. 12D. 15【答案】A【解析】解：∵等差数列{a n}的前15项和S15=45，∴S15=152(a1+a15)=152(a4+a12)=45，解得a4+a12=6．故选：A．推导出S15=152(a1+a15)=152(a4+a12)=45，由此能求出a4+a12的值．本题考查等差数列中两项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.i是虚数单位，复数2i1−i等于()A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i【答案】B【解析】解：2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−2+2i2=−1+i．故选：B．直接利用复数的除法运算进行化简计算．本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．5.已知椭圆x2k+y2=1的一个焦点是(2,0)，那么实数k=()A. 3B. 5C. 3D. 5【答案】D【解析】解：因为椭圆x2k+y2=1的一个焦点是(2,0)，所以k>1，所以k−1=4，k=5．故选：D．通过椭圆的焦点，确定k>1，利用a，b，c的关系，求出k的值即可．本题考查椭圆的标准方程及简单性质，属于基础题．6.已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=−2，a n+1=S n，那么a5=()A. −4B. −8C. −16D. −32【答案】C【解析】解：n≥2时，a n+1=S n，a n=S n−1，可得：a n+1−a n=a n，化为a n+1=2a n．n=1时，a2=a1=−2．∴数列{a n}从第二项起为等比数列，公比为2，首项为−2．那么a5=−2×23=−16．故选：C．利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.“直线l//平面α”是“直线在平面α外”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：“直线l与平面α平行”⇒“直线l在平面α外”“直线l在平面α外”则直线l与平面α平行或相交，故“直线l在平面α外”不能推出“直线l与平面α平行”故“直线l与平面α平行”是“直线l在平面α外”的充分非必要条件故选：A．根据直线l在平面α外则直线l与平面α平行或相交可判定“直线l与平面α平行”与“直线l在平面α外”的关系．本题主要考查了线面的位置关系，以及充要条件的判定，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．8.已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α,β不重合)那么下列说法中：①n1//n2⇔α//β；②n1⊥n2⇔α⊥β；③v//n1⇔l//α；④v⊥n1⇔l⊥α.正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：∵平面α，β不重合；∴平面α，β的法向量平行(垂直)等价于平面α，β平行(垂直)；∴①②正确；直线l的方向向量平行(垂直)于平面α的法向量等价于直线l垂直(平行)于平面α；∴③④都错误．故选：B．可以想象图形即可判断每个说法的正误．考查平面法向量的概念，直线方向向量的概念．9.三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足A1P=λA1B1，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，λ的值为()A. 12B. 22C. 32D. 2 55【答案】A【解析】解：如图，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A −xyz ， 则P (λ,0，1)，PN =(12−λ,12,−1)， 平面ABC 的一个法向量为n =(0,0，1) ∴sin θ=|PN ⋅n ||PN |⋅|n |= (λ−1)+5，∴当λ=12时，(sin θ)max =2 55，此时角θ最大为arcsin2 55．故选：A ．建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN 与平面ABC 所成的角，即可求得结论．本题考查使线面角的最大值的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推那么该数列的前50项和为( )A. 1044B. 1024C. 1045D. 1025【答案】A【解析】解：将已知数列分组，使每组第一项均为1， 即：第一组：20， 第二组：20，21， 第三组：20，21，22，…第k 组：20，21，22，…，2k−1， 根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：21−1，22−1，23−1，…，2k −1， 每项含有的项数为：1，2，3，…，k ， 总共的项数为N =1+2+3+⋯+k =(1+k )k 2，当k =9时，(1+k )k 2=45，故该数列的前50项和为S 50=21−1+22−1+23−1+⋯+29−1+1+2+4+8+16=2(1−29)1−2−9+31=1044．故选：A ．将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，…第k组：20，21，22，…，2k−1，根据等比数列前n项和公式，能求出该数列的前50项和．本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.命题∀x∈R，x2−x+3>0的否定是______．【答案】∃x∈R，x2−x+3≤0【解析】解：原命题为：∀x∈R，x2−x+3>0∵原命题为全称命题∴其否定为存在性命题，且不等号须改变∴原命题的否定为：∃x∈R，x2−x+3≤0故答案为：∃x∈R，x2−x+3≤0根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定本题考查命题的否定的写法，常见的命题的三种形式写否定：(1)“若A，则B”的否定为“若￢A，则￢B”；(2)全称命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称命题；(3)切命题的否定为或命题，或命题的否定为切命题.本题考查第二种形式，属简单题12.当且仅当x=______时，函数y=4x+1x(x>0)取得最小值．【答案】12【解析】解：由于x>0，由基本不等式可得y=4x+1x ≥24x⋅1x=4，当且仅当4x=1x (x>0)，即当x=12时，等号成立．故答案为：12．利用基本不等式时，等号成立，即4x=1x(x>0)时，得出x的值．本题考查基本不等式的应用，使用基本不等式注意三个条件“一正、二定、三相等”，考查计算能力，属于基础题．13.已知抛物线C的顶点在原点，准线方程为y=−2，则抛物线C的标准方程为______．【答案】x2=8y【解析】解：由题意可设抛物线C的方程为x2=2py，(p>0)，∵准线方程为y=−2，∴−p2=−2，解得p=4．∴抛物线C的标准方程为x2=8y．故答案为：x2=8y．由题意可设抛物线C的方程为x2=2py，(p>0)，由已知准线方程为y=−2可解得p，则抛物线方程可求．本题考查抛物线标准方程的求法，是基础的计算题．14. 不等式x−1x−3≤0的解集为______． 【答案】[1,3)【解析】解：不等式等价为 x −3≠0(x−1)(x−3)≤0，即 x ≠31≤x≤3，即1≤x <3，则不等式的解集为[1,3)， 故答案为：[1,3)．将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可．本题主要考查分式不等式的求解，利用转化转化为一元二次不等式是解决本题的关键．15. 已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是等边三角形，则这个椭圆的离心率是______． 【答案】 33【解析】解：∵△ABF 2是正三角形， ∴∠AF 2B =60∘，∵直线AB 与椭圆长轴垂直，∴F 2F 1是正三角形△ABF 2的高，∠AF 2F 1=12×60∘=30∘，Rt △AF 2F 1中，设|AF 1|=m ，sin30∘=|AF 1||AF 2|=12，∴|AF 2|=2m ，|F 1F 2|= |AF 2|2−|AF 1|2= 3m因此，椭圆的长轴2a =|AF 1|+|AF 2|=3m ，焦距2c = 3m ∴椭圆的离心率为e =ca =2c2a = 33．故答案为： 33根据△ABF 2是正三角形，且直线AB 与椭圆长轴垂直，得到F 2F 1是正三角形△ABF 2的高，∠AF 2F 1=30∘.在Rt △AF 2F 1中，设|AF 1|=m ，可得|AF 1||AF 2|=12，所以|AF 2|=2m ，用勾股定理算出|F 1F 2|= 3m ，得到椭圆的长轴2a =|AF 1|+|AF 2|=3m ，焦距2c = 3m ，所以椭圆的离心率为e =2c2a = 33． 本题给出椭圆过焦点垂直于长轴的弦和另一焦点构成直角三角形，求椭圆的离心率.着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．16. 如图所示，四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD =2，E 是棱PB 的中点，M 是棱PC 上的动点，当直线PA 与直线EM所成的角为60∘时，那么线段PM的长度是______．【答案】344【解析】解：如图建立空间直角坐标系，则A(2,0，0)，P(0,0，2)，B(2,2，0)，∴AP=(−2,0,2)，∵E是棱PB的中点，∴E(1,1，1)，设M(0,m，m)，则EM=(−1,m−1,m−1)，|cos<AP,EM>|=|AP⋅EM|AP||EM||=221+2(m−1)2=12，解得m=34，∴M(0,34,34 )，∴PM=916+2516=344，故答案为：344．建立空间直角坐标系，易得各点坐标，设出点M的坐标，可得向量AP,EM，代入异面直线所成角公式可得点M的坐标，问题得解．此题考查了异面直线所成角，空间坐标系等，难度适中．三、解答题（本大题共4小题，共36.0分）17.等差数列{a n}中，a3=6，a5=10．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若a4，a8分别是等比数列{b n}的第4项和第5项，试求数列{b n}的通项公式．【答案】解：(Ⅰ)在等差数列{a n}中，由a3=6，a5=10，得d=a5−a35−3=10−62=2，∴a n=a3+2(n−3)=6+2n−6=2n；(Ⅱ)在等比数列{b n}中，有b4=a4=8，b5=a8=16，∴公比q=b5b4=2，则b n=b4q n−4=8⋅2n−4=2n−1．【解析】(Ⅰ)在等差数列{a n}中，由已知求得d，代入等差数列的通项公式即可；(Ⅱ)在等比数列{b n}中，分别求得第4项和第5项，进一步求得公比，代入等比数列的通项公式得答案．本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础的计算题．18. 已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线C 经过点P (3,6)．(Ⅰ)求抛物线C 的标准方程；(Ⅱ)经过抛物线C 的焦点且斜率为2的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案】解：(Ⅰ)由题意设抛物线C 的标准方程为y 2=2px ， 其图象经过点P (3,6)， 则62=6p ， 解得p =6，∴抛物线C 的标准方程为y 2=12x ；(Ⅱ)抛物线C 的标准方程为y 2=12x ，焦点F (3,0)，准线方程为x =−1； 过焦点且斜率为2的直线l 方程为y =2(x −3)， 由 y 2=12x y =2(x−3)，消去y ，整理得x 2−9x +9=0， 由根与系数的关系得x 1+x 2=9，∴线段AB 的长为|AB |=x 1+x 2+p =9+6=15．【解析】(Ⅰ)利用待定系数法求出p 的值，写出抛物线C 的标准方程；(Ⅱ)写出抛物线C 的焦点坐标和准线方程，写出过焦点且斜率为2的直线方程，与抛物线方程联立，消去y 得关于x 的方程，利用根与系数的关系求得x 1+x 2的值，再求线段AB 的长．本题考查了抛物线的标准方程与弦长问题，是中档题．19. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC =90∘.点D ，E 分别为棱PA ，PC 的中点，M 是线段AD 的中点，N 是线段BC 的中点，PA =AC =4，AB =2． (Ⅰ)求证：MN //平面BDE ； (Ⅱ)求直线MN 到平面BDE 的距离； (Ⅲ)求二面角B −DE −P 的大小．【答案】证明：(Ⅰ)在三棱锥P −ABC中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC =90∘.点D ，E 分别为棱PA ，PC 的中点， M 是线段AD 的中点，N 是线段BC 的中点，PA =AC =4， AB =2．以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，M(0,0，1)，B(2,0，0)，C(0,4，0)，N(1,2，0)，D(0,0，2)，P(0,0，4)，E(0,2，2)，MN=(1,2，−1)，BD=(−2,0，2)，BE=(−2,2，2)，设平面BDE的法向量n=(x,y，z)，则n⋅BD=−2x+2z=0n⋅BE=−2x+2y+2z=0，取x=1，得n=(1,0，1)，∵n⋅MN=0，MN⊄平面BDE，∴MN//平面BDE．(Ⅱ)BM=(−2，0，1)，∴直线MN到平面BDE的距离：d=|BM⋅n||n|=2=22．(Ⅲ)∵平面BDE的法向量n=(1,0，1)，平面DEP的法向量m=(1,0，0)，设二面角B−DE−P的大小为θ，则cosθ=|m ⋅n||m|⋅|n|=2=22．∴θ=π4．∴二面角B−DE−P的大小为π4．【解析】(Ⅰ)以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN//平面BDE．(Ⅱ)求出BM=(−2,0，1)，利用向量法得直线MN到平面BDE的距离d=|BM⋅n||n|．(Ⅲ)求出平面BDE的法向量和平面DEP的法向量，利用向量法能求出二面角B−DE−P的大小．本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为22，离心率为33．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若过点P(−1,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，且P点平分线段AB，求直线AB的方程；(Ⅲ)一条动直线l与椭圆C交于不同两点M，N，O为坐标原点，△OMN的面积为62.求证：|OM|2+|ON|2为定值．【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为x2a +y2b=1(a>b>0)，即有2b=2，即b=，e=ca =33，即a=3c，由a2−b2=c2，可得a=3，则椭圆方程为x23+y22=1；(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，点P(−1,1)为AB的中点，可得x1+x2=−2，y1+y2=2，由2x12+3y12=6，2x22+3y22=6，相减可得2(x1−x2)(x1+x2)=−3(y1−y2)(y1+y2)，可得k AB=y1−y2x1−x2=−2(x1+x2)3(y1+y2)=23，即有直线AB的方程为y−1=23(x+1)，化为2x−3y+5=0；(Ⅲ)证明：设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则|OM|2+|ON|2=x32+x42+y32+y42，当直线l的斜率不存在时，M，N关于x轴对称，即x3=x4，y3=−y4，由x323+y322=1，△OMN的面积为62，可得12⋅|x3|⋅|2y3|=62，即有|x3|=62，|y3|=1，可得|OM|2+|ON|2=2(32+1)=5；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m(m≠0)，代入椭圆方程2x2+3y2=6，可得(2+3k2)x2+6km+3m2−6=0，可得x3+x4=−6km2+3k ，x3x4=3m2−62+3k，△=36k2m2−12(2+3k2)(m2−2)>0，可得3k2+2>m2，|MN|=1+k2(−6km2+3k2)2−4(3m2−6)2+3k2=1+k2⋅263k2+2−m22+3k2，O到直线l的距离为d=1+k2，则S△MNO=12d|MN|=122⋅1+k2⋅263k2+2−m22+3k=6|m|2+3k2−m22+3k=62，化为2+3k2=2m2，即有x32+x42=(x3+x4)2−2x3x4=(−6km2+3k )2−2⋅3m2−62+3k=3，y32+y42=2(1−x323)+2(1−x423)=4−23(x32+x42)=4−23×3=2，则|OM|2+|ON|2=x32+x42+y32+y42=5，综上可得，|OM|2+|ON|2为定值5．【解析】(Ⅰ)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由题意可得b，运用离心率公式和a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，运用中点坐标公式和点满足椭圆方程，作差，由直线的斜率公式可得AB的斜率，进而得到所求直线方程；(Ⅲ)设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则|OM|2+|ON|2=x32+x42+y32+y42，分别讨论直线MN 的斜率是否存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，化简整理即可得到所求定值．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线方程的求法和两点距离的平方和为定值的证明，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式和点差法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
2018～2019学年北京市东城区高二下学期期末教学质量统一检测数学试题(解析版)
绝密★启用前北京市东城区普通高中2018～2019学年高二下学期期末教学质量统一检测数学试题(解析版)2019年7月本试卷共4页，共100分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，见本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共32分)一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2M =，{}02N x x =≤<，那么集合M N ⋂=A. {}0B. {}0,1C. {}1,2D. {}0,2 【答案】B【解析】【分析】直接进行交集的运算即可．【详解】∵M ＝{0，1，2}，N ＝{x |0≤x ＜2}；∴M ∩N ＝{0,1}．故选：B ．【点睛】本题考查列举法、描述法的定义,以及交集的运算,属于基础题．2.已知曲线()y f x =在点()5(5),f 处的切线方程是80x y +-=,且()f x 的导函数为()f x ',那么()5f '等于A. 3B. 1C. 8-D. 1-【答案】D【解析】【分析】求出切线的斜率即可【详解】由题意切线方程是x +y ﹣8＝0,即y ＝8﹣x ,f '（5）就是切线的斜率,f ′（5）＝﹣1,故选：D ．【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了某点处的切线斜率的求法,属于基础题．3.已知,x y R ∈,那么“0xy >”是“0x >且0y >”的A. 充分而不必要条件B. 充要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】【分析】先利用取特殊值法判断x •y ＞0时,x ＞0且y ＞0不成立,再说明x ＞0且y ＞0时,x •y ＞0成立,即可得到结论．【详解】若x ＝﹣1,y ＝﹣1,则x •y ＞0,但x ＞0且y ＞0不成立,若x ＞0且y ＞0,则x •y ＞0一定成立,故“x •y ＞0”是“x ＞0且y ＞0”的必要不充分条件故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是充要条件的定义,考查了不等式的性质的应用,考查了逻辑推理能力,属于基础题．4.已知随机变量X 满足条件X ～(),B n p ,且()()12125E X ,D X ==,那么n 与p 的值分别为 A. 4165, B. 2205, C. 4155, D. 3125,。
【解析】北京市第二中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题
北京二中教育集团2018—2019学年度第三学段高二年级学段考试试卷数学选修2—3一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知双曲线()22210x y a a-=>0y +=，则a =( )A.B.C.D.【答案】D 【分析】求出双曲线的渐近线，和已知条件对比，即可求出a【详解】双曲线()22210x y a a-=>的渐近线方程为：1y x a =±0y +=，即y =所以1a =3a =故选：D【点睛】本题考查的是双曲线的渐近线方程，较简单.2.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =，3.5y =，则由该观测数据算得线性回归方程可能为( ) A. $0.34.4y x =-+ B. $2 3.5y x =+ C. $29.5y x =-+ D. $0.4 2.3y x =+【答案】D 分析】由变量x 与y 正相关可排除A 、C ，然后线性回归方程要过点()3,3.5，可得出答案【详解】因为变量x 与y 正相关，所以A 、C 不满足 因为线性回归方程要过点()3,3.5，故B 不满足 故选：D【点睛】线性回归方程一定过点(),x y .3.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，其数量之比依次是3:4:7，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为n 的样本，样本中A 型号产品有15件，那么n 等于（ ） A. 50 B. 60C. 70D. 80【答案】C 【分析】求出A 型号产品的占有的比例，列出等式，求解样本容量n . 【详解】由分层抽样方法得315347n ⨯=++，解之得70n =.【点睛】本题考查了分层抽样，考查了运算能力. 4.某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝( )A. 2231344C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B. 2233144C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ C. 21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ D.23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ 【答案】Cξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，本题选择C 选项. 点睛：准确理解并运用二项分布的概率公式是求解该类问题的关键，()()1n kk kn P X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率.5.袋中有10个大小相同但编号不同的球，6个红球和4个白球，无放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球的概率为（）A. 35B.25C.110D.59【答案】D试题分析：先求出“第一次摸到红球”的概率为：，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是，再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为，根据条件概率公式，得：,故选D.考点：条件概率与独立事件.【易错点晴】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解.利用定义，分别求和，得.注意：事件与事件有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清的求法．属于中档题，看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键.6.2019年春运已经拉开序幕，在外漂泊的游子归家心切，有两位来自南方的北漂商讨着购票事宜，希望购买的火车票座位能挨着在一起，并且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的是( )窗口1 2过道3 4 5窗口6 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 ………A. 48，49B. 62，63C. 75，76D. 84，85 【答案】D【分析】由图得出被5除余1的数和能被5整除的数对应的座位临窗即可分析出满足条件的答案 【详解】由已知图形中的座位的排列顺序可得：被5除余1的数和能被5整除 的数对应的座位临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗 分析答案中的4组座位号，只有D 符合条件 故选：D【点睛】本题考查的是对表格的观察能力，较简单7.甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是1P ，乙能解决这个问题的概率是2P ，那么至少有一人能解决这个问题的概率是( ) A. 12P P + B. 12PPC. 121PP -D. ()()12111P P ---【答案】D 【分析】事件“至少有一人能解决这个问题”的对立事件是“两个人都不能解决这个问题”，算出后者的概率即可【详解】因为事件“至少有一人能解决这个问题”的对立事件是 “两个人都不能解决这个问题”，事件“两个人都不能解决这个问题”的概率为()()1211P P -- 所以至少有一人能解决这个问题的概率是()()12111P P --- 故选：D【点睛】若事件A 、B 对立，则有()()1P A P B +=.8.在62⎛⎫- ⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A. 154-B.154C. 38-D.38【答案】C【详解】因为1r T +=662()()2rrr x C x-⋅⋅-,可得1r =时，2x 的系数为38-，C 正确.9.已知抛物线的焦点为F ，点111(,)P x y 、222(,)P x y 、333(,)Px y 在抛物线上，且2132x x x =+，则有 A. 123FP FP FP += B. 222123FP FP FP += C. 2132FP FP FP =+ D. 2213FP FP FP =⋅ 【答案】C试题分析：由题可知：在抛物线上任一点到焦点的距离等于它到准线L 的距离，因此，到准线的距离为，到准线的距离为，到准线的距离为，故2132FP FP FP =+．考点：抛物线的定义10.设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【分析】根据不等式p q k l a a a a +>+，得到等差数列公差的正负性和p ，q ，k ，l 之间的关系，结合充分性、必要性的定义选出正确答案即可. 【详解】设等差数列的公差为d ，1111(1)(1)(1)(1)p q k l a p d a q d a a a a a k d a l d ⇒+-+++->+>++-+-[()()]0d p q k l ⇒+-+>0d p q k l >⎧⇒⎨+>+⎩或0d p q k l<⎧⎨+<+⎩，显然由p q k l +>+不一定能推出p q k l a a a a +>+，由p q k l a a a a +>+也不一定能推出 p q k l +>+， 因此p q k l +>+是p q k l a a a a +>+的既不充分也不必要条件，故本题选D. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了充要条件的判断.11.某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查.若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是( ) A. 48 B. 72C. 84D. 168【答案】D 【分析】分两步，第一步选2名理科班的学生检查文科班，第二步，理科班检查的方法，需要分三类，根据分布和分类计数原理可得.【详解】第一步：选2名理科班的学生检查文科班，有2412A =种第二步：分三类①2名文科班的学生检查剩下的2名理科生所在的班级，2名理科生检查另2名理科生所在的班级，有22224A A =种②2名文科班的学生检查去文科班检查的2名理科生所在班级，剩下的2名理科生互查所在的班级，有21212A A =种③2名文科生一人去检查去文科班检查的2名理科生所在的班级的一个和一人去检查剩下的2名理科生其中一个所在的班级，有1112228A A A =种根据分步分类技术原理可得，共有()12428168⨯++=不同的安排方法 故选：D【点睛】本题考查的是分步分类计数原理及排列组合的知识，怎么将一个复杂的事情进行合理的分步分类去完成是解题的关键.12.已知M 为椭圆22143x y +=上一点，N 为椭圆长轴上一点，O 为坐标原点，有下列结论：①存在点M ，N ，使得OMN ∆为等边三角形；②不存在点M ，N ，使得OMN ∆为等边三角形；③存在点M ，N ，使得90OMN ∠=︒；④不存在点M ，N ，使得90OMN ∠=︒.其中，所有正确结论的序号是( ) A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③【答案】A 【分析】利用椭圆的简单几何性质，直接可判断①正确②错误，分情况讨论点M 、N 的位置，利用余弦定理判断OMN ∠，即可确定③错误④正确.【详解】过原点且倾斜角为60︒的直线一定与椭圆有交点，假设y 轴右侧的交点 是M ，在长轴上取ON OM =，则OMN V 就是等边三角形 故①正确，②错误若点M 和点N 在y 轴两侧，则OMN ∠一定是锐角 若点M 和点N 在y 轴同侧，不妨设为在y 轴右侧 设点(),M x y ，则22334y x =-，且02x << 由椭圆性质可知，当点N 是长轴端点时，OMN ∠最大 因为222OMx y =+，222(2)MN x y =-+，24ON =所以22222222(2)2244OM MNx y x y x y x +=++-+=+-+()21(4)24,102x =-+∈ 所以222OM MNON +>即90OMN ∠<︒，故③错误，④正确 故选：A【点睛】1.本题考查的是椭圆性质的应用，椭圆关于原点、x 轴、y 轴对称. 2.可以用余弦定理判断一个角是锐角、直角还是钝角.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）13.某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[)40,50，[)50,60，…，[]90,100后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在[)70,80内的人数是__________．【答案】30由频率分布直方图得,分数在[)60,80内的频率为：()10.0100.0150.0250.005100.45-+++⨯=，∴分数在[)60,80内的人数为：1000.4545⨯=，故答案为45.14.随机变量η的分布列如下：η1 2 3 4 5 6 P0.2x0.250.10.150.2则x =______，()3P η≤=______. 【答案】 (1). 0.1 (2). 0.55 【分析】 由0.20.250.10.150.21x +++++=可算出x，()()()()3123P P P P ηηηη≤==+=+=【详解】由0.20.250.10.150.21x +++++=得0.1x =()()()()31230.20.10.250.55P P P P ηηηη≤==+=+==++=故答案为：0.1，0.55【点睛】本题考查分布列的知识，较简单.15.某市教委派出5名调查人员到3所学校去调研学生作业负担问题，每校至少1人，则共有______种不同的派遣方法. 【答案】150【分析】先将5人分成3组，然后再将3组分配到3个学校. 【详解】第一步，把5人分成3组，有两类分法： ①一组3人，另两组各1人，有3510C =种分法②一组1人，另两组各2人，有1225422215C C C A =种分法 第二步：将3个小组分配到3所学校去，有336A =种分法所以共有()10156150+⨯=种不同的选派方案.【点睛】解决分组分配问题的基本指导思想是先分组，后分配.16.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为___________本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：1AF a c =-，122FF c =，1F B a c =+.又已知1AF ，12F F ，1F B 成等比数列，故2()()(2)a c a c c -+=，即2224a c c -=，则225a c =.故c e a ==.. 【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关,a c 的方程，然后化为有关,a c 的齐次式方程，进而转化为只含有离心率e 的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.17.已知()2311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，*N n ∈且58n ≤≤，则n =______.【答案】7【分析】先将问题转化成二项式31()nx x+的展开式中没有常数项、x 项和2x 项，利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，然后即可求解 【详解】因为()2233111()(12)()n n x x x x x x x++=+++的展开式中没有2x 项 所以31()nx x+的展开式中没有常数项、x 项和2x 项 31()n x x+的展开式的通项为341,0,1,2r n r r r n rr n n T C x x C x r n ---+===L 所以方程40,41,42n r n r n r -=-=-=，当*N n ∈且58n ≤≤时无解 检验可得7n = 故答案为：7【点睛】二项式(+)na b 的展开式的通项为：1,0,1,2r n r r r n T C a b r n -+==L18.甲乙二人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷.规定：若甲掷出1点，则由甲继续掷，否则下一次由乙掷；若乙掷出3点，则由乙继续掷，否则下一次由甲掷，两人始终按此规则进行.记第n 次由甲掷的概率为n P ，则3P =______，n P =______. 【答案】 (1). 1318 (2). 2112233n -⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】先求出甲掷到1点（乙掷到3点）的概率为16，甲未掷到1点（乙未掷到3点）的概率为56，设第k 次由甲掷的概率为k p ，可得到递推公式15263k k p p +=-，然后用数列的知识即可求出.【详解】甲掷到1点（乙掷到3点）的概率为16， 甲未掷到1点（乙未掷到3点）的概率为56， 设第k 次由甲掷的概率为k p ，则乙掷的概率为1k p - 第一次由甲掷，故第二次由甲掷的概率216p = 于是，第1k +次由甲掷的概率为()155216663k k k p p p +-=-即15263k k p p +=-，因为216p =，1121232k k p p +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭所以数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21123p -=-为首项，以23-为公比的等比数列（2n ≥） 所以2112233n n p -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，适合1n =从而2112233n n p -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭所以31318p =故答案为：1318，2112233n -⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查递推数列和等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.三、解答题（共5小题，共60分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）19.已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）3(1,2,)n a n n ==L ，132(1,2,)n n b n n -=+=L ；（2）3(1)212n n n ++-试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列{}n b 前n 项和． 试题详细分析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d ，由题意得 d=== 3．∴a n =a 1+（n ﹣1）d=3n设等比数列{bn ﹣an}的公比为q ，则q 3===8，∴q=2，∴b n ﹣a n =（b 1﹣a 1）q n ﹣1=2n ﹣1， ∴bn=3n+2n ﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =3n+2n ﹣1， ∵数列{3n}的前n 项和为n （n+1），数列{2n ﹣1}的前n 项和为1×= 2n ﹣1，∴数列{bn}的前n 项和为；考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和．20.A 、B 两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：(1)试估计B 班的学生人数；(2)从A 班和B 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量X .规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记1X =-；当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记X 0=；当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记1X =.求随机变量X 的分布列及数学期望.(3)再从A 、B 两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1）35，（2）随机变量X 的分布列： X -1 0 1P272211321()13E X =（3）10μμ> 【分析】(1)由题意可知，抽出的13名学生中，来自B 班的学生有7名，根据分层抽样方法，能求出B 班的学生人数(2)由题意可知X 的可能取值为：1,0,1- ，分别求出相应的概率，由此能求出X 的概率分布列和期望(3)利用数学期望的性质能得出10μμ>【详解】（1）由题意可知，抽出的13名学生中，来自B 班的学生有7名， 根据分层抽样方法可得：B 班的学生人数估计为7653513⨯= (2)X 的可能取值为：1,0,1-()1221677P X =-==⨯，()4206721P X ===⨯， ()()()13111021P X P X P X ==-=--==则随机变量X 的分布列：22131101721213EX =-⨯+⨯+⨯=(3)10μμ>【点睛】本题考查的是离散型随机变量得分布列及期望，在解题的时候关键是要把概率求正确.21.某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[ 0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（1）写出频率分布直方图（甲）中的a 的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小；（只需写出结论）（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（3）设X 表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X 的数学期望．【答案】（1）0.015a =，2212s s >；（2）0．42；（3）0．9．试题分析：（Ⅰ）由各个小矩形的面积和为1，先求出a ，由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，由此可得出与的大小关系；（Ⅱ）首先设事件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B ：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C ：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱；然后分别求出事件和事件B 的概率，最后由相互独立事件的概率乘法计算公式即可得出所求的结果；（Ⅲ）首先由题意可知X 的可能取值为0，1，2，3，然后运用相互独立重复试验的概率计算公式分别计算相应的概率，最后得出其分布列即可．试题详细分析：（Ⅰ）由各小矩形的面积和为1可得：(0.0100.0200.0250.03)101a ++++⨯=，解之的0.015a =；由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在2030-箱，故2212s s >．（Ⅱ）设事件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B ：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C ：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则()0.200.100.3P A =+=，()0.100.200.3P B =+=．所以()()()()()0.42P C P A P B P A P B =+=．（Ⅲ）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3．0033(0)0.30.70.343P X C ==⨯⨯=，1123(1)0.30.70.441P X C ==⨯⨯=， 2213(2)0.30.70.189P X C ==⨯⨯=，3303(3)0.30.70.027P X C ==⨯⨯=．所以X 的分布列为所以X 的数学期望00.34310.44120.18930.0270.9EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．考点：1、离散型随机变量的均值与方差；2、相互独立事件的概率乘法公式；3、频率分布直方图．【方法点睛】本题主要考查频率分布直方图、离散型随机变量的均值与方差和相互独立事件的概率乘法公式，属中档题．这类题型是历年高考的必考题型之一，其解题的关键有二点：其一是认真审清题意，掌握二项分布与几何分布，并区分两者的适用范围；其二是掌握离散型随机变量的分布列和均值的求法以及频率分布直方图的性质的应用．22.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，椭圆C 的下顶点和上顶点分别为1B ，2B，且122B B =.过点()0,2P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当2k =时，求OMN ∆的面积；(3)求证：不论k 为何值，直线1B M 与直线2B N 的交点T 恒在一条定直线上.【答案】（1）2212x y +=，（2）9，（3）证明见详解【分析】（1）由122B B b =可求出b，c e a ==a（2）算出MN 和点O 到直线l 的距离即可（3）设()()1122,,,M x y N x y ，联立方程消元可得12122286,2121k x x x x k k -+==++，由1,,T M B 三点共线得113n k m x +=+，由,,T N B 三点共线得211n k m x -=+，然后通过变形可得出12n =，即可得出点T 恒在直线12y =上. 【详解】（1）由1222B B b ==，得1b =由2c e a ===得a =所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=（2）当2k =时，直线l 的方程为22y x =+联立方程222212x x y y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得291660x x ++= 设()()1122,,,M x y N x y ，则有1212162,93x x x x +=-=所以MN ==点O 到直线l5=所以12959OMN S ∆=⨯=（3）直线l 的方程为2y kx =+由22212kx x y y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得()2221860k x kx +++=由()226442160k k ∆=-+⨯>得232k >设()()1122,,,M x y N x y ，则有12122286,2121k x x x x k k -+==++ 因()()10,1,0,1B B -，设(),T m n由1,,T M B 三点共线得11111+1313y kx n k m x x x ++===+① 由,,T N B 三点共线得222221111y kx n k m x x x -+-===+② 由+⨯①②3得212122833()133********k x x n n k k k m m x x k -⨯++-++=+=+=+ 所以可得420n -=，即12n =故可得点T 恒在直线12y =上.【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法. 23.对于各项均为整数的数列{}n a ，如果i a i +(i =1，2，3，…)为完全平方数，则称数 列{}n a 具有“P 性质”．不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在与{}n a 不是同一数列的{}n b ，且{}n b 同 时满足下面两个条件：①123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；②数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”． （I ）设数列{}n a 的前n 项和2(1)3n n S n =-，证明数列{}n a 具有“P 性质”； （II ）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换P 性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列{}n b ，不具此性质的说明理由；（III ）对于有限项数列A ：1，2，3，…，n ，某人已经验证当2[12,](5)n m m ∈≥时，数列A 具有“变换P 性质”，试证明：当”22[1,(1]n m m ∈++时，数列A 也具有“变换P 性质”． 【答案】（I ）证明见解+析．（II ）数列1，2，3，4，5具有“变换P 性质”，数列为3，2，1，5，4．数列1，2，3，…，11不具有“变换P 性质”理由见详解；（III ）证明见解+析．【详解】（I ）当时，又2*10,()n a a n n n N ==-∈所以．所以是完全平方数，数列具有“P 性质”（II ）数列1，2，3，4，5具有“变换P 性质”， 数列为3，2，1，5，4数列1，2，3，…，11不具有“变换P 性质” 因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P 性质” （III ）设注意到令由于，所以又所以 即因为当时，数列具有“变换P 性质”所以1，2，…，4m+4-j-1可以排列成使得都是平方数另外，可以按相反顺序排列，即排列为使得所以1，2，可以排列成满足都是平方数.即当时，数列A也具有“变换P性质”。
东城区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
东城区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知命题p：“∀∈[1，e]，a＞lnx”，命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a=0””若“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（1，4] B．（0，1] C．[﹣1，1] D．（4，+∞）2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．3．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．4．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（）A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日D．2日和11日5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=|x|（x∈R） B．y=（x≠0）C．y=x（x∈R）D．y=﹣x3（x∈R）6．某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为（）A ．π1492+B ．π1482+C ．π2492+D ．π2482+【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用，难度中等.7． 如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，AD 的中点，则CD 1与EF 所成角为（ ）A ．0°B ．45°C ．60°D ．90°8． 设m ，n 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A ．m ⊥α，m ⊥β，则α∥β B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C ．m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nD ．m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n9． 幂函数y=f （x ）的图象经过点（﹣2，﹣），则满足f （x ）=27的x 的值是（ ）A ．B ．﹣C ．3D ．﹣310．如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则等（ ）A ．B ．C ．D ．11．i 是虚数单位，计算i+i 2+i 3=（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i12．+（a ﹣4）0有意义，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥2B ．2≤a ＜4或a ＞4C ．a ≠2D ．a ≠4二、填空题13．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．14．已知实数x ，y 满足约束条，则z=的最小值为 ．15．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线AB 与CD 的位置关系是 ．16．函数f （x ）=a x +4的图象恒过定点P ，则P 点坐标是 ．17．定义在R 上的函数)(x f 满足：1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，则不等式3)(+>xx e x f e （其中为自然对数的底数）的解集为 .18．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】已知函数()f x xlnx ax ＝－＋在()0e ，上是增函数，函数()22xa g x e a ＝－＋，当[]03x ln ∈，时，函数g （x ）的最大值M 与最小值m 的差为32，则a 的值为______.三、解答题19．已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的短轴长为2，且离心率e=，设F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，过F 2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M ，N 两点，直线F 1M ，F 1N 分别与直线x=4相交于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求△F 2PQ 面积的最小值．20．（本小题12分）在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 与CDEF 是边长均为a 正方形，CF ⊥平面ABCD ，BG ⊥平面ABCD ，且24AB BG BH ==．（1）求证：平面AGH ⊥平面EFG ； （2）若4a =，求三棱锥G ADE -的体积．【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，间在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．21．（本小题满分12分）某超市销售一种蔬菜，根据以往情况，得到每天销售量的频率分布直方图如下：（Ⅰ）求频率分布直方图中的a 的值，并估计每天销售量的中位数；（Ⅱ）这种蔬菜每天进货当天必须销售，否则只能作为垃圾处理．每售出1千克蔬菜获利4元，未售出的蔬菜，每千克亏损2元．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估计当超市每天的进货量为75千克时获利的平均值．22．（本小题满分12分）两个人在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中 放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设,,x y z 分别表示甲，乙，丙3个 盒中的球数.（1）求0x =，1y =，2z =的概率；（2）记x y ξ=+，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.【命题意图】本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识，意在考查学生的统计思想和基本的运算能力．0.0050.02频率组距O千克23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数3212)(-++=x x x f ．（I ）若R x ∈∃0，使得不等式m x f ≤)(0成立，求实数m 的最小值M ； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若正数,a b 满足3a b M +=，证明：313b a+≥.24．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲． 已知函数f （x ）＝|x ＋1|＋2|x －a 2|（a ∈R ）． （1）若函数f （x ）的最小值为3，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若直线y ＝m 与函数y ＝f （x ）的图象围成一个三角形，求m 的范围，并求围成的三角形面积的最大值．东城区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：若命题p：“∀∈[1，e]，a＞lnx，为真命题，则a＞lne=1，若命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a=0”为真命题，则△=16﹣4a≥0，解得a≤4，若命题“p∧q”为真命题，则p，q都是真命题，则，解得：1＜a≤4．故实数a的取值范围为（1，4]．故选：A．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．2．【答案】【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A所以BD⊥平面PAC（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，AO=OC=，以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0）所以=（1，，﹣2），设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|（III）由（II）知，设，则设平面PBC的法向量=（x，y，z）则=0，所以令，平面PBC的法向量所以，同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，所以=0，即﹣6+=0，解得t=，所以PA=．【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力3．【答案】D【解析】解：∵=（1，1，0），=（﹣1，0，2），∴k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），又k+与2﹣互相垂直，∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k=．故选：D．【点评】本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，是基础的计算题．4．【答案】C【解析】解：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选：C．【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．5．【答案】D【解析】解：y=|x|（x∈R）是偶函数，不满足条件，y=（x≠0）是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件，y=x（x∈R）是奇函数，在定义域上是增函数，不满足条件，y=﹣x3（x∈R）奇函数，在定义域上是减函数，满足条件，故选：D6．【答案】A7．【答案】C【解析】解：连结A1D、BD、A1B，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D，∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角，∵A1D=A1B=BD，∴∠DA1B=60°．∴CD1与EF所成角为60°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．【答案】D【解析】解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．9．【答案】A【解析】解：设幂函数为y=xα，因为图象过点（﹣2，﹣），所以有=（﹣2）α，解得：α=﹣3所以幂函数解析式为y=x﹣3，由f（x）=27，得：x﹣3=27，所以x=．故选A．10．【答案】C【解析】解：∵M、G分别是BC、CD的中点，∴=，=∴=++=+=故选C【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中将化为++，是解答本题的关键．11．【答案】A【解析】解：由复数性质知：i2=﹣1故i+i2+i3=i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1故选A【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题．12．【答案】B【解析】解：∵+（a﹣4）0有意义，∴，解得2≤a＜4或a＞4．故选：B．二、填空题13．【答案】x﹣y﹣2=0．【解析】解：直线AB的斜率k AB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0，故答案为x﹣y﹣2=0．【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．14．【答案】．【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z==32x+y，设t=2x+y，则y=﹣2x+t，平移直线y=﹣2x+t，由图象可知当直线y=﹣2x+t经过点B时，直线y=﹣2x+t的截距最小，此时t最小．由，解得，即B（﹣3，3），代入t=2x+y得t=2×（﹣3）+3=﹣3．∴t最小为﹣3，z有最小值为z==3﹣3=．故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．【答案】异面．【解析】解：把展开图还原原正方体如图，在原正方体中直线AB与CD的位置关系是异面．故答案为：异面．16．【答案】（0，5）．【解析】解：∵y=a x的图象恒过定点（0，1），而f（x）=a x+4的图象是把y=a x的图象向上平移4个单位得到的，∴函数f（x）=a x+4的图象恒过定点P（0，5），故答案为：（0，5）．【点评】本题考查指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，是基础题．,0(17．【答案】)【解析】考点：利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题是一道利用导数判断单调性的题目,解答本题的关键是掌握导数的相关知识,首先对已知的不等式进行变形,可得()()01>-'+x f x f ,结合要求的不等式可知在不等式两边同时乘以xe ,即()()0>-'+x x x e x f e x f e ,因此构造函数()()x x e x f e x g -=,求导利用函数的单调性解不等式.另外本题也可以构造满足前提的特殊函数,比如令()4=x f 也可以求解.118．【答案】52【解析】()1ln f x x a =--+'，因为()f x 在()0e ，上是增函数，即()0f x '≥在()0e ，上恒成立，ln 1a x ∴≥+，则()max ln 1a x ≥+，当x e =时，2a ≥，又()22xa g x e a =-+，令xt e =，则()[]2,1,32a g t t a t =-+∈， （1）当23a ≤≤时，()()2max 112a g t g a ==-+，()()2min 2a g t g a ==，则()()max min 312g t g t a -=-=，则52a =，（2）当3a >时，()()2max 112a g t g a ==-+，()()2min 332a g t g a ==-+，则()()max min 2g t g t -=，舍。
东区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
东区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．下列说法中正确的是（）A．三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．两两相交的三条直线一定在同一平面内D．过同一点的三条直线不一定在同一平面内2．直线在平面外是指（）A．直线与平面没有公共点B．直线与平面相交C．直线与平面平行D．直线与平面最多只有一个公共点3．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A．（﹣，﹣2] B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣，+∞）4．如图，三行三列的方阵中有9个数a ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．B．C．D．5．已知实数a，b，c满足不等式0＜a＜b＜c＜1，且M=2a，N=5﹣b，P=（）c，则M、N、P的大小关系为（）A．M＞N＞P B．P＜M＜N C．N＞P＞M6．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为（）A．B．C．D．7．“x≠0”是“x＞0”是的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若﹣+1=0，则角B的度数是（）A．60°B．120°C．150°D．60°或120°9．设x，y∈R，且满足，则x+y=（）A．1 B．2 C．3 D．410．函数y=﹣lnx（1≤x≤e2）的值域是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣，0] D．[0，]11．已知命题p：“∀∈[1，e]，a＞lnx”，命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a=0””若“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（1，4] B．（0，1] C．[﹣1，1] D．（4，+∞）12．已知向量=（1，2），=（m，1），如果向量与平行，则m的值为（）A．B． C．2 D．﹣2二、填空题13．如图所示是y=f（x）的导函数的图象，有下列四个命题：①f（x）在（﹣3，1）上是增函数；②x=﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数；④x=2是f（x）的极小值点．其中真命题为（填写所有真命题的序号）．14．已知函数f（x）=x2+x﹣b+（a，b为正实数）只有一个零点，则+的最小值为．15．已知直线5x+12y+m=0与圆x 2﹣2x+y 2=0相切，则m= ．16．设曲线y=x n+1（n ∈N *）在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n =lgx n ，则a 1+a 2+…+a 99的值为 ．17．已知()212811f x x x -=-+,则函数()f x 的解析式为_________.18．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，6=-b a ，向量c a -，c b -的夹角为23π，23c a -=，则a与c的夹角为__________，a c ⋅的最大值为 ．【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.三、解答题19．已知函数f （x ）=lnx+ax 2+b （a ，b ∈R ）．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1处的切线为y=﹣1，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）求证：对任意给定的正数m ，总存在实数a ，使函数f （x ）在区间（m ，+∞）上不单调；（Ⅲ）若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 2＞x 1＞0）是曲线f （x ）上的两点，试探究：当a ＜0时，是否存在实数x 0∈（x 1，x 2），使直线AB 的斜率等于f'（x 0）？若存在，给予证明；若不存在，说明理由．20．（本小题满分12分）若二次函数()()20f x ax bx c a =++≠满足()()+12f x f x x -=,且()01f =.（1）求()f x 的解析式； （2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．21．已知函数()21ln ,2f x x ax x a R =-+∈． （1）令()()()1g x f x ax =--，讨论()g x 的单调区间；（2）若2a =-，正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=，证明12x x +≥．22．已知等比数列{a n }中，a 1=，公比q=．（Ⅰ）S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n =（Ⅱ）设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．23．【镇江2018届高三10月月考文科】已知函数，其中实数为常数，为自然对数的底数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，解关于的不等式；（3）当时，如果函数不存在极值点，求的取值范围.24．某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一 次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指 数不低于70，说明孩子幸福感强）．（1）根据茎叶图中的数据完成22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留幸福感强 幸福感弱 总计 留守儿童 非留守儿童 总计1111]（2）从5人中随机抽取2人进行家访， 求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++附表：20()P K k ≥ 0.050 0.010 0k3.8416.635东区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：对A，当三点共线时，平面不确定，故A错误；对B，当两条直线是异面直线时，不能确定一个平面；故B错误；对C，∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，∴当三条直线两两相交且共点时，不一定在同一个平面，如墙角的三条棱；故C错误；对D，由C可知D正确．故选：D．2．【答案】D【解析】解：根据直线在平面外是指：直线平行于平面或直线与平面相交，∴直线在平面外，则直线与平面最多只有一个公共点．故选D．3．【答案】A【解析】解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故选A．【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．4．【答案】D【解析】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；概率与统计．【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得结论．【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；∴所求的概率为=故选D．【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单．5．【答案】A【解析】解：∵0＜a＜b＜c＜1，∴1＜2a＜2，＜5﹣b＜1，＜（）c＜1，5﹣b=（）b＞（）c＞（）c，即M＞N＞P，故选：A【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．6．【答案】D【解析】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x联立方程组，解得A（，），B（，﹣），设直线x=与x轴交于点D∵F为双曲线的右焦点，∴F（C，0）∵△ABF为钝角三角形，且AF=BF，∴∠AFB＞90°，∴∠AFD＞45°，即DF＜DA∴c﹣＜，b＜a，c2﹣a2＜a2∴c2＜2a2，e2＜2，e＜又∵e＞1∴离心率的取值范围是1＜e＜故选D【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法，关键是找到含a，c的齐次式，再解不等式．7．【答案】B【解析】解：当x=﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立．当x＞0时，一定有x≠0成立，∴“x≠0”是“x＞0”是的必要不充分条件．故选：B．8．【答案】A【解析】解：根据正弦定理有：=，代入已知等式得：﹣+1=0，即﹣1=，整理得：2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），又∵A+B+C=180°，∴sin（B+C）=sinA，可得2sinAcosB=sinA，∵sinA≠0，∴2cosB=1，即cosB=，则B=60°．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．9．【答案】D【解析】解：∵（x﹣2）3+2x+sin（x﹣2）=2，∴（x﹣2）3+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2，∵（y﹣2）3+2y+sin（y﹣2）=6，∴（y﹣2）3+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2，设f（t）=t3+2t+sint，则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t2+2+cost＞0，即函数f（t）单调递增．由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0，即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y），∵函数f（t）单调递增∴x﹣2=2﹣y，即x+y=4，故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．10．【答案】B【解析】解：∵函数y=lnx在（0，+∞）上为增函数，故函数y=﹣lnx在（0，+∞）上为减函数，当1≤x≤e2时，若x=1，函数取最大值0，x=e2，函数取最小值﹣2，故函数y=﹣lnx（1≤x≤e2）的值域是[﹣2，0]，故选：B【点评】本题考查的知识点是对数函数的值域与最值，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．11．【答案】A【解析】解：若命题p：“∀∈[1，e]，a＞lnx，为真命题，则a＞lne=1，若命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a=0”为真命题，则△=16﹣4a≥0，解得a≤4，若命题“p∧q”为真命题，则p，q都是真命题，则，解得：1＜a≤4．故实数a的取值范围为（1，4]．故选：A．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．12．【答案】B【解析】解：向量，向量与平行，可得2m=﹣1．解得m=﹣．故选：B．二、填空题13．【答案】①【解析】解：由图象得：f（x）在（1，3）上递减，在（﹣3，1），（3，+∞）递增，∴①f（x）在（﹣3，1）上是增函数，正确，x=3是f（x）的极小值点，②④不正确；③f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数，不正确，故答案为：①．14．【答案】9+4．【解析】解：∵函数f（x）=x2+x﹣b+只有一个零点，∴△=a﹣4（﹣b+）=0，∴a+4b=1，∵a，b为正实数，∴+=（+）（a+4b）=9++≥9+2=9+4当且仅当=，即a=b时取等号，∴+的最小值为：9+4故答案为：9+4【点评】本题考查基本不等式，得出a+4b=1是解决问题的关键，属基础题．15．【答案】8或﹣18【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．【解答】解：整理圆的方程为（x﹣1）2++y2=1故圆的圆心为（1，0），半径为1直线与圆相切∴圆心到直线的距离为半径即=1，求得m=8或﹣18故答案为：8或﹣18 16．【答案】 ﹣2 ．【解析】解：∵曲线y=x n+1（n ∈N *），∴y ′=（n+1）x n，∴f ′（1）=n+1，∴曲线y=xn+1（n ∈N *）在（1，1）处的切线方程为y ﹣1=（n+1）（x ﹣1），该切线与x 轴的交点的横坐标为x n =，∵a n =lgx n ，∴a n =lgn ﹣lg （n+1）， ∴a 1+a 2+…+a 99=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100） =lg1﹣lg100=﹣2．故答案为：﹣2．17．【答案】()2245f x x x =-+ 【解析】试题分析：由题意得，令1t x =-，则1x t =+，则()222(1)8(1)11245f t t t t t =+-++=-+，所以函数()f x 的解析式为()2245f x x x =-+.考点：函数的解析式.18．【答案】6π，18+ 【解析】三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由已知得解得…此时，（x＞0）．（Ⅱ）（x＞0）．（1）当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，此时，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．…（2）当a＜0时，令f'（x）=0，得，f（x），f'（x）的变化情况如下表：）所以函数f（x）的增区间为（0，），减区间为（，+∞）．…要使函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调，须且只须＞m，即．所以对任意给定的正数m ，只须取满足的实数a ，就能使得函数f （x ）在区间（m ，+∞）上不单调．…（Ⅲ）存在实数x 0∈（x 1，x 2），使直线AB 的斜率等于f'（x 0）．…证明如下：令g （x ）=lnx ﹣x+1（x ＞0），则，易得g （x ）在x=1处取到最大值，且最大值g （1）=0，即g （x ）≤0，从而得lnx ≤x ﹣1． （*）…由，得．…令，，则p （x ），q （x ）在区间[x 1，x 2]上单调递增．且，，结合（*）式可得，，．令h （x ）=p （x ）+q （x ），由以上证明可得，h （x ）在区间[x 1，x 2]上单调递增，且h （x 1）＜0，h （x 2）＞0，… 所以函数h （x ）在区间（x 1，x 2）上存在唯一的零点x 0，即成立，从而命题成立．…（注：在（Ⅰ）中，未计算b 的值不扣分．）【点评】本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．20．【答案】（1）()2=+1f x x x -；（2）1m <-． 【解析】试题分析：（1）根据二次函数()()20f x ax bx c a =++≠满足()()+12f x f x x -=，利用多项式相等，即可求解,a b 的值，得到函数的解析式；（2）由[]()1,1,x f x m ∈->恒成立，转化为231m x x <-+，设()2g 31x x x =-+，只需()min m g x <，即可而求解实数m 的取值范围．试题解析：（1） ()()20f x ax bx c a =++≠ 满足()01,1f c ==()()()()2212,112f x f x x a x b x ax bx x +-=+++--=，解得1,1a b ==-,故()2=+1f x x x -.考点：函数的解析式；函数的恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查了函数解析式的求解、函数的恒成立问题，其中解答中涉及到一元二次函数的性质、多项式相等问题、以及不等式的恒成立问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，推理与运算能力，以及转化与化归思想，试题有一定的难度，属于中档试题，其中正确把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键.21．【答案】（1）当0a ≤时，函数单调递增区间为()0,+∞，无递减区间，当0a >时，函数单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析. 【解析】试题解析：（2）当2a =-时，()2ln ,0f x x x x x =++>，由()()12120f x f x x x ++=可得22121122ln 0x x x x x x ++++=， 即()()212121212ln x x x x x x x x +++=-，令()12,ln t x x t t t ϕ==-，则()111t t t tϕ-'=-=，则()t ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，所以()()11t ϕϕ≥=，所以()()212121x x x x +++≥，又120x x +>，故12x x +≥， 由120,0x x >>可知120x x +>．1考点：函数导数与不等式．【方法点晴】解答此类求单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22．【答案】【解析】证明：（I ）∵数列{a n }为等比数列，a 1=，q=∴a n =×=，S n =又∵==S n∴S n =（II ）∵a n =∴b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n =﹣log 33+（﹣2log 33）+…+（﹣nlog 33）=﹣（1+2+…+n ）=﹣∴数列{b n }的通项公式为：b n =﹣【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n 项和以及对数函数的运算性质．23．【答案】（1）单调递增区间为 ；单调递减区间为．（2）（3）【解析】试题分析：把代入由于对数的真数为正数，函数定义域为，所以函数化为，求导后在定义域下研究函数的单调性给出单调区间；代入，，分和两种情况解不等式；当时，，求导，函数不存在极值点，只需恒成立，根据这个要求得出的范围.试题解析：（2）时，．当时，原不等式可化为．记，则，当时，，所以在单调递增，又，故不等式解为；当时，原不等式可化为，显然不成立，综上，原不等式的解集为．24．【答案】（1）有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关；（2）3 5 .【解析】∴240(67918)4 3.84115252416K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯． ∴有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关．（2）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人，记作：1a ，2a ；幸福感强的孩子3人，记作：1b ，2b ，3b ．“抽取2人”包含的基本事件有12(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，12(,)b b ，13(,)b b ，23(,)b b 共10个．事件A ：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b 共6个． 故63()105P A ==． 考点：1、 茎叶图及独立性检验的应用；2、古典概型概率公式.。
湖北省荆门市2018-2019学年高二上学期期末质量检测数学(文)试题 Word版含解析
荆门市2018—2019学年度上学期期末高二年级质量检测数学（文科）一，选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1.经过点,倾斜角为地直线方程为 A. B. C. D.【结果】D【思路】【思路】先求出直线地斜率,再由点斜式求得直线地方程．【详解】倾斜角为地直线地斜率,再依据直线经过点,由点斜式求得直线地方程为,即,故选：D．【点睛】本题考查了由点斜式地方式求直线地方程,属于基础题．2.为了解某地区地中小学生视力情况,拟从该地区地中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学，初中，高中三个学段学生地视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面地抽样方式中,最正确地抽样方式是( )A. 简单随机抽样B. 按分层抽样C. 按学段分层抽样D. 系统抽样【结果】C【思路】试题思路：符合分层抽样法地定义,故选C.考点：分层抽样．3.阅读如图地程序框图,运行相应地程序,若输入N地值为15,则输出N地值为 A. 0B. 1C. 2D. 3【结果】D【思路】【思路】该程序地功能是利用循环结构计算并输出变量N地值,思路循环中各变量值地变化情况,可得结果．【详解】模拟程序地运行,可得满足款件N能被3整除,不满足款件,执行循环体,不满足款件N能被3整除,不满足款件,执行循环体,不满足款件N能被3整除,满足款件,退出循环,输出N地值为3．故选：D．【点睛】本题考查了程序框图地应用问题,解题时应模拟程序框图地运行过程,属于基础题．4.复数A. 1B. -1C.D.【结果】D【思路】【思路】利用复数代数形式地乘除运算,再由虚数单位地性质求解．【详解】,．故结果为：【点睛】本题考查复数代数形式地乘除运算,考查复数地基本概念,是基础题．5.有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择地游戏盘是A. B. C. D.【结果】A【思路】由几何概型公式：A中地概率为,B中地概率为,C中地概率为,D中地概率为．本题选择A选项.点睛：解答几何概型问题地关键在于弄清题中地考察对象和对象地活动范围．当考察对象为点,点地活动范围在线段上时,用线段长度比计算。
东城区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
东城区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 集合{}{}2|ln 0,|9A x x B x x =≥=<,则AB =（ ）A ．()1,3B ．[)1,3C ．[]1,+∞D ．[],3e 2． “互联网+”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调 查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 3． 集合{}|42,M x x k k Z ==+∈，{}|2,N x x k k Z ==∈，{}|42,P x x k k Z ==-∈，则M ，N ，P 的关系（ ）A ．M P N =⊆B ．N P M =⊆C ．M N P =⊆D ．M P N ==4． 等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 2a 6=（ ） A ．6B ．9C ．36D ．725． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。
问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD ＝3丈，长AB ＝4丈，上棱EF ＝2丈，EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为1丈，问它的体积是（ ） A ．4立方丈B ．5立方丈C ．6立方丈D ．8立方丈6． 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =a n +，则S 2015的值是（ ）A． B．C．2015 D．8．在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也非必要条件9．函数y=+的定义域是（）A．{x|x≥﹣1} B．{x|x＞﹣1且x≠3} C．{x|x≠﹣1且x≠3} D．{x|x≥﹣1且x≠3}10．已知函数f（x）=sin2（ωx）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（）A．πB．C．D．11．已知函数f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＜0时，函数的部分图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A．（﹣2，﹣1）∪（1，2）B．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）12．定义某种运算S=a⊗b，运算原理如图所示，则式子+的值为（）A．4 B．8 C．10 D．13二、填空题13．如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形．14．设全集U=R ，集合M={x|2a ﹣1＜x ＜4a ，a ∈R}，N={x|1＜x ＜2}，若N ⊆M ，则实数a 的取值范围是 ．15．在（x 2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ．16．分别在区间[0,1]、[1,]e 上任意选取一个实数a b 、，则随机事件“ln a b ≥”的概率为_________.17．若全集，集合，则18．已知α为钝角，sin （+α）=，则sin （﹣α）= ．三、解答题19．（本小题满分12分）某市拟定2016年城市建设,,A B C 三项重点工程，该市一大型城建公司准备参加这三个工程的竞标，假设这三个工程竞标成功与否相互独立，该公司对,,A B C 三项重点工程竞标成功的概率分别为a ，b ，14()a b >，已知三项工程都竞标成功的概率为124，至少有一项工程竞标成功的概率为34． （1）求a 与b 的值；（2）公司准备对该公司参加,,A B C 三个项目的竞标团队进行奖励，A 项目竞标成功奖励2万元，B 项目竞标成功奖励4万元，C 项目竞标成功奖励6万元，求竞标团队获得奖励金额的分布列与数学期望．【命题意图】本题考查相互独立事件、离散型随机变量分布列与期望等基础知识，意在考查学生的运算求解能力、审读能力、获取数据信息的能力，以及方程思想与分类讨论思想的应用．20．（本小题满分12分）已知圆()()22:1225C x y -+-=,直线()()():211740L m x m y m m R +++--=∈.（1）证明: 无论m 取什么实数,L 与圆恒交于两点;（2）求直线被圆C 截得的弦长最小时L 的方程.21．（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D －中，侧棱1A A ^底面ABCD ，//AB DC ，AB AD ^，1AD CD ＝＝，12AA AB ＝＝，E 为棱1AA 的中点.（Ⅰ）证明：11B C ^面1CEC ；（II ）设点M 在线段1C E 上，且直线AM 与平面11ADD A所成角的正弦值为6，求线段AM 的长.11122．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D 中． （1）求11A C 与1B C 所成角的大小；（2）若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求11A C 与EF 所成角的大小．23．已知，且．（1）求sinα，cosα的值；（2）若，求sinβ的值．24．（本小题满分12分）如图四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，AA1⊥底面ABCD，M为A1A的中点，AB＝BD＝2，且△BMC1为等腰三角形．（1）求证：BD⊥MC1；（2）求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积．东城区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】试题分析：因为{}{}|ln 0|1A x x A x x =≥==≥,{}{}2|9|33B x x B x x =<==-<<,所以A B ={}|13x x ≤<，故选B.考点：1、对数函数的性质及不等式的解法；2、集合交集的应用. 2． 【答案】B 【解析】试题分析：设从青年人抽取的人数为800,,2050600600800x x x ∴=∴=++，故选B ． 考点：分层抽样． 3． 【答案】A 【解析】试题分析：通过列举可知{}{}2,6,0,2,4,6M P N ==±±=±±±，所以M P N =⊆.考点：两个集合相等、子集．1 4． 【答案】D【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，∴3（1+q 2+q 4）=21，解得q 2=2． 则a 2a 6=9×q 6=72．故选：D ．5． 【答案】 【解析】解析：选B.如图，设E 、F 在平面ABCD 上的射影分别为P ，Q ，过P ，Q 分别作GH ∥MN ∥AD 交AB 于G ，M ，交DC 于H ，N ，连接EH 、GH 、FN 、MN ，则平面EGH 与平面FMN 将原多面体分成四棱锥E -AGHD 与四棱锥F -MBCN 与直三棱柱EGH -FMN .由题意得GH ＝MN ＝AD ＝3，GM ＝EF ＝2， EP ＝FQ ＝1，AG ＋MB ＝AB －GM ＝2，所求的体积为V ＝13（S 矩形AGHD ＋S 矩形MBCN ）·EP ＋S △EGH ·EF ＝13×（2×3）×1＋12×3×1×2＝5立方丈，故选B.6． 【答案】C【解析】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C 选项． 故选：C ．【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．7． 【答案】D【解析】解：∵2S n =a n +，∴，解得a 1=1．当n=2时，2（1+a 2）=，化为=0，又a 2＞0，解得，同理可得．猜想．验证：2Sn =…+=，==，因此满足2S n =a n +，∴．∴S n =．∴S 2015=．故选：D ．【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．8． 【答案】A【解析】解：∵sinB+sin （A ﹣B ）=sinC=sin （A+B ）， ∴sinB+sinAcosB ﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB ， ∴sinB=2cosAsinB ， ∵sinB ≠0，∴cosA=，∴A=，∴sinA=，当sinA=，∴A=或A=，故在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=的充分非必要条件，故选：A9． 【答案】D【解析】解：由题意得：，解得：x ≥﹣1或x ≠3， 故选：D ．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．10．【答案】D【解析】解：由函数f （x ）=sin 2（ωx ）﹣=﹣cos2ωx （ω＞0）的周期为=π，可得ω=1，故f （x ）=﹣cos2x ．若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），可得y=﹣cos2（x ﹣a ）=﹣cos （2x ﹣2a ）的图象；再根据所得图象关于原点对称，可得2a=k π+，a=+，k ∈Z ．则实数a 的最小值为．故选：D【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．11．【答案】D【解析】解：根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数的图象，如图则不等式xf （x ）＜0的解为：或解得：x ∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）故选：D．12．【答案】C【解析】解：模拟执行程序，可得，当a≥b时，则输出a（b+1），反之，则输出b（a+1），∵2tan=2，lg=﹣1，∴（2tan）⊗lg=（2tan）×（lg+1）=2×（﹣1+1）=0，∵lne=1，（）﹣1=5，∴lne⊗（）﹣1=（）﹣1×（lne+1）=5×（1+1）=10，∴+=0+10=10．故选：C．二、填空题13．【答案】4【解析】解：由PA⊥平面ABC，则△PAC，△PAB是直角三角形，又由已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形，所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB．故答案为：4【点评】本题考查空间几何体的结构特征，空间中点线面的位置关系，线面垂直的判定定理和性质定理的熟练应用是解答本题的关键．14．【答案】[，1]．【解析】解：∵全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，N⊆M，∴2a﹣1≤1 且4a≥2，解得2≥a≥，故实数a的取值范围是[，1]，故答案为[，1]．15．【答案】 84 ．【解析】解：（x 2﹣）9的二项展开式的通项公式为 T r+1=•（﹣1）r •x 18﹣3r ，令18﹣3r=0，求得r=6，可得常数项的值为T 7===84，故答案为：84．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．16．【答案】1e e- 【解析】解析： 由ln a b ≥得ab e ≤，如图所有实数对(,)a b 表示的区域的面积为e ，满足条件“ab e ≤”的实数对(,)a b 表示的区域为图中阴影部分，其面积为111|a a e da e e ==-⎰，∴随机事件“ln a b ≥”的概率为1e e-． 17．【答案】{|0＜＜1｝ 【解析】∵，∴{|0＜＜1｝。